转动角度角速度角加速度与基点的位置无关
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问：基点可任选，选什么基点，公式最简？ 答：选S上速度为零的点。 速度瞬心法： a.速度瞬心Cv—某瞬时S上速度为零的点。
19
如图已知S上v A , ,求 Cv ？
Cv
解： vCv vA vCv A 0 vCv A vA
vA
Cv 必在 vA 的垂线上。
ACv vA
A
vA
vA
vBA
vB
3. 利用平行四边形法则求未知量
vBA
60
vA l
vB
3 vBA vA ctan 60 l 3 2 3 AB vBA / AB vB vA / sin 60 l 3 3
vA
14
思考 1. 已知 l, r, ,r ,求vc。
解：
vA l
a BA
y
y
A
O
B
a
n BA
aA
n a BA ＝AB 2
aA
x
aB AB a A AB
x
n 当 0时 a BA 0 a BA BA .
有
aB AB aA AB
16
思考： 已知 R、、 30 求
o
A
vB 、 aB ？
R
30 o
B
A
vA
解：
可见 :
0时， Cv 存在且唯一。
0时， Cv 在远处。
20
b.速度瞬心法：
选速度瞬心Cv为基点，任一点M的速度大小为：
vM Cv M
且vM Cv M
结论：某瞬时，S上任一点速度等于该点随图形绕瞬心 转动时的速度。
注：
1. Cv可在S外，必在运动平面上。
2. C v位置连续变化，形成 定瞬心轨迹 动瞬心轨迹
aP a
n PC
2
a P aC a
Fra Baidu bibliotek2 2
n PC
v v aC r1 r1 r2
2
r1
C
v aC
n a PC
r2 v r1 r1 r2
P
r2
vp 0 ap 0
当轮加速滚动时，a p变化吗？ 问：
答：否。
o
18
4.2.2 瞬心法
基点法的特殊形式之一。
将 v B v A v BA
在 AB连线上投影
v BA AB
有
v B AB v A AB
vB cos v A cos
基点法投影式.
或
29
结 论： S 上任意两点的速度在这两点 连线上投影相等.
10
4. 2 平面图形上各点的速度与 加速度
4.2.1 基点法
1. 速度基点法
y v BA
y
A
vA
B
已知S上v ,ω(A为基点)，求S上任一点 A B的v ？ O B
在基点A固连一平移的动系，选B为动点
vA
x
x
11
由va ve vr
y v BA
y
A
O
vA
B
v B v A v BA
vC v A vCA
vCA r r
l
ve
C
vCA
r
vA
vr
r
2 2 vC vA vCA
15
2. 加速度基点法
由 aa ae a a
r
n r
有：a B a A a a BA
n BA
τ a BA AB
n 当 0时 a BA 0
24
2.如图已知v ,，R ,求v ,？
轮瞬心在Cv
Cv
A
o
v ＝ Rcos
v
vO OCv v tan
25
3. 已知尺寸，、 r. 求vc?
C
A
r
A
vc
C
r
解：
AC
r ACv
vc AC CCv
Cv
26
4. 已知、 r,求v A?
21
例如：
Cv
定
动
c.速度瞬心求法： • Cv在过某点且垂直于该点速度矢量的直线上 • 速度沿该垂直线线性分布，与到速度瞬心的距离成 正比
22
思考：
A
Cv有哪些具体求法？
vA
Cv
B
B
A
vA
vB
A
Cv
C v1
AB瞬时平移
B
23
下图速度分布对吗？ 不对
1. 求AB的瞬心
A
o
A B
C
Cv
Cv
解：
vo 2 rω ωo 2ω r r
r
A
vA
o
r
v A 2 rωo 4 rω
27
5. 已知ao、、 R,求 ?
o
R
vo
ao
解：
vo Rω
对t 求导 ao R
Cv
ao cos R
28
4.2.3 投影法
问：基点法公式 在任何方向的投影式成立， 在何方向获得最简形式？ 速度投影法公式
AB 0 vB vA Rω
aA
R
30 o
B
vB
aB
aB a A aBA
aB cos30o a A cos60o
1 aB R ctg60 R 2 3
2 o
17
例：已知轮C纯滚（匀速）， r1 , r2 , v 已知，求
aP ？
v 解： a C r1 r2
5
4. 1 刚体平面运动方程
确定运动的独立参数
一、运动的简化
刚体 图S 线段AB 平移＋转动
6
平面运动分解为平移和转动
故刚体平面运动可以看成是平移和转动的合成。
7
二、运动方程
xA x t yA y t t
o
y
y
B
x
A
x
若不变，则为平移运动； 若A不动，则为定轴转动
注：
1.基点可任选，常选运动已知点。
8
2. v A ,a A与基点选择有关， ，，与基点选择无关。
B A
B A
A
B
B
A
A B 求导 A B A B
9
转动角度、角速度、角加速度与基点的位置无关
vBA AB, vBA AB
vA
x
x
结论：S上任一点速度等于基点速度与该点绕基点圆周运 动速度的矢量和。
12
例：已知OA=l, OB=2l, AB角速度为，曲柄连杆机构在 图示位置时，求AB杆角速度及滑块B的速度。
13
解： 1. 首先分析A,B两点的速度方向 2. 选择A点为基点，列基点法 方程 vB vA vBA
第4章 刚体的平面运动
本章要点：研究刚体的运动方程以及刚体 上不同点的运动量（速度、加速度）之间 的关系；基点法、瞬心法，投影法
一、实例：
2
3
4
二、定义—刚体内任意点在运动过程中始终与某 固定平面保持等距。（轨迹为平面曲线）
三、任务： 1、运动方程；
2、两点间的运动关系。
四、方法：运动合成法——在平面运动刚体上 任选一基点，在基点固连一平动系，其他点 相对基点做圆周运动。
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如图已知S上v A , ,求 Cv ？
Cv
解： vCv vA vCv A 0 vCv A vA
vA
Cv 必在 vA 的垂线上。
ACv vA
A
vA
vA
vBA
vB
3. 利用平行四边形法则求未知量
vBA
60
vA l
vB
3 vBA vA ctan 60 l 3 2 3 AB vBA / AB vB vA / sin 60 l 3 3
vA
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思考 1. 已知 l, r, ,r ,求vc。
解：
vA l
a BA
y
y
A
O
B
a
n BA
aA
n a BA ＝AB 2
aA
x
aB AB a A AB
x
n 当 0时 a BA 0 a BA BA .
有
aB AB aA AB
16
思考： 已知 R、、 30 求
o
A
vB 、 aB ？
R
30 o
B
A
vA
解：
可见 :
0时， Cv 存在且唯一。
0时， Cv 在远处。
20
b.速度瞬心法：
选速度瞬心Cv为基点，任一点M的速度大小为：
vM Cv M
且vM Cv M
结论：某瞬时，S上任一点速度等于该点随图形绕瞬心 转动时的速度。
注：
1. Cv可在S外，必在运动平面上。
2. C v位置连续变化，形成 定瞬心轨迹 动瞬心轨迹
aP a
n PC
2
a P aC a
Fra Baidu bibliotek2 2
n PC
v v aC r1 r1 r2
2
r1
C
v aC
n a PC
r2 v r1 r1 r2
P
r2
vp 0 ap 0
当轮加速滚动时，a p变化吗？ 问：
答：否。
o
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4.2.2 瞬心法
基点法的特殊形式之一。
将 v B v A v BA
在 AB连线上投影
v BA AB
有
v B AB v A AB
vB cos v A cos
基点法投影式.
或
29
结 论： S 上任意两点的速度在这两点 连线上投影相等.
10
4. 2 平面图形上各点的速度与 加速度
4.2.1 基点法
1. 速度基点法
y v BA
y
A
vA
B
已知S上v ,ω(A为基点)，求S上任一点 A B的v ？ O B
在基点A固连一平移的动系，选B为动点
vA
x
x
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由va ve vr
y v BA
y
A
O
vA
B
v B v A v BA
vC v A vCA
vCA r r
l
ve
C
vCA
r
vA
vr
r
2 2 vC vA vCA
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2. 加速度基点法
由 aa ae a a
r
n r
有：a B a A a a BA
n BA
τ a BA AB
n 当 0时 a BA 0
24
2.如图已知v ,，R ,求v ,？
轮瞬心在Cv
Cv
A
o
v ＝ Rcos
v
vO OCv v tan
25
3. 已知尺寸，、 r. 求vc?
C
A
r
A
vc
C
r
解：
AC
r ACv
vc AC CCv
Cv
26
4. 已知、 r,求v A?
21
例如：
Cv
定
动
c.速度瞬心求法： • Cv在过某点且垂直于该点速度矢量的直线上 • 速度沿该垂直线线性分布，与到速度瞬心的距离成 正比
22
思考：
A
Cv有哪些具体求法？
vA
Cv
B
B
A
vA
vB
A
Cv
C v1
AB瞬时平移
B
23
下图速度分布对吗？ 不对
1. 求AB的瞬心
A
o
A B
C
Cv
Cv
解：
vo 2 rω ωo 2ω r r
r
A
vA
o
r
v A 2 rωo 4 rω
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5. 已知ao、、 R,求 ?
o
R
vo
ao
解：
vo Rω
对t 求导 ao R
Cv
ao cos R
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4.2.3 投影法
问：基点法公式 在任何方向的投影式成立， 在何方向获得最简形式？ 速度投影法公式
AB 0 vB vA Rω
aA
R
30 o
B
vB
aB
aB a A aBA
aB cos30o a A cos60o
1 aB R ctg60 R 2 3
2 o
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例：已知轮C纯滚（匀速）， r1 , r2 , v 已知，求
aP ？
v 解： a C r1 r2
5
4. 1 刚体平面运动方程
确定运动的独立参数
一、运动的简化
刚体 图S 线段AB 平移＋转动
6
平面运动分解为平移和转动
故刚体平面运动可以看成是平移和转动的合成。
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二、运动方程
xA x t yA y t t
o
y
y
B
x
A
x
若不变，则为平移运动； 若A不动，则为定轴转动
注：
1.基点可任选，常选运动已知点。
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2. v A ,a A与基点选择有关， ，，与基点选择无关。
B A
B A
A
B
B
A
A B 求导 A B A B
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转动角度、角速度、角加速度与基点的位置无关
vBA AB, vBA AB
vA
x
x
结论：S上任一点速度等于基点速度与该点绕基点圆周运 动速度的矢量和。
12
例：已知OA=l, OB=2l, AB角速度为，曲柄连杆机构在 图示位置时，求AB杆角速度及滑块B的速度。
13
解： 1. 首先分析A,B两点的速度方向 2. 选择A点为基点，列基点法 方程 vB vA vBA
第4章 刚体的平面运动
本章要点：研究刚体的运动方程以及刚体 上不同点的运动量（速度、加速度）之间 的关系；基点法、瞬心法，投影法
一、实例：
2
3
4
二、定义—刚体内任意点在运动过程中始终与某 固定平面保持等距。（轨迹为平面曲线）
三、任务： 1、运动方程；
2、两点间的运动关系。
四、方法：运动合成法——在平面运动刚体上 任选一基点，在基点固连一平动系，其他点 相对基点做圆周运动。