运输配送图与网络分析

证明: V1--奇点的集合, --奇点的集合 证明:设 V1--奇点的集合, V2---偶点的集合 V2--偶点的集合
v V ∈1
∑d(v) + ∑d(v) = ∑d(v) = 2q
v V ∈2 v V ∈
偶数
偶数
偶数
第二节
树
一、树及其性质 在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非常具有应用 价值的图，这就是树。树在自然科学和社会科学,特别是在计 树 算机科学领域中有广泛的应用。 例：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任意 两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。 v2 v1 六个城市的一个电话网就作成一个图。
第二节
树
二、图的生成（支撑）树 定义15 设图K=(V,E’)是图 G=(V,E)的一生成（支撑）子 图,如果图K=(V,E’)是一个树,那么称K是G的一个生成树。 G中属于生成树的边称为树枝，不在生成树上的边称为弦。 例如,图3b 是图3a 的一个生成树。 v5 v3 v5 v3 v1 v6 v2 v2 a v4 b v4 v1 v6
你能笔尖不离纸， 你能笔尖不离纸，一笔画出图中 的每个图形吗？ 的每个图形吗？
判断下列图形能否一笔画
图1
图3
图5
图2
图4
图6
下图是一个公园的平面图，要使游 人走遍每一条路不重复，出口和入 口应设在哪儿？
甲乙两个邮递员去送信， 甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速 度走遍所有的街道，甲从A点出发， 度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从 B点出发，最后都回到邮局（C）。如果 点出发，最后都回到邮局（ ）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？ 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
徐州
连云港 上海
一、图与网络的基本知识
例2:有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1…v6表示 这六支球队。它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已 知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜v5队，如此等等。这 个胜负情况，可以用图2所示的有向图反映出来。
v2 v4
v1
v6
v3 图2
v5
一、图与网络的基本知识
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关系， 常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。 例1:图1是我国北京、上海、重庆等十四个城市之间的 铁路交通图，这里用点表示城市，用点与点之间的线表示城 市之间的铁路线。
太原 石家庄 北京 天津 塘沽
济南
青岛
郑州 重庆 武汉 图1 南京
这个图必须是连通图。
v3 v4
v5 v6
这个图必须是无圈的。 图是一个不含圈的连通图，代表了一 个电话线网。
第二节
树
再比如， 再比如，乒乓球单打比赛抽签后的对阵形式以及企业的 组织结构图等。 组织结构图等。 总经理 市场 总监 市 场 总 学 术 总 常务副 总经理 教 质 部 研 发 部 学术 总监 人 事 部
v4
v3
无向图的有关概念
端点: u,v是 的端点, 端点: e=[u,v]∈E, 则u,v是e的端点, u,v相邻 相邻. 称u,v相邻. 关联边: e是点u,v的关联边 是点u,v的关联边. 关联边: e是点u,v的关联边. e是环 是环. 环: 若u=v, e是环. 多重边: 两点之间多于一条边. 多重边: 两点之间多于一条边. 简单图: 无环,无多重边的图. 简单图: 无环,无多重边的图. 多重图: 无环,允许有多重边的图. 多重图: 无环,允许有多重边的图.
第二节
V2 e1 V1 e2 V3 e1 e3 e5 e4 V4 e7 e8 e6
树
圈(v1,v2,v3,v1)去e3 ； V5 圈( v3,v4 v5,v3 )去e6 ； 圈( v1,v2,v4,v3,v1 )去e4 ；
圈( v1,v2,v5,v4,v3,v1 )去e7； 得到生成树，如图所示。 e8
判定标准1: 判定标准 在最优邮递路线上，图中的每一条 边至多有一条重复边。 判定标准2 判定标准 : 在最优邮递路线上，图中每一个 圈的重复边总权小于或等于该圈总权的一半。
A 1
B 1
C 1 2 3
D 1 J
E
2
2
2
G 1 2
H
1
I 2 N 1
K
L
2
M
2
图1
求解步骤： 求解步骤： 1、在线性图中，添加弧（即双线条），使得到的新图 、在线性图中，添加弧（即双线条），使得到的新图 ）， 上没有奇点，如图2所示 所示。 上没有奇点，如图 所示。 （注意：如果邮递员走遍所有的路段，则路线图上所有 注意：如果邮递员走遍所有的路段， 的点都必须变成偶点，每一个点至少有一进一出。） 的点都必须变成偶点，每一个点至少有一进一出。）
A
B C D E
F G H
第二节
定义14 定义14
树
连通且不含圈的无向图称为树。 连通且不含圈的无向图称为树。
树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。 树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。 树的性质可用以下定理表示： 定理6 图T=(V,E)，|V|=n,|E|=m,则下列关于树的说法是等 价的： 1 T是一个树。 2 T无圈，且m=n-1。 3 T连通，且m=n-1。 4 T无圈，但每加一新边即得惟一一个圈。 5 T连通，但任舍去一边就不连通了。 6 T中任意两点，有惟一链相连。
图3 显然，如果图K=( V, E’ )是图G=(V, E)的一个生成树，那么K 的边数是n(G)-1，G中不属于生成树K的边数是m(G)-n(G)+1。
第二节
图的生成树的求法1 图的生成树的求法1：
树
定理7充分性的证明，提供了一个寻找连通图生成树的方 法,叫做“破圈法”。就是从图中任取一个圈，去掉一条边。 “破圈法” 再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得 到一个生成树。 例:用破圈法求下图的一个生成树。 V2 e1 V1 e2 V3 e3 e4 V4 e5 e7 e8 e6 V5
图与网络分析
问题提出 应用：生产组织，邮递员问题，通讯 网络等。 哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题 在图中找一条经过每边一次且仅一次 A 的路——欧拉回路。
A 由点和边组成
B D C
C B
ห้องสมุดไป่ตู้
D
“环球旅行”问题 环球旅行” 环球旅行 在图中找一条经过每个点一次且仅一 次的路——哈密尔顿回路。 “中国邮路问题” 中国邮路问题” 中国邮路问题 在图中找一条经过每边的最短路—— 类似带权的欧拉回路。 “货郎担问题” 货郎担问题” 货郎担问题 在图中找一条经过每个点一次且仅一次 的最短路——带权的哈密尔顿回路。
以点v为端点的边的个数称为v的次. 次: 以点v为端点的边的个数称为v的次. 表示为: 表示为: d(v) 悬挂点: 次为1的点. 悬挂点: 次为1的点. 悬挂边: 悬挂点的关联边. 悬挂边: 悬挂点的关联边. e 孤立点: 次为0的点. 孤立点: 次为0的点. 1 奇点: 次为奇数的点. 奇点: 次为奇数的点. 悬挂边 偶点: 次为偶数的点. 偶点: 次为偶数的点. v 1
v2 e3 v3
e7
有向图：由点和弧组成。表示为： 有向图：由点和弧组成。表示为： D=（V，A） （ ， ） V--点集合 A--弧集合 点集合 弧集合 v5 点数: 点数 p(G) 或 p(D) 边数: 边数 q(G) v1 弧数:q(D) 弧数 例：右图 v2 V={v1，v2,…,v5} A={a1，a2,…,a7} a1={v1,v5},a2={v5,v4},…,a7={v1,v4}
B C D E 1 1 1 2 3 J 1 2
2
2
G 1 2
H
1
I 2 N 1
K
L
2
M
2
图3
总长度为8，而添弧总长度 总长度为 ， 为5，所以去掉原来的添弧 ， I-K,I-M,在该圈未添弧的 在该圈未添弧的 路段K-N,M-N上添弧。 路段 上添弧。 上添弧
A 1 B 1 C 1 2 3 G 1 2 N L 2 M 2 H 1 I 2 1 K J D 1 2 E
2
2
图2
总长度为6，而添弧总长度 总长度为 ， 为5，所以去掉原来的添弧 ， B-H,H-I和C-I,在该圈未 和 在该圈未 添弧的路段B-C上添弧。 添弧的路段 上添弧。 上添弧
A
2、调整添弧，使每个圈的添弧总长度不大于圈总长度 、调整添弧， 的一半。 的一半。
第二节
树
求最小生成树的常用方法有破圈法 破圈法： 破圈法 ① 在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已经得到 最短树或网络不存在最短树； ② 去掉该圈中权数最大的边； 反复重复 ① ② 两步，直到得到最小生成树。
v5 4 1 5 v2 图4a 2 v4 7 3 4 v6
例5 某六个城市之间的道路网如图 4a所示，要求沿着已知长度的道路 联结六个城市的电话线网，使得电 话线的总长度最短。
1.图的基本概念 1.图的基本概念
例 1: 铁路交通图 例 2: 球队比赛图 表示研究对象. 点: 表示研究对象 连线： 连线：表示两个对象之间的某种特定关 系。 关系的对称性： 关系的对称性：两对象之间的关系可互 换。
边：不带箭头的联线，表示对称关系。 不带箭头的联线，表示对称关系。 带箭头的联线，表示不对称关系。 弧：带箭头的联线，表示不对称关系。 无向图：简称图，有点和边组成。 无向图：简称图，有点和边组成。 表示为： 表示为： G=（V，E） （ ， ） e 1 V--点集合 E--边集合 v 点集合 边集合 e2 1 例：右图 V={v1，v2，v3，v4} e6 e5 E={e1，e2，…,e7} e1=[v1,v2]e2=[v1,v2], v4 e4 …,e7=[v4,v4]
d(v ) = 4, d(v2) =3 1 v2
孤立点
e2
e3 e4 e5
v4 e6
v5
v3
定理1: 定理 图G=(V,E)中,所有点的次之和是 中 所有点的次之和是 边数的两倍, 边数的两倍 即:
∑d(v) = 2q
v∈ V
定理2: 任意一图中 奇点的个数为偶数 定理 任意一图中, 奇点的个数为偶数.
v2
v1
e2
v3
e5
v4
图8-12
第二节
三、最小生成树问题
树
定义16 连通图G =（V，E），每条边上有非负权L(e)。一 生成树的权。具有最 棵生成树所有树枝上权的总和，称为这个生成树的权 生成树的权 小权的生成树称为最小生成树 最小生成树（最小支撑树），简称最小树。 最小生成树 这里所指的权，是具有广义的数量值。根据实际研究问题 的不同，可以具有不同的含义。例如长度、费用、流量等等。 如前所述，在已知的几个城市之间联结电话线网，要求总 长度最短或总建设费用最少，这个问题的解决可以归结为最小 支撑树问题。再如，城市间交通线的建造等，都可以归结为这 一类问题。
6 v1
v3
5
第二节
树
解：这个问题就是求赋权图的最小支撑树。用破圈法 求解。 v3 6 v1 5 v2 2 v4 1 7 3 4 5 v5 4 v6 v1 5 v2 2 图8.13b v4 v3 1 v5 3 v6 4
图8.13a
第二节
课堂练习
树
小岛A 小岛
小岛B 小岛
主页
（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 欧拉
判断下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画 连通的图形有可能一笔画 连通的图形有可能一笔画 有可能
图1 图2 图3
图4
图5
观察下列图形， 观察下列图形，完成统计表
可以一笔画的图形
图形序号 奇点个数 偶点个数
不能一笔画的图形
图形序号 奇点个数 偶点个数
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
不连通的图形不能一笔画 奇点个数超过两个的连通图 连通的图 形不能一笔画 形有可能 一笔画 全都是偶点的连 画时以任一点为起点， 画时以任一点为起点， 通图可以一笔画 最后仍回到该点 画时以一个奇点为起点， 有两个奇点的连 画时以一个奇点为起点， 通图可以一笔画 另一个奇点为终点
乙
邮局
甲
主页
二、 奇偶点图上作业法 （1）找出图G中的所有的奇顶点，把它们两两配 成对，而每对奇点之间必有一条通路，把这条通路 上的所有边作为重复边追加到图中去，这样得到的 新连通图必无奇点。 （2）如果边e=（u,v）上的重复边多于一条，则 可从重复边中去掉偶数条，使得其重复边至多为一 条，图中的顶点仍全部都是偶顶点。 （3）检查图中的每一个圈，如果每一个圈的重 复边的总长不大于该圈总长的一半，则已经求得最 优方案。如果存在一个圈，重复边的总长大于该圈 总长的一半时，则将这个圈中的重复边去掉，再将 该圈中原来没有重复边的各边加上重复边，其它各 圈的边不变，返回步骤（2）。