2020届绵阳一诊文科和理科数学试题及答案
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{0}B.{1}C.{0, 1}D.{−1, 0}2.若sinα=13，则cos2α()A.−79B.−29C.29D.793.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.4B.7C.8D.144.若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32B.−20C.25D.427.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−198.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.29.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n −2，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝64，则1m +9n 的最小值为（ ） A.145 B.114C.83D.10310.设函数f(x)＝ae x −2sinx ，x ∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ） A.√2e π4B.√2e−π4C.√2e π2D.√2e−π211.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x <2时，f(x)=2x −x 2：当x ≥2时，f(x)=3f(x −2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a 1，a 2，⋯，a n ，⋯，并记相应的极大值为b 1，b 2，⋯，b n ，⋯，则a 1b 1+a 2b 2+⋯+a 20b 20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+112.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上13.已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________．14.函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．15.在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．16.已知恰有两条不同的直线与曲线y ＝e x−2和x 2＝2py 都相切，则实数p 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知asin A+C 2=bsinA ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．18.函数f(x)＝Asin 2(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0<φ<π2)，且y ＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)． （1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．19.设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．20.已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．21.已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ． （1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t（t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．23.已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．24.设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.设集合M ＝{−1, 0, 1}，N ＝{x|x −1<0}，则M ∩N ＝（ ） A.{0} B.{1} C.{0, 1} D.{−1, 0}【解答】由题得N ＝{x|x <1}，所以M ∩N ＝{−1, 0}． 2.若sinα=13，则cos2α() A.−79 B.−29C.29D.79【解答】 ∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79．3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝28，则a 4＝（ ） A.4 B.7 C.8 D.14【解答】因为数列{a n }是等差数列，S 7＝28=a 1+a 72×7=2a 42×7=7a 4，所以a 4＝4．4.若a ，b 均为不等于1的正实数，则“a >b >1”是“log b 2>log a 2”的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分必要条件【解答】a ，b 均为不等于1的正实数，当若“a >b >1”时，由对数函数的性质可得：log 2a >log 2b >0， 可得log b 2>log a 2成立． 当若：“log b 2>log a 2”有①若a ，b 均大于1，由log b 2>log a 2，知log 2a >log 2b >0，必有a >b >1； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，0>log 2a >log 2b ，必有0<b <a <1； ③若log a 2<0<log b 2，则必有0<a <1<b ； 故：“log b 2>log a 2”不能推出a >b >1；综上所述由充要条件的定义知，a>b>1”是“log b2>log a2”的充分不必要条件．5.函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则：2T+3T4<2π，整理得：114⋅2πω<2π，解得：ω>114，6.已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32 B.−20 C.25 D.42【解答】因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，所以a＝5．由题得f′(x)＝3x2+(b+4)，∴k＝f′(3)＝b+31，因为切线与直线y=16x+3垂直，所以b+31＝−6，所以b＝−37．所以a+b＝−32．7.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−19【解答】先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A(0, 3)，B(2, 0)，C(0, −3)，D(−2, 0)，当直线z＝7x+3y−1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y−1最小是：−15，8.已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.2【解答】由函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，9.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.145B.114C.83D.103【解答】S n＝2a n−2，可得a1＝S1＝2a1−2，即a1＝2，n≥2时，S n−1＝2a n−1−2，又S n＝2a n−2，相减可得a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，即a n＝2a n−1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m⋅2n＝64，得m+n＝6，所以1m +9n=16(m+n)(1m+9n)=16(10+nm+9mn)≥16(10+2√9)=83，当且仅当nm =9mn时取等号，即为m=32，n=92．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m +9n>83，验证可得，当m＝2，n＝4时，1m +9n取得最小值为114．10.设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2e π4 B.√2e−π4 C.√2eπ2 D.√2e−π2【解答】函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe x，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，设g(x)=2sinxe，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，当0≤x<π4时，g′(x)>0，当π4<x≤π时，g′(x)<0，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，11.定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2：当x≥2时，f(x)=3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，⋯，a n，⋯，并记相应的极大值为b1，b2，⋯，b n，⋯，则a1b1+a2b2+⋯+a20b20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+1【解答】解：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2=1−(x−1)2，可得f(x)的极大值点a1=1，b1=1，当2≤x<4，即有0≤x−2<2，可得f(x)=3f(x−2)=3[1−(x−3)2]，可得a2=3，b2=3，当4≤x<6，即有0≤x−4<2，可得f(x)=9f(x−4)=9[1−(x−5)2]，可得a3=5，b3=9，⋯即有a20=39，b3=319，则S20=a1b1+a2b2+⋯+a20b20=1×1+3×3+5×9+⋯+39×319，3S20=1×3+3×9+5×27+⋯+39×320，相减可得−2S20=1+2(3+9+27+⋯+319)−39×320=1+2×3(1−319)1−3−39×320，化简可得S20=1+19×320.故选A.12.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 ，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是（ ） A.(0, 12) B.(0, 16) C.(9, 21) D.(15, 25)【解答】作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 的图象， 存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)， 可得−log 2x 1＝log 2x 2，即有x 1x 2＝1，且x 3+x 4＝2×6＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)＝(x 3−2)(10−x 3)＝−(x 3−6)2+36， 可得在(2, 4)递增， 即所求范围为(0, 12)．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________． 【解答】向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)， 则a →+2b →=(0, 2λ−1)， 2a →−b →=(−5, −λ−1)， 又(a →+2b →) // (2a →−b →)，所以0×(−λ−1)−(−5)×(2λ−1)＝0， 解得实数λ=12．函数f(x)＝Asin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．【解答】根据函数的图象：A ＝1， 由于T4=5π12−π4=π6，整理得T =2π3，所以ω=2π2π3=3，当x =π4时，3⋅π4+φ＝kπ(k ∈Z)，解得φ＝kπ−3π4(k ∈Z)，由于|ϕ|<π2，当k ＝1时φ=π4． 所以f(x)＝sin(3x +π4)，所以为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位即可．在△ABC 中，AB ＝4，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)，且x +2y ＝1，则△ABC 的面积的最大值为________． 【解答】取AC 的中点D ，因为AO →=xAB →+yAC →(x, y ∈R)， 所以AO →=xAB →+2YAD →， 又因为x +2y ＝1， 所以B ，O ，D 三点共线， 因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD＝DC＝m，则BD=2所以S△ABC=12⋅2m⋅√16−m2=√m2(16−m2)≤√(m2+16−m22)2=8，当且仅当m＝2√2时取等号．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．【解答】恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x 2e x−2，设f(x)=x2e x−2，f′(x)=x(2−x)e x−2，可得0<x<2时，f(x)递减；x>2或x<0时，f(x)递增，即有f(x)的极小值为f(0)＝0，极大值为f(2)＝4，则0<2p<4，可得0<p<2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sinAsin A+C2=sinBsinA,因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=csinAsinC =sin(120∘−C)sinC=√32tanC+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √3 2).函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．【解答】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，所以1−cos(π2+2φ)＝2，求得cos(π2+2φ)＝−1，所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k ∈Z ， 又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y ＝f(x)＝1−cos(π2x +π2)＝1+sin π2x ； 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4， 又y ＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3， 所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ；②证明∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．【解答】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2k n k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：(1)定义域为(0, +∞)，f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，得x=e．f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)．f(x)的极大值为f(e)=lnee =1e，无极小值．(2)∵x>0，lnxx≤kx，∴k≥lnxx2，令ℎ(x)=lnxx2，又ℎ′(x)=1−2lnxx3，令ℎ′(x)=0，解得x=√e，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)．当x=√e时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e，所以k≥12e．已知函数f(x)＝alnx(a≠0)，g(x)＝x−1x．（1）当a＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x＝1是函数F(x)的极大值点，求a的取值范围．【解答】a＝2时，设G(x)＝2xlnx−x2+1，G(1)＝0．则x>0，G′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x＝1时，函数u(x)取得极大值，∴u(x)≤u(1)＝0．∴G′(x)＝2(1+lnx−x)≤0，∴G(x)是(0, +∞)上的减函数，∴0<x<1，G(x)<0，即2xlnx<x2−1，∴2lnx<x−1x．x＝1时，可得2lnx＝x−1x．x>1时，2lnx>x−1x．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x−√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1x．∵1是函数F(x)的极大值点，∴x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x<0.0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0．①x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．化为：12a2<x2−1xlnx，令ℎ(x)=x 2−1xlnx，x>1．ℎ′(x)=x2lnx+lnx−x2+1(xlnx)2，令u(x)＝x2lnx+lnx−x2+1，u′(x)＝2xlnx−x+1x=v(x)，v′(x)＝2lnx+1−1x2>0．∴u′(x)>v(1)＝0．∴u(x)>u(1)＝0．∴ℎ′(x)>0．∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增．∴x→1时，x 2−1xlnx →2xlnx+1=2，∴12a2≤2，可得a2≤4．②0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2≥0．同理可得：a2≤4综上可得：a2≤4，解得−2≤a≤2．∴a的取值范围是[−2, 2]．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3ty=−√3t（t为参数），曲线C1的参数方程为{x=2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ= 2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6． 所以：θ=5π6，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2＝4． 转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ， 转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得：x 2+y 2−2√3x +2y =0， 线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 则：{θ=5π6ρ=4cosθ，解得：A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点 则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围． 【解答】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解；当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}． (2)由题设可得f(x)={ −x +1−a ，x <a,−3x +1+a ，a ≤x ≤12,x −1+a ，x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12，a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3； 当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得a ≤1； 当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)， 即a ≤2x+2x−1，∴a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6． 综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．。
2020届四川省绵阳南山中学高三上学期一诊热身考试数学(文)试卷及答案
2019年10月2020届绵阳南山中学高三上学期一诊热身考试数学（文）试卷★祝考试顺利★第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1.设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1]2.已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)3.已知），（23ππα∈，54cos -=α，则=-)4tan(απ A ．7 B.17 C ．－17D ．－7 4.若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋cC ．若a ＜b ，则ac ＜bcD ．若a ＜b ，则1a ＞1b5.设a ，b ，c 是非零向量．．．．．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨(⌝q )6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为 A. 165 B. 1615 C. 1629 D. 16317.已知函数||()e cos x f x x =+，若(21)()f x f x -≥，则实数x 的取值范围为A ．1(,][1,)3-∞+∞ B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1(,]2-∞ D ．1[,)2+∞ 8.已知正项等比数列{}n a 的公比为3,若229a a a n m =⋅，则n m 212+的最小值等于 A.1 B.21 C.43 D.23 9.已知f(x)=Asin(ωx+φ) x 在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x)的图象可由函数y=cos x 的图象(纵坐标不变)如何变换得到A.先把各点的横坐标缩短到原来的21,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的21,再向右平移12π个单位 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移6π个单位 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移12π个单位 10.已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.定义在R 上的函数f (x )满足：)()(x f x f >'恒成立，若21x x <，则)(21x f e x ⋅与。
绵阳市高2023届一诊 文科数学试题(word版含答案)
绵阳市高中2020级第一次诊断性考试文科数学一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．己知集合，则（）A. B. {-1，0，1} C. {-1，0，1，2} D.2．若命题:“”是真命题，则实数的取值范围是（）A. ≤-1B. <-1C. ≥1D. >13．若，则一定有（）A. B. C. D.4．设，则的值是（）A.2B.3C.D. 65．已知是等差数列的前项和，若，则（）A. 3B.4C. 6D.86．在△ABC中，点M为边AB上一点，，若，则（）A.3B.2C. 1D.-17．函数的图象大致为（）A B C D8.己知曲线在点处的切线方程为，则（）A.2B. eC.3D.2e9．若存在实数，使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（）A. B. C. D.10．某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的倍，那么第年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约()年.(参考数据: )（）A.4B. 5C. 6D. 811．已知（）A. 10°B. 20°C.30°D.70°12．若函数的定义域为R，且为偶函数，关于点(3，3)成中心对称，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为2B.C.的一条对称轴为D.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在正方形ABCD中，，则正方形ABCD的边长为___________14.若等比数列的各项均为正数，且，则=____.15.函数则满足不等式的的取值范围为.16.某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米.假设从小军在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点.则第10分钟小军离地面的高度为____米.三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1. 设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{1}B.{0}C.{−1, 0}D.{0, 1}2. 若sinα=13，则cos2α()A.−29B.−79C.79D.293. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.7B.4C.14D.84. 若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分必要条件D.必要不充分条件5. 函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.3B.2C.5D.46. 已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−20B.−32C.42D.257. 设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−15B.−13C.−19D.−178. 已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.0B.−1C.2D.19. 已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.114B.145C.103D.8310. 设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2e−π4B.√2eπ4C.√2e−π2D.√2eπ211. 定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)=2x−x2：当x≥2时，f(x)=3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，⋯，a n，⋯，并记相应的极大值为b1，b2，⋯，b n，⋯，则a1b1+a2b2+⋯+a20b20的值为()A.19×319+1B.19×320+1C.20×320+1D.20×319+112. 已知函数f(x)={|log2x|,0<x<2sin(π4x),2≤x≤10，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则(x3−2)(x4−2)x1x2的取值范围是（）A.(0, 16)B.(0, 12)C.(15, 25)D.(9, 21)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a→=(−2,−1)，b→=(1,λ)，若(a→+2b→) // (2a→−b→)，则实数λ＝________．函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．在△ABC中，AB＝4，O为三角形的外接圆的圆心，若AO→=xAB→+yAC→(x, y∈R)，且x+2y＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ； ②证明∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ．（1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3t y =−√3t （t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】二倍角于三角术数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上【答案】此题暂无答案【考点】平行向根（共线）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】二倍角明正推公式诱三公定三角形射面积公放解都还形正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】y=A水体具（直能+φ）中参数的物理意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等差明列政快比数坏的综合数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用都数资究不长式化成立问题利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利来恰切研费函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角形射面积公放绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 33.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.155.已知函数f(x)=2x2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ） A.−2 B.−1 C.0D.126.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）9.设函数f(x)＝ae x −lnx （其中常数a ≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A.1 B.2 C.ae −1 D.1−2ae10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（ ） A.y ＝0.25x B.y ＝1.002x C.y ＝log 7x +1 D.y =tan(x10−1)11.函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x ＝−π对称，则ω的值为（ ） A.23 B.53C.2D.8312.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13.已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________．14.已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________．15.2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值16.若函数f(x)=12范围________．三、填空题：共70分．17.已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；)，求x0的值．（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π218.已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知△ABC 中三个内角A ，B ，C 满足√2cosB =sin(A +C)+1． （1）求sinB ；（2）若C −A =π2，b 是角B 的对边，b =√3，求△ABC 的面积．20.已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x 1，x 2均大于1且满足f(x 1)+f(x 2)=12，求f(x 1x 2)的最小值．21.已知函数f(x)＝e x −ax 2，a ∈R ，x ∈(0, +∞)． （1）若f(x)存在极小值，求实数a 的取值范围； （2）若0<a ≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx −x)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]23.设函数f(x)＝|x −m|+|x +1|−5(m ∈R)． （1）当m ＝2时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≥−2，求实数m 的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]【解答】由题意得：A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}＝{1, 2, 3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1, 2, 3}，2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 3【解答】∵b <a <0，∴1a <1b ，ab >a 2，由函数y =√x 3在R 上单调递增，可得：√b 3<√a 3．设a ＝−2，b ＝−1时，|a|+|b|＝|a +b|与C 矛盾． 因此只有C 错误．3.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x【解答】由f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不符合题意， C ：函数的定义域x ≠0，不符合题意，A:y ＝x 2在(−∞, 0]单调递减，在[0, +∞)单调递增，不符合题意， 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.15【解答】 由题意得{a 3=a 1+2d =2S 3=3a 1+3×22d =3，∴a 6＝a 1+5d ＝5． 5.已知函数f(x)=2x 2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ）A.−2B.−1C.0D.12【解答】 ∵f(x)=2x2−1，∴f(−x)+f(x)=2−x2−x −1+2x2x −1=11−2x +2x2x −1=1， ∵f(−m)＝2，∴f(m)＝−1．6.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q【解答】由题意得：命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)，由基本不等式成立的条件，y ≥2√2sinx ⋅sinx =2√2，知等号取不到，所以p 命题是假的； 命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，∴b →⋅(a →−c →)=0，b →，a →−c →有可能是零向量或者b →⊥(a →−c →)，所以q 是错误的．∴￢p ∧q ，p ∨q ，p ∧￢q ，是假命题，￢p ∧￢q 为真命题； 7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b【解答】由指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，又a =(13)0.6，b ＝3−0.8=(13)0.8， ∴1>a >b ． c ＝ln3∈(1, 2) ∴c >a >b ．8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A.4B.2C.1D.13先根据x，y满足线性约束条件{2x−y≤0x−y+1≥0x+y−1≥0画出可行域，平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点B(0, 1)时，z取最小值为1．9.设函数f(x)＝ae x−lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A.1B.2C.ae−1D.1−2ae【解答】由f(x)＝ae x−lnx，得f′(x)=ae x−1x，∴f′(1)＝ae−1，又x＝1时，f(1)＝ae，∴f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−(ae)＝(ae−1)(x−1)，取x＝0，得在y轴上截距y＝(ae−1)(0−1)+ae＝1．故选：A．10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（）A.y＝0.25xB.y＝1.002xC.y＝log7x+1D.y=tan(x10−1)【解答】由题意得：有两个条件①奖金y≤5；②奖金y≤0.25x．且10≤x≤1000．A选项，当x≥20时，y≥5，不符合题意．B选项，当x＝1000时，1.0021000≈7.37，也超出了5，不符合题意．D选项，当x＝1000时，y=tan(x10−1)=y＝tan(2)是一个负数，不符合题意．11.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x＝−π对称，则ω的值为（）A.23B.53C.2D.83要使函数f(x)=sin(wx +π6)(w >0)的递增，则−π2+2kπ≤ωx +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，化简得：−2π3ω+2kπω≤x ≤π3ω+2kπω(k ∈Z)，已知在(−π2,π2)单增，所以{−2π3ω≤−π2π3ω≥π2 ，故0≤ω≤23， 又因为图象关于x ＝−π对称，ωx +π6=π2+kπ(k ∈Z)，所以ω=−13−k ， 因为ω>0，此时k ＝−1，所以ω=23，12.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32【解答】由λAB →=AD →−13AC →可得：AD →=λAB →+13AC →， ∵B ，C ，D 三点共线，故λ+13=1，即λ=23． ∴AD →=23AB →+13AC →．以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则D(3, √3)， 设B(m, 0)，C(n, √3n)， 由AD →=23AB →+13AC →得：{3=23m +13n √3=√33n ，解得m ＝3，n ＝3．故B(3, 0)，∴AB →在AD →上的投影为|AB|cos30∘=3√32． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________． 【解答】因为f(x)＝f(x +2)，周期T ＝2， 当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，故答案为：e ．已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________． 【解答】由已知得：|a →|＝2√2，|b →|＝1，|a →−2b →|＝2，a →2−4a →⋅b →+4b →2＝4， ∴设a →与b →的夹角为θ，θ∈[0, π]，a →⋅b →=2＝2√2⋅1⋅cosθ，∴cosθ=√22，θ=π4，2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．【解答】如图由题上条件可得线AC 平行于东西方向 ，∠ABD ＝60∘，∠CBD ＝75∘；AC ＝72√2； ∴∠ABC ＝135∘；∠BAC ＝30∘； 在△ABC 中，BC sin∠BAC=AC sin∠ABC⇒BC sin30=72√2sin135⇒BC =72√2×12√22=72．如图D 1C ⊥平面ABC ，在直角△BD 1 C 中，tan∠D 1 BC =D 1C BC=ℎBC ⇒ℎ＝BC ⋅tan∠D BC ＝72×tan∠30∘=72√3若函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值范围________．【解答】于是u(x)＝x−lnx在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增；最小值为u(1)＝1> 0，∴∀x∈(0, +∞)，x−lnx>0(1)由f(x)＝0，即12x2+m(lnx−x)−x＝0，解得：m=12x2−xx−lnx(2)设g(x)=12x2−xx−lnx，y＝m(3)由于函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点（4）所以直线y＝m与函数g(x)有且只有一个交点（5）由g′(x)=12(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2，此时不能完全判断导函数值的正负（6）再令ℎ(x)＝x+2−2lnx，得ℎ′(x)=x−2x，当x∈(0, 2)时，ℎ′(x)<0；当x∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0(7)于是，ℎ(x)在(0, 2)上递减，(2, +∞)上递增．那么ℎ(x)≥ℎ(2)＝2(2−ln2)>0．由此，g′(x)的正负只同x−1有关，由此得g(x)在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增，且g(x)的极小值为g(1)=−12(8)又x→0时，g(x)→0；x→+∞时，g(x)→+∞(9)g(x)图象大值如图所示，结合g(x)的图象，得m≥0或m=−12．故答案为：{m|m=−12或m≥0}．三、填空题：共70分．已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π2)，求x0的值．【解答】＝1−2sinxcosx−2⋅1−cos2x2＝cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，又函数y＝cosx的单调减区间为[2kπ, 2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z；所以f(x)的单调递减区间为[kπ−π8, kπ+3π8]，k∈Z；若f(x0)＝−1，则√2cos(2x0+π4)＝−1，即cos(2x0+π4)=−√22，再由x0∈(−π,−π2)，可得2x0+π4∈(−7π4, −3π4)；所以2x0+π4=−5π4，解得x0=−3π4．已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，可得a n+2−a n+1＝a n+1−a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d=a4−a14−1=2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2，可得b1＝S1＝4−2＝2；n≥2时，b n＝S n−S n−1＝2n+1−2−2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N∗；c n=2a n+log2b n=22n−1+n，则前n项和T n＝(2+8+...+22n−1)+(1+2+...+n)=2(1−4n)1−4+12n(n+1)=23(4n−1)+12(n2+n)．已知△ABC中三个内角A，B，C满足√2cosB=sin(A+C)+1．（1）求sinB；（2）若C−A=π2，b是角B的对边，b=√3，求△ABC的面积．【解答】∵√2cosB=sin(A+C)+1．sin(A+C)＝sinB，∴√2cosB＝sinB+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sinB−1＝0，1>sinB>0．联立解得sinB=13．C−A=π2，又A+B+C＝π，可得：2A=π2−B，C为钝角．∴sin2A＝cosB．又b=√3，∴asinA =csinC=√313=3√3，∴a＝3√3sinA，c＝3√3sinC，B为锐角，∴cosB=2√23．∴△ABC的面积S=12acsinB=12×3√3sinA×3√3sinC×13=92sinAsin(π2+A)=92sinAcosA=94sin2A=94cosB=94×2√23=3√22．∴∴△ABC的面积S为3√22．已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x1，x2均大于1且满足f(x1)+f(x2)=12，求f(x1x2)的最小值．【解答】由题意得f(x)=lnx+2−4lnx+2=1−4lnx+2，由x≥1，知lnx≥0，于是lnx+2≥2，∴0<1lnx+2≤12，即−2≤−4lnx+2<0，∴−1≤1−4lnx+2<1，∴f(x)的值域为[−1, 1)．f(x1)+f(x2)＝1−4lnx1+2+1−4lnx2+2=12，所以4lnx1+2+4lnx2+2=32，又x1>1，x2>1，∴lnx1x2＝lnx1+lnx2＝lnx1+2+lnx2+2−4=23[(lnx1+2)+(lnx2+2)]⋅(4lnx1+2+4lnx2+2)−4，=23[8+4(lnx2+2)lnx1+2+4(lnx1+2)lnx2+2]−4≥23(8+2√16)−4=203，当且仅当4(lnx2+2)lnx1+2=4(lnx1+2)lnx2+2，即x1＝x2时，取“＝”，故(x1x2)min＝e 20 3，∵f(x)在(1, +∞)上是增函数，∴f(x1x2)min=713．已知函数f(x)＝e x−ax2，a∈R，x∈(0, +∞)．（1）若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若0<a≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx−x)．【解答】：∵f′(x)＝e x−2ax＝x(e xx−2a)，令H(x)=e xx，则H′(x)=(x−1)e xx，当0<x<1时，H′(x)<0，H(x)单调递减，且x→0时，H(x)→+∞，当x>1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，且x→+∞时，H(x)→+∞，∴H(x)min＝H(1)＝e，①当2a≤e即a≤12e时，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增，没有极值，②当a>12e时，存在0<x1<1<x2，使得f′(x1)＝f′(x2)＝0，当x∈(0, x1)，(x2, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(x1, x2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴x2是f(x)的极小值，综上可得，a>12e要证f(x)>ax(lnx−x)，即证e x>axlnx，①当0<x ≤1时，e x >1，axlnx ≤0，显然成立，②当x >1时，xlnx >0，结合已知0<a ≤12e 2可得，0<axlnx ≤12e 2xlnx ，于是问题转化为e x >12e 2lnx ， 即证2e x−2x−lnx >0，令g(x)=2e x−2x−lnx ，则g′(x)=2e x−2(x−1)−xx 2，令ℎ(x)＝2e x−2(x −1)−x ，则ℎ′(x)＝2xe x−2−1，且在(0, +∞)上单调递增， ∵ℎ′(1)=2e −1<0，ℎ′(2)＝3>0，存在x 0∈(1, 2)使得ℎ(x 0)＝0，即2x 0e x 0−2=1， ∴ℎ(x)在(1, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， 又ℎ(1)＝−1<0，ℎ(2)＝0，故当x ∈(1, 2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(2)＝1−ln2>0， 故g(x)>0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长． 【解答】 由{x =cosα+√3sinαy =sinα−√3cosα，两边平方作和得，x 2+y 2=(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2=4， ∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝4．∵x2+y2＝ρ2，∴ρ2＝4，则ρ＝2；把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，可得ρcos(π3−π6)=3，解得ρ=2√3．即B点的极径为ρB=2√3．由（1）得ρA＝2，∴|AB|＝|ρA−ρB|=2√3−2．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−m|+|x+1|−5(m∈R)．（1）当m＝2时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≥−2，求实数m的取值范围．【解答】当m＝2时，f(x)＝|x−2|+|x+1|−5，当x≤−1，f(x)＝−(x−2)−(x+1)−5≥0，解得x≤−2；当−1<x<2，f(x)＝−(x−2)+x+1−5≥0，无解；当x≥2时，f(x)＝x−2+x+1−5≥0，解得x≥3；综上，不等式的解集为(−∞, −2]∪[3, +∞)．由f(x)＝|x−m|+|x+1|−5≥|(x−m)−(x+1)|−5＝|m+1|−5≥−2，所以|m+1|≥3，即m≥2或者m≤−4．。
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1. 设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{0}B.{1}C.{0, 1}D.{−1, 0}2. 若sinα=13，则cos2α()A.−79B.−29C.29D.793. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.4B.7C.8D.144. 若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件5. 函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.56. 已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32B.−20C.25D.427. 设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−198. 已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.29. 已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.145B.114C.83D.10310. 设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2eπ4B.√2e−π4C.π2D.−π211. 定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)＝2x−x2：当x≥2时，f(x)＝3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，…，a n，…，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，…，则a1b1+a2b2+...+a20b20的值为（）A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+112. 已知函数f(x)={|log2x|,0<x<2sin(π4x),2≤x≤10，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则(x3−2)(x4−2)x1x2的取值范围是（）A.(0, 12)B.(0, 16)C.(9, 21)D.(15, 25)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a→=(−2,−1)，b→=(1,λ)，若(a→+2b→) // (2a→−b→)，则实数λ＝________．函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．在△ABC中，AB＝4，O为三角形的外接圆的圆心，若AO→=xAB→+yAC→(x, y∈R)，且x+2y＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ； ②证明∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ．（1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3t y =−√3t （t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1.【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】先化简集合N ，再求M ∩N 得解． 【解答】由题得N ＝{x|x <1}，所以M ∩N ＝{−1, 0}． 2.【答案】 D【考点】二倍角的三角函数 【解析】由已知直接利用二倍角的余弦求解． 【解答】 ∵ sinα=13，∴ cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79． 3.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 【解析】根据等差中项的性质，将S 7转化为a 4的算式，解方程即可． 【解答】因为数列{a n }是等差数列，S 7＝28=a 1+a 72×7=2a 42×7=7a 4，所以a 4＝4．4.【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可． 【解答】当若“a >b >1”时，由对数函数的性质可得：log 2a >log 2b >0， 可得log b 2>log a 2成立． 当若：“log b 2>log a 2”有①若a ，b 均大于1，由log b 2>log a 2，知log 2a >log 2b >0，必有a >b >1； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，0>log 2a >log 2b ，必有0<b <a <1； ③若log a 2<0<log b 2，则必有0<a <1<b ； 故：“log b 2>log a 2”不能推出a >b >1；综上所述由充要条件的定义知，a >b >1”是“log b 2>log a 2”的充分不必要条件． 5.【答案】 B【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】函数f(x)＝sin(ωx −π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点， 则：2T +3T 4<2π，整理得：114⋅2πω<2π，解得：ω>114，6.【答案】 A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先根据函数是奇函数求出a 的值，再根据切线与直线垂直得到b 的值，即得a +b 的值． 【解答】因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，所以a ＝5． 由题得f′(x)＝3x 2+(b +4)，∴ k ＝f′(3)＝b +31， 因为切线与直线y =16x +3垂直，所以b +31＝−6， 所以b ＝−37． 所以a +b ＝−32． 7.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝7x +3y −1表示直线在y 轴上的截距，只需求出可【解答】先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A(0, 3)，B(2, 0)，C(0, −3)，D(−2, 0)，当直线z＝7x+3y−1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y−1最小是：−15，8.【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】由函数图象的交点个数与方程的解的个数的相互转化得：函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，由函数图象的性质得：设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，得解．【解答】由函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，9.【答案】B【考点】基本不等式及其应用数列的求和【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n＝2n．求得m+n＝6，1m +9n=16(m+n)(1m+9n)=1 6(10+nm+9mn)，运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．【解答】S n＝2a n−2，可得a1＝S1＝2a1−2，即a1＝2，n≥2时，S n−1＝2a n−1−2，又S n＝2a n−2，相减可得a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，即a n＝2a n−1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m⋅2n＝64，得m+n＝6，191191n9m18当且仅当nm=9mn时取等号，即为m=32，n=92．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m+9n>83，验证可得，当m＝2，n＝4时，1m+9n取得最小值为114．10.【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】由函数的零点与函数图象的交点的相互转化得：函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，由利用导数研究函数的图象得：g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，得解．【解答】函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe x，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，设g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，当0≤x<π4时，g′(x)>0，当π4<x≤π时，g′(x)<0，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，11.【答案】A【考点】数列的求和【解析】由二次函数的最值求法，可得f(x)的最小极大值点和极大值，再讨论x的范围，可得其余的极大值点和极大【解答】当0≤x <2时，f(x)＝2x −x 2＝1−(x −1)2， 可得f(x)的极大值点a 1＝1，b 1＝1，当2≤x <4，即有0≤x −2<2，可得f(x)＝3f(x −2)＝3[1−(x −3)2]， 可得a 2＝3，b 2＝3，当4≤x <6，即有0≤x −4<2，可得f(x)＝9f(x −4)＝9[1−(x −5)2]， 可得a 3＝5，b 3＝9， …即有a 20＝39，b 3＝319，则S 20＝a 1b 1+a 2b 2+...+a 20b 20＝1⋅1+3⋅3+5⋅9+...+39⋅319， 3S 20＝1⋅3+3⋅9+5⋅27+...+39⋅320，相减可得−2S 20＝1+2(3+9+27+...+319)−39⋅320 ＝1+2⋅3(1−319)1−3−39⋅320，化简可得S 20＝1+19⋅320， 12.【答案】 A【考点】分段函数的应用 【解析】作出函数f(x)的图象，由图象及对称性可得，x 1x 2＝1，x 3+x 4＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4，代入所求式子，运用二次函数的值域，结合单调性可得所求范围． 【解答】作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 的图象， 存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，可得−log 2x 1＝log 2x 2，即有x 1x 2＝1，且x 3+x 4＝2×6＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)＝(x 3−2)(10−x 3)＝−(x 3−6)2+36， 可得在(2, 4)递增， 即所求范围为(0, 12)．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上 【答案】12【考点】平行向量（共线） 【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 【解答】→→则a →+2b →=(0, 2λ−1)， 2a →−b →=(−5, −λ−1)，又(a →+2b →) // (2a →−b →)，所以0×(−λ−1)−(−5)×(2λ−1)＝0， 解得实数λ=12． 【答案】 π12【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果． 【解答】根据函数的图象：A ＝1， 由于T 4=5π12−π4=π6，整理得T =2π3，所以ω=2π2π3=3，当x =π4时，3⋅π4+φ＝kπ(k ∈Z)，解得φ＝kπ−3π4(k ∈Z)，由于|ϕ|<π2，当k ＝1时φ=π4． 所以f(x)＝sin(3x +π4)，所以为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位即可． 【答案】 8【考点】基本不等式及其应用 【解析】先取AC 的中点D ，根据已知得到B ，O ，D 三点共线，且BD ⊥AC ，设AD ＝DC ＝m ，求出△ABC 面积的表达式，再利用基本不等式求其最大值即可得解． 【解答】取AC的中点D，因为AO→=xAB→+yAC→(x, y∈R)，所以AO→=xAB→+2YAD→，又因为x+2y＝1，所以B，O，D三点共线，因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD＝DC＝m，则BD=2，所以S△ABC=12⋅2m⋅√16−m2=√m2(16−m2)≤√(m2+16−m22)2=8，当且仅当m＝2√2时取等号．【答案】0<p<2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由题意可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x2e x−2，设f(x)=x2e x−2，求得导数和单调性、极值，即可得到p的范围．【解答】恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x2e x−2，设f(x)=x2e x−2，f′(x)=x(2−x)e x−2，可得0<x<2时，f(x)递减；x>2或x<0时，f(x)递增，即有f(x)的极小值为f(0)＝0，极大值为f(2)＝4，则0<2p<4，可得0<p<2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【答案】asin A+C2=bsinA，即为asinπ−B2=acos B2=bsinA，可得sinAcos B2=sinBsinA＝2sin B2cos B2sinA，∵sinA>0，∴cos B2=2sin B2cos B2，若cos B2=0，可得B＝(2k+1)π，k∈Z不成立，∴sin B2=12，由0<B<π，可得B=π3；若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b=√a2+1−2a⋅1⋅cosπ3=√a2−a+1，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，且1+a2>a2−a+1，解得12<a<2，可得△ABC面积S=12a⋅sinπ3=√34a∈(√38, √32)．【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】asin A+C2=bsinA，即为asinπ−B2=acos B2=bsinA，可得sinAcos B2=sinBsinA＝2sin B2cos B2sinA，∵sinA>0，∴cos B2=2sin B2cos B2，若cos B2=0，可得B＝(2k+1)π，k∈Z不成立，∴sin B2=12，由0<B<π，可得B=π3；若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b=√a2+1−2a⋅1⋅cosπ3=√a2−a+1，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，且1+a2>a2−a+1，1可得△ABC面积S=12a⋅sinπ3=√34a∈(√38, √32)．【答案】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，所以1−cos(π2+2φ)＝2，求得cos(π2+2φ)＝−1，所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y＝f(x)＝1−cos(π2x+π2)＝1+sinπ2x；所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4，又y＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3，所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义【解析】（1）化函数f(x)为余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出A、ω和φ的值；（2）由（1）写出y＝f(x)的解析式，再根据函数f(x)的周期性计算f(1)+f(2)+...+f(2019)的值．【解答】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，ππ所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y＝f(x)＝1−cos(π2x+π2)＝1+sinπ2x；所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4，又y＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3，所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．【答案】（1）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2−q−2=0．∵q>0，可得q=2．故a n=2n−1．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n−1，数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）①解：由(1)，有S n=1−2n1−2=2n−1，故T n=∑(nk=12k−1)=∑2knk=1−n=2×(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2．②证明：因为(T k+b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1，所以∑(T k+b k+2)b k(k+1)(k+2)nk=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2−q−2=0．∵q>0，可得q=2．故a n=2n−1．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n−1，数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）①解：由(1)，有S n=1−2n1−2=2n−1，2×(1−2n)②证明：因为(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．【答案】解：(1)定义域为(0, +∞),f ′(x)=1−lnx x 2，令f ′(x)=1−lnx x 2=0，得x =e ． f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)． f(x)的极大值为f(e)=lne e=1e ，无极小值．(2)∵ x >0，lnx x≤kx ，∴ k ≥lnx x 2，令ℎ(x)=lnxx 2，又ℎ′(x)=1−2lnx x 3，令ℎ′(x)=0，解得x =√e ，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)． 当x =√e 时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e ， 所以k ≥12e ．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性以及函数的极值即可．（2）化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值然后推出k 即可． 【解答】解：(1)定义域为(0, +∞),f ′(x)=1−lnx x 2，令f ′(x)=1−lnx x 2=0，得x =e ．f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)． f(x)的极大值为f(e)=lne e=1e ，无极小值．(2)∵ x >0，lnx x≤kx ，∴ k ≥lnxx 2， 令ℎ(x)=lnx x 2，又ℎ′(x)=1−2lnx x 3，令ℎ′(x)=0，解得x =√e ，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)．当x =√e 时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e ， 所以k ≥12e ．【答案】a ＝2时，设F(x)＝2xlnx −x 2+1，F(1)＝0． 则x >0，F′(x)＝2(1+lnx −x)， 令u(x)＝1+lnx −x ，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x ＝1时，函数u(x)取得极大值，∴ u(x)≤u(1)＝0．∴ F′(x)＝2(1+lnx −x)≤0， ∴ F(x)是(0, +∞)上的减函数，∴ 0<x <1，F(x)<0，即2xlnx <x 2−1，∴ 2lnx <x −1x ． x ＝1时，可得2lnx ＝x −1x ．x >1时，2lnx >x −1x ．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln √x]2−(√x √x )2=14a 2ln 2x −x −1x +2． F′(x)=12a 2lnx x−1+1x ．∵ x ＝1是函数F(x)的极大值点， ∴ x >1时，F′(x)=12a 2lnx x−1+1x 2>0.0<x <1时，F′(x)=12a 2lnx x−1+1x 2<0．①x >1时，F′(x)=12a 2lnx x−1+1x >0．化为：12a 2<x 2−1xlnx，令ℎ(x)=x 2−1xlnx，x >1．ℎ′(x)=x 2lnx+lnx−x 2+1(xlnx)2，令u(x)＝x 2lnx +lnx −x 2+1，u′(x)＝2xlnx −x +1x =v(x)， v′(x)＝2lnx +1−1x 2>0．∴ u′(x)>v(1)＝0． ∴ u(x)>u(1)＝0．∴ ℎ′(x)>0． ∴ ℎ(x)在x ∈(1, +∞)上单调递增． ∴ x →1时，x 2−1xlnx→2xlnx+1=2，∴ 12a 2≤2，可得a 2≤4． ②0<x <1时，F′(x)=12a 2lnx x−1+1x 2<0．综上可得：a2＝4，解得a＝±2．∴a的取值范围是{−2, 2}．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）a＝2时，设F(x)＝2xlnx−x2+1，F(1)＝0．x>0，F′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，利用导数研究函数F(x)在(0, +∞)上单调性，即得出大小关系．（2）函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x−√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1 x2．根据x＝1是函数F(x)的极大值点，可得x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0.0<x<1时，F′(x)=1 2a2lnxx−1+1x2<0．利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】a＝2时，设F(x)＝2xlnx−x2+1，F(1)＝0．则x>0，F′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x＝1时，函数u(x)取得极大值，∴u(x)≤u(1)＝0．∴F′(x)＝2(1+lnx−x)≤0，∴F(x)是(0, +∞)上的减函数，∴0<x<1，F(x)<0，即2xlnx<x2−1，∴2lnx<x−1x．x＝1时，可得2lnx＝x−1x．x>1时，2lnx>x−1x．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1x．∵x＝1是函数F(x)的极大值点，∴x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0.0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．①x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0．化为：12a2<x2−1xlnx，令ℎ(x)=x2−1xlnx，x>1．ℎ′(x)=x2lnx+lnx−x2+1(xlnx)2，令u(x)＝x2lnx+lnx−x2+1，u′(x)＝2xlnx−x+1x =v(x)，v′(x)＝2lnx+1−1x2>0．∴u′(x)>v(1)＝0．∴u(x)>u(1)＝0．∴ℎ′(x)>0．∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增．∴x→1时，x2−1xlnx→2xlnx+1=2，∴12a2≤2，可得a2≤4．②0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．同理可得：4≤a2．综上可得：a2＝4，解得a＝±2．∴a的取值范围是{−2, 2}．【答案】（1）直线l的参数方程为{x=3ty=−√3t（t为参数），转换为直角坐标方程为：yx=−√33，所以直线的倾斜角为5π6．所以：θ=5π6，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x−2)2+y2＝4．转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ，转换为直角坐标的方程为：x2+y2=2√3x−2y，整理得：x2+y2−2√3x+2y=0，线l交曲线C1于O，A两点，则：{θ=5π6ρ=4cosθ，解得：A(−2√3, 5π6)，直线θ=5π6和曲线C2于O，B两点则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3．【考点】【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6． 所以：θ=5π6，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2＝4． 转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ，转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得：x 2+y 2−2√3x +2y =0， 线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 则：{θ=5π6ρ=4cosθ ， 解得：A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3． 【答案】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解； 当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}．(2)由题设可得f(x)={−x +1−a,x <a,−3x +1+a,a ≤x ≤12,x −1+a,x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12,a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)． 【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）将a =0代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的范围再合并；（2）由a ≤0，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面积公式求出的代数式大于32，解出a 的范围即可． 【解答】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解； 当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}． (2)由题设可得f(x)={−x +1−a,x <a,−3x +1+a,a ≤x ≤12,x −1+a,x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12,a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)．第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3；当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)，即a ≤2x+2x−1，∴ a ≤2+4x−1，求得a ≤1；当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)，即a ≤2x+2x−1，∴ a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6．综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式f(x)≤6的解集即可；（2）分别讨论x 的取值，从而求出不等式f(x)≥a|x −1|恒成立时a 的取值范围．【解答】函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3；当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)，即a ≤2x+2x−1，∴ a ≤2+4x−1，求得a ≤1；当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)，即a ≤2x+2x−1，∴ a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6．综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．。
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科) 解析版
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题1．已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．（0，3] D．（3，4]2．若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A．B．ab＞a2C．|a|+|b|＞|a+b| D．3．下列函数中的定义域为R，且在R上单调递增的是（）A．f（x）＝x2B．C．f（x）＝ln|x| D．f（x）＝e2x 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，S3＝3，则a6＝（）A．4 B．5 C．10 D．155．已知函数，若f（﹣m）＝2，则f（m）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．6．已知命题p：函数的最小值为；命题q：若向量，，满足•＝•，则＝．下列正确的是（）A．￢p∧q B．p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 7．若，b＝3﹣0.8，c＝ln3，则a，b，c的大小关系（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b8．已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．.4 B．.2 C．.1 D．9．设函数f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A．1 B．2 C．ae﹣1 D．1﹣2ae10．某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息；该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240 根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？（）A．每桶8.5元B．每桶9.5元C．每桶10.5元D．每桶11.5元11．函数在上单调递增，且图象关于x＝﹣π对称，则ω的值为（）A．B．C．2 D．12．在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是（）A．1 B．C．3 D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，则f（7）＝．14．已知向量＝（﹣2，2），向量的模为1，且|﹣2|＝2，则与的夹角为．15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）．16．若函数f（x）＝x2+x+1﹣ae x有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为三、填空题：共70分．17．已知函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若f（x0）＝﹣1，且，求x0的值．18．已知数列{a n}满足，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知△ABC中三个内角A，B，C满足．（1）求sin B；（2）若，b是角B的对边，，求△ABC的面积．20．已知函数．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值是2，若存在，求出a 的值；不存在，请说明理由21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R，x∈（0，+∞）．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若f（x）的极大值为M，求证：1＜M＜．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点0为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．（1）求曲线C的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣m|+|x+1|﹣5（m∈R）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≥﹣2，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．（0，3] D．（3，4]解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所以A∩B＝{1，2，3}，故选：A．2．若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A．B．ab＞a2C．|a|+|b|＞|a+b| D．解：∵b＜a＜0，∴＜，ab＞a2，由函数y＝在R上单调递增，可得：＜．设a＝﹣2，b＝﹣1时，|a|+|b|＝|a+b|与C矛盾．因此只有C错误．故选：C．3．下列函数中的定义域为R，且在R上单调递增的是（）A．f（x）＝x2B．C．f（x）＝ln|x| D．f（x）＝e2x解：由f（x）＝的定义域为[0，+∞），不符合题意，C：函数的定义域x≠0，不符合题意，A：y＝x2在（﹣∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增，不符合题意，故选：D．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，S3＝3，则a6＝（）A．4 B．5 C．10 D．15解：由题意得，解得a1＝0，d＝1，∴a6＝a1+5d＝5．故选：B．5．已知函数，若f（﹣m）＝2，则f（m）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．解：∵，∴f（﹣x）+f（x）＝+＝＝1，∵f（﹣m）＝2，∴f（m）＝﹣1．故选：B．6．已知命题p：函数的最小值为；命题q：若向量，，满足•＝•，则＝．下列正确的是（）A．￢p∧q B．p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q解：由题意得：命题p：函数，由基本不等式成立的条件，y≥2＝2，知等号取不到，所以p命题是假的；命题q：若向量，，满足＝，∴，，有可能是零向量或者，所以q是错误的．∴￢p∧q，p∨q，p∧￢q，是假命题，￢p∧￢q为真命题；故选：D．7．若，b＝3﹣0.8，c＝ln3，则a，b，c的大小关系（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b解：由指数函数y＝在R上单调递减，又，b＝3﹣0.8＝，∴1＞a＞b．c＝ln3∈（1，2）∴c＞a＞b．故选：B．8．已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．.4 B．.2 C．.1 D．解：先根据x，y满足线性约束条件画出可行域，平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点B（0，1）时，z取最小值为1．故选：C．9．设函数f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A．1 B．2 C．ae﹣1 D．1﹣2ae解：由f（x）＝ae x﹣lnx，得，∴f′（1）＝ae﹣1，又x＝1时，f（1）＝ae，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（ae）＝（ae﹣1）（x﹣1），取x＝0，得在y轴上截距y＝（ae﹣1）（0﹣1）+ae＝1．故选：A．10．某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息；该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？（）A．每桶8.5元B．每桶9.5元C．每桶10.5元D．每桶11.5元解：根据表格可知：销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则：y＝（6+x﹣5）（480﹣40x）﹣200，＝﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），∵﹣40＜0，∴当x＝5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，故选：D．11．函数在上单调递增，且图象关于x＝﹣π对称，则ω的值为（）A．B．C．2 D．解：要使函数的递增，则，化简得：，已知在单增，所以．又因为图象关于x＝﹣π对称，，所以，因为ω＞0，此时k＝﹣1，所以，故选：A．12．在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是（）A．1 B．C．3 D．解：由λ＝﹣可得：＝λ+，∵B，C，D三点共线，故λ+＝1，即λ＝．∴＝+．以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则D（3，），设B（m，0），C（n，n），由＝+得：，解得m＝3，n＝3．故B（3，0），∴在上的投影为|AB|cos30°＝．故选：D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，则f（7）＝e．解：因为f（x）＝f（x+2），周期T＝2，当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，∴f（7）＝f（1）＝e．故答案为：e．14．已知向量＝（﹣2，2），向量的模为1，且|﹣2|＝2，则与的夹角为．解：由已知得：||＝2，||＝1，|﹣2|＝2，2﹣4+42＝4，∴设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，＝2＝2•1•cosθ，∴cosθ＝，θ＝，故答案为：．15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）．解：如图由题上条件可得线AC平行于东西方向，∠ABD＝60°，∠CBD＝75°；AC＝72；∴∠ABC＝135°；∠BAC＝30°；在△ABC中，＝⇒＝⇒BC＝＝72．如图D1C⊥平面ABC，在直角△BD1C中，tan∠D1BC＝＝⇒h＝BC•tan∠D1BC＝72×tan∠30°＝．故答案为：．16．若函数f（x）＝x2+x+1﹣ae x有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为0＜a＜1或a＞．解：令f（x）＝x2+x+1﹣ae x＝0，则a＝，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＝0，则x＝0，x＝1，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；且g（0）＝1，g（1）＝，g（x）＞0，大致图象如图：可知0＜a＜1或a＞．故答案为：0＜a＜1或a＞．三、填空题：共70分．17．已知函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若f（x0）＝﹣1，且，求x0的值．解：（1）函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x＝1﹣2sin x cos x﹣2•＝cos2x﹣sin2x＝cos（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，又函数y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；所以f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）若f（x0）＝﹣1，则cos（2x0+）＝﹣1，即cos（2x0+）＝﹣，再由，可得2x0+∈（﹣，﹣）；所以2x0+＝﹣，解得x0＝﹣．18．已知数列{a n}满足，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}满足，可得a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d＝＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；数列{b n}的前n项和，可得b1＝S1＝4﹣2＝2；n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N*；（2）＝22n﹣1+n，则前n项和T n＝（2+8+…+22n﹣1）+（1+2+…+n）＝+n（n+1）＝（4n﹣1）+（n2+n）．19．已知△ABC中三个内角A，B，C满足．（1）求sin B；（2）若，b是角B的对边，，求△ABC的面积．解：（1）∵．sin（A+C）＝sin B，∴cos B＝sin B+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sin B﹣1＝0，1＞sin B＞0．联立解得sin B＝．（2），又A+B+C＝π，可得：2A＝﹣B，C为钝角．∴sin2A＝cos B．又，∴＝＝＝3，∴a＝3sin A，c＝3sin C，B为锐角，∴cos B＝．∴△ABC的面积S＝ac sin B＝×3sin A×3sin C×＝sin A sin（+A）＝sin A cos A＝sin2A＝cos B＝×＝．∴∴△ABC的面积S为．20．已知函数．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值是2，若存在，求出a 的值；不存在，请说明理由解：当a＝1时，，则f'（x）＝x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）．由f'（x）＞0 得x＜﹣1或x＞1．由f′（x）＜0得﹣1＜x＜1．所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，（﹣1，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．所以f（x）的极小值为，极大值为．（2）f'（x）＝（x﹣a）（x+1），当a≤1时，f（x）在[1，2]单调递增，∴，解得．当1＜a＜2时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，∴f（x）最大值为f（1）或f（2），由，由．当a≥2时，f（x）在[1，2]单调递减，∴，解得．综上所述：．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R，x∈（0，+∞）．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若f（x）的极大值为M，求证：1＜M＜．解：（1）f（x）＝e x﹣ax2，x∈（0，+∞）．∴f′（x）＝e x﹣2ax＝2x（），设g（x）＝，x∈（0，+∞），则f′（x）＝2x•[g（x）﹣a]，且g′（x）＝，∵x∈（0，+∞），e x＞0，2x2＞0，当x∈（1，+∞）时，且g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（0，1）时，且g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝，其大致图象如图所示，结合图象可知，①当a时，f′（x）≥0在（0，+∞）上单调递增，没有极值，不符合题意，②当a时，直线y＝a与y＝g（x）有2个不同的交点，设其横坐标分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，当0＜x＜x1或x＞x2时，g（x）＞a，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x1＜x＜x2时，g（x）＜a，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，综上可得，a的范围（），（2）结合（1），若f（x）的极大值为M，则a，M＝f（x1）＝，因为a＝，所以M＝﹣＝（1﹣），令h（x）＝，x∈（0，1），则h′（x）＝＜0在x∈（0，1）时恒成立，即h（x）在（0，1）上单调递减，又h（0）＝1，h（1）＝，故h（x）），即1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点0为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．（1）求曲线C的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长．解：（1）由，两边平方作和得，，∴曲线C的普通方程为x2+y2＝4．∵x2+y2＝ρ2，∴ρ2＝4，则ρ＝2；（2）把代入，可得，解得．即B点的极径为．由（1）得ρA＝2，∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣m|+|x+1|﹣5（m∈R）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≥﹣2，求实数m的取值范围．解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+1|﹣5，当x≤﹣1，f（x）＝﹣（x﹣2）﹣（x+1）﹣5≥0，解得x≤﹣2；当﹣1＜x＜2，f（x）＝﹣（x﹣2）+x+1﹣5≥0，无解；当x≥2时，f（x）＝x﹣2+x+1﹣5≥0，解得x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．（2）由f（x）＝|x﹣m|+|x+1|﹣5≥|（x﹣m）﹣（x+1）|﹣5＝|m+1|﹣5≥﹣2，所以|m+1|≥3，即m≥2或者m≤﹣4．。