重力热管数学模型的建立及求解过程及程序设计

三章重力热管数学模型的建立及其模拟求解
3.1重力式热管模型建立的分析思路
对于重力式热管的凝结换热特性进行深入的分析。

分析的基本思想如下: （1）对层流状态下的竖壁凝结换热建立模型，提出合理的假设条件；
（2）取液膜微元控制体，对它进行受力分析和能量平衡分析，建立动量方程和能量方程，合理简化边界条件。

简化方程，找出液膜厚度、切应力与液膜下降高度间的关系式；
（3）通过能量平衡关系式，由己知的热管内压强（定性温度）和冷却介质带走的热热流，计算出热管的内壁温度；
（4）离散液膜长度，假设在每一个微元液膜段内，液膜内的各个参数都是一样的（如果微元液膜足够小的话，这个假设是成立的），积分得到边界方程，并求得各个关系式；
（5）在各个离散点处求出凝结换热系数，然后计算出所有离散点的凝结换热系数的算术平均值作为所要求的凝结换热系数的数值解。

3.2物理模型建立和数学描述
3.2.1模型合理的简化和假定
图3-1重力式热管冷凝段模型
热管内部的冷凝液膜和热管的内径比起来很薄，因此研究热管内部的凝结换热可以简化成研究大平板表面的凝结换热处理，这样可以使问题变得简单化。

只考虑竖直方向，其他方向不考虑。

在竖直的热管中，没有不凝结气体的影响，建立坐标系，它的流动模型如图3-1所示。

在分析中，作若干合理的简化假定以忽略次要因素。

除了已经明确的纯净饱和蒸汽层流液膜的假定外，还有:
（1）蒸汽及凝结液的热物性是常数；
（2）液膜的惯性力可以忽略（即控制方程中的对流项可以忽略不计）；
；
（3）汽液界面上无温差，界面上液膜温度等于饱和温度t
sat
（4）膜内的温度分布是线性的，即认为液膜内的热量转移只有导热，而无对流作用；
（5）液膜表面平整无波动。

（6）忽略不凝结气体的影响。

3.2.2理论推导
建立如图 3-1所示的凝结液膜柱坐标系统，进行理论分析。

应用N-S 方程，列出液膜在竖直管内的连续性方程、动量方程和能量方程。

（1）连续性方程
0)(1=∂∂+∂∂rv r
r x u （3.1） （2）轴向动量方程
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂++∂∂-=∂∂+∂∂r u r r r x u x g x p
r rvu r x uu 1)(1)(μρρρ 应用假设条件可以得到动量方程的简化形式： 0)(1=-+⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂g r u r r r v l ρρμ
（3.2） 动量方程的边界条件为
0,==u R r r
u R r ∂∂=-=μ
τδδ, 其中u 为冷凝液膜的流动速度，μ为冷凝液膜的动力粘度。

（3）能量方程
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂+∂∂r T r r r x T x r rvT c r x
uT c p p 1)
(1)(λρρ 应用假设条件可以得到能量方程的简化形式：
01=⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂r T r r r （3.3） 其对应的边界条件为
w T T R r ==, v T T R r =-=,δ
（4）能量平衡方程
图3-2 控制体热量传递分析图
在任意水平截面上，取高度为dx 的单位宽度的液膜控制体，对该控制体进行能量平衡分析，如图所示，有
[]
[]
[]
{
}
⎰⎰⎰-++-++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=-++⨯=δδ
δρρλρ000
)()()(dx
rdr T T c i u dx d rdr T T c i u dx r T R dr r T T c i u i m
d v p f v p f R r v p f g
通过初步处理可以得到
{}dx rdr T T uc dx
d
Rdx T T h m
d v
p
w v fg ⎰-+-=⨯δρδλ0
)()( （3.4）
这就是控制体的能量守恒方程式。

3.2.3对冷凝段模型的数学描述
（1）冷凝段液膜速度及汽液界面处速度的数学描述方程。

对动量方程（3.2）积分求解可以得到，液膜速度的分布式：
R
r R g R r R g u l v
l l i l v l ln )(2)()(4222⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+--=
δμρρμτδμρρ （3.5） 汽液界面处液膜的流动速度即为δ-=R r 时的u 值，有
R R R g R R g u l v
l l i l v l li δδμρρμτδδδμρρ-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-+--=
ln )(2)()2(42 （3.6） （2）冷凝段液膜内的温度分布数学描述方程。

对能量方程（3.3）积分求解可以得到，液膜内的温度分布：
)
ln(ln )
ln(ln ln )ln(ln δδδ----+---=
R R R T R T r R R T T T w v
v w （3.7） （3）冷凝段液膜单位弧度质量流量的描述方程。

⎰=δ
ρ0
urdr m
将速度分布式代入上式，化简可得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+=24
3232
46231R R R R g m l
i
l l l δδδμτρδμρ （3.8） （4）冷凝段的通用控制方程。

将u 、T 、m
的表达式（3.5）（3.7）（3.8）代入能量平衡方程，积分化解可以得到
034=--Cx B A i δτδ （3.9）
其中， 3
/422323)(4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l l p w v fg l g c T T h A μρμμ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3/1232)/(9)(3l l l p w v
fg
l g g c T T h B μρμρμμ
3/12
2)/(l g C μρλ=
（5）冷凝段汽液界面切应力的数学描述。

f m i τττ+= 其中，i τ为界面切应力，m τ为摩擦切应力，f τ为相变切应力。

)()()(li v fg w v l li v m u U h T T u U +⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=+=δλξτ
2)(2
li v v f f u U c +=
ρτ
其中c f 为摩擦系数是Re v 的函数[6]，其取值对应关系如下表
表3-1
Re v
摩擦系数c f 0 < Re v <= 2000
c f = 16 / Re v
v
li v v v u U D μρ)
(Re +=。

根据质量平衡关系，来计算蒸汽平均流速v U 。

热管稳态工作时，近似认为在同一水平截面上汽液两相的质量流量相平衡，则有D
m
U v v ρ 4=。

2000<Re v <= 4000 c f = Re v 0.33 / 1525 4000<Re v <= 30000 c f = 0.079 × Re v -0.25 30000<Re v <= 106
c f = 0.046 × Re v -0.2。