广义凸空间上截口定理及其对变分不等式的应用
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空 间上讨论 了相 同的 问题 ．
我 们将 在本文 得到 广义 凸空 间上的 ＫＫＭ 型定理并 得到截 口问题 的择 一性定 理 ． 为这 作 些 结果 的应 用给 出 Ｈａｔ ｎＳ ａ ａｃ ｉ Ｂ ｏ ｄ ｒ 广义变 分不 等式解 的存在 性 ， 而进 一 ｒｍａ — ｔｍｐ ｃｈａ ｒｗ ｅ 型 － 从 步推 广和 改进 一些 已有 的结 论．
收稿 日期： ０ ９ １ —８ 修订 日期 ： ０ ０ｌ —６ ２ ０ —０ ０ ； ２ １ 一 １０
Ｅ— ｉ ｙ ６ １ ￣ｈ ｔ ｉｃ ｍ ｍａｌ ｊ ２ ６ ｏｍａｌ ｏ ：ｐ ．
基金项 目：吉林 省教育厅 自然科学基金 （０ １ ３ ］资 助 ２ １［ ４） ４
Ｎ． ｏ４
朴 勇杰 ：广义 凸空 间上截 口定 理及 其对变 分 不等式 的应 用
其 中 （ ．表示 Ｒ 中的数 乘积 ． －） ， １６ ， Ｂ ｏ ｅ［ 把 上述 结果 从 ９７年 ｒｗｄｒ】 。
的变分 不 等式 ． 设 是局 部 凸拓扑 线性 空 间， 在 “ ∈Ｋ ｏ 使得
推广 到局 部 凸拓 扑线 性 空 间并 得 到 了如 下改 进 是 到 Ｅ 的连 续 映射 ．则存
关键词：广义 凸空间； ｒ一凸子集； ｒ一凸函数 上 ［ 半连续； Ｋ Ｍ 映射 ；转移闭值 下＿ Ｋ
８． ＭＲ（０ ０ 主题分类： ７ ０； ７ ０ ５Ｈ ５ 中图分类号 ：Ｏ１９１ 文献标识码 ：Ａ ２０） ４ Ｈ ２ ４Ｈ１； ４ ２
文章编号：１０ — ９ ８２ １ ）４ １ ３ —９ ０ ３３ ９ （０ ０ —０ ６０ １
一
在 本文 ，我 们假设 Ｄ 且如 果 Ｘ ： Ｄ， 将用 （ ｒ 表 示 （ Ｄ； ） ｃ Ｘ， 则 ｘ； ） ， ｒ ．
有很多广义凸空间的例子 ［． ７ 其典型例子有拓扑线性空间的任何非空凸子集， ａｓｎ ｅ 】 ］ Ｌ ｓ ｄ［ ｏ
意 义 下的 凸空 间， Ｈ ｖｒｈ９的 日 一 间． ｏａｔ【 Ｊ 空
设 （ Ｄ； ） Ｇ 一凸空间 ， ｙ 和 是 的两 个子 集 。称 ｚ 为关 于 ｙ 的 ｘ 的 ｒ一凸 ｘ， ｒ 是 子 集 ，如果 Ｎ ∈（ 且 Ｎ 可推 出 Ｆ 如 果 Ｙ ＝Ｚ， 称 是 的 ｒ．凸子 集． Ｄ） Ｃ Ｙ， Ｎ ＣＺ． 则
设 是 拓 扑空 间， 是实 数 空间．称实值 函数 ｆ： — 是下 ｆ 半 连续 ，如果对 每 Ｘ 上］ 个 －ＥＲ 集合 ｛ ７ ， ∈Ｘ ： （） ） ∈Ｘ ： （） ） 是 的开子集． ｆｘ ＞ ［ ｛ ｆｘ ＜７ 】 设 是非 空集合 ， ｙ 是拓 扑空 间．称 一个集 值 映射 Ｆ ： 一 ２ Ｘ ｙ是 转 移 闭值 的，如 果
１ 引言和基本概念
Ｈａｔ ｎ和 Ｓａ ａｃｉ［ 于 １６ 得到 了如 下变 分不 等式 ． ｒｍａ ｔｍｐｃｈａ ］ ９６年
设 是 ”的紧 凸子集 ， ｆ： 一 “是 连续 映射 ．则存 在一个 Ｕ Ｋ ０∈Ｋ， 使得 （ （０， ． 札 ）Ｖ一札 ） ０ ＶＶ∈Ｋ 厂 ０ ，
是 Ｅ 的紧 凸子 集，
（ ｕ ）ｕ—Ｕ ） ０ Ｖ“∈Ｋ． Ｔ（ｏ， ０ ，
其 中， Ｅ 是 Ｅ 的拓扑 对偶 ， （ ．表 示 Ｅ ．） ， 中元 素 与 Ｅ 中元素 的运算 ． 自从那 时起 ， 很多学 者从 不 同方 面通过 去掉 局部 凸条件 改进和 推广 了 Ｂ ｏ ｄｒ ｒｗ ｅ 的结果 ． 最 近 ， Ｐ ｒ［， ｈ ｎ ａｋ Ｚ ａｇ和 Ｚ ａｇ Ｐａ ［ 。分别 在 凸空 间， Ｈ 一 间，广义 凸空 间和 Ｆ 一 引 ｈｎ［ ｉ ］ ， ｏ 空 Ｇ
１３ ０７
设 和 是 两个 非空 集合 ．集 值 映射 一 ２ ｙ是 指从 到 ｙ 的幂 集 ２ ｙ的映射 ．记 Ｔ（ ＝ Ｕ （）其 中 Ａ ｃＸ． Ａ） ，
Ｘ∈Ａ
个 广义 凸空间或 Ｇ一 凸空间 （ Ｄ； ） 由一个拓 扑 空间 和一 个 非空集合 Ｄ 组成 ， ， ｒ 是 使得对 任何 Ａ＝ ｛ｏａ， ， ∈（ ， ａ ，ｌ… ａ ｝ Ｄ）存在 的子集 ＦＡ） （ 和一 个连续 映射 Ｃ Ａ Ａ： 一 ＦＡ） （ 满足 Ｊｃ｛ ，， ，） ０１… 礼 推出 ￣ （ Ｊ Ｃｒ ｛ｊ Ｊ ）， 中 （ ） Ａ Ａ ） （ａ ： ∈ ）其 Ｄ 表示 Ｊ 的所有非空有限子集 ［ ） 构 成 的集 合 ，Ｆ：Ｄ） ｚ 且 △ （ 一 ， 是 以 Ｖ，１… ， 为 顶点 的 ｎ一 ０Ｖ， 单形 ，Ａｊ＝ ｏｖ ： ｝ ｃ（ｊ ＪＥ 是 对应 于 ｔ的 △ 的面 ．我 们可记 Ｆ ， Ａ＝ｒ ） 其 中 Ａ ∈（ ． （ ， Ｄ）
数学物理学报
ｈｔ ： ａ ｔｍｓ ｐ ａ ． ｔｐ／ ｃａ ． ｍ． ｃ ／ ｗｉ Ｃｎ
广 义Байду номын сангаас凸空 间 上 截 口定理 及其 对 变 分 不 等 式 的应 用
朴 勇杰
（ 边 大 学理 学 院数 学系 吉 林 延 吉 １ ３ ０ ） 延 ３ ０ ２
摘要： 该文得到了广义 凸空间上的 ＫＫＭ 型定理并 由此得到 了截 口问题 的解析型择 …性定理 ． 作为上述结论 的应用 ， 讨论了广义凸空间上变分不等式解的存在性问题．该文的主要 结论 改进 和推广了文献中的相应结论 ．
对满 足 Ｙ Ｆ（）的 Ｘ∈Ｘ 和 Ｙ∈Ｙ， 在一 个 Ｘ ＥＸ 满 足 Ｙ Ｆ（，． 存 ｚ）
文献 ［ ］ １ 中指出 Ｆ是转移闭值的当且仅当 ｎ Ｆ ｘ ＝ ｎ Ｆ（） ０ （） ｘ．
ｘＥＸ ｚ∈Ｘ
设 和 ｙ 是 两个拓 扑 空间 ，称 一个 集值 Ｆ ： 一 ２ Ｘ ｙ是上 半连 续 （ 为 Ｕｓ ． 如 果 简记 －Ｃ） ． ， 对任 何 ｙ 的闭子 集 Ｂ， 集合 Ｆ＿Ｂ） ｛ （ ＝ ∈Ｘ ： ｘ ７Ｂ ≠ 是 的闭集 ． Ｆ（）１ ｝ 设 （ Ｄ；） Ｇ 一 ， ｒ 是 凸空 间， 是 的非 空子集 ．称一 个实 值函 数 ｆ： 一 是 ｒ 凸 Ｕ
我 们将 在本文 得到 广义 凸空 间上的 ＫＫＭ 型定理并 得到截 口问题 的择 一性定 理 ． 为这 作 些 结果 的应 用给 出 Ｈａｔ ｎＳ ａ ａｃ ｉ Ｂ ｏ ｄ ｒ 广义变 分不 等式解 的存在 性 ， 而进 一 ｒｍａ — ｔｍｐ ｃｈａ ｒｗ ｅ 型 － 从 步推 广和 改进 一些 已有 的结 论．
收稿 日期： ０ ９ １ —８ 修订 日期 ： ０ ０ｌ —６ ２ ０ —０ ０ ； ２ １ 一 １０
Ｅ— ｉ ｙ ６ １ ￣ｈ ｔ ｉｃ ｍ ｍａｌ ｊ ２ ６ ｏｍａｌ ｏ ：ｐ ．
基金项 目：吉林 省教育厅 自然科学基金 （０ １ ３ ］资 助 ２ １［ ４） ４
Ｎ． ｏ４
朴 勇杰 ：广义 凸空 间上截 口定 理及 其对变 分 不等式 的应 用
其 中 （ ．表示 Ｒ 中的数 乘积 ． －） ， １６ ， Ｂ ｏ ｅ［ 把 上述 结果 从 ９７年 ｒｗｄｒ】 。
的变分 不 等式 ． 设 是局 部 凸拓扑 线性 空 间， 在 “ ∈Ｋ ｏ 使得
推广 到局 部 凸拓 扑线 性 空 间并 得 到 了如 下改 进 是 到 Ｅ 的连 续 映射 ．则存
关键词：广义 凸空间； ｒ一凸子集； ｒ一凸函数 上 ［ 半连续； Ｋ Ｍ 映射 ；转移闭值 下＿ Ｋ
８． ＭＲ（０ ０ 主题分类： ７ ０； ７ ０ ５Ｈ ５ 中图分类号 ：Ｏ１９１ 文献标识码 ：Ａ ２０） ４ Ｈ ２ ４Ｈ１； ４ ２
文章编号：１０ — ９ ８２ １ ）４ １ ３ —９ ０ ３３ ９ （０ ０ —０ ６０ １
一
在 本文 ，我 们假设 Ｄ 且如 果 Ｘ ： Ｄ， 将用 （ ｒ 表 示 （ Ｄ； ） ｃ Ｘ， 则 ｘ； ） ， ｒ ．
有很多广义凸空间的例子 ［． ７ 其典型例子有拓扑线性空间的任何非空凸子集， ａｓｎ ｅ 】 ］ Ｌ ｓ ｄ［ ｏ
意 义 下的 凸空 间， Ｈ ｖｒｈ９的 日 一 间． ｏａｔ【 Ｊ 空
设 （ Ｄ； ） Ｇ 一凸空间 ， ｙ 和 是 的两 个子 集 。称 ｚ 为关 于 ｙ 的 ｘ 的 ｒ一凸 ｘ， ｒ 是 子 集 ，如果 Ｎ ∈（ 且 Ｎ 可推 出 Ｆ 如 果 Ｙ ＝Ｚ， 称 是 的 ｒ．凸子 集． Ｄ） Ｃ Ｙ， Ｎ ＣＺ． 则
设 是 拓 扑空 间， 是实 数 空间．称实值 函数 ｆ： — 是下 ｆ 半 连续 ，如果对 每 Ｘ 上］ 个 －ＥＲ 集合 ｛ ７ ， ∈Ｘ ： （） ） ∈Ｘ ： （） ） 是 的开子集． ｆｘ ＞ ［ ｛ ｆｘ ＜７ 】 设 是非 空集合 ， ｙ 是拓 扑空 间．称 一个集 值 映射 Ｆ ： 一 ２ Ｘ ｙ是 转 移 闭值 的，如 果
１ 引言和基本概念
Ｈａｔ ｎ和 Ｓａ ａｃｉ［ 于 １６ 得到 了如 下变 分不 等式 ． ｒｍａ ｔｍｐｃｈａ ］ ９６年
设 是 ”的紧 凸子集 ， ｆ： 一 “是 连续 映射 ．则存 在一个 Ｕ Ｋ ０∈Ｋ， 使得 （ （０， ． 札 ）Ｖ一札 ） ０ ＶＶ∈Ｋ 厂 ０ ，
是 Ｅ 的紧 凸子 集，
（ ｕ ）ｕ—Ｕ ） ０ Ｖ“∈Ｋ． Ｔ（ｏ， ０ ，
其 中， Ｅ 是 Ｅ 的拓扑 对偶 ， （ ．表 示 Ｅ ．） ， 中元 素 与 Ｅ 中元素 的运算 ． 自从那 时起 ， 很多学 者从 不 同方 面通过 去掉 局部 凸条件 改进和 推广 了 Ｂ ｏ ｄｒ ｒｗ ｅ 的结果 ． 最 近 ， Ｐ ｒ［， ｈ ｎ ａｋ Ｚ ａｇ和 Ｚ ａｇ Ｐａ ［ 。分别 在 凸空 间， Ｈ 一 间，广义 凸空 间和 Ｆ 一 引 ｈｎ［ ｉ ］ ， ｏ 空 Ｇ
１３ ０７
设 和 是 两个 非空 集合 ．集 值 映射 一 ２ ｙ是 指从 到 ｙ 的幂 集 ２ ｙ的映射 ．记 Ｔ（ ＝ Ｕ （）其 中 Ａ ｃＸ． Ａ） ，
Ｘ∈Ａ
个 广义 凸空间或 Ｇ一 凸空间 （ Ｄ； ） 由一个拓 扑 空间 和一 个 非空集合 Ｄ 组成 ， ， ｒ 是 使得对 任何 Ａ＝ ｛ｏａ， ， ∈（ ， ａ ，ｌ… ａ ｝ Ｄ）存在 的子集 ＦＡ） （ 和一 个连续 映射 Ｃ Ａ Ａ： 一 ＦＡ） （ 满足 Ｊｃ｛ ，， ，） ０１… 礼 推出 ￣ （ Ｊ Ｃｒ ｛ｊ Ｊ ）， 中 （ ） Ａ Ａ ） （ａ ： ∈ ）其 Ｄ 表示 Ｊ 的所有非空有限子集 ［ ） 构 成 的集 合 ，Ｆ：Ｄ） ｚ 且 △ （ 一 ， 是 以 Ｖ，１… ， 为 顶点 的 ｎ一 ０Ｖ， 单形 ，Ａｊ＝ ｏｖ ： ｝ ｃ（ｊ ＪＥ 是 对应 于 ｔ的 △ 的面 ．我 们可记 Ｆ ， Ａ＝ｒ ） 其 中 Ａ ∈（ ． （ ， Ｄ）
数学物理学报
ｈｔ ： ａ ｔｍｓ ｐ ａ ． ｔｐ／ ｃａ ． ｍ． ｃ ／ ｗｉ Ｃｎ
广 义Байду номын сангаас凸空 间 上 截 口定理 及其 对 变 分 不 等 式 的应 用
朴 勇杰
（ 边 大 学理 学 院数 学系 吉 林 延 吉 １ ３ ０ ） 延 ３ ０ ２
摘要： 该文得到了广义 凸空间上的 ＫＫＭ 型定理并 由此得到 了截 口问题 的解析型择 …性定理 ． 作为上述结论 的应用 ， 讨论了广义凸空间上变分不等式解的存在性问题．该文的主要 结论 改进 和推广了文献中的相应结论 ．
对满 足 Ｙ Ｆ（）的 Ｘ∈Ｘ 和 Ｙ∈Ｙ， 在一 个 Ｘ ＥＸ 满 足 Ｙ Ｆ（，． 存 ｚ）
文献 ［ ］ １ 中指出 Ｆ是转移闭值的当且仅当 ｎ Ｆ ｘ ＝ ｎ Ｆ（） ０ （） ｘ．
ｘＥＸ ｚ∈Ｘ
设 和 ｙ 是 两个拓 扑 空间 ，称 一个 集值 Ｆ ： 一 ２ Ｘ ｙ是上 半连 续 （ 为 Ｕｓ ． 如 果 简记 －Ｃ） ． ， 对任 何 ｙ 的闭子 集 Ｂ， 集合 Ｆ＿Ｂ） ｛ （ ＝ ∈Ｘ ： ｘ ７Ｂ ≠ 是 的闭集 ． Ｆ（）１ ｝ 设 （ Ｄ；） Ｇ 一 ， ｒ 是 凸空 间， 是 的非 空子集 ．称一 个实 值函 数 ｆ： 一 是 ｒ 凸 Ｕ