第二章 反z变换【VIP专享】
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7.2反Z变换
k −1 k −1
∴x[k] = Re s[ X (z)zk −1] + Re s[ X (z)zk −1] = [1+ (−0.5)k ]u[k]
z=1 z=−0.5
x[ k ] =
1 2π j
∫
C
X ( z ) z k −1d z
Z平面 平面
Im
Re
闭合曲线C 闭合曲线
物理意义：离散信号由zk-1 信号的围线积分组成 围线积分组成 物理意义：离散信号由z 信号的围线积分
Z反变换的求法 反变换的求法
1.部分分式展开法 部分分式展开法 2.幂级数展开法 幂级数展开法 3.留数法 留数法
1 d B = [(1 − 2 z − 1 ) 2 X ( z )] | z = 2 ( − 2 ) d ( z −1 ) 1 d 2 = [ ] |z = 2 −1 −1 (−2) d ( z ) 1 − 4 z −4 = | = −4 −1 2 z = 2 (1 − 4 z )
2 4 8 X ( z ) = 1− − + −1 2 −1 (1− 2z ) 1− 2z 1− 4z −1
5 −1 3− z 1 6 X (z) = , z > , 求 x[ k ] 1 −1 1 −1 3 1 − z 1 − z 4 3
1 2 A1 A2 = + X ( z) = + 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z 1 − z 1 − z 4 3 4 3
−1 2
2 C = 1 − 4 z X ( z ) |z = 4 = | =8 −1 2 z = 4 (1 − 2 z )
−1
∴x[k] = Re s[ X (z)zk −1] + Re s[ X (z)zk −1] = [1+ (−0.5)k ]u[k]
z=1 z=−0.5
x[ k ] =
1 2π j
∫
C
X ( z ) z k −1d z
Z平面 平面
Im
Re
闭合曲线C 闭合曲线
物理意义：离散信号由zk-1 信号的围线积分组成 围线积分组成 物理意义：离散信号由z 信号的围线积分
Z反变换的求法 反变换的求法
1.部分分式展开法 部分分式展开法 2.幂级数展开法 幂级数展开法 3.留数法 留数法
1 d B = [(1 − 2 z − 1 ) 2 X ( z )] | z = 2 ( − 2 ) d ( z −1 ) 1 d 2 = [ ] |z = 2 −1 −1 (−2) d ( z ) 1 − 4 z −4 = | = −4 −1 2 z = 2 (1 − 4 z )
2 4 8 X ( z ) = 1− − + −1 2 −1 (1− 2z ) 1− 2z 1− 4z −1
5 −1 3− z 1 6 X (z) = , z > , 求 x[ k ] 1 −1 1 −1 3 1 − z 1 − z 4 3
1 2 A1 A2 = + X ( z) = + 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z 1 − z 1 − z 4 3 4 3
−1 2
2 C = 1 − 4 z X ( z ) |z = 4 = | =8 −1 2 z = 4 (1 − 2 z )
−1
第二章2 Z变换与Z反变换(复习)
第二章2 Z 变换与Z反变换
•引言
•定义
•收敛域（ROC）
•z 变换的性质
•有理系统对应的z 变换及其ROC
•举例
第二章1 离散时间信号与系统（复习）
第二章2 Z变换与Z反变换（复习）参考教材: 1.《数字信号处理》（修订版）
王世一北京理工大学出版社，1997
2. Discrete Time Signal Processing
Alan V.Oppenheim& Ronald W.Schafer 2nd Edition, Prentice-Hall，2001
))
n n
a=1.1
，
有理系统函数的ROC
¾ROC 总是环状的（Rx-<|Z|<Rx+)；
¾极点不在ROC中（在极点处Z变换不存在，收敛域中不含极点，收敛域总是由极点限定其边界的）；
¾右边序列：ROC趋于∞（收敛域Rx-<|z|≤∞）；
¾左边序列：ROC趋于0（收敛域0<|Z|<Rx+）；
¾双边序列：ROC带状（收敛域Rx-<|Z|<Rx+)；
¾因果序列：右边序列+z的非正指数项，其ROC趋于且包含∞；¾非因果序列：左边序列+z的非负指数项，其ROC趋于且包含0。
逆z 变换•观察法
•部分分式展开法
•指数展开法
•留数法
注:
•存在一般性公式
•对有理函数，有更容易的方法。
第二章Z变换50774
其Ｚ变换为
1
X (z) x (n )z n x (n )z nx (n )z n
n
n
n 0
左边序列，其收 敛域为|Z|< RX＋
右边序列，其收敛 域为|Z|＞ RX－
Im[z] Rx+
若满足RX－＜ RX＋， 则双边序列Ｚ变换的收敛域为
Rx |z|Rx
第二章 Ｚ变换
信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域 分析法。
连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变 换和傅立叶变换；
离散时间系统中，其变换域方法是Z变换和傅 立叶变换。对求解离散时间系统而言，Z变换是个极 重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差分方 程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
例如，Z[δ (n)=1]=1，在z平面处处收敛，但是 Z[δ (n-1)]=z-1，在z=0处不收敛，而Z[δ (n+1)]=z， 在z=∞处不收敛。
３、乘以指数序列（Ｚ域的尺度变换）
若 [ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
则
Z a n x (n )a n x (n )z nx (n )a ( 1 z )n X (a 1 z )
1
；
第二部分的收敛域为| az1 |1，
|a |
即 | z || a|。
已知| a |1， 所以
X (z ) 1 a a z1 z 1 a 1 z( 1 a 1 ) 1 a z ( 2a 1 )z
|a | |z|1 |a |
２．２ Ｚ反变换
求Ｚ反变换的方法通常有： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法、长除法
同济大学数字信号处理课件第二章2z反变换
1 F ( z )在围线c内只有一阶极点z 4 x ( n ) Re s[ F ( z )] 1
z
j Im[ z ]
C
1 z n 1 ( z ) 1 4 (4 z )( z 1/ 4) z 4 n 4 15
4
1/ 4
0
4 Re[ z ]
当n 1时 1 F ( z )在围线c内有一阶极点z 和-(n 1)阶极点z 0 4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式
X ( z ) [a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 …] - an z n
n 1
x(n) a n u( n 1)
z 例：X ( z ) ， 1/4< z 4，求z反变换 (4 z )( z 1/ 4)
2
解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式
z2 例1：X ( z ) ， 1/4< z 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) z2 n 1 解：x (n ) z dz c ( Rx , Rx ) 2 j c (4 z )( z 1/ 4) 2 n 1 z z n 1 其中：F ( z ) z (4 z )( z 1/ 4) (4 z )( z 1/ 4) 当n 1时 1
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 Rx z Rx , （Rx 0, Rx ） 内是解析的，则 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
X ( z)
而
Cn
n
n C z n
第2章 Z变换及Z传递函数课件
F (z) (t) (kT )zk 1 k 0
2．单位阶跃信号 f (t) 1(t)
F (z) 1(kT )z k k 0
1 z 1 z 2
1 1 z 1 z
z 1
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号 f (t) t
F ( z) kTz k k 0
zk f (kT )zk f [(k 1)T ]z(k1) f [(k 2)T ]z(k2)
zk f (mT )zm mk
zk
m 0
f
(mT )zm
k 1 m0
f
(mT
)
z
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 1
zk F (z) f (mT )zkm m0
第2章 Z变换及Z传递函数
4．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
第2章 Z变换及Z传递函数
对上式进行拉氏变换，则
F * (s) L[ f * (t)]
f
* (t ) eTs dt
k 0
f
(kT
)
(t
kT
)
e
Ts
d
t
k 0
f
(kT
)
(t
kT
)
eTs dt
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F * (s) f (kT )ekTs k 0
n
F(z)
ai z
i1 z zi
然后逐项查Z变换表，得到
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT ) (t kT ) k 0 i1
第二章Z变换
左边序列的n Z 变 换的收敛域n 一 定位于最内n 部 1 极点的内部，
其收敛域为：
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
1
X (z ) x (n )z nx (n )z n x (n )z n
n
n 0
n
双边序列 的收敛域
X(ej)1a1ej
za
此时，ROC包括了单位圆。
例2: x(n)anu(n1)
1
X(z) anzn anzn
n
n1
1aa1z1z 11az1
za
例3. x(n)(1)nu(n)2nu(n1)
2
X (z) (1)n zn 1 2n zn
n0 2
n
1
1 1
z 1
1
1 2 z 1
2
ROC: 1 z 2 2
定包括 z 点。
因果序列的收敛域为： Rx z
例1．考虑一系统，其中 H(z)11 1z112 1z1
判断其是否为因果系统？
2
z2
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。
把H(z)表示成两个多项式之比
数形式 的反变X换( z。)
3. 留数法：
由留数定理有：
x (n )1 2j
cX (z)zn 1 d zR e s[X (z)zn 1 ,zi] i
x ( n ) 等 于 X ( z ) Z n 1 在 围 线 积 分 C 内 所 有 极 点 Z i 上 的 留 数 的 总 和
反Z变换
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 X(z)的Roc为环状， x(n)是双边序列 为环状 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 z=1/4对应右边序列 z=4 先把X(z)展成部分分式 先把X(z)展成部分分式 X(z)
7
B(z) X (z) = = A(z)
M −N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
N−r
M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， X(z)的各单极点 的各单极点， 才存在Bn； Bn X(z)的一个 阶极点。而系数A 的一个r 分别为： Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：
14
内容小结
• 留数法、部分分式法、幂级数展开法（主要一阶） 留数法、部分分式法、幂级数展开法（主要一阶） matlab关注： matlab关注： 关注 多项式法：poly、residuez(留数法) 多项式法：poly、residuez(留数法) 留数法 长除法： 长除法：deconv
2Z变换(清华大学)
复Z平面上的单位圆
Im
Unit Circle
z = ejω
ω 1
Re
z-plane
收敛区域
• 对于任意序列, 对于Z变换收敛的区域成为收 对于任意序列, 对于Z 敛域， ROC。 ROC。 • Z变换收敛的标准是绝对可和： n n x [n ] z < ∞ – ∑ x [ n ]r < ∞ 或者 ∑
• 时间倒置 :
– x[-n] x[-
• 序列卷积 :
– x1[n]∗x2[n] [n]∗
• 初值定理 :
– x[n] = 0, n<0 n<0
Z反变换
• 观察法 有某些熟悉的或者凭观察就能辨认出的变换对构成。 • 部分分式展开法
X(z) =
k = 0 N k = 0
∑
M
b a
k
z z
−k
∑
=
−k
• 序列x[n] 的z变换X(z) 为 : 序列x[n] 变换X(z)
X (z) =
n=−∞
∑ x [ n ]z
∞
∞
−n
= Ζ {x [ n ]}
∆
• 如果 z = rejω :
X (z ) = X (re ) = ∑ x [n ]z
jω
−∞ ∞ −n
= ∑ x [n ](re )
−∞
jω −n
= ∑ (x [n ]r −n )e − jωn
• Example : X(z) = 1/(1-az-1), |z|>|a| /(1
1 x [n ] = 2πj
z n −1 1 ∫C 1 − az −1 dz = 2πj
∫C
z dz z −a
第二章Z变换1
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 限极点所在圆之外 – 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 限极点所在圆之内
16
j Im[ z ]
j Im[ z ]
a
a
b
0
Re[ z ]
c
b Re[ z ]
0
c
17
二、z反变换
z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n) x(n) IZT [ X ( z )]
第二章学习目标
• 掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法 • 会运用任意方法求z反变换
• 理解z变换的主要性质
• 理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系
• 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质
• 掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域
k
若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z 的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上， 则：
x ( n ) Re s[ F ( z )]z zm
m
20
留数的计算公式
单阶极点的留数：
Re s[ F ( z )]z zr [( z zr ) F ( z )]z zr
21
z2 例1：X ( z ) ， 1/4< z 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) z2 解：x(n ) z n 1dz c ( Rx , Rx ) 2 j c (4 z )( z 1/ 4) 2 n 1 z z n 1 其中：F ( z ) z (4 z )( z 1/ 4) (4 z )( z 1/ 4) 当n 1时 1
Re[ z ]
0
16
j Im[ z ]
j Im[ z ]
a
a
b
0
Re[ z ]
c
b Re[ z ]
0
c
17
二、z反变换
z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n) x(n) IZT [ X ( z )]
第二章学习目标
• 掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法 • 会运用任意方法求z反变换
• 理解z变换的主要性质
• 理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系
• 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质
• 掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域
k
若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z 的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上， 则：
x ( n ) Re s[ F ( z )]z zm
m
20
留数的计算公式
单阶极点的留数：
Re s[ F ( z )]z zr [( z zr ) F ( z )]z zr
21
z2 例1：X ( z ) ， 1/4< z 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) z2 解：x(n ) z n 1dz c ( Rx , Rx ) 2 j c (4 z )( z 1/ 4) 2 n 1 z z n 1 其中：F ( z ) z (4 z )( z 1/ 4) (4 z )( z 1/ 4) 当n 1时 1
Re[ z ]
0
§5-2 反z变换
= [ 2 ( 0 .5 ) n ]u ( n )
1 ( 0 .5) n +1 ∑0 (0 .5) k = 1 0.5 = 2[1 (0 .5) n +1 ]u ( n ) k=
n
的收敛域为: 则将分子, ⑵ 若X(z)的收敛域为:|z|<R2,则将分子,分母多项式均按升幂排 的收敛域为 列;然后作长除;取长除结果的系数即是所求序列. 然后作长除;取长除结果的系数即是所求序列.
= [ 2 ( 0 .5 ) n ]u ( n )
x(n)
2
1
0
1 2
3
4
5
6
n
例如:已知序列的 变换及其收敛域如下 试用留数法求其z反变换 变换及其收敛域如下, 反变换. 例如:已知序列的z变换及其收敛域如下,试用留数法求其 反变换.
z2 X ( z) = ( z 1)( z 0.5)
0.5 < z < 1
∑
i
Re s [ X ( z ) z n 1 ] z = z i
Zi是X(z)zn-1在围线 内的极点. 在围线C内的极点 内的极点.
处有k阶极点 阶极点, 当X(z)zn-1在z=zi处有 阶极点,对应的留数按下式求解 1 d k 1 n 1 Re s{ X ( z ) z } = { k 1 [( z z i ) k X ( z ) z n 1 ]} z = z ( k 1)! dz
x ( n ) = 2 u ( n 1) ( 0 .5 ) n u ( n )
采用围线积分法求z反变换许多时候不是一个简洁的方法.特别 采用围线积分法求 反变换许多时候不是一个简洁的方法. 反变换许多时候不是一个简洁的方法 是当X(z)是有理分式的情况,采用以下的几种方法中的一种可能更 是有理分式的情况, 是当 是有理分式的情况 简洁. 简洁.
1 ( 0 .5) n +1 ∑0 (0 .5) k = 1 0.5 = 2[1 (0 .5) n +1 ]u ( n ) k=
n
的收敛域为: 则将分子, ⑵ 若X(z)的收敛域为:|z|<R2,则将分子,分母多项式均按升幂排 的收敛域为 列;然后作长除;取长除结果的系数即是所求序列. 然后作长除;取长除结果的系数即是所求序列.
= [ 2 ( 0 .5 ) n ]u ( n )
x(n)
2
1
0
1 2
3
4
5
6
n
例如:已知序列的 变换及其收敛域如下 试用留数法求其z反变换 变换及其收敛域如下, 反变换. 例如:已知序列的z变换及其收敛域如下,试用留数法求其 反变换.
z2 X ( z) = ( z 1)( z 0.5)
0.5 < z < 1
∑
i
Re s [ X ( z ) z n 1 ] z = z i
Zi是X(z)zn-1在围线 内的极点. 在围线C内的极点 内的极点.
处有k阶极点 阶极点, 当X(z)zn-1在z=zi处有 阶极点,对应的留数按下式求解 1 d k 1 n 1 Re s{ X ( z ) z } = { k 1 [( z z i ) k X ( z ) z n 1 ]} z = z ( k 1)! dz
x ( n ) = 2 u ( n 1) ( 0 .5 ) n u ( n )
采用围线积分法求z反变换许多时候不是一个简洁的方法.特别 采用围线积分法求 反变换许多时候不是一个简洁的方法. 反变换许多时候不是一个简洁的方法 是当X(z)是有理分式的情况,采用以下的几种方法中的一种可能更 是有理分式的情况, 是当 是有理分式的情况 简洁. 简洁.
02-反z变换-1：反z变换的定义及计算方法的授课PPT
nn [n]z z1 , z (1z 1)2
So: h[n] n(0.5)n[n]
电子科技大学 通信与信息工程学院
15
2016-5-7
Inverse z-Transform via Long Division
Because in common condition, X(z) is a rational fraction, we can divide numerator polynomial by denominator polynomial to get the expansion of the power series.
• The contour integral can be evaluated using the Cauchy’s residue theorem resulting in:
Residues of X(z)zn-1
x[n]
hen:at
the
poles
电子科技大学 通信与信息工程学院
14
2016-5-7
Note: When we use long division methods, we must first estimate the ROC of x[n], then expand X(z) into appropriate power series.
电子科技大学 通信与信息工程学院
16
2016-5-7
Table Look-up Method
• Illustrate this method in following Example 3.6.1:
H
(z)
z2
0.5z , z 0.25
z
0.5
0.5z
z变换,反Z变换两部分补充PPT
Ak (1 z k z 1 ) X ( z )
Re s[
X ( z) , zk ] z
Z变换补充材料
15
逆Z变换
2、高阶极点 当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi 处还有一个s阶的极点，则其展开式 修
Bk z k
1
j Im[ z ]
n
n
a z
Z平面 收敛域
0
a
Re[ z ]
为保证收敛，则
X ( z) 1
z 1 或 | z || a | a
1 z z 1 ( a ) z a | z | | a |
Z变换补充材料
3
Z变换的定义
例3：求序列 x (n)= 解： ( z ) X (1/3)|n| 的Z变换。
零点：0，极点：3，1/3
Z变换补充材料 4
Z变换的收敛域
Z变换的收敛域 对于任意给定的序列 x(n) ，使其Z变换收敛的所有 z值的集合称为 X (z ) 的收敛域。 其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：
n
x ( n) z n
1 1 1 收敛 不定 发散
根据级数收敛的阿贝尔定理
lim
n
an
n
对于不同的序列 x(n) ，可求得相应的收敛域。
5
Z变换补充材料
Z变换的收敛域
收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大， Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+···· |z|>0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(2)z2+···· |z|< 如果是右边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， |z|>也位于收敛域内。
自动控制原理--Z变换与反变换
k 1 k k 1 前向和后向差分示意图
例17 一阶采样系统的差分方程为
yk 1 byk r t
其中b为常数, r k ak , y0 0,求响应y k 。
解:对方程两边进行在z变换，并由实移定理
zY z y0 bY z Rz
因为 r k ak，R z z ，y 0 0
za
Z t eat
Tz eaT z eaT 1 2
例14 求 f t k cost 的变换。
解：已知函数 cost的变换为
Zcost zz cosT
z 2 2z cosT 1
根据z域尺度定理可得
Z k cost
z
z
cosT
z 2 2 z cosT 1
2 2
3、Z反变换
Z变换与反变换
• 线性连续控制系统可用线性微分方程来 描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性 能及稳态性能。
• 对于线性采样控制系统则可用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性 能及稳态性能。
• Z变换是研究采样系统主要的数学工具， 由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号 的拉普拉斯变换。
• 连续信号f（t）的拉普拉斯变换为 • 连续信号f（t）经过采样得到采样信号f*（t）为
对上列级数求和，写成闭合形式，得
E(z)
1 1 z1
z
z 1
例6 试求单位理想脉冲序列的 z变换。
解：由于T为采样周期，所以
e(t) T (t) (t kT ) k 0
显然只有当 t kT 时，所以其z变换式为
E z Z T 1kT zk 1 z1 z2
k 0
z z 1
线性定理表明,时域函数线性组合的z变换等于 各时域函数z变换的线性组合。
例17 一阶采样系统的差分方程为
yk 1 byk r t
其中b为常数, r k ak , y0 0,求响应y k 。
解:对方程两边进行在z变换，并由实移定理
zY z y0 bY z Rz
因为 r k ak，R z z ，y 0 0
za
Z t eat
Tz eaT z eaT 1 2
例14 求 f t k cost 的变换。
解：已知函数 cost的变换为
Zcost zz cosT
z 2 2z cosT 1
根据z域尺度定理可得
Z k cost
z
z
cosT
z 2 2 z cosT 1
2 2
3、Z反变换
Z变换与反变换
• 线性连续控制系统可用线性微分方程来 描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性 能及稳态性能。
• 对于线性采样控制系统则可用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性 能及稳态性能。
• Z变换是研究采样系统主要的数学工具， 由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号 的拉普拉斯变换。
• 连续信号f（t）的拉普拉斯变换为 • 连续信号f（t）经过采样得到采样信号f*（t）为
对上列级数求和，写成闭合形式，得
E(z)
1 1 z1
z
z 1
例6 试求单位理想脉冲序列的 z变换。
解：由于T为采样周期，所以
e(t) T (t) (t kT ) k 0
显然只有当 t kT 时，所以其z变换式为
E z Z T 1kT zk 1 z1 z2
k 0
z z 1
线性定理表明,时域函数线性组合的z变换等于 各时域函数z变换的线性组合。
_2第二章z变换
P(z) X (z) Q( z )
P( z ) 0的根 零点 Q( z ) 0的根 极点
X(Z)=
n
在极点处Z变换不存在
x ( n) z n
2.5.1 Z变换的收敛域
Z变换存在的条件：
n
x ( n) z n
收敛
使上式成立的Z变量取值的范围称为收敛域（ROC）。
解
X ( z)
n n u ( n ) z z n 0
n
n
x ( n) z n
X(z)存在的条件是|z－1|<1，因此收敛域为|z|>1, 因此
X ( z) 1 1 z 1 | z | 1
零点和极点??
收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在 一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变 换是可以存在的。
2.5 序列的Z变换
• • Z变换的定义 Z变换的收敛域
•
•
逆Z变换
Z变换的性质和定理
•
利用Z变换求解差分方程
2.5.1 Z变换的定义（正变换）
序列x(n)的Z变换定义为 双边Z变换
X ( z)
n
z复变量、z平面
x ( n) z n
因果序列
单边Z变换
X ( z ) x(n) z
n z
z x(n)=anu(n) anu(n 1) 1
线性叠加后，序列的z变换收敛域扩大 到全平面。
（2）时域平移性
ROC保持不变
双边Z
若x(n) X ( z)
双边Z变换
则x(n m) z X ( z)
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某圆环内
z-1 z z-1与z
例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解：将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 ：已知 解：
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地，Z变换式为有理分式的情形，可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列，不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列，不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列 分子分母按升幂排列
例： X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列，同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X（z）可以分解成
其中
是简单的分式，可以通过Z变换表
3
1
，显然， X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外，围
线c之内包含X0(z)的两个极点，所以有：
• 当n<1-m=0时，x(n)=0；而当n≥1-m=0时，有：
• 当n≥1=m=0时，x(n)=0；而当n<1-m=0时，有：
1
x2
(n)
Hale Waihona Puke Res[ X1 (z),
z
1]
Re
s[ X1 (z), z
z z0
若z0是一阶极点，即s=1，则此留数为
Re s X z z n1, z z 0 z 0
留数定理：设函数 在区域 D内除有限个孤立奇点 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
外处处解析，C为D
D
zn Cn
z1 C
C3 z3
z2 1 C2
C
留数法思路
1. 由于积分围线c在X(z)的收敛域内，所以首先要确定收敛域， 如未给定要根据其极点确定。
2. 考虑被积函数X(z)zn-1在c内或c外的极点的情况确定用(a)式或 (b)式来计算。原则是选择X(z)zn-1有有限个极点且极点阶次有 限的区域来求留数，而尽量避免求z=∞的留数。
3. 如收敛域在一圆外，应计算n>0时的x(n)，选择（a）式，因 为此时在c内有有限个阶次有限的极点，zn-1在z=0处解析； 如收敛域在一圆内，应计算n<0时的x(n)，选择（b）式； 当收敛域在某一圆环内，应利用X(z)在c内的极点求得n>0的 x(n)，而利用c外的极点求得n<0的x(n).
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
积分路径C是一条在X(z)收敛环域（Rx-，Rx+）内的一条包围 原点的闭合曲线。
上式中的积分，应用留数定理来求
x (n ) 1 X (z )z n 1dz
2j
X z z n 1在c内极点上的留数,
(a )
x (n ) 1 X (z )z n 1dz
2j
X z z n 1在c内极点上的留数,
(b )
若X(z)zn-1是z的有理函数，设z0是它的一个s阶极点，可以将X(z)zn-1表示为
X
z
z
n 1
z z z 0 s
则 z 在z=z0解析， X(z)zn-1在z=z0的留数为
Re s
X
z z n 1, z
z 0
s
1 d s 1 z 1 ! dz s 1
2.7.3 Z反变换
即由Z变换式X(z)求相应的序列x(n)， 常用
Z-1[x(z)]表示，
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
c (Rx , Rx )
逆z变换是一个对X(z)zn-1进行的围线积分，积 分路径C是一条在X(z)收敛环域（Rx-，Rx+）
以内反时针方向绕原点一周的单围线。
求解反z变换的常用方法有常见的方法有
➢ 幂级数法 ➢ 部分分式法 ➢ 留数法
1.幂级数法
由上已知，Z变换是一个幂级数表示式
X
z
Zxn
xn
z
n
n
那么，求X(z)的反变换只要将其展开为幂级数形式， 再与上式相比较，其系数便是所求的序列x(n)。
幂级数的展开形式还必须依据收敛域
收敛域
级数形式
某一圆外 某圆内
查得其对应的反Z变换.根据Z 变换的线性
得到对应的序列
例如:
1. 如可将X(z)表示成
z
X
z
i
A i
z
a
i
则对右边序列有
xn
A i
a i
nu
n
i
则对左边序列有
xn
A i
a i
nu
n
1
i
2. 如可将X(z)表示为
X z
B i
i
z zb
C i
i
z zc
i
i
于是，
xn
B i
bun i
C i
c i
u
n
4. n=0的情形要单独地与n>0的情况同样处理
• 例2.17 用留数法求 X (z) z
的 z 反变
3z2 4z 1
换。 • 解：
z
z
X (z)
3 z 2 4 z 1 3 3
3(z 1)( z 1) 3
•
X 1 (z)
X ( z) z n1
3( z
zn 1)( z
1)
X 0 ( z) z mn1
1
z 5
0
1 n z n
2 1 z / 2 2 n0 2 2 2 n
再利用Z变换的线性和位移特性
Z ax n by n aX z bY z
对应序列为
1 n u n
2
Zxn n0 zn0 X z Rx z Rx
于是可知X(z)所对应的序列为
xn
1
1
n5
1
i
i
例2.7 已知
X z
z2
,
1 z 3
2z2 7z 3 2
将其化为部分分式之和
解：
X z
1
1
z 1
z 1 z1
z
z 3 2z 1 z 3 2 z 1 2
于是，
xn 3n1u n 1 1 1 1 n1un 1
22
3. 留数法
由Z变换X(z)求其相应的序列x(n)，有下面的Z反变换关系式：
x1 (n)
Re
s[
X1(z),
z
1]
Re
s[ X1
(z),
z
1] 3
(z
-1)X1 (z)
z 1
(z
1 3
)
X
1
(
z)
1 z
3
zn 1
3(z )
z 1
zn 3(z 1)
1 z
3
3
1
1
1
n
2 23
(2）收敛域|z|<1/3: 此时收敛域在|z|=1/3的园内，围
线c之外包含X0(z)的两个极点，所以有：
z-1 z z-1与z
例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解：将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 ：已知 解：
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地，Z变换式为有理分式的情形，可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列，不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列，不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列 分子分母按升幂排列
例： X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列，同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X（z）可以分解成
其中
是简单的分式，可以通过Z变换表
3
1
，显然， X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外，围
线c之内包含X0(z)的两个极点，所以有：
• 当n<1-m=0时，x(n)=0；而当n≥1-m=0时，有：
• 当n≥1=m=0时，x(n)=0；而当n<1-m=0时，有：
1
x2
(n)
Hale Waihona Puke Res[ X1 (z),
z
1]
Re
s[ X1 (z), z
z z0
若z0是一阶极点，即s=1，则此留数为
Re s X z z n1, z z 0 z 0
留数定理：设函数 在区域 D内除有限个孤立奇点 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
外处处解析，C为D
D
zn Cn
z1 C
C3 z3
z2 1 C2
C
留数法思路
1. 由于积分围线c在X(z)的收敛域内，所以首先要确定收敛域， 如未给定要根据其极点确定。
2. 考虑被积函数X(z)zn-1在c内或c外的极点的情况确定用(a)式或 (b)式来计算。原则是选择X(z)zn-1有有限个极点且极点阶次有 限的区域来求留数，而尽量避免求z=∞的留数。
3. 如收敛域在一圆外，应计算n>0时的x(n)，选择（a）式，因 为此时在c内有有限个阶次有限的极点，zn-1在z=0处解析； 如收敛域在一圆内，应计算n<0时的x(n)，选择（b）式； 当收敛域在某一圆环内，应利用X(z)在c内的极点求得n>0的 x(n)，而利用c外的极点求得n<0的x(n).
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
积分路径C是一条在X(z)收敛环域（Rx-，Rx+）内的一条包围 原点的闭合曲线。
上式中的积分，应用留数定理来求
x (n ) 1 X (z )z n 1dz
2j
X z z n 1在c内极点上的留数,
(a )
x (n ) 1 X (z )z n 1dz
2j
X z z n 1在c内极点上的留数,
(b )
若X(z)zn-1是z的有理函数，设z0是它的一个s阶极点，可以将X(z)zn-1表示为
X
z
z
n 1
z z z 0 s
则 z 在z=z0解析， X(z)zn-1在z=z0的留数为
Re s
X
z z n 1, z
z 0
s
1 d s 1 z 1 ! dz s 1
2.7.3 Z反变换
即由Z变换式X(z)求相应的序列x(n)， 常用
Z-1[x(z)]表示，
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
c (Rx , Rx )
逆z变换是一个对X(z)zn-1进行的围线积分，积 分路径C是一条在X(z)收敛环域（Rx-，Rx+）
以内反时针方向绕原点一周的单围线。
求解反z变换的常用方法有常见的方法有
➢ 幂级数法 ➢ 部分分式法 ➢ 留数法
1.幂级数法
由上已知，Z变换是一个幂级数表示式
X
z
Zxn
xn
z
n
n
那么，求X(z)的反变换只要将其展开为幂级数形式， 再与上式相比较，其系数便是所求的序列x(n)。
幂级数的展开形式还必须依据收敛域
收敛域
级数形式
某一圆外 某圆内
查得其对应的反Z变换.根据Z 变换的线性
得到对应的序列
例如:
1. 如可将X(z)表示成
z
X
z
i
A i
z
a
i
则对右边序列有
xn
A i
a i
nu
n
i
则对左边序列有
xn
A i
a i
nu
n
1
i
2. 如可将X(z)表示为
X z
B i
i
z zb
C i
i
z zc
i
i
于是，
xn
B i
bun i
C i
c i
u
n
4. n=0的情形要单独地与n>0的情况同样处理
• 例2.17 用留数法求 X (z) z
的 z 反变
3z2 4z 1
换。 • 解：
z
z
X (z)
3 z 2 4 z 1 3 3
3(z 1)( z 1) 3
•
X 1 (z)
X ( z) z n1
3( z
zn 1)( z
1)
X 0 ( z) z mn1
1
z 5
0
1 n z n
2 1 z / 2 2 n0 2 2 2 n
再利用Z变换的线性和位移特性
Z ax n by n aX z bY z
对应序列为
1 n u n
2
Zxn n0 zn0 X z Rx z Rx
于是可知X(z)所对应的序列为
xn
1
1
n5
1
i
i
例2.7 已知
X z
z2
,
1 z 3
2z2 7z 3 2
将其化为部分分式之和
解：
X z
1
1
z 1
z 1 z1
z
z 3 2z 1 z 3 2 z 1 2
于是，
xn 3n1u n 1 1 1 1 n1un 1
22
3. 留数法
由Z变换X(z)求其相应的序列x(n)，有下面的Z反变换关系式：
x1 (n)
Re
s[
X1(z),
z
1]
Re
s[ X1
(z),
z
1] 3
(z
-1)X1 (z)
z 1
(z
1 3
)
X
1
(
z)
1 z
3
zn 1
3(z )
z 1
zn 3(z 1)
1 z
3
3
1
1
1
n
2 23
(2）收敛域|z|<1/3: 此时收敛域在|z|=1/3的园内，围
线c之外包含X0(z)的两个极点，所以有：