(完整)初三数学几何综合练习题集

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初三数学几何图形与空间几何练习题及答案20题

初三数学几何图形与空间几何练习题及答案20题1. 已知⊙O的半径为r，弦AB与⊙O相交于点C，CD是弦AB的垂直平分线，CE是弦AB的角平分线，且CE=CD=3。

求弦AB的长。

解析：设弦AB的中点为M，连接OM，由于CD是弦AB的垂直平分线，所以MC⊥AB，即角MCB为直角。

又由于CE是弦AB的角平分线，则∠ECB=∠ECA，即角MCB=2∠ECA。

设弦AB的长为x，则AM=MB=x/2。

根据勾股定理，有：MC^2 = AC^2 - AM^2= r^2 - (x/2)^2又根据余弦定理，有：cos∠MCB = cos2∠ECA = 2cos^2∠ECA - 1= 2(CE/AC)^2 - 1= 2(3/r)^2 - 1= 18/r^2 - 1根据余弦定理，有：MC^2 = AC^2 + AM^2 - 2AC·AM·cos∠MCB= r^2 + (x/2)^2 - 2r(x/2)cos∠MCB= r^2 + x^2/4 - rxcos∠MCB将MC^2代入上面两式，得到：r^2 - (x/2)^2 = r^2 + x^2/4 - rxcos∠MCB化简得：x^2 - 4rxcos∠MCB = 4r^2将cos∠MCB用18/r^2 - 1代入上式，得到：x^2 - 4rx(18/r^2 - 1) = 4r^2化简得：x^2 - 72x/r + 4r = 0由于是一元二次方程，可以求解得到x的值，并且取正值。

2. 一个正三角形ABC的外接圆的直径为10cm，过点D（D在弧BC上）做DE⊥BC于点E，若DE=4cm，求BD的长。

设正三角形ABC的边长为a，则AB=BC=AC=a。

由于正三角形的外接圆的直径为10cm，所以BC=10cm。

根据勾股定理，有：BD^2 = AB^2 - AD^2= a^2 - (AC/2)^2= a^2 - (a/2)^2= 3a^2/4根据勾股定理，有：DE^2 = AE^2 - AD^2= AE^2 - (AC/2)^2= AE^2 - (a/2)^2= (AC/2)^2 - (AD/2)^2= (a/2)^2 - (a/2 - DE)^2= (a/2)^2 - (a/2 - 4)^2化简得：a^2/16 - (a/2 - 4)^2 = 16a^2 - 64a + 512 = 256化简得：a^2 - 64a + 256 = 0由于是一元二次方程，可以求解得到a的值，并且取正值。

[必刷题]2024九年级数学上册平面几何专项专题训练(含答案)

[必刷题]2024九年级数学上册平面几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在平行四边形ABCD中，若AB=6cm，BC=8cm，则平行四边形ABCD的周长是（）cm。

A. 14cmB. 28cmC. 48cmD. 56cm2. 已知等边三角形ABC的边长为3cm，点D是边AB上的一点，且AD=1cm，则CD的长度为（）cm。

A. 2cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm3. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 等腰梯形B. 长方形C. 正方形D. 所有选项都是4. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）。

A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)5. 若一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，则这个三角形的周长为（）cm。

A. 26cmB. 32cmC. 42cmD. 46cm6. 下列哪个角是钝角？（）A. 30°B. 45°C. 120°D. 90°7. 在三角形ABC中，若AB=AC，∠BAC=40°，则∠ABC的度数是（）。

A. 40°B. 70°C.80°D. 100°8. 下列哪个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形？（）A. 正三角形B. 矩形C. 正方形D. 平行四边形9. 若一个圆的半径为5cm，则其直径的长度为（）cm。

A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm10. 在直角三角形ABC中，若∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，则AB 的长度为（）cm。

A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm二、判断题：1. 平行四边形的对角线互相平分。

（）2. 任意两个等边三角形的面积相等。

（）3. 两条平行线的距离处处相等。

（）4. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

（）5. 对角线互相垂直的四边形一定是矩形。

初三数学几何综合题及答案

1（一）. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME （1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．（1）MD=ME ．解：∵△ADB 和△AEC 是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° 在△ADB 和△AEC 中，，∴△ADB ≌△AEC （AAS ），∴BD=CE ，AD=AE ，∵M 是BC 的中点，∴BM=CM ．∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE ，即∠DBM=∠ECM ．在△DBM 和△ECM 中，，∴△DBM ≌△ECM （SAS ），∴MD=ME ．（2）如图，作DF ⊥AB ，EG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ．因为DF 、EG 分别是等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高，所以F 、G 分别是AB 、AC 的中点．又∵M 是BC 的中点，所以MF 、MG 是△ABC 的中位线． ∴，，MF ∥AC ，MG ∥AB ．∴∠BFM=∠BAC ，∠MGC=∠BAC ．∴∠BFM=∠MGC ．所以∠DFM=∠MGE ． ∵DF 、EG 分别是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜边上的中线， ∴，．∴MF=EG ，DF=MG ．在△DFM 与△MGE 中，，∴△DFM ≌△MGE （SAS ）．∴DM=ME ． ∠FMD=∠GEM∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GMEMBCAEDMBC AEDMBCA图1图2∵EG ⊥AC ∴∠EGC=90°∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°∴∠DME=90° ∴DM ⊥EM ．（3）如图所示：△MDE 是等腰直角三角形．2．如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE=________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<），延长FC 交AB 于点D ，如果623AD =-，求旋转角α的度数．（1）如图1，线段BE 与AF 的位置关系是互相垂直；∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°， ∴AC=2，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴=；故答案为：互相垂直；；（2）（1）中结论仍然成立．证明：如图2，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC=BC ，FC=AC ，∴==，∵∠BCE=∠ACF=α，∴△BEC ∽△AFC ，∴===，∴∠1=∠2，延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ∵∠BOC=∠AOM ，∠1=∠2∴∠BCO=∠AMO=90°∴BE ⊥AF ；（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60° 过点D 作DH ⊥BC 于H ∴DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，∴BH=﹣1，DH=3﹣，又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣，∴CH=DH ，∴∠HCD=45°，∴∠DCA=45°，∴α=180°﹣45°=135°．3.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明．②当3BD CEAC AD ==时，BPD ∠的度数____________________．（1）等腰直角三角形 -----------------------------------------------------------------------DACDαFE CBA图3图2 αFEC BAF E CBA图1--------1分（2） 45°. -------------------------------------------------------------------------------------------2分证明：过B 点作FB ⊥AB ,且FB=AD . ∴90FBD A ∠=∠=︒,∵BD=AC ，∴△FBD ≌△DAC.∴∠FDB=∠DCA ，ED=DC∵∠DCA+∠CDA=90︒，∴∠FDB +∠CDA=90︒， ∴∠CDF=90︒，∴∠FCD=∠CFD =45︒． ∵AD =CE ，∴BF =CE∵90FBD A ∠=∠=︒，∴180FBD A ∠+∠=︒.∴BF ∥EC .∴四边形BECF 是平行四边形． ∴BE ∥FC .∴45BPD FCD ∠=∠=︒.-----------------------------------------------------------------------6分（3）60︒．--------------------------------------------------------------------------------------7分4．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =30︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上．（1）如图1，直接写出∠ABD 和∠CFE 的度数；（2）在图1中证明：A E =CF ；（3）如图2，连接CE ，判断△CEF 的形状并加以证明．1）∠ABD= 15 °，∠CFE= 45 °．……………………………………… 2分（2）证明：连结CD 、DF ．∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，∴BD =BC ，∠CBD =60︒．∴△BCD 是等边三角形． ∴CD =BD ．∵线段BD 平移到EF ， ∴EF ∥BD ，EF =BD ． ∴四边形BDFE 是平行四边形，EF = CD ．……… 3分∵AB =AC ，∠A =30︒， ∴∠ABC =∠ACB =75︒．∴∠ABD =∠ABC -∠CBD =15︒=∠ACD ． ∴∠DFE =∠ABD =15︒，∠AEF =∠ABD =15︒．∴∠AEF =∠ ACD =15︒．………………………………………………… 4分 ∵∠CFE =∠A+∠AEF =30︒+15︒=45︒， ∴∠CFD =∠CFE -∠DFE =45︒-15︒=30︒．PFAC图2图1A BCDEF F E DBAG 图2A BCDE F ∴∠A =∠CFD =30︒． …………………………………………………… 5分 ∴△AEF ≌△FCD （AAS ）．∴A E =CF ． …………………………………………………………… 6分（3）解：△CEF 是等腰直角三角形．证明：过点E 作EG ⊥CF 于G ，∵∠CFE =45︒，∴∠FEG =45︒．∴EG =FG ．∵∠A =30︒，∠AGE =90︒，∴12EG AE =．∵A E =CF ，∴12EG CF =．∴12FG CF=．∴G 为CF 的中点．∴EG 为CF 的垂直平分线． ∴EF =EC ．∴∠CEF =2∠FEG=90︒．∴△CEF 是等腰直角三角形．………………………………………… 8分5．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BF AF的值（用含α、m 的式子表示）．解：解：（1）AF=BF ．理由如下：在DF 上截取DG=BF ，连接AG ，（如图1），由旋转得AD=AB ，∠D=∠B ，图1 图2 图3ABCDE F FEDCBAFEDC BA在△ADG 和△ABF 中，，∴△ADG ≌△ABF （SAS ），∴AG=AF ，∠DAG=∠BAF ，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°．∴△GAF 是等边三角形，又∵DF=2BF ，∴AF=GF=DF ﹣DG=DF ﹣BF=BF ，即AF=BF ；（2）解：猜想：AF=2BF ．证明：在DF 上截取DG=BF ，连接AG （如图2）．由旋转得AD=AB ，∠D=∠B ，在△ADG 和△ABF 中，，∴△ADG ≌△ABF（SAS ），∴AG=AF ，∠DAG=∠BAF ，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°， ∴△GAF 是等边三角形，又∵DF=3BF ，∴AF=GF=DF ﹣DG=DF ﹣BF=2BF ，即AF=2BF ；（3）在DF 上截取DG=BF ，连接AG ，（如图3），由旋转得AD=AB ，∠D=∠B ，在△ADG 和△ABF 中，，∴△ADG ≌△ABF （SAS ），∴AG=AF ，∠DAG=∠BAF ，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=α，∴△GAF 是等腰三角形， ∵DF=mBF ，∴GF=DF ﹣DG=mBF ﹣BF=（m ﹣1）BF ，过点A 作AH ⊥DF 于H ，则FH=GF=（m ﹣1）BF ，∠FAH=∠GAF=α，∵sin ∠FAH=，∴sin =，∴=．6．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF ＝12∠BAF ，AF ＝23AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．证明：（1）如图1，连接FE 、FC ∵点F 在线段EC 的垂直平分线上∴FE =FC∴∠FEC =∠FCE ∵△和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ）∴AB =CB ，∠ABD =∠CBD ∵在△ABF 与△CBF 中 AB ＝CBG F B DE NG F DB EM图1 图2A∠ABD ＝∠CBD BF ＝BF∴△ABF ≌△CBF （SAS ）∴∠BAF =∠FCE ，FA =FC ∴FE =FA ，∠FEC =∠BAF ∴∠EAF =∠AEF ∵∠FEC +∠BEF =180°∴∠BAF +∠BEF =180° ∵∠BAF +∠BEF +∠AFE +∠ABE =360°∴∠AFE +∠ABE =∠AFE +∠ABD +∠CBD =180° 又∵∠AFE +∠EAF +∠AEF =180° ∴∠EAF +∠AEF =∠ABD +∠CBD ∵∠ABD ＝∠CBD,∠EAF =∠AEF∴∠EAF =∠ABD（2）FM =72FN证明：由(1)可知∠EAF =∠ABD 又∵∠AFB =∠GFA ∴△AFG ∽△BFA ∴∠AGF =∠BAF又∵∠MBF =12∠BAF ．∴∠MBF =12∠AGF又∵∠AGF =∠MBG +∠BMG ∴∠MBG =∠BMG∴BG =MG∵AB =AD ∴∠ADB =∠ABD =∠EAF 又∵∠FGA =∠AGD ∴△AGF ∽△DGAGF AG AF AG GD AD ∴==∵AF =23AD 23GF AG AG GD ∴==设GF =2a AG =3a ．∴GD =92a∴FD =52a ∵∠CBD =∠ABD ∠ABD =∠ADB∴∠CBD =∠ADB ∴BE //AD ∴BG EGGD AG =23EG AG BG GD ∴==设EG =2k ∴BG =MG =3k过点F 作FQ //ED 交AE 于QNG FCDBA EM∴54252===aaFDGFQEGQ∴QEGQ54=∴GQ=49EG=89k，MQ=3k+89k=359k∵FQ//ED72 MF MQ FN QE∴==∴FM=72FN7．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD的值．解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，设AP为x，∴PC=4﹣x，CQ=4+x．∵∠BQD=30°，∴CQ=PC．∴4+x=（4﹣x）．解得x=8﹣4．（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P，Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ．∵△ABC是等腰直角三角形，∴可证 PE=QF=AE=BF．在△PDE和△QDF中，，∴△PDE≌△QDF（AAS），∴DE=DF．∴DE=AB．又∵AC=BC=4，∴AB=4，∴DE=2，∴当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．（3）∵AP=x，BD=y，∴AE=x，∵AB=AE+DE+BD，∵4=x+2+y，即y=﹣x+2（0＜x＜4），当△BDQ为等腰三角形时，x=y，∴x=4﹣4，EQP DC BA即BD 的值为4﹣4．8．已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD =45°，求证BD =CE ．证明：∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴∠=∠DBC ． ∵AD =，AF =BD ，∴△FAD ≌△DBC ．∴FD =DC ．…………………………………………2分∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°．即∠CDF =90°． ……………………………………3分 ∴△CDF 是等腰直角三角形．（2）过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DF 、CF ．…………………………4分 ∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴∠FAD =∠DBC ． ∵AD =BC ，AF =BD ，∴△FAD ≌△DBC ． ∴FD =DC ，∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°．即∠CDF =90°．∴△CDF 是等腰直角三角形．………………………………………………………5分 ∴∠FCD =∠APD =45°． ∴FC ∥AE ．∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴AF ∥CE ．∴四边形AFCE 是平行四边形．…………………………………………………6分P ECD图2CAB 图1312F CAB 132FPECB∴AF =CE ．∴BD =CE ．……………………………………………………………………………7分9．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 边上一点，F 是BC 边延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是AC 边的中点，猜想BE 与EF 的数量关系为.（2）如图2，若E 是线段AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（1）答：猜想BE 与EF 的数量关系为：BE=EF ；证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，E 是线段AC 的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE ， ∵AE=CF ，∴CE=CF ，∴∠F=∠CEF ，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°， ∴∠CBE=∠F ，∴BE=EF ；（2）答：猜想BE=EF ．证明如下：如图2，过点E 作EG ∥BC ，交AB 于点G ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ACB=60°，又∵EG ∥BC ，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE 是等边三角形，∴AG=AE ，∴BG=CE ，又∵CF=AE ，∴GE=CF ，在△BGE 与△ECF 中，，∴△BGE ≌△ECF （SAS ），∴BE=EF ；（3）BE=EF ．证明如下：如图3，过点E 作EG ∥BC 交AB 延长线于点G ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ACB=60°，又∵EG ∥BC ，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE 是等边三角形， ∴AG=AE ，∴BG=CE ，又∵CF=AE ，∴GE=CF ，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴在△BGE 与△ECF 中，， ∴△BGE ≌△ECF （SAS ），∴BE=EF ．10．如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是；（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα，A B C EF图1A B CEF图2ABC EF图3①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2（1）BG=AE ．理由：如图1，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴∠ADB=∠ADC=90°． ∵四边形DEFG 是正方形，∴DE=DG ．在△ADE 和△BDG 中，，∴△ADE ≌△BDG （SAS ），∴BG=AE ．故答案为：BG=AE ；（2）①成立BG=AE ．理由：如图2，连接AD ，∵在Rt △BAC 中，D 为斜边BC 中点，∴AD=BD ，AD ⊥BC ， ∴∠ADG+∠GDB=90°． ∵四边形EFGD 为正方形， ∴DE=DG ，且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°， ∴∠BDG=∠ADE ．在△BDG 和△ADE 中，，∴△BDG ≌△ADE（SAS ），∴DG=AE ；②∵BG=AE ，∴当BG 取得最大值时，AE 取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG=AE ． ∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6．在Rt △AEF 中，由勾股定理，得AF==，∴AF=2．11．在△ABC 中，CA ＝CB ，在△AED 中， DA ＝DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上，（1）如图①，若∠ACB ＝∠ADE ＝90°，则CD 与BE 的数量关系是；（2）若∠ACB ＝∠ADE ＝120°，将△AED 绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是；，（3）若∠ACB ＝∠ADE ＝2α（0°< α< 90°），将△AED 绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD 与BE 的数量关系，并加以证明(用含α的式子表示)． FGEDCAB BACDEG FED BAC图①EDBAC 图③解：（1）如图①，作DM∥AB，交BC于点M，∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，∴DE∥BC，∴四边形EBMD是平行四边形，∴DM=BE，∵DM∥AB，∴∠CDM=45°，∴DM=CD，∴BE=CD；故答案为：BE=CD；（2）如图②，∵CA=CB，∠ACB=120°∴∠CAB=∠CBA=30°，∴AB=AC，同理AE=AD ，∴==，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，∴△CAD∽△BAE ，==∴BE=CD；故答案为：BE=CD；（3）BE=2CD•sinα，证明：如图③，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM=AB，AN=AE．∴∠CAD=∠BAE，Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM=，sin∠ADN=，∴，∴，又∵∠CAD=∠BAE，∴△BAE∽△CAD，∴∴BE=2DC•sinα．12．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，求点P运动路线的长．MF DA解：（1）当点E 与点A 重合时，x=0，y=×2×2=2当点E 与点A 不重合时，0＜x≤2 在正方形ABCD 中，∠A=∠ADC=90° ∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF在△AME 和△DMF 中，∴△AME ≌△DMF （ASA ）∴ME=MF在Rt △AME 中，AE=x ，AM=1，ME=∴EF=2ME=2过M 作MN ⊥BC ，垂足为N （如图）则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM ∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠GMN+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN ∴Rt △AME ∽Rt △NMG ∴=，即=∴MG=2ME=2∴y=EF×MG=×2×2=2x 2+2∴y=2x 2+2，其中0≤x≤2；（2）如图，PP′即为P 点运动的距离；在Rt △BMG′中，MG ⊥BG′； ∴∠MBG=∠G′MG=90°﹣∠BMG ； ∴tan ∠MBG==2，∴tan ∠GMG′=tan ∠MBG==2；∴GG′=2MG=4；△MGG′中，P 、P′分别是MG 、MG′的中点，∴PP′是△MGG′的中位线；∴PP′=GG′=2；即：点P 运动路线的长为2．13．将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P .（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是, 位置关系是；（2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；（3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长.解：DBACEDB CABAC（1）BD=EC ，BD ⊥CE ；理由：∵等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置， ∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB=2AD=4，∴D ，E 分别是AB 和AC 的中点，故BD=EC=AD=AE ，BD ⊥CE ；故答案为：BD=EC ，BD ⊥CE ；（2）如图3所示：∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∴AB=AC ，AD=AE ， ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD=∠ACE ，∵∠1=∠2，∴BP ⊥CE ， ∵AD ⊥BP ，∠DAE=90°，AD=AE ，∴四边形ADPE 为正方形，∴AD=PE=2，∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°，∴BD=CE=2，∴CP=CE ﹣PE=2﹣2；（3）如图4，取BC 的中点O ，连接OP 、OA ，∵∠BPC=∠BAC=90°， ∴OP=OA=BC=2，在此旋转过程中（0°≤α≤180°），由（2）知，当α=60°时，∠PBA 最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，∴点P 运动的路线是以O 为圆心，OA 长为半径的+，∴点P 运动的路线长为：L =+=2=×2=π．14．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG .（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE =DG ；（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果α=45°，AB =2，AE =42，求点G 到BE 的距离.A BCD EFG图2A BC D E FG图3GFED CBA 图1（1）证明：如图2，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAE +∠EAD =90°.∵四边形AEFG 是正方形，∴AE=AG ，∠EAD +∠DAG =90°. ∴∠BAE =∠DAG . ∴△ABE ≌△(SAS)ADG .∴BE=DG .（2）解：45°或135°.（3）解：如图3，连接GB 、GE . 由已知α=45°，可知∠BAE =45°.又∵GE 为正方形AEFG 的对角线， ∴∠AEG =45°.∴AB ∥GE . ∵42AE =,∴GE =8，1==162BEG AEGAEFG SSS =正方形.过点B 作BH ⊥AE 于点H .∵AB =2，∴2BH AH ==.∴32HE =. ∴25BE =.设点G 到BE 的距离为h .∴11251622BEGSBE h h =⋅⋅=⨯⨯=.∴1655h =.即点G 到BE 的距离为1655.15．问题：在ABC Δ中，，∠A=100°，BD 为∠B 的平分线，探究AD 、BD 、BC 之间的数量关系.请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD 、BD 、BC 之间的数量关系为.（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后，可进一步推出∠ABD=∠DBC=度. （3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC 上截取BE=BD ，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.（1）AD+BD=BC ；（2）∵AB=AC ，∠A=100°∴∠ABC=∠C=40° ∵BD 为∠B 的平分线，∴∠ABD=∠DBC=20°；（3）在BC 上截取BF=BA ，连接DF ，在BC 上截取BE=BD ，连接DE ，D CB A 图3GFE D CBA H∵BD为∠B的平分线，∴∠ABD=∠DBC．∴在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD．∵∠A=100°，∴∠DFB=∠A=100°，∴∠DFC=80°，∵BE=BD，∠DBC=20°，∴∠BED=∠BDE=80°，∠DFE=∠FED．∴DF=DE．∵∠FED=80°，∠C=40°，∴∠EDC=40°．∴∠EDC=∠C．∴DE=EC．∴AD=EC．∴AD+BD=BC．16．在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D．（1）如图1，请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系: AD=BC；（2）如图2，若P是线段BC上一个动点（点P不与点B、C重合），联结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，联结CE，猜想线段AD、CE、PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点P是线段BC延长线上一个动点，（2）中的其他条件不变，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD、CE、PC之间的数量关系．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵AD⊥BC于点D，∴BD=BC，在RT△ADB中，AD=BD，∴AD=BC，故答案为：．（2）如图2，AD=（CE+PC）．理由如下：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，∴∠PAE=60°，AP=AE，∵等边三角形ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，在△ABP和△ACE中，，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP=CE，∵BP+PC=BC，∴CE+PC=BC，∵AD=BC，∴AD=（CE+PC）．（3）如图3，AD=（CE﹣PC）．理由如下：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，∴∠PAE=60°，AP=AE，∵等边三角形ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC ∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，在△ABP和△ACE中，，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP=CE，∵BP﹣PC=BC，∴CE﹣PC=BC，∵AD=BC，∴AD=（CE﹣PC）．。

人教版九年级数学上册圆几何综合专题练习(word版

人教版九年级数学上册圆几何综合专题练习（word 版一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．（1）求证：△ABD ≌△AFE（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24S DE π=，所以利用二次函数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°， ∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE ， ∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ；（2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB =， ∴BF=2cos cos45AB ABF =∠=8，设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，∵BE 2=EF 2+BF 2， 82＜BE ≤413 ，∴128＜EF 2+82≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12，则()222844S DE x x ππ⎡⎤==+-⎣⎦=()2482x ππ-+，∵2π＞0， ∴抛物线的开口向上，又∵对称轴为直线x=4，∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大， ∴16π＜S ≤40π．点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.2．在△ABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN∥BC 交AC 于点N ．（1）如图1，把△AMN 沿直线MN 折叠得到△PMN，设AM=x ． i ．若点P 正好在边BC 上，求x 的值；ii ．在M 的运动过程中，记△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值．（2）如图2，以MN 为直径作⊙O，并在⊙O 内作内接矩形AMQN ．试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i ．当x=2时，点P 恰好落在边BC 上；ii ． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O 与直线BC 相切；当x ＜时，⊙O 与直线BC 相离；x ＞时，⊙O 与直线BC 相交．考点：圆的综合题．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示）（2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；（3）在点P ，Q 整个运动过程中，①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10433与△ABC 的边相切．②点F 1136572【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，推出3cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题．试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯===，3tan30(2)EP AP m =⋅=+⋅， 533(2)m ∴=+⋅，∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin60OB ON ==3103AO ∴=- 4312AP ∴=-43212m ∴+= 4310m ∴= 综上所述,当m =1或4或3103-时，O 与△ABC 的边相切。

初三数学几何综合题专题复习练习.docx

初三数学几何综合题专题复习练习—、几何综合题特点：解证几何综合问题：就是从逻辑推理和定量计算的角度来探求新的、未知的结论.通俗地讲就是创造条件实现由已知向未知的转化.综合题是知识、方法、能力综合型试题，具有知识容量大、解题方法活、能力要求高、突现数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点.纯几何综合题包括:1.利用圆的知识可以隐含三角形，形成与直角三角形结合的问题，其中包括求线段长、求角度、求阴影部分的面积以及图形面积问题（不能排除直线形问题）2.图形变换问题：这是一个独立形成综合题问题的知识点.几何综合题以几何图形的位置, 元素之间的关系为核心.以直线或者圆为支撑点，包括多个知识点，多种解题思想方法，多步骤等特点，多为探讨几何本质：研究平面几何图形在运动变化过程中的不变性质和不变量，或者变化规律的问题.二、中考对几何综合题的考查方面：连续运动变化过程中，不变结论或者变化规律的探究，特定状态的定量计算;点的轨迹特征.三、常见几何综合题的入手点：1.题目的背景都是几何变换，而且不止是一种变换2.考察学生根据文字描述准确作图的能力3.采用“问题探究一问题解决”的模式展开问题，立意新颖，构思巧妙,设问起点低,坡度大，难点分散，各小题之间承接性强，层层深入，第一问到第二问按特殊到一般的思想融入，入手自然，深入不难4.多以常见的全等结构为基础加以变化、引申呈现出题目，多有一定的新颖性和探究性，往往需要转化或还原成一些基本图形，所得图形都是学生做过多次、教师重点讲解过的基本图形。

探究性体现出“去模式化”的命题思路，转化和还原的基本图形和基本结构则是“模式化'的四、在解决此类问题时，往往需要把握以下几点：1.变换工具的运用；2.求解工具的运用；3作图工具的运用；4.分类讨论的意识；5.轨迹的意识；6.模型的意识；五、分析什么？怎么分析符合学生的认知规律？1.还原图形的生成过程，分步画图2.确定每步的结论以及相应的可用的方法3.判断图形或图形的元素是否需要移动六、复习建议:随时总结、熟练掌握一些典型图形及常用辅助线的作法及其作用；1.提高根据文字描述准确作图的能力，加强作图的意识2.—题多解，多题归一，体会将数学问题分解、类比、转化、及运动变化的思维过程3.引导学生挖掘各小问之间的联系，寻找解题思路4.不过度搜寻难题，给学生建立解题信心5.对几何证明的常规思路、通法进行总结七、几何中常见的辅助线做法：1构造有角平分线、平行线、等腰三角形共存的图形2.截长补短，证线段的和、差、倍、分3.构造三角形中位线4.三角形中有中线(或一边上有中点)，构造“8”字型全等5作平行线，构造相似形6.作垂线，构造直角三角形、全等三角形或相似形7.在角平分线、线段垂直平分线的两侧构造轴对称(或利用等腰三角形、菱形、正方形的轴对称性)&图中有有公共端点的等线段时，构造旋转图形9.平移线段，构造全等三角形、构造相似形10.构造辅助圆八、举例说明常见的几何背景:_、以四边形为背景的几何综合题(-)四边形+旋转1.四边形如CD是正方形将线段CD绕点C逆时针旋转2仁(0。

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练(含答案)

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练1、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF=BE ，BE 与CD 交于点G（1）求证：BD ∥EF ；（2）若=，BE=4，求EC 的长．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E .点M 是线段AD 上的动点，连接BM 并延长分别交DE ，AC 于点F ，G .(1)求CD 的长；(2)若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值；(3)请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得∠CPG ＝60°？3、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△AC D∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．4、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．6、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G.(1)猜想并证明线段FG与CG的数量关系；(2)若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段FG与CG之间的数量关系是否改变？请证明你的结论；(3)若将图①中的正方形改成平行四边形，其他条件不变，如图③，那么线段FG与CG 之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论．7、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．8、如图，□A BCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。

九年级数学几何综合专项测试(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：举例说明几何综合中常见的结构以及思考角度有哪些？问题2：中点的思考角度有哪些？几何综合专项测试一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB 中点．在AC上存在一点M使EM+MN的值最小，则EM+MN的最小值为( )A.6B.8C.4D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路线问题2.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕GF，若GF的长为13cm，则线段CE的长为( )cm．A.6B.7C.8D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）3.如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，分别记作△ABC与．现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板的斜边上．若∠A=30°，AC=10，则此时两直角顶点之间的距离是( )A.4B.5C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质4.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF=52°，则∠B=( )A.52°B.54°C.72°D.76°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类倍长中线5.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标是(0，2)，顶点B在x轴负半轴上，对角线AC，BD相交于点M，，则点D的坐标是( )A.(-2，6)B.(-3，5)C.(-5，2)D.(-6，4)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型6.如图，已知正方形ABCD的周长为24，△BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE，BF交于点G，连接CG，则CG的长为( )A. B. C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三线合一7.如图1，等边△ABD和等边△BCD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到的位置得到图2，则图中阴影部分的周长为( )A.1B.2C.2.5D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质8.如图，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一块直角三角板的直角顶点放在点M处，并将此三角板绕点M旋转，三角板的两直角边与边OP，OQ分别交于点A，B，连接AB．则在旋转三角板的过程中，△AOB周长的最小值为( )A. B.C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜直角的处理思路（斜转直）。

初三数学几何综合练习题(20200702182437)

初三数学几何综合练习题1.在AABC中，ZC=90°, AC=BC,占D在射线BC上(不与点B、C战合)，连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90。

得至l]DE,连接BE(1)如图1,点D在BC边上.①依题意补全图1:②作DF丄BC交AB于点F,若AC=8, DF=3,求BE的长：(2)如图2,点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数最关系(直接写出结论).2.已知：RtAAEC'和RtZkABC 重合，ZA'CB=ZACB=90。

，ZBA'C'=ZBAC=30。

，现将RtZk ABC'绕点B 按逆时针方向旋转角a (60・WaW90。

)，设旋转过程中射线CTC和线段AA，相交于点D,连接BD・(1)当0=60。

时，AE过点C,如图1所示，判断BD和A'A之间的位盘关系，不必证明：(2)当《=90。

时，在图2中依题意补全图形，并猜想(1)中的结论是否仍然成立，不必证明：(3)如图3,对旋转角承60*<a<90*),猜想(1)中的结论是否仍然成立：若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由.3.如图1,已知线段BC=2,点8关于直线AC的对称点是点D,点E为射线C&上一点，且ED=BD,连接DE, BE.(1)依题总补全图九并证明：ABDE为等边三角形：(2)若Z4C8=45°，点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD、FB^^CDE绕点D顺时针旋转a度(0。

VaV360。

)得到△ C DE，点E的对应点为F,点C的对应点为点U・①如图2,肖Q=30。

时，连接BCl证明：EF=BC ；②如图3,点M为DC中点，点P为线段C E ±的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围?图14. (1)如图1,在四边形ABCD 中，AB=BC> ZABC=80° , ZA±ZC=180°,点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40。

(完整版)中考数学几何综合压轴题初三难题训练(真题附答案)

中考数学几何综合压轴题初三难题训练1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交于点G ， H ，则-EF 的值是（）GHA.——B. 2C. . 3D. 222.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（）D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 .A. D.3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点,6Di到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线；(2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长.5. (2016岳阳中考)数学活动旋转变换(1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求ABB 的大小；(2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆.(I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度；(3)如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将VABC 绕点 C 逆180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半与角满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件下线段AB 的长度(结果用角或角的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示)时针旋转2角度0° 2径作圆，问：角6. (2016成都中考)如图，在RtVABC中，ABC 90°，以CB为半径作eC，交AC于点D，交AC 的延长线于点E，连接BD , BE .(1)求证：VABD s VAEB ;AB 4(2)当一—时，求tanE ；BC 3BE父于点F .(3 )在(2 )的条件下，作BAC的平分线，与7. （2016苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s）（0 t 8）•3（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC时，t的值为.（2）如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3,在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由.8. （2015扬州中考）如图，已知 eO 的直径AB 12cm , AC 是eO 的弦，过点延长线于点P ，连接BC •（1）求证： PCA B ；（2）已知 P 400 ,点Q 在优弧ABC 上，从点A 开始逆时针运动到点重合），当VABQ 与VABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长.C 作eO 的切线交BA 的C 停止（点Q 与点C 不9. （ 2015大庆中考）如图，四边形ABCD 内接于eO ,ADPBC P 为BD 上一点，APB BAD . (1) 证明：AB CD ;(2) 证明：DP BD AD BC ； (3) 证明：BD 2 AB 2 AD BC .10. （2015武汉中考）如图，AB是eO的直径，ABT 4^ , AT AB •（1）求证：AT是eO的切线；（2）连接OT交e O于点C，连接AC，求tan TAC的值.11. （2016随州中考）如图，AB是eO的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD OA交弦AB 于点E，连接BD，且DE DB •（1）判断BD与eO的位置关系，并说明理由；5(2)若CD 15 , BE 10 , ta nA -，求eO 的直径.1212. (2015德州中考)如图，eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60°•(1) 判断VABC的形状：；(2) 试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3) 当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.13. (2016淮安中考)问题背景：如图1，在四边形 ADBC 中， ACB形，所以CE . 2CD ，从而得出结论：AC BC . 2CD •(1) 简单应用：在图1中，若AC 2 , BC 2 2，则CD •(2) 如图3, AB 是eO 的直径，点 C 、D 在e 上，AD BD ，若AB 13, BC 12，求CD 的长. (3) 拓展规律：如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD ，若 AC m , BC n m n ，求 CD 的长(用含m , n 的代数式表示)1(4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P 为AB 的中点，若点E 满足AE 1AC ,3CE CA ，点Q 为AE 的中点，则线段 PQ 与AC 的数量关系是.ADB 90° , A D BD ，探究线段 AC,BC,CD 之间的数量关系•小吴同学探究此问题的思路是：将 VBCD 绕点D ，逆时针旋转 90°到 VAED 处，点 B,C 分别落在点 A,E 处(如图2)，易证点 C,A,E 在同一条直线上，并且VCDE 是等腰直角三角li14. (2015宜昌中考)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC , BD相交于点E , F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作eO，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I , H两占八、、♦(1)求FDE的度数；(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；(3)当G为线段DC的中点时，(i)求证：FD FI ;(ii)设AC 2m, BD 2n，求eO的面积与菱形ABCD的面积之比.15. （2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C , D两点，CD 2 , DAB 30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q .（1）当点P运动到使Q , C两点重合时（如图1），求AP的长;（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使VCQD的面积为丄?（直接写出答案）21（3）当使VCQD的面积为丄，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD时（如图2）,2求AP的长.第11页（共29页）第12页(共29页)第一部分 1.C【解析】如图，连接 AC 、BD 、OF ,其中AC 与EF 交于点I . QAO 是EAF 的角平分线,OAF 60o 2 30o .QOA OF ,OFA OAF 30° ,COF 60° ,BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2竺3 3 .GH r作 DAB 1与 AB 1C 1的角平分线交于点 O ，过O 作OF AB 1 , 则 OAF 30° , AB 1O 4^ ,答案EF 3 o r 2 23r . QAO 2OI ,OI -r , CI 21 r r2 FI r sin60°GH CI 11 r , 22.B 【解析】设eO 的半径为r ,则 OF r ，第13页（共29页）故B i FOF 〔OA , 2 设B i Fx , 则AF ：丄3 x , 故 3 2 x 2 2 x 2 2x ,解得x3 -，负值舍去. 2 四边形AB iE D 的内切圆半径为宁-第二部分3. n 1二2 2 2 【解析】连接0C ，过C 点作CF OA 于F •Q 半径OA 2cm , C 为A B 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点, OD OE 1cm , OC 2cm , AOC 4^ •CF . 2 • 鸟白图形ACDS 扇形OACS VOCD 2 45 n 221 2 1 23601 n2 2 cm . 2 2Q S VODE 〔OD 2 1 OE cm 2 2S 阴影S 扇形OAB S 空白图形ACD S VODE90 n 221 2 1—n ------ —360 2 2 21 —n _! 12 cm . 2 2 2第三部分4. (1)如图，连接OB .第14页(共29页)QBD BC ,CAB BAD .Q EBD CAB ,BAD EBD .QAD 是eO 的直径，ABD 90o , OA BO .BAD ABO .EBD ABO .OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°.Q 点B 在e O 上，BE 是eO 的切线.(2)如图，设圆的半径为 R ，连接CD .QAD 为eO 的直径，ACCD 90° .QBC BD ,OB CD .OB PAC .QOA OD ,1 5 OF AC .2 2Q 四边形ACBD 是圆内接四边形,BDE ACB .Q DBE ACB ,VDBE s VCAB . DB DEAC BC .3DE 5 3 .DEQ OBE OFD 90 ,DF PBE .QR 0 ,R 3.QBE 是eO 的切线,5. (1)如图①中， QVA BC 是由VABC 旋转得到，ABC ABC 130°，CB CBCBB CBB ，Q BCB 50o ，CBB CB B 650，ABB ABC BB C 65° .(2 )(1)结论：直线 BB ，是e A 的切线. 理由：如图②中，150°,CB CB ,Q ABC ABC CBB CBB ,Q BCB 60° ,CBB CB B 60° ,ABB ABC BBC 90° .AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.(H) Q 在 RtVABB 中，Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3,AB AB 2 BB 2 34 .(3 )如图③中，当 180°时，直线BB ，是e A 的切线理由：Q ABC ABC ,CB CB ,OF OB ODOEBE JDE AE * 2 3 3\5 5 3 115(3)解法一：在 RtVABC 中, -AC 2 BG -AB 2 11BG 即 5x BG 4x 3x ，解得BG 2 2 12 x . 590°.AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.在VCBB 中QCB CB n , BCB 2 ,BB 2 nsin ,在 RtVA BB 中,AB . BB 2 AB 2 ,m 2 4n 2si n 26. (1) QDE 为e C 的直径，DBE 90° . 又 Q ABC 90° ,DBE DBC 90° , CBE DBC 90° ,ABD CBE .又QCB CE ,CBE E , ABD E .又 Q BAD EAB ,VABD ^VAEB .(2 )由(1)知，VABD s VAEB 在 RtVDBE 中,BD 1 tanEBE 2CBB CBB ,Q BCB 2 ,CBB ABB CB B 180° 2-------------? 2ABC BBC90°180° 90°BD BE ABAEABQ - BC设 AB 4x ，贝U CE 在 RtVABC 中，AB CB 3x .5x ,AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x8xQAF 是 BAC 的平分线, BF AB 4x 1 FHEF 2BG BE 32 2 12 8FH BG一x x3 3 5 5 1又 Qta nE2EH 2FH 16 x ,5AM AE EM24 x ・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF 1 2 3即 224 x5e C 的半径是3xQAF 平分 BAC ， FE AE 8x 2AE 于 H , 【解析】解法二：如图 2过点A 作EB 延长线的垂线，垂足为点在 VBAE 中，有 1 2 3 E 180°90° 90° , 4 2 E 45 ,VGAF 为等腰直角三角形8.5 L ，AFeC 的半径是NG BN a ，CG 3 a ，4 NC BC 9 a，4BH 9a， 5AB 3a ， AC AG 3a ，tan NAC NG AG sin NAC 10105a ，4 15 a，4 13由( 2) 可知, AE 8x , tanEAG AE 于点M ，解法三:AE 于点G ，FM BAC 的平分线,QAF 是AE 10 .在 RtVDBE 中,设 BP 4t ，则 PQ 3t , BQ 5t .Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD .CQ PQ 3t .QCQ 8 5t.3t 8 5t ，即 t 1.(2)如图，过点M 作ME BC 于点E .在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE2 10 QBH a,5 EH 18 a, 5 DE 9 a ,2 DC 9 a ,4 AD 3 a,2 又QAE DE3 a 2 9 a2 9a,10 106DC 3.1087. (1)【解析】由题意可VBPQ s VBCD .DH AE10 ,a在 RtVABD 中，AB 6cm , AD 8cm ,BD 10cm .由 BPQ BCD , QBP DBC ，得 VPBQ ^VCBD .PB PQ BQBC CD BD .Q PB 4t ,PQ 3t , BQ 5t .Q MQ MC ,1 1 QE CE —QC - 8 5t2 2Q VMEQ s VDCB , EQ BCMQ BD1 -8 5t 23t40t 49(3)如图1，设QM 所在直线交CD 于点F . ① Q VQCF s VBCD , CF CDCQ CB CF 68 5t 8E15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ，即点O 始终在QM 所在直线的左侧.②如图，设MQ与eO相切时，切点我G，连接OG ,OG BCOF BD，0.88吗3t 10，4丄4t3当t -时，正方形PQMN的边长为3解法一：连接MO并延长交PQ于点贝U VMOG s VMHQ ,OG MGHQ MQ，260.815HQ4，HQ241328PH13 °HK14 213HK HQ .点O不在PMQ的平分线上，当QM1与eO相切时，PM与eO【解析】解法二：连接OM , OP ,Q SVMPQ SVMOQ S VPOQ S VPOM ，则VOGF s VBCD ,534 , QF-,FG3 5 .H，过点H作HK PM于点K不相切.OQ，设点O到MP的距离为h ,1 4 0.8 1 344142 h 8 .2 2 152h7 20.8 .15当QM与eO相切时，PM与eO不相切QAB是eO的直径，ACB 1 2 90o,又PC是eO的切线，PCO PCA 1 90°,2 PCA.又OC OB .2 B,PCA B .(2) Q P 40°,AOC 50°.QAB 12，AO 6 .AOQ 130°时，VABQ与VABC的面积相等,优弧ABQ所对的圆心角为230°时，VABQ与VABC的面积相等,13n31803180当BOQ 50°时，即9. (1) Q AD PBC ,ADB DBC ,AB DC ,AB CD .(2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBBCD APD ,Q ADB CBD .VADPWDBC ,AD DPBD BC ，DP BD AD BC .QBD 2DE 2 BE 2, DE 2 CD 2 CE 2 ,2 BD 2CD 2 BE 2 CE 2AB 2 BE CE BE CEAB 2 AD BC.10. (1) QAB AT ,ATB B 45°.BAT 90° .AT 是eO 的切线.(2 )设eO 半径为r ，延长TO 交eO 于D ，连接AD .点Q 所经过的弧长 230 n 6 180 23 n3AAPD 180° , (3)如图，过点D 作DE BC 交BC 于E .QCD是直径，CAD BAT 90°.TAC OAD D . 又ATC DTA,VTAC s VTDA.TA TCTD AT .TA2TC TD , 即4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1r.tan TAC tan DACADTCAT.5 1 r2r51211. (1)连接OB .QOB OA, DE DB ,A OBA, DEB ABD.QCD OA,A AEC A DEB 90°,OBA ABD 90°,OB BD ,BD是eO的切线；(2)如图，过点D作DG BE于G .QDE DB,1EG -BE 5,2GDE A,VACE s VDGE,QVACE s VDGE12. (1)等边三角形(2) PA PB PC .证明：如图，在PC上截取PD PA，连接AD .PA AD , PAD 60o.Q BAC 60o,PAB DAC .Q APC 60o,VPAD是等边三角形.Q ACE DGE 90°, AEC GED ,tan EDG tanAEGDG5—，即DG 12 .12在RtVEDG 中，DE .DG2 EG213. QCD 15, DECE 2 .13 ,ACDGCEGE，AC CE DGGE245e O的直径2OA 4AD96QAB AC ,VPAB 也VDAC .PB DC .QPD DC PC ,PA PB PC .(3)当点P 为A B 的中点时，四边形 APBC 面积最大.理由如下：如图，过点 P 作PE AB ，垂足为E , 过点C 作CF AB ，垂足为F ，四边形APBC 面积最大. Qe O 的半径为1,其内接正三角形的边长AB 31S 四边形APBC 匚 2 32 3 . 13. (1) CD 3(2)连接 AC 、BD 、AD ,Q AB 是eO 的直径，ADB ACB 90° ,Q A D B D ,AD BD ,将VBCD 绕点D ，逆时针旋转90°到VAED 处，如图3 ,EADDBC , Q DBCDAC 180° , EADDAC 180° , E 、A 、C 三点共线，Q AB 13,BC 12,由勾股定理可求得： AC 5 ,Q BC AE ,CE AE AC 17,2 AB PE ，S VABC 1AB CF . 2S 四边形APBC 1 — AB PE 2 Q 当点P 为A B 的中点时, CF . PE CF PC , PC 为eO 直径, Q S VPABQ EDA CDB ,EDA ADC CDB ADC ,即 EDCADB 90° ,Q CD ED , VEDC 是等腰直角三角形，CE 2CD ,17近 CD 2(3)以AB 为直径作eO ,连接OD 并延长交eO 于点D 1 , 连接D 1A ，D 1B ， D 1C ，如图D 1C又Q 0D 是eO 的直径,DCD 1 90o ,Q AC m ， BC n由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB2 n22PQ = -^」AC • 614.( 1)QEF 为eO 的直径,FDE 90° .(2)四边形FACD 为平行四边形•理由如下:QABCD 为菱形，AB PCD , AC BD ,AEB 90° • 又 FDE 90o ,AC PFD •四边形FACD 为平行四边形.(3)(i )如图，连接GE •由(2)的证明过程可知： ACBC ■ 2D 1C ，ABm 2 2 Q D 1C 2 CD 2 2 D 1D 2CD m 2 n 2CD (4)Q 在RtVDEC 中，G 为CD 的中点,EG DG ,弧DG 弧EG ,1 2.又EF 为eO 的直径,FGE 90° ,FG EG .QG 为DC 中点，E 为AC 中点,GE 为VDAC 的中位线，EG PAD . FGADF l HDFHI 90o . 1 3 24 90o , 3 4 ,FD FI .(ii ) Q 菱形ABCD , AE CE m , BE DE nQ 四边形FACD 为平行四边形,FD AC 2m FIQ FD PAC , 3 8 .又34 7, 78 , EI EA m . 在 RtVFDE 中，FE 2 FD 2 DE 2 ,3m $ 2m $ n 2，解得，n 5m .2 3m9 2 1 S eo n 测，S 菱形ABCD — 2m 2n 2mn 2 4 2 S e O : S 菱形ABCD 9 n m 2:2 5m 2葺5. 4 4015. (1) QAB 是圆O 的切线，OBA 90o .2 5m 2 ,QRtVOBA中，CD 2, DAB 30°,OB 1 ,OB OC AC 1 .Q当点P , C运动到Q , C两点重合时,PC为圆O的切线，PCA 90°,Q DAB 30°, AC 1 ,AP -A/3•3(2)有4个位置使VCQD的面积为-•21【解析】由于CD的长度2，而S VCQD1, 故CD上的高的长度为-，从而如下图，我们可得到答案.2(3)过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点M •QNQCD是圆O的直径,CQD 90°• 易证VQCN s VDQN •QN CNDN QNQN2 CN DN .1x 2 x4解得X i 2 3, x22QCQ QD ,CNCNQN易证VPMC s VQNC .易得列空2 3MP QNCM 2 3 MP .在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1,2,3 MP . 3MP 1 ,MP 3 14 ，薦1AP2MP21 2.又QCB CE,3 E .。

2024年北京初三九年级上学期数学期末考《几何综合》

2024年1月九上期末——几何综合1.【东城】27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC；（2）当BD≠CD时(图2中BD＜CD，图3中BD>CD)，F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE的大小，并证明．2.【西城】27．在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CM AB ⊥于点M ．点P 在射线CM 上，连接AP ，作CD AP ⊥于点D ．连接MD ，作CE MD ⊥于点E ，作//DF AB 交直线CE 于点F ，连接MF ．图1图2备用图（1）当点P 在线段CM 上时，在图1中补全图形，并直接写出ADM ∠的度数；（2）当点P 在线段CM 的延长线上时，利用图2探究线段DF 与AM 之间的数量关系，并证明；（3）取线段MF 的中点K ，连接BK ，若8AC =，直接写出线段BK 的长的最小值．3.【海淀】27.如图，在ABC △中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，连接DE ，EDC B ∠∠=.（1）求证：ED EC =；（2）连接BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF .①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，求BAC ∠的大小.4.【朝阳】27．已知线段AB 和点C ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD ，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°-α，得到线段BE ，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF ，BF .（1）如图1，点C 在线段AB 上，依题意补全图1，直接写出∠AFB 的度数；（2）如图2，点C 在线段AB 的上方，写出一个α的度数，使得3AF =成立，并证明.图1图25.【石景山】27．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，60BAC ∠=°．D 是边BA 上一点（不与点B 重合且12BD BA <），将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，连接DE ，AE ．（1）求CAE ∠的度数；（2）F 是DE 的中点，连接AF 并延长，交CD 的延长线于点G ，依题意补全图形．若G ACE ∠=∠，用等式表示线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．6.【丰台】27．已知在△ABC中，AB=AC，0°<∠BAC<90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD，连接ＢD，CD．（1）如图1，当∠BAC=α时，∠ＡBD=（用含有α的式子表示）；（2）如图2，当α=90°时，连接BD，作∠BAD的角平分线交BC的延长线于点F，交BD于点E，连接DF．①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC的度数；②用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．7.【昌平】27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点M为BC的中点，连接AM，点D为线段CM上一动点，过点D作DE⊥BC，且DE=DM，（点E在BC的上方），连接AE，过点E作AE的垂线交BC边于点F.（1）如图1，当点D为CM的中点时，①依题意补全图形；②直接写出BF和DE的数量关系为______________；（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段BF与DE之间的数量关系，并证明.图1图227题图127题图28.【通州】27．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在AB 的延长线上，取AD 的中点F ，连结CD 、CF ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CE ，连结AE 、BE ．（1）依题意，请补全图形；（2）判断BE 、CF 的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．9.【房山】27.如图，在等边三角形ABC 中，E ，F 分别是BC ，AC 上的点，且BE CF =，AE ，BF 交于点G .（1）AGF ∠=°；（2）过点A 作AD ∥BC （点D 在AE 的右侧），且AD BC =，连接DG .①依题意补全图形；②用等式表示线段AG ，BG 与DG 的数量关系，并证明.10.【大兴】27.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P为BA的延长线上一点,连接PC,以点P为中心,将线段PC顺时针旋转90°得到线段PD,连接BD.(1)依题意补全图形;(2)求证:∠ACP=∠DPB;(3)用等式表示线段BC,BP,BD之间的数量关系,并证明.11.【门头沟】27.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C在△ABC外作射线CP，且∠ACP=α，点A关于CP的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CP于点M，N.（1）依题意补全图形；（2）当α=30°时，直接写出∠CNB的度数；（3）当0°<α<45°时，用等式表示线段BN，CM之间的数量关系，并证明．12.【燕山】27．如图，△ABC为等边三角形，点M为AB边上一点(不与点A，B重合)，连接CM，过点A作AD⊥CM于点D，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE．(1)依题意补全图形，直接写出∠AEB的大小，并证明；(2)连接ED并延长交BC于点F，用等式表示BF与FC的数量关系，并证明．13.【顺义】27．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．14.【密云】27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE、BE．（1）依据题意，补全图形；（2）直接写出∠A C E+∠B C D的度数；（3）若点F为BD中点，连接CF交AE于点P，用等式表示线段A E与CF之间的数量关系，并证明．15.【平谷】27.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D为AB边中点，E为△ABC外部射线CD上一点，连接AE，过C作CF⊥AE于F.（1）依题意补全图形，（2）找出图中与∠EAD相等的角，并证明；（3）连接DF，猜想∠CFD的度数，并证明.。

【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)

代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。

例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。

关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。

练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。

（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

初三数学几何综合-中考必做题(详解版)

中，点是边的中点，延长至点，使
，连接
，．将
绕点按顺时针方向旋转．当点恰好落在上的点处时，连接、
、，则的长是
．
答案
解析如图，过作
于，过作
于，过作
．
∵
，
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
由勾股定理得：
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
由旋转得
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，交于，交于
和
，连接、，与的延长线交于点，下列结论：①
；②
；③
是
的中线；④
，其中，正确结论的个数是（）．
A.
B.
答案 A
解析在正方形
和
中，
C.
，
，
D. ，
∴
，
即
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，（故①正确）；
设、相交于点，
∵
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，（故②正确）；
过点作
的延长线于，过点作
于，
∵
，
∴
圆圆的基础知识圆心角、弧、弦的关系
，不一定成立，因此④不正确．
10
如图，已知是⊙ 的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

几何综合压轴问题专项练习答案（40题）(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2），求MN 【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 解；（2）过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得进而可得1CP =，勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ，即可求解．【详解】（1）解：依题意，112CM DE ==，12CN AB =当M 在NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为（2）解：如图所示，过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒，∵45BCN ECM ∠=∠=︒，∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒，∴30CNP ∠=︒，∴112CP CN ==，在Rt CNP 中，2NP NC =-在Rt MNP △中，MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含(1)如图1，求证：DE BF =；(2)如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD ===，设BE a =，则CH EH ==(1)如图1，求AB边上的高CH的长．''．(2)P是边AB上的一动点，点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．△是直角三角形时，求BP的长．②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明ABE ≅△可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明2DE BD =，证明2AB BC =，ABE CBD ∠=∠，可得②AD DF BD=+．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，=．∴DF DC=，∵AE CD∴AE DF=．∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴2DE BD =．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用：如图2Y是菱形；①求证：ABCD②延长BC至点E，连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==，∴115222CG BC AD ===，∴552OF GC ．处从由60PC P C PCP ''=∠=︒，，可知PCP '△为①三角形，故PP PC '=，又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥，由②可知，当B ，P ，P '，A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值，如图2，最小值为(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知4km 23km AC BC ==，，建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示）∵ACP A CP ''∠=∠，∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H ，∵60ACB ∠=︒，90ACA '∠=︒，∴30A CH '∠=︒，1猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，（2）AQ CP =，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，∴90MPN ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF=作PM AB⊥于点M，则QM MB=，∴QA BE=．∴AQ CP（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF 满足0360α︒<<︒，点,,C E F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）1MN AC =；MN AC ∥；（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒；（2）CD∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==；BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时，2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2,2BE AE ==在Rt ADN △中，22AD DN AN =+∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=︒-，∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN ≌，MBE NBF α∠=∠=，∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-，∵点,,C E F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴,,,A B E C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒；如图所示，当F 在EC 上时，∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形，90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当1m =时，直接写出AD ，BE 的位置关系：____________；(2)如图2，当1m ≠时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时，将CDE 绕点C 旋转，使,,A D E 三点恰好在同一直线上，求（2）解：成立；理由如下：∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+（3）解：当点E 在线段AD设AD y =，则AE AD DE =+根据解析（2）可知，DCA △∴3BE BC m AD AC===，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．(1)若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；(2)如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，（2）如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B '处，若24,6BC CE AB ⋅==，求BE 的值；（3）如图③，在ABC 中，45,BAC AD BC ∠=︒⊥，垂足为点,10,D AD AE ==于点F ，连接DF ，且满足2DFE DAC ∠=∠，直接写出53BD EF +的值．∵EF BC ∥，∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠，又∵DH DH =，CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．13．（2023·湖南郴州·=，连接点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4AB=，若AEB DEB∠=∠，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)1CF BD=，理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ==，∵AD CE =，AD AB AG AC -=-∴DG CE =，BD CG =，于点由①知：ADG △为等边三角形，∵ABC 为等边三角形，∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=，(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当90FEC ∠=︒时，求证：AEF DCE ∽△△；②如图2，当2tan 3FCE ∠=时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当1,sin 3GE DE FCE =∠=时，求证：，可得结论；正方形ABCD 中，①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠，延长DA ，CF 交于点G ，作GH CE ⊥，垂足为H ，90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BE CE 的值．故答案为：45︒．（2）解：在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠，ABC AEF22⎝⎭（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为∠=∠=︒∠=∠．将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．∠①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE=，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；∠（2）①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形E ，连接AE ，直线AE 交直线(1)如图1，若25CDP ∠=︒，则DAF ∠=___________(2)如图1，请探究线段CD ，EF ，AF 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP 绕点D 转动的过程中，设AF a =，EF 【答案】(1)20︒。

中考数学复习课件练习：专题复习六几何综合题有答案

中考数学复习课件+练习：专题复习(六) 几何综合题（有答案）专题复习(六)几何综合题类型1类比探究的几何综合题1．(2019·岳阳)问题背景：已知∠EDF的顶点D 在△ABC的边AB所在直线上(不与A，B重合)．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N.记△ADM的面积为S1，△BND 的面积为S2.(1)初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD ＝2时，则S1·S2＝12；(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D沿AB平移，使AD＝4，再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置，求S1·S2的值；(3)延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α.(Ⅰ)如图3，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1·S2的表达式(结果用a，b和α的三角函数表示)；(Ⅱ)如图4，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．解：(1)在图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC＝6，∠A＝∠B＝60°. ∵DE∥BC，∠EDF＝∠A＝60°，∴∠BND＝∠EDF＝60°.∴∠BDN＝∠ADM＝60°.∴△ADM，△BDN都是等边三角形．∴S1＝34×22＝3，S2＝34×42＝4 3.∴S1S2＝12.(2)在图2中，设AM＝x，BN＝y.∵∠MDB＝∠MDN＋∠NDB＝∠A＋∠AMD，∠MDN＝∠A，∴∠AMD＝∠NDB.∵∠A＝∠B，∴△AMD∽△BDN.∴AMBD＝ADBN.∴x2＝4y.∴xy＝8.∵S1＝12AD·AM sin60°＝3x，S2＝12DB·BN sin60°＝32y，∴S 1S 2＝3x·32y ＝32xy ＝12. (3)(Ⅰ)在图3中，设AM ＝x ，BN ＝y ，同法可证△AMD ∽△BDN ，可得xy ＝ab.∵S 1＝12AD·AM sin α＝12ax sin α， S 2＝12DB·BN sin α＝12by sin α， ∴S 1S 2＝14(ab)2sin 2α. (Ⅱ)在图4中，设AM ＝x ，BN ＝y ，同法可证△AMD ∽△BDN ，可得xy ＝ab ，∵S 1＝12AD·AM sin α＝12ax sin α， S 2＝12DB·BN sin α＝12by sin α， ∴S 1S 2＝14(ab)2sin 2α. 2．(2019·自贡)如图，已知∠AOB ＝60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA ，OB 相交于点D ，E.(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OE＋OD与OC的数量关系，并说明理由；(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．图1图2图3解：(1)∵OM是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB＝30°.∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°.∴∠OCD＝60°.∴∠OCE＝∠DCE－∠OCD＝60°.在Rt△OCD中，OD＝OC·cos30°＝32OC，同理，OE＝32OC.∴OD＋OE＝3OC.(2)(1)中的结论仍然成立．理由：过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°.∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°.同(1)的方法得OF＝32OC，OG＝32OC.∴OF＋OG＝3OC.∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB 的平分线OM上一点，∴CF＝CG.∵∠DCE＝∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG.∴△CFD≌△CGE.∴DF＝EG.∴OF＝OD＋DF＝OD＋EG，OG＝OE－EG.∴OF＋OG＝OD＋EG＋OE－EG＝OD＋OE.∴OD＋OE＝3OC.(3)(1)中的结论不成立，结论为OE－OD＝3OC.3．(2019·东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC 上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝33，BO∶CO＝1∶3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题(如图2)．请回答：∠ADB＝75°，AB＝43；(2)请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝33，∠ABC ＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求DC的长．图1图2 图3解：过点B作BE∥AD交AC于点E.∵AC⊥AD，∴∠DAO ＝∠BEO＝90°.∵∠AOD ＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB.∴BODO＝EOAO＝BEDA.∵BO∶OD＝1∶3，∴EOAO＝BEDA＝13.∵AO＝33，∴EO＝ 3.∴AE＝4 3. ∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC.∴AB＝AC＝AEcos30°＝8.∴BE＝12AB＝4，AD＝3BE＝12.在Rt△CAD中，AC2＋AD2＝CD2，即82＋122＝CD2，得CD＝413. 4．(2019·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．图1图2图3图4(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是AD⊥CE；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE.若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．解：(1)提示：连接AC，延长CE交AD于点H，证明△ABP≌△ACE.(2)结论仍然成立．理由：选图2，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD ＝∠CBD＝30°.∴AB＝AC.∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°.∴∠BAP＝∠CAE.∴△BAP≌△CAE.∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.(3)连接AC交BD于点O，连接CE交AD 于点H.由(2)可知，EC⊥AD，CE＝BP.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC.∵BC＝AB＝23，BE＝219，在Rt△BCE中，EC＝（219）2－（23）2＝8.∴BP＝CE＝8.∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD. ∴BD＝2BO＝2AB·cos30°＝6.∴OA＝12AB＝3，DP＝BP－BD＝8－6＝2.∴OP＝OD＋DP＝5.在Rt△AOP中，AP＝AO2＋OP2＝27，∴S四边形ADPE ＝S△ADP＋S△AEP＝12×2×3＋34×(27)2＝8 3.5．(2019·烟台)【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝11，求∠APB的度数．图1图2解：【问题解决】思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，AP′＝CP＝3.在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝2，∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理，得PP′＝2 BP＝2 2.∵AP＝1，∴AP2＋PP′2＝1＋8＝9.∵AP′2＝32＝9，∴AP2＋PP′2＝AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°.∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝90°＋45°＝135°.【类比探究】将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝1，AP′＝CP＝11.在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝1，∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理，得PP′＝2 BP＝ 2.∵AP＝3，∴AP2＋PP′2＝9＋2＝11.∵AP′2＝(11)2＝11，∴AP2＋PP′2＝AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°.∴∠APB＝∠APP′－∠BPP′＝90°－45°＝45°.6．(2019·黄石)在△ABC中，E，F分别为线段AB，AC上的点(不与A，B，C重合)．(1)如图1，若EF∥BC，求证：S△AEFS△ABC＝AE·AFAB·AC；(2)如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；(3)如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，AEAB＝34，求S△AEFS△ABC的值．图1图2图3 解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∴AEAB＝AFAC.∴S△AEFS△ABC＝(AEAB)2＝AEAB·AFAC＝AE·AFAB·AC.(2)若EF不与BC平行，(1)中的结论仍然成立．分别过点F，C作AB的垂线，垂足分别为N，H.∵FN⊥AB，CH⊥AB，∴FN∥CH.∴△AFN∽△ACH.∴FNCH＝AFAC.∴S△AEFS△ABC＝12AE·FN12AB·CH＝AE·AFAB·AC.(3)连接AG并延长，交BC于点M，连接BG并延长，交AC于点N，连接M，N，则M，N分别是BC，AC的中点，∴MN∥AB，且MN＝12AB.∴GM GA ＝GN GB ＝12，且S △ABM ＝S △ACM . ∴AG AM ＝23. 设AF AC＝a ，由(2)知，S △AEG S △ABM＝AE·AG AB·AM ＝34×23＝12， S △AFG S △ACM ＝AG·AF AM·AC ＝23a ，则S △AEF S △ABC ＝S △AEG ＋S △AFG 2S △ACM ＝S △AEG 2S △ABM ＋S △AFG 2S △ACM＝14＋13a. 而S △AEF S △ABC ＝AE·AF AB·AC ＝34a ， ∴14＋13a ＝34a ，解得a ＝35. ∴S △AEF S △ABC ＝34×35＝920. 7．(2019·河南)(1)问题发现如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 相交于点M.填空：①AC BD的值为1； ②∠AMB 的度数为40°；(2)类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC交BD 的延长线于点M.请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M.若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．图1图2 图3解：(2)AC BD＝3，∠AMB ＝90°. 理由如下：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD＝30°，∴CODO＝AOBO＝3，∠COD＋∠AOD＝∠AOB＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD.∴△AOC∽△BOD.∴ACBD＝CODO＝3，∠CAO＝∠DBO.∵∠AOB＝90°，∴∠DBO＋∠ABD＋∠BAO＝90°.∴∠CAO＋∠ABD＋∠BAO＝90°.∴∠AMB＝90°.(3)AC的长为23或3 3.提示：在△OCD旋转的过程中，(2)中的结论仍然成立，即ACBD＝3，∠AMB＝90°.如图所示，点C与点M重合，AC1，AC2的长即为所求．8．(2019·淄博)(1)操作发现：如图1，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG＝NG；位置关系是MG⊥NG；(2)类比思考：如图2，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由；(3)深入研究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN 的形状，并给予证明．图1图2图3解：(1)连接BE，CD相交于点H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.∴∠CAD＝∠BAE.∴△ACD≌△AEB(SAS)．∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE.∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°.∴∠BHD＝90°.∴CD⊥BE.∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG//12CD.同理NG//12BE.∴MG＝NG，MG⊥NG.故答案为MG＝NG，MG⊥NG.(2)连接CD，BE，相交于点H，同(1)的方法得，MG＝NG，MG⊥NG.(3)连接EB，DC，延长线相交于点H，同(1)的方法得，△ABE≌△ADC，MG＝NG.∴∠AEB＝∠ACD.∴∠CEH＋∠ECH＝∠AEH－∠AEC＋180°－∠ACD－∠ACE＝∠ACD－45°＋180°－∠ACD－45°＝90°.∴∠DHE＝90°.同(1)的方法得，MG⊥NG.类型2与图形变换有关的几何综合题1．(2019·襄阳)如图1，已知点G在正方形ABCD 的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD, 垂足为F.(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为2；(2)探究与证明：将四边形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：四边形CEGF在旋转过程中，当B，E，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝22，则BC＝35．图1图2图3解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°.∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG ＝45°.∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形．(2)连接CG，由旋转性质可知，∠BCE＝∠ACG＝α.在Rt△CEG和Rt△CBA中，CECG＝cos45°＝22，CBCA＝cos45°＝22.∴CGCE＝CACB＝ 2.又∵∠ECG＝∠ECA＝∠ACB－∠ECA，即∠ACG＝∠BCE，∴△ACG∽△BCE.∴AGBE＝CACB＝ 2.∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝2BE.2．(2019·仙桃)问题：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝DC＋EC；探索：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°.若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．图1图2 图3解：探索：BD 2＋CD 2＝2AD 2.连接CE.∵∠BAD ＋∠DAC ＝90°＝∠DAC ＋∠CAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE.∵Rt △ABC 与Rt △ADE 是等腰直角三角形，∴DE 2＝2AD 2.∴∠B ＝45°.∴∠ACB ＋∠ACE ＝45°＋45°＝90°.∴∠DCE＝90°.∴DC2＋CE2＝DE2，即BD2＋CD2＝2AD2.应用：以AD为腰作等腰Rt△ADE，连接CE，由“探索”可知，△ABD≌△ACE(SAS)．∴CE＝BD＝9.∵∠ADC＝∠ADE＝45°，∴∠EDC＝90°.在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝92－32＝6 2.在等腰Rt△ADE中，AD＝22DE＝6.3．(2019·宜昌)在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F.(1)如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；(2)如图2，①求证：BP＝BF；②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB 的值；③当BP＝9时，求BE·EF的值．图1 图2 图2备用图解：(1)证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ，∵点E 是AD 中点，∴AE ＝DE.在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠A ＝∠D ＝90°，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC(SAS )．(2)①证明：在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°. ∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，∴∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC. ∵BE ⊥CG ，∴BE ∥PG.∴∠GPF ＝∠PFB.∴∠BPF ＝∠PFB.∴BP ＝BF.②当AD ＝25时，∵∠BEC ＝90°，∴∠AEB ＋∠PEC ＝90°. ∵∠AEB ＋∠ABE ＝90°，∴∠DEC ＝∠ABE.∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DEC.∴AB AE ＝DE DC.设AE＝x，则DE＝25－x，∴12x＝25－x12.∴x＝9或x＝16.∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16.∴由勾股定理，得CE＝20，BE＝15.由折叠得，BP＝PG，BC＝GC，∴BP＝BF ＝PG.∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP.∴EFGP＝CECG.设BP＝BF＝PG＝y，∴15－yy＝2025.∴y＝253，即BP＝253.在Rt△PBC中，由勾股定理，得PC＝25103，cos∠PCB＝BCPC＝31010.③连接FG，∵∠GEF＝∠G＝90°，∴BE∥PG. ∵BF∥PG，BF＝PG＝BP，∴四边形BPGF是菱形．∴BP∥GF，且BP＝GF.∴∠GFE＝∠EBA. ∴△GEF∽△EAB.∴EFGF＝ABEB.∴BE·EF＝AB·GF＝AB·BP＝12×9＝108. 4．(2019·永州)如图1，在△ABC中，矩形EFGH 的一边EF在AB上，顶点G，H分别在BC，AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I.若CI＝4，HI＝3，AD＝92，矩形DFGI恰好为正方形．图1图2图3(1)求正方形DFGI的边长；(2)如图2，延长AB至P，使得AC＝CP.将矩形EFGH沿BP的方向平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？(3)如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG，DB相交于点M，N，求△MN G′的周长．解：(1)∵HI∥AD，∴HIAD＝CICD.∴392＝4CD.∴CD＝6.∴ID＝CD－CI＝2.∴正方形的边长为2.(2)如图2，设点G落在PC上时对应的点为点G′，点F的对应点为点F′.∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P.∵HG′∥PA，∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P.∴∠CHG′＝∠CG′H.∴CH＝CG′.∴IH＝IG′＝DF′＝3.∵IG∥DB，∴IGDB＝CICD.∴2DB＝46.∴DB＝3.∴DB＝DF′＝3.∴点B与点F′重合．∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是三角形，即△BGG′.(3)将△DMI′绕点D顺时针旋转90°得到△DRF′，此时N，F′，R共线．∴∠MDR＝90°.∵∠NDM＝45°，∠NDM＋∠NDR＝90°，∴∠NDM＝∠NDR＝45°.∵DN＝DN，DM＝DR，∴△NDM≌△NDR.∴MN＝NR＝NF′＋RF′＝NF′＋MI′.∴△MNG′的周长＝MN＋MG′＋NG′＝NF′＋NG′＋MI′＝F′G′＋I′G′＝2I′G′＝4. 5．(2019·岳阳)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD 所在的直线对折，使点B落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD交BB′于点E，设∠ABC＝2α.(0°＜α＜45°)(1)如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；(2)如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系；(用含α的式子表示)(3)如图3，将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α＋45°)，得到线段FC，连接EF交BC 于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求S1S2.(用含α的式子表示)图1图2图3解：(1)证明：∵点B，B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE＝EB′.∴∠DEB＝∠DAC＝90°.∵∠EDB＝∠ADC，∴∠DBE＝∠ACD.∵AB＝AC，∠BAB′＝∠CAD＝90°，∴△BAB′≌△CAD.∴CD＝BB′＝2BE.(2)如图2，结论：CD＝2BE·tan2α.理由：由(1)可知，∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，∴△BAB′∽△CAD.∴BB′CD＝ABAC＝1tan2α.∴2BECD＝1tan2α.∴CD＝2BE·tan2α.(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°－2α.∵EC平分∠ACB，∴∠ECB＝12(90°－2α)＝45°－α.∵∠BCF＝45°＋α，∴∠ECF＝45°－α＋45°＋α＝90°. ∴∠BEC＋∠ECF＝180°.∴BB′∥CF.∴△BEO∽△CFO.∴EOFO＝BECF＝BEBC＝sin(45°－α)．∵S1S2＝EOFO，∴S1S2＝sin(45°－α)．6．(2019·潍坊)如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB 于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB 于点F，AB＝6，DH＝4，BF∶FA＝1∶5.(1)如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B.①求四边形BHMM′的面积；②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值；(2)如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．图1图2图3解：(1)①在▱ABCD中，AB＝6，直线EF 垂直平分CD，∴DE＝FH＝3.又BF∶FA＝1∶5，∴BF＝1，FA＝5.∴AH＝2.∵Rt△AHD∽Rt△MHF，∴HMFH＝HAHD.∴HM3＝24.∴HM＝3 2.根据平移的性质，得MM′＝CD＝6，∴S四边形BHMM′＝S△BMM′＋S△BHM＝12×6×32＋12×4×32＝15 2.②连接CM交直线EF于点N，连接DN. ∴CN＝DN.∵MH＝32，∴DM＝52.在Rt△CDM中，MC2＝DC2＋DM2.∴MC2＝62＋(52)2，即MC＝132.∵MN＋DN的最小值＝MN＋CN＝MC，∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE，∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE，∴QFQF＋4＝BFCE＝13.∴QF＝2.∴PK＝PK′＝6.过点K′作E′F′∥EF，分别交CD于点E′，交QK于点F′.当点P在线段CE上时，在Rt△PK′E′中，PE′2＝PK′2－E′K′2，∴PE′＝2 5.∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q，∴PE′K′F′＝E′K′F′Q.∴252＝4F′Q.∴F′Q＝45 5.∴PE＝PE′－EE′＝25－455＝655.∴CP＝CE－PE＝15－655.同理可得，当点P在线段ED上时，CP＝15＋655.综上可得，CP的长为15－655或15＋655.类型3与动点有关的几何综合题1．(2019·黄冈)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C 在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB－BC－CO以每秒2个单位长度的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB 于点P，交对角线OB于点Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．(1)当t＝2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与N重合；(3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．解：(1)当t＝2时，OM＝2，在Rt△OPM中，∠POM＝60°，∴PM＝OM·tan60°＝2 3.在Rt△OMQ中，∠QOM＝30°，∴QM＝OM·tan30°＝23 3.∴PQ ＝PM －QM ＝23－233＝433. (2)由题意，得8＋(t －4)＋2t ＝24，解得t ＝203. (3)①当0＜t ＜4时，S ＝12·2t·43＝43t ； ②当4≤t ＜203时，S ＝12×[8－(t －4)－(2t －8)]×43＝403－63t ；③当203≤t ＜8时，S ＝12×[(t －4)＋(2t －8)－8]×43＝63t －403；④当8≤t ≤12时，S ＝S 菱形ABCO －S △AON －S △ABP －S △PCN＝323－12(24－2t)×43－12×[8－(t －4)]×43－12(t －4)×32[8－(24－2t)] ＝－32t 2＋123t －56 3. 综上，S ＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧43t ；（0＜t ＜4）403－63t ；（4≤t ＜203）63t －403；（203≤t ＜8）－32t 2＋123t －56 3.（8≤t ≤12） 2．(2019·青岛)已知：如图，四边形ABCD ，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm ，CD ＝8 cm .动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm /s .点P 和点Q 同时出发，以QA ，QP 为边作平行四边形AQPE ，设运动的时间为t(s )，0＜t ＜5.根据题意解答下列问题：(1)用含t 的代数式表示AP ；(2)设四边形CPQB 的面积为S(cm 2)，求S 与t 的函数关系式；(3)当QP ⊥BD 时，求t 的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点E 在∠ABD 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则四边形DHBC 是矩形，∴CD ＝BH ＝8，DH ＝BC ＝6.∴AH ＝AB －BH ＝8，AD ＝DH 2＋AH 2＝10，BD ＝CD 2＋BC 2＝10.∴AP ＝AD －DP ＝10－2t.(2)过点P 作PN ⊥AB 于点N ，连接PB. 在Rt △APN 中，PA ＝10－2t ，∴PN ＝PA·sin ∠DAH ＝35(10－2t)，AN ＝PA·cos ∠DAH ＝45(10－2t)． ∴BN ＝16－AN ＝16－45(10－2t)， S ＝S △PQB ＋S △BCP ＝12·(16－2t)·35(10－2t)＋12×6×[16－45(10－2t)]＝65t 2－545t ＋72(0＜t ＜5)． (3)当PQ ⊥BD 时，∠PQN ＋∠DBA ＝90°， ∵∠QPN ＋∠PQN ＝90°，∴∠QPN ＝∠DBA.∴tan ∠QPN ＝QN PN ＝34.∴45（10－2t）－2t35（10－2t）＝34.解得t＝3527.经检验，t＝3527是分式方程的解，∴当t＝3527s时，PQ⊥BD.(4)存在．理由：连接BE交DH于点K，过点K作KM⊥BD于点M.当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，∴KH＝KM，BH＝BM＝8.设KH＝KM＝x，在Rt△DKM中，(6－x)2＝22＋x2，解得x＝8 3.过点E作EF⊥AB于点F，则△AEF≌△QPN，∴EF＝PN＝35(10－2t)，AF＝QN＝45(10－2t)－2t，∴BF ＝16－[45(10－2t)－2t]． ∵KH ∥EF ，∴KH EF ＝BH BF. ∴8335（10－2t ）＝816－[45（10－2t ）－2t].解得t ＝2518. 经检验，t ＝2518是分式方程的解． ∴当t ＝2518s 时，点E 在∠ABD 的平分线上．3．(2019·绵阳)如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(－3，0)．动点M ，N 同时从A 点出发，M 沿A →C ，N 沿折线A →B →C ，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C 时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t 秒，连接MN.(1)求直线BC 的解析式；(2)移动过程中，将△AMN 沿直线MN 翻折，点A 恰好落在BC 边上点D 处，求此时t 值及点D 的坐标；(3)当点M ，N 移动时，记△ABC 在直线MN 右侧部分的面积为S ，求S 关于时间t 的函数关系式．备用图解：(1)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧b ＝4，－3k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝4.∴直线BC 的解析式为y ＝43x ＋4. 图1(2)如图1，连接AD 交MN 于点O′.由题意可知，四边形AMDN 是菱形，M(3－t ，0)，N(3－35t ，45t)， ∴O′(3－45t ，25t)，D(3－38t ，45t)． ∵点D 在BC 上，∴45t ＝43×(3－85t)＋4，解得t ＝3011. ∴t ＝3011s 时，点A 恰好落在BC 边上点D 处，此时D(－1511，2411)．图2(3)如图2，当0＜t ≤5时，△ABC 在直线MN 右侧部分是△AMN ，S ＝12×t ×45t ＝25t 2；如图3，当5＜t ≤6时，△ABC 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM.图3S ＝S △ABC －S △CMN ＝12×6×4－12×(6－t)×[4－45(t －5)]＝－25t 2＋325t －12. 4．(2019·广东)已知Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，斜边OB ＝4，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°，如图1，连接BC.(1)填空：∠OBC ＝60°；(2)如图1，连接AC ，作OP ⊥AC ，垂足为P，求OP的长度；(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止．已知点M的运动速度为单位长度/秒，点N的运动速度为1单位长度/秒．设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时，y取得最大值？最大值为多少？(结果可保留根号)图1图2备用图解：(2)∵OB＝4，∠ABO＝30°，∴OA＝12OB＝2，AB＝3OA＝2 3.∴S△AOC ＝12OA·AB＝12×2×23＝2 3.∵△BOC是等边三角形，∴BC＝BO＝4.∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO＋∠OBC ＝90°.∴AC＝AB2＋BC2＝27.∴OP＝2S△AOCAC＝4327＝2217.(3)①当0＜x ≤83时，点M 在OC 上运动，点N 在OB 上运动，此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E.则NE ＝ON·sin 60°＝32x ， ∴y ＝12OM·NE ＝12××32x ，即y ＝338x 2. ∴当x ＝83时，y 有最大值，最大值为833. ②当83＜x ≤4时，点M 在BC 上运动，点N 在OB 上运动．图3过点M 作MH ⊥OB 于点H.则BM ＝8－，MH ＝BM·sin 60°＝32(8－1.5x)， ∴y ＝12ON·MH ＝－338x 2＋23x. ∵当x ＝83时，y 取最大值，∴y ＜833. ③当4＜x ≤时，点M ，N 都在BC 上运动，过点O作OG⊥BC于点G.则MN＝12－，OG＝AB＝23，图4∴y＝12MN·OG＝123－532x.∵当x＝4时，y有最大值，∴y＜2 3.综上所述，y有最大值，最大值为83 3.类型4与实践操作有关的几何综合题1．(2019·齐齐哈尔)折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观．折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C 和AD相交于点E，连接B′D.图1图2解决问题(1)在图1中．①B′D和AC的位置关系为B′D∥AC(互相平行)；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；(2)若图1中的矩形变为平行四边形(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长和宽之比为1∶1或3∶1．拓展应用(4)在图2中，若∠B＝30°，AB＝43，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为4或6或8或12．解：结果仍成立．①选择结论①证明．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.∴∠DAC＝∠BCA.由折叠性质，得BC＝B′C，∠BCA＝∠ACB′，∴∠DAC＝∠ACB′，B′C＝AD.∴AE＝CE，∴B′E＝DE.∴∠CB′D＝ADB′.∵∠AEC＝∠B′ED，∠ACB′＝∠CAD，∴∠ADB′＝∠DAC.∴B′D∥AC.②选择结论②证明．设点E的对应为点F，连接AF.由折叠性质，得AE＝AF，CE＝CF.由①知AE＝CE，∴AE＝CE＝AF＝CF.∴四边形AECF是菱形．2.(2019·山西)综合性实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM，试判断线段AM与DE的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB.∵AD＝2AB，∴AD＝AE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴EMDM＝EBAB.(依据1)∵BE＝AB，∴EMDM＝1.∴EM＝DM，即AM是△ADE的DE边上的中线．又∵AD＝AE，∴AM⊥DE.(依据2)∴AM垂直平分DE.反思交流：(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE 的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：(3)如图3，连接CE，以CE为一边在CE 的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B 都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．图1图2 图3解：(1)①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”)．②点A在线段GF的垂直平分线上．(2)证明：过点G作GH⊥BC于点H.∵四边形ABCD为矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°.∴∠BCE＋∠BEC＝90°.∵四边形CEFG为正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝90°.∴∠BCE＋∠BCG＝90°.∴∠BEC＝∠BCG.∴△GHC≌△CBE(AAS)．∴HC＝BE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，BE＝AB，∴BC＝2BE＝2HC.∴HC＝BH.∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上．(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上)．过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝90°.∴四边形BENM 为矩形．∴BM＝EN，∠CEB＋∠CEN＝90°.∵四边形CEFG为正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90°.∴∠CEN＋∠FEN＝90°.∴∠CEB＝∠FEN.∴△ENF≌△EBC(AAS)．∴NE＝BE.∴BM＝BE.。

九年级上册几何综合复习题(含答案)

九年级上册几何综合复习题1．（昌平18期末27）已知，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 为BC 边上的一点. （1）以点C 为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转90°，得到△BCE ，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF ⊥BE ；（3）若AC =，BF =1，连接CF ，则CF 的长度为 .27．（1）补全图形…………………… 2分（2）证明：∵ΔCBE 由ΔCAD 旋转得到，∴ΔCBE ≌ΔCAD ，……………… 3分∴∠CBE =∠CAD ，∠BCE =∠ACD =90°，……………4分 ∴∠CBE +∠E =∠CAD +∠E ， ∴∠BCE =∠AFE =90°，∴AF ⊥BE ．……………………………………5分（327分2．（朝阳18期末25）△ACB 中，∠C =90°，以点A 为中心，分别将线段AB ，AC 逆时针旋转60°得到线段AD ，AE ，连接DE ，延长DE 交CB 于点F . （1）如图1，若∠B =30°，∠CFE 的度数为；（2）如图2，当30°<∠B <60°时，①依题意补全图2；②猜想CF 与AC 的数量关系，并加以证明.图1 图253．（西城18期末27）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点C在线段OB 上，OC=2BC，AO边上的一点D满足∠OCD=30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D''，C，D两点的对应点分别为点C'，D'，连接AC'，BD'，取AC'的中点M，连接OM．（1）如图2，当C D''∥AB时，α=°，此时OM 和BD'之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD'之间的位置关系和数量关系，并加以证明．4．（丰台18期末27）如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA延长线交于点E，F，连接AC.（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：AE=AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明.图1 图227.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°. 又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE . ∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴ACAFAE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AFAE . ……7分5．（怀柔18期末27）在等腰△ABC 中，AB =AC ，将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD ，使BD ⊥AC 于H ，连结AD 并延长交BC 的延长线于点P . （1）依题意补全图形；（2）若∠BAC =2α，求∠BDA 的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E ，从而用等式表示线段DP 与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.27.解：(1)如图……………………………………………1分 (2) ∵∠BAC =2α，∠AHB =90°∴∠ABH =90°-2α …………………………………………………………………………… 2分 ∵BA =BD∴∠BDA =45°+α………………………………………………………………………………3分 (3)补全图形，如图………………4分证明过程如下：∵D 关于BC 的对称点为E ，且DE 交BP 于G∴DE ⊥BP ，DG =GE ，∠DBP =∠EBP ，BD =BE ；…………………………………………5分 ∵AB=AC ，∠BAC=2α ∴∠ABC=90°-α 由(2)知∠ABH =90°-2α ∠DBP =90°-α-（90°-2α）=α ∴∠DBP =∠EBP =α ∴∠BDE =2α ∵AB =BD∴△ABC ≌△BDE ………………………………………………………………………………6分 ∴BC =DE∴∠DPB =∠ADB -∠DBP =45°+α-α=45° ∴DP DG =21, ∴DP DE=2, ∴DPBC=2, ∴BC =2DP .………………………………………………………………………………7分6．（平谷18期末27）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ．在平面内任取一点D ，连结AD （AD ＜AB ），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连结DE ，CE ，BD ．（1）请根据题意补全图1；（2）猜测BD 和CE 的数量关系并证明；（3）作射线BD ，CE 交于点P ，把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC =90°，AB =2，AD =1时，补全图形，直接写出PB 的长．B 图1B 备用图27．解：（1）如图 (1)（2）BD 和CE 的数量是：BD =CE ； ······································································· 2 ∵∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE =90°，∴∠DAB=∠CAE ． ········································································································ 3 ∵AD=AE ，AB=AC ， ∴△ABD ≌△ACE ．∴BD =CE ． ···················································································································· 4 （3）PB 的长是255或655． (7)7．（密云18期末27）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，D 是线段AB 上的一点（不与A 、B 重合）. 过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E.将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒，得到线段CF ，连结EF.设BCE ∠度数为α.（1）①补全图形； ②试用含α的代数式表示CDA ∠.（2）若3EF AB =，求α的大小. （3）直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系.27.（1）①补全图形.……………………………..1分②45α︒+ ……………………………..3分（2）在FCE ∆和ACB ∆中，45CFE CAB ∠=∠=︒ ，90FCE ACB ∠=∠=︒ ∴ FCE ∆∽ ACB ∆∴CF EFAC AB=3EF AB =∴3CF AC =………………………………..5分连结FA.90,ECB 90FCA ACE ACE ∠=︒-∠∠=︒-∠∴ECB FCA ∠=∠=α在Rt CFA ∆中，90CFA ∠=︒，3cos FCA ∠=∴30FCA ∠=︒即30α=︒. ………………………………6分（3）22222AB CF BE =+ …………………………………………8分8．（石景山18期末27）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）27．（本小题满分7分）（1）解：①正确作图………………………1分②45°………………………2分连接PD，PE易证△CPD≌△CPB∴DP=BP，∠CDP=∠CBP∵P、Q关于直线CD对称∴EQ=EP∵EQ=BP∴DP=EP∴∠C D P=∠D E P………………………………………………3分∵∠CEP+∠DEP=180°∴∠CEP+∠CBP=180°∵∠BCD=90°∴∠BPE=90°∵BP=EP∴∠PBE=45°．…………………………………………………………4分（2）解：连接PD，PE易证△CPD≌△CPB∴DP=BP，∠1=∠2∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∠3=∠4∵EQ=BP，∴DP=EP∴∠3=∠1，∴∠3=∠2∴∠5=∠BCE=90°∵BP=EP，∴∠PEB=45°∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．……………7分9．（东城18期末27）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=23B为圆心，'⊥，使点P'落在直线BC的3P为B上的动点，连接PC，作P C PC'=BP ，AP'．上方，且满足:3P C PC（1）求∠BAC的度数，并证明△AP C'∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2中画出△AP’C；②连接BP'，求BP'的长；图1 图2（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．备用图10．（顺义18期末27）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB= ；（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF=90°，EF=2DE，求出DF的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．27．（1）AB ；……………………….2分（2）解：过点E 作横线的垂线，交l 1，l 2于点M ，N ，……………………………..….3分∴∠DME =∠EDF = 90°，∵∠DEF =90°，∴∠2+∠3=90°，∵∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2，∴△DME ∽△ENF ，………….…….4分 ∴DM ME DE EN NF EF==， ∵EF =2DE ， ∴12DM ME DE EN NF EF ===， ∵ME =2，EN =3，∴NF =4，DM =1.5，根据勾股定理得DE =2.5，EF =5，552DF =……………………….5分（3）EG=2.5．…………………………………………………………..…….7分11．（门头沟18期末27）如图1有两条长度相等的相交线段AB 、CD ，它们相交的锐角中有一个角为60°，为了探究AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系，小亮进行了如下尝试：（1）在其他条件不变的情况下使得AD BC ∥，如图2，将线段AB 沿AD 方向平移AD 的长度，得到线段DE ,然后联结BE ,进而利用所学知识得到AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系：____________________；(直接写出结果)（2）根据小亮的经验，请对图27-1的情况（AD 与CB 不平行）进行尝试，写出AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系，并进行证明；（3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论: __________________________.27．（本小题满分7分）（1） AD CB AB += ……………………………………………1分（2）补全图形正确 ………………………………………2分结论：AD CB AB +＞………………………………………3分理由：如图：将线段AB 沿AD 方向平移AD 的长度，得到线段DE ,联结BE 、CE ，且可得AB DE ∥且AB DE =∴四边形A 、B 、E 、D 是平行四边形………………………4分∴AD BE =∵AB CD =∴DE CD =∵AB DE ∥,60AOD ∠=︒∴DCE △是等边三角形……………………………………5分∴CE AB =由于AD 与CB 不平行，所以C 、B 、E 构成三角形∴BE CB CE +＞……………………………………………6分∴AD CB AB +＞（3）AD CB AB +≥ …………………………………………7分12．（通州18期末24）如图1，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边中点，点F 为BC 边中点；点G ，H 为AB 边三等分点，I ，J 为CD 边三等分点.小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示.那么，图2中四边形GKLH 的面积与图3中四边形KPOL 的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下在图2中，小瑞发现， ABCD G KLH S S _______=；在图3中，小瑞对四边形KPOL 面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整：设a S DEP =△，b S AKG =△∵AF EC ∥∴DAK DEP ∽△△，且相似比为2:1，得到a S DAK 4=△∵BI GD ∥∴ABM AGK ∽△△，且相似比为3:1，得到b S ABM 9=△ 又∵ABCD DAG S b a S 614=+=△，ABCD ABF S a b S 419=+=△ ∴a b b a S ABCD 436624+=+=∴b a ____=，b S ABCD _____=，b S KPOL _____=∴ABCD KPO L S S _____=，则G KLH KPO L S S ____（填写“>”，“<”或“=”）（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD 对边上的点.则ABCD ANML S S _____=.13．（海淀18期末28）在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“2QB QA =”是否正确：_______（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接P A ，PB ，且PB =2A ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠P AB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1 图2图328．解：（1）否. ………………1分（2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°，∵ ∠ABP =30°，∴ 12PD BP =. ………………2分∵ PB =，∴ 2PD PA =. ∴ 2sin PD PAB PA ∠== 由∠P AB 是锐角，得∠P AB =45°. ………………3分另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',',B P P A P P ，则',',','P B A P B A P A B P A B B PB P A P A P∠=∠∠=∠==. ∵∠ABP =30°，∴'60P BP ∠=︒.∴△'P BP 是等边三角形.∴'P P BP =.∵2PB PA =， ∴'2P P PA =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+.∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP .∴ ∠DAP =90°.∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP ,即 ∠BAP =∠CAD .∵ AB =AC ，AD =AP ，∴ △BAP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴ PD =，∠ADP =∠APD =45°.∵ PB =，∴ PD =PB =CD .∴ ∠DCP =∠DPC .∵ ∠APC =α，∠BPC =β， ∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-. ∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒. ∴ 45αβ+=︒.………………7分。

初三复习：几何综合题精选

初三几何综合题（精选至2022年九年级上半年各地检测题，答案见视频）1.如图1，在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD=CE，连接DE，AE，BD，过点C作CF⊥AE, 垂足为H，直线CF交直线BD于F.（1）求证：DF=BF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）若CD=2，CB=4，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出CF的长。

2.如图1，在△ABE和△ACD中，AE=AB，AD=AC,且∠BAE=∠CAD，则可证明得到△AEC≌△ABD.【初步探究】（1）如图2，△ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连接QB.请写出AP与BQ的数量关系并说明理由；【深入探究】（2）如图3，在（1）的条件下，连接PB并延长PB交直线CQ于点D.当点P运动到PD⊥CQ时，若AC=√(2)，求PB的长；【拓展探究】（3）如图4，在△ABC中，∠ACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC=1，BC=3，则CD长为____.3.已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC.（1）特殊情形：如图1，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB____EC.(填>、【初步感知】<、=)（2）发现证明：如图2，将图1中△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB=EC.【深入研究】（3）如图3，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C,E,D在同一条直线上，则∠CDB的度数为_____; 线段CE,BD之间的数量关系为_____。

九年级圆几何综合专题练习(word版

九年级圆几何综合专题练习（word 版一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。

（1）求这条抛物线的解析式；（2）求点E 的坐标；（3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由【答案】（1）y=x 2+2x-8（2）（-1，-72）（3）（-8，40），（-154，-1316），（-174，-2516）【解析】分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值；（2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，从而求出点E 的坐标；（3）设点P (a , a 2+2a -8)，则228,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标.详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-（2）由（1）可得：228y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=;∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=，当0x =时，8y =-， ∴8OC =过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，,则116322AG AB ==⨯= ，设，则，在Rt AGE ∆中，，在中，()222218CE EF CF a =+=+-，∵AE CE = ，∴()22918a a +=+- ，解得：72a =， ∴712E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；（3）设点()2,28a a a P +-，则228,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ∆∽CBO ∆时，PQ COBQ OB =，即228822a a a +-=-，解得：10a =（舍去）；22a =（舍去）；38a =- ，∴()18,40P - ；b.当PBQ ∆∽BCO ∆时，PQ BOBQ CO =，即228228a a a +-=-，解得：12a =（舍去），2154a =-；3174a =- ， ∴21523,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；综上所述，点P 的坐标为：()18,40P -，21523,416P ⎛⎫--⎪⎝⎭，31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.2．如图，矩形ABCD 中，BC ＝8，点F 是AB 边上一点（不与点B 重合）△BCF 的外接圆交对角线BD 于点E ，连结CF 交BD 于点G ．（1）求证：∠ECG ＝∠BDC ．（2）当AB ＝6时，在点F 的整个运动过程中． ①若BF ＝22时，求CE 的长．②当△CEG 为等腰三角形时，求所有满足条件的BE 的长．（3）过点E 作△BCF 外接圆的切线交AD 于点P ．若PE ∥CF 且CF ＝6PE ，记△DEP 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，请直接写出12S S 的值．【答案】（1）详见解析；（2）①1825；②当BE 为10，395或445时，△CEG 为等腰三角形；（3）724. 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABD ＝∠BDC ，根据圆周角定理得出∠ABD ＝∠ECG ，即可证得结论；（2）根据勾股定理求得BD ＝10，①连接EF ，根据圆周角定理得出∠CEF ＝∠BCD ＝90°，∠EFC ＝∠CBD ．即可得出sin ∠EFC＝sin ∠CBD ，得出35CE CD CF BD ==，根据勾股定理得到CF ＝CE ； ②分三种情况讨论求得：当EG ＝CG 时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC ＝∠GCE ＝∠ABD ＝∠BDC ，从而证得E 、D 重合，即可得到BE ＝BD ＝10；当GE ＝CE 时，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，即可得到∠EGC ＝∠ECG ＝∠ABD ＝∠GDC ，得到CG ＝CD ＝6．根据三角形面积公式求得CH ＝245，即可根据勾股定理求得GH ，进而求得HE ，即可求得BE ＝BH ＋HE ＝395；当CG ＝CE 时，过点E 作EM ⊥CG 于点M ，由tan ∠ECM ＝43EM CM =．设EM ＝4k ，则CM ＝3k ，CG ＝CE ＝5k ．得出GM ＝2k ，tan ∠GEM ＝2142GM k EM k ==，即可得到tan ∠GCH ＝GH CH =12．求得HE ＝GH ＝125，即可得到BE ＝BH ＋HE ＝445；（3）连接OE 、EF 、AE 、EF ，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF ＝CE ，进而证得四边形ABCD 是正方形，进一步证得△ADE ≌△CDE ，通过证得△EHP ∽△FBC ，得出EH ＝16BF ，即可求得BF ＝6，根据勾股定理求得CF ＝10，得出PE ＝106，根据勾股定理求得PH ，进而求得PD ，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】（1）∵AB ∥CD ． ∴∠ABD ＝∠BDC ， ∵∠ABD ＝∠ECG ， ∴∠ECG ＝∠BDC ．（2）解：①∵AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴BD ＝10，如图1，连结EF ，则∠CEF ＝∠BCD ＝90°， ∵∠EFC ＝∠CBD ． ∴sin ∠EFC ＝sin ∠CBD ， ∴35CE CD CF BD ==∴CF∴CE②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．∴E与D重合，∴BE＝BD＝10．Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，∴CG＝CD＝6．∵CH＝BC CD24 BD5⋅=，∴GH185 =，在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（245）2＝（x+185）2解得x＝75，∴BE＝BH+HE＝325+75＝395；Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M．∵tan∠ECM＝43 EMCM=．设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．∴GM＝2k，tan∠GEM＝2142 GM kEM k==，∴tan∠GCH＝GHCH＝tan∠GEM＝12．∴HE＝GH＝12412 255⨯=，∴BE＝BH+HE＝321244 555+=，综上所述，当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）解：∵∠ABC＝90°，∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，如图3，连接OE、EF、AE、EF，∵PE是切线，∴OE⊥PE，∵PE∥CF，∴OE⊥CF，∵OC＝OF，∴CE＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，EF=2FC，∴∠ABD＝∠ECF＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴AB＝AD＝8，∴四边形ABCD是正方形，∵PE∥FC，∴∠EGF＝∠PED，∴∠BGC＝∠PED，∴∠BCF＝∠DPE，作EH⊥AD于H，则EH＝DH，∵∠EHP＝∠FBC＝90°，∴△EHP∽△FBC，∴16 EH PEBF FC==，∴EH＝16 BF，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∴△ADE≌△CDE，∴AE＝CE，∴AE＝EF，∴AF＝2EH＝13 BF，∴13BF+BF＝8，∴BF＝6，∴EH＝DH＝1，CF10，∴PE＝16FC＝53，∴PH4 3 =，∴PD＝47133 +=，∴1277 3824S PDS AD===．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．3．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D在线段AB上，AD=2．点P，Q 以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q也停止运动，设DP=m．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点P，Q整个运动过程中，①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10﹣433时，⊙O 与△ABC 的边相切．②点F 的运动路径的长为1136+572．【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，推出3cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题．试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，易知此时53553102AC BC EP AB ⨯⨯===，3tan30(2)EP AP m =⋅=+⋅， 533(2)23m ∴=+⋅，∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin603OB ON ==， 4310AO ∴=-， 43123AP ∴=-， 432123m ∴+=-， 4310m ∴=-，综上所述,当m =1或4或4310-时，O 与△ABC 的边相切。

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初三数学几何综合练习题1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.（1）如图1，点D在BC边上.①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）.图1图22.已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.ABC图1 图2 图33．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.(1)依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；(2)若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将△CDE绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.①如图2，当α=30°时，连接'BC．证明：EF='BC；②如图3，点M为DC中点，点P为线段''C E上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？图2 图34．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是；图2图3图1（3）如图3，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，CD上，若△DMN的周长为2，则△MBN 的面积最小值为．5.已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q 为边AB的中点.（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.6．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．ABH CA BHCED图1 图2（1）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数；（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．7．在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=12∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.（1）如果∠ACB=90°，①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；②如图2，当点P不与点A重合时，求CFPE的值；（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出CFPE的值.（用含a的式子表示）图1 图2 图38．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ．（1）依题意补全图形；备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．EDC B AEDCBA9．在等边△ABC 外侧作直线，点关于直线的对称点为D ，连接BD,CD ，其中CD 交直线于点E ．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB,CE,ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.AP B APAP ABCPABCP11．在△ABC 中，90BAC ∠=︒．（1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A C ，B A '，'A C与AB 交于点E ；（2）将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC 交于点F ，过点F 作直线AB的垂线，垂足为点H ．①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系．图1 图2 备用图12．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，易证BE=EF.（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：_____.（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图1 图2 图3北京各区2015数学一模答案1..解：（1）①补全图形，如图1所示.………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°. ∵DF ⊥BC ， ∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB .……………………………………2分 ∵∠C =90°，AC =BC ， ∴∠ABC =∠DFB =90°. ∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB .……………………………………3分 ∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中， ∵AC =8，DF =3，∴AC =82，DF =32.………………………………………………………………4分AF =AB －BF=52即BE =52.…………………………………………………………………………5分（22BD =BE +AB.……………………………………………………………………7分2.解:(1)当60α=︒时,BD A A '⊥. ------------1分（2）补全图形如图1，BD A A '⊥仍然成立；------------3分（3）猜想BD A A '⊥仍然成立.证明：作AE C C '⊥，A F C C ''⊥，垂足分别为点,E F ，如图2，则90AEC A FC ''∠=∠=︒.∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠. ∵90ACB A C B ''∠=∠=︒，∴90ACE BCC '∠+∠=︒，'90A C F BC C ''∠+∠=︒.图1图1∴ACE A C F ''∠=∠. 在AEC △和A FC ''△中，90,,,AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=︒⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩∴AEC A FC ''△≌△. ∴AE A F '=.在AED △和A FD '△中，90,,,AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=︒⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴AED A FD '△≌△. ∴AD A D '=. ∵AB A B '=，∴'ABA △为等腰三角形. ∴BD A A '⊥------------7分3．解：（1）补全图形，如图1所示；……1分证明：由题意可知：射线CA 垂直平分BD ∴EB =ED 又∵ED =BD ∴EB =ED =BD∴△EBD 是等边三角形………………2分（2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD =90°，BC =DC 又∵点C 与点F 关于BD 对称 ∴四边形BCDF 为正方形，图2图1∴∠FDC =90°,CD FD =∵30'CDC α︒==∠∴'60FDC ︒=∠ 由（1）△BDE 为等边三角形 ∴60'EDB FDC ︒==∠∠,ED =BD∴'EDF BDC =∠∠…………………3分又∵''E DC EDC △是由△旋转得到的 ∴'C D CD FD == ∴()'EDF DBC SAS △≌△∴'EF BC =…………………………4分②线段PM的取值范围是：11PM ≤≤；设射线CA 交BD 于点O ，I ：如图3（1）当''E C DC,⊥''MP E C ⊥，D 、M 、P 、C 共线时，PM此时DP =DO = 2 ，DM =1∴PM =DP -DM =2-1………………………5分II ：如图3（2）当点P 与点'E 重合，且P 、D 、M 、C 共线时，PM 有最大值.此时DP =DE ′=DE =DB =2 2 ，DM =1∴PM= DP +DM =22+1 ………………………6分∴线段PM 11PM ≤≤ ………………7分4．解：（1） (1)E图3（1）图3（1）P ）图3（2）延长DA 到点E ，使AE =CN ，连接BE ∵∠BAD +∠C =180°． ∴∠EAB =∠C ．又∵AB =BC ，AE =CN ， ∴△ABE ≌△CBN ．∴∠EBA =∠CBN ，BE =BN ．…………………………………………………………2 ∴∠EBN =∠ABC ．∵∠ABC =80°，∠MBN =40°， ∴∠EBM =∠NBM =40°． ∵BM =BM ， ∴△EBM ≌△NBM ．∴EM =NM ．…………………………………………………………………………3 ∴MN =AM +CN ．……………………………………………………………………4 （2） (5)M N <A M +C N ………………………………………………………… (6)（31…………………………………………… 5. 解：（1）AE ∥BF ，QE=QF ，（2）QE=QF ，证明：如图2，延长EQ 交BF 于D ， ∵AE ∥BF ， ∴∠AEQ=∠BDQ ，在△BDQ 和△AEQ 中AEQ BDQ AQE BQD AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDQ ≌△AEQ （ASA ）， ∴QE=QD ， ∵BF ⊥CP ，∴FQ 是Rt △DEF 斜边上的中线， ∴QE=QF=QD ，即QE=QF ．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ 、FB 交于D ， ∵AE ∥BF ， ∴∠AEQ =∠D ，在△AQE 和△BQD 中AEQ BDQ AQE BQD AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，图3 ∴△AQE ≌△BQD （AAS ）， ∴QE=QD ， ∵BF ⊥CP ，∴FQ 是Rt △DEF 斜边DE 上的中线， ∴QE=QF ．说明：第三问画出图形给1分6．（1）①证明：∵AH ⊥BC 于点H ，∠ABC ＝45°，∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ，∠BAH ＝45°，∴△AHC 绕点H 逆时针旋转90°得△BHD ，由旋转性质得，△BHD ≌△AHC ， ∴∠1＝∠2．………………………1分 ∵∠1＋∠C ＝90°，-----------7分 -----------6分-----------5分-----------4分图1－1∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥AC ．………………………2分 ②解法一：如图1－1， ∵∠AHB ＝∠AEB ＝90°，∴A ，B ，H ，E 四点均在以AB 为直径的圆上，………………………3分 ∴∠BEH ＝∠BAH ＝45°．………………………4分解法二：如图1－2，过点H 作HF ⊥HE 交BE 于F 点，∴∠FHE ＝90°，即∠4＋∠5＝90°．又∵∠3＋∠5＝∠AHB ＝90°， ∴∠3＝∠4．在△AHE 和△BHF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，3421BH AH ∴△AHE ≌△BHF ，………………………3分 ∴EH ＝FH ．∵∠FHE ＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形， ∴∠BEH ＝45°．………………………4分7.（1）①作图.…….1分图1－2GF EC P ）DADE ∆（或PDE ∆）.…….2分②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，.…….3分∴CPM CAB ∠=∠．∵∠CPE =12∠CAB ， ∴∠CPE =12∠CPN ．∴∠CPE =∠FPN ． ∵PF CG ⊥，∴∠PFC =∠PFN =90°．∵PF =PF ，∴PFC ∆≌PFN ∆．∴CF FN =．.…….4分由①得：PME ∆≌CMN ∆．∴PE CN =．∴12CF CF PE CN ==．.…….5分（2）1tan 2α．.…….7分 8. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分图1 图2（2）方法一：证明：连接BE ，如图2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．，．GF EDCBA120ADC ∠=︒60DCB ∴∠=︒F EC D AP N MGF EDCBA是菱形ABCD 的对角线，∴．……………………………………………………………2分．由菱形的对称性可知，，．……………………………………………………………………3分．GEB CBE ∴∠=∠．，．…………………………………………………………4分EBG BEC ∴∠=∠．在△GEB 与△CBE 中，,,,GEB CBE BE EB EBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．EG BC ∴=．………………………………………………………………………………5分方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图3． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．，．是菱形ABCD 的对角线，AC 1302DCA DCB ∠=∠=︒180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒50BEC DEC ∠=∠=︒100EBC EDC ∠=∠=︒100GEB DEC BEC ∴∠=∠+∠=︒50FBC ∠=︒50EBG EBC FBC ∴∠=∠-∠=︒120ADC ∠=︒60DCB ∴∠=︒AC HGF EDCBA∴．………………………2分．由菱形的对称性可知，，．……………………………………………3分50FBC ∠=︒，图350EBG EBC FBC BEC ∴∠=∠-∠=︒=∠．………………………………………………4分BH EH ∴=．在△GEH 与△CBH 中，,,,GEH CBH EH BH EHG BHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEH ≌△CBH ．EG BC ∴=．………………………………………………………………………………5分（3）． …………………………………………………………………7分9．解：（1）补全图形，如图1所示. ……………………………1分（2）连接AD ，如图2.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD=AB ，∠DAP = ∠BAP =30°.∵AB=AC, ∠BAC =60°.∴AD=AC, ∠DAC =120°.∴2∠ACE+60°+60°=180°∴∠ACE =30°……………………………3分1302DCA DCB ∠=∠=︒180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒50BEC DEC ∠=∠=︒100EBC EDC ∠=∠=︒AE BG +PEDC B APEDCBA（3）线段AB,CE,ED 可以构成一个含有60°角的三角形.…………………………… 4分证明：连接AD ，EB ，如图3. ∵点D 与点B 关于直线AP 对称， ∴AD=AB ，DE=BE ，可证得∠EDA = ∠E BA . ∵AB=AC,AB=AD.∴AD=AC, ∴∠ADE = ∠ACE. ∴∠ABE = ∠ACE.设AC ，BE 交于点F, 又∵∠AFB = ∠CFE.∴∠B AC = ∠BEC=60°.∴线段AB,CE,ED 可以构成一个含有60°角的三角形.………7分11．解：（1）正确画出图形．……………1分（2）①．……………2分证明：过点F 作FG ⊥CA 于点G ．……3分 ∵FH ⊥BA 于点H ，90A ∠=︒，FG ⊥CA ， ∴四边形HFGA 为矩形． ∴AG FH =，FG ∥AB ． ∴GFC EBC ∠=∠．……………4分由（1）和平移可知， ∠ECB =EBC ∠=∠GFC ， ∠FDC =90A ∠=︒． ∴∠FDC =∠FGC =90°． ∵FC CF =， ∴△FGC ≌△CDF ．∴CG FD =．………………………5分 ∴DF FH GC AG +=+．即DF FH AC +=．……………6分②CA DF FH =- ．………………7分CA FH DF =+FPCADE12.（2）结论：成立.………………………..(1分)（3）结论：成立. ………………………..(2分)证明：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，……………..(3分)∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，…………………………..(4分)又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE ，∴BG=CE，…………………………..(5分)又∵CF=AE，∴GE=CF，………………………………………..(6分)又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．………………………………………..(7分)。