2015上海市初三数学竞赛(大同杯原新知杯)

2015上海市初三数学竞赛（大同中学杯）（原新知杯）

一、填空题(每题10分，共80分)

1.已知AB 是圆O 的直径，,1=AB 延长AB 到点C ，使得1=BC ，CD 是圆O 的切线，D 为切点，则ABD ∆的面积为_____________.

2.有编号分别为1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率是____________.

3.实数y x 、满足,,43,4322y x x y y x ≠=+=+则x

y y x +的值为__________. 4.若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，则这三个素数为___________________.

5.如图，圆1O 和圆2O 外切于点P ，从圆1O 上点A 作圆2O 的切线AB ，B 是切点，联接AP 并延长，与圆2O 交于点C ，已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则.__________=AB

AC

6.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON ∠的两边分别是射线)0(≥=x x y 与x 轴正半轴。

点())2,10(5,6B A 、是MON ∠内的两个定点，点Q P 、分别是MON ∠两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是___________.

7.不定方程y x xy y x 222

2++=+的整数解()y x ,共有_____________组。

8.设a 是给定的正实数，n 是给定的大于1的整数，实数n x x x ,,,21 满足a x x x n =+++22221 ，则

()()()()()()2212223221231221x x x x x x x x x x x x n n n -++-++-+-++-+-- 的最大值为________.

二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）

9.如图，在ABC ∆中，ABD ACB b CA a BC ∆︒=∠==，60,,是正三角形，P 是其中心，求CP 的长度。

10.在20153,21，，， 这2015个正整数中选出k 个数，使得其中任意两个不同的数的和都不是50的倍数，求k 的最大值。

11.已知ABC ∆的三边长均为正整数，周长为35，G 和I 分别为ABC ∆的重心和内心，且，︒=∠90GIC 求AB 的长度。

12.设b a 、是正整数，22b a -不是4的倍数，求证：()()b a b a 753++不是完全平方数。