2019年第41届环球城市高中数学竞赛秋季赛

第41届环球城市数学竞赛秋季赛 O 级别
海亮高级中学 龙崎钢 译
比赛时间: 2019年秋
高级组
1. （3分）魔术师表演如下魔术: 他在桌上将52张扑克牌摆成一排.
在每一步中, 一位观众被邀请上台,说出一个整数, 随后魔术师从牌堆一侧开始数, 数到这个整数时, 将其所对应位置那张牌丢掉. 当然, 从左侧还是右侧开始数由魔术师决定. 在魔术开始之前, 魔术师宣布, 经过若干步操作之后, 桌上只会留下一张牌, 就是草花三. 那么, 魔术师在魔术开始时, 应该把草花三放在什么位置, 才能确保魔术一定成功?
2. （4分）凸五边形ABCDE 中, AE ∥CD, AB ＝BC. ∠A 和∠C 的平分线交于点K. 求证: BK ∥AE.
3. （4分）黑板上写有一个整数. 智多星对这个数字进行若
干次操作, 每次他可以将原数字x 替换为3x ＋1或者2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,即不大于2
x 的最大整数. 证明: 若一开始的数字为1, 那么智多星可以进行有限步操作之后, 将其变为任意一个数字.
4. （5分）在一个多边形中, 任意两个相邻的边都互相垂直. 如果有两个点所对应的角平分线互相垂直, 就称这两个点为”不统一的”. 证明: 对多边形的任意一个顶点, 跟它成”不
统一的”点的个数为偶数.
5. （5分）一行100个单元格里各有一枚互不相同的筹码. 向荷官付1元可以交换两个相邻的筹码的位置. 同时, 如果两个筹码之间有4个筹码, 那么你可以免费交换它们的位置. 智多星想要通过若干次交换,使得这些筹码的顺序正好与初始的顺序相反, 那么他至少需要付给荷官多少元?
初级组
1. （4分，与高级组第一题相同）魔术师表演如下魔术: 他在桌上将52张扑克牌摆成一排.
在每一步中, 一位观众被邀请上台,说出一个整数, 随后魔术师从牌堆一侧开始数, 数到这个整数时, 将其所对应位置那张牌丢掉. 当然, 从左侧还是右侧开始数由魔术师决定. 在魔术开始之前, 魔术师宣布, 经过若干步操作之后, 桌上只会留下一张牌, 就是草花三. 那么, 魔术师在魔术开始时, 应该把草花三放在什么位置, 才能确保魔术一定成功?
2. （4分）圆ω的圆心为O, 圆上有两个不重合的点A和
C. 对圆上任意一点P, 设X和Y分别为AP和CP的中点, H 为△OXY的垂心. 证明: H的位置与P点无关.
3. （4分，高级组第五题削弱版）一行100个单元格里各有一枚互不相同的筹码. 向荷官付1元可以交换两个相邻的筹码的位置. 同时, 如果两个筹码之间有3个筹码, 那么你可以免费交换它们的位置. 智多星想要通过若干次交换,使得这些筹码的顺序正好与初始的顺序相反, 那么他至少需要付给荷官多少元?
4. （5分）已知有1000个数字121000,,...a a a . 智多星将它们
的平方2211000,...a a 写在一个圆周上, 使得圆周上任意连续41
个数的和正好是241的倍数. 那么, 是否121000,,...a a a 都一定是41的倍数?
5. （5分）智多星有两种砖头, 一种是1×1×3型的, 另一种是Γ型的,由3块1×1×1的立方体组成, 如下图所示. 已知智多星用这两种砖头填满了一个m ×n ×k 的盒子, 其中m,n,k 都是大于1的整数. 证明: 智多星可以只用Γ型砖头填满这个盒子.
第41届环球城市数学竞赛秋季赛 A 级别
海亮高级中学 龙崎钢 译
比赛时间: 2019年秋
初级组
1. (4分)对大于1的正整数n, 设n 的素因数分解中因子的个数为n 的复杂度. 例如, 数字4和6的复杂度都是
2.
(1) (2分)若所有位于n 和2n 之间的整数, 其复杂度不大于n 的复杂度, 求n 所有的可能的值.
(2) (2分)求所有位于n 和2n 之间的整数, 其复杂度小于n 的复杂度, 求n 所有的可能的值.
2. (7分)在锐角三角形ABC 边BC 上取两个点11,B C , 再在△ABC 内部取一个点1A , 使得111A B C 也为锐角三角形.
证明: 1111111
A B C ABC S S AB AC A B AC >++. 3. (7分,与高级组第三题相同)有100枚外观完全相同的硬币, 分为金银铜三种, 每种至少有一枚. 每个金币重3克, 每个银币重2克, 每个铜币重1克. 现有一个无砝码的天平, 允许称重不超过101次, 如何分辨出每一枚硬币的材质?
4. (7分)已知O 为△ABC 的外心, 过O 作∠B 的内角平分线和外角平分线的垂线, 垂足分别为P , Q. 连接CB 中点M 和AB 的中点N, 证明线段MN 被直线PQ 等分.
5. (8分)若两个不同的正整数m,n满足mn和(m＋1)(n＋1)都是完全平方数, 就称(m,n)是一对好对子.
证明: 对任意正整数m, 至少存在一个正整数n大于m, 使得(m,n)是一对好对子.
6. (8分)智多星有若干张百元大钞, 且没有其他现金. 他用这些钱去书店买书, 每本书的价格都是正整数, 且他获得的找零都是1元硬币. 当智多星购买价格为100元或以上的书籍时, 他只用百元大钞付款. 当他购买价格不超过100元的书籍时, 他尽可能地使用零钱付款. 当智多星所有百元大钞都被用掉时, 他所剩的现金为之前的一半. 那么, 智多星是否可能花费了超过5000元?
7. (10分)智多星有一枚方格子印章, 他将其中102个格子涂上了黑色墨水. 之后呢, 他用这枚印章在一张白纸上盖了100次章, 每次盖章时, 都只有这102个黑格子在纸上留下了黑色印记. 那么, 是否可能在智多星盖了100次章之后, 纸上的一个101×101的方格中, 除了一个角落之外,其他所有的格子都是黑色的?
高级组
1. (5分)多项式P(x,y)满足: 对任意非负整数n, 多项式P(n,y)和P(x,n)要么为次数不超过n 的多项式, 要么为常数0. 那么, 多项式P(x,x)的次数是否可能为奇数?
2. (5分)锐角△ABC 内部有一点P . 直线AP , BP , CP 分别和BC, AC, AB 边交于点A ’, B ’, C ’. 以AA ’, BB ’, CC ’为直径作圆, 再在每个圆内, 过P 点作垂直于直径的弦.
若所有的弦长相等, 求证: P 为△ABC 垂心.
3. (6分) 有100枚外观完全相同的硬币, 分为金银铜三种, 每种至少有一枚. 每个金币重3克, 每个银币重2克, 每个铜币重1克. 现有一个无砝码的天平, 允许称重不超过101次, 如何分辨出每一枚银币的材质?
4. (10分)递增数列21012......a a a a a --<<<<<在两个方向都有无穷项. 对常数k, 设k b 表示这个数列中, 任意k 项的和
除以其中最大的一项的比值的上界. 证明: 数列123,,...b b b 要么与1,2,3…一致, 要么在某一项之后为常数.
5. (12分)凸四边形ABCD 内的一点M 到直线AB 和CD 的距离相等, 到直线BC 和AD 的距离也相等. 已知ABCD 的面积等于MA ∙MC ＋MB ∙MD. 求证:
(1) (6分)四边形ABCD 存在内切圆.
(2) (6分)四边形ABCD 存在外接圆.
6. (12分)一个由3
N个单位立方体组成的大立方体被若
(2)
干平行于它的边的针穿过, 每根针恰好穿过2N个单位立方体, 且每个单位立方体都至少被一根针穿过. 对这些针所组成的集合的某个子集, 如果其中任意两根针都没有穿过相同的单位立方体, 就称这个子集是”常规”的.
(1) (6分)证明: 存在一个由2
2N根针组成的”常规”的子集, 其中所有的针的方向至多只有2个.
(2) (6分)对不同的刺穿方法, ”常规”的子集的元素个数的最大值至少是多少?
7. (12分)将整数1,2,3…n中的一部分染成红色, 使得其中任意三个红色数a,b,c(不一定互不相同)满足()
-是n的倍
a b c
ϕ.
数的必要条件是b＝c. 证明: 红色数的个数不超过()n ϕ表示1,2,…n中与n互素的正整数的个数.
注: ()n。