直角三角形锐角三角比练习题

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锐角三角比的意义

B
BC 2
tan A
.
AC 3
tan B AC 3
C
A
BC 2
B
当直角三角形的一个锐角的大小
确定时，这个锐角的邻边与对边 a
c
的比值也是确定的。
C
b
A
我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比
叫做这个锐角的余切(cotangent)。
如图，锐角A的余切记作cotA，这时
cot
A
锐角A的邻边锐角A的对边
在Rt△_____中，∠B的邻边是BD. (3) ∠ACD的邻边是___________，
∠BCD的对边是___________。 C
A
D
B
2、在RtABC中，C 90，如果将这个三角形的各边扩大2倍后得到ABC,那么tan A与tan A的关系是（）
（A）tan A 2 tan A （B）tan A 2 tan A （C）tan A tan A
B1C1 AC1 ，B1C1 AC1 B2C2 AC2 B3C3 AC3
C3 C2 C1
A
B1C1 B2C2 B3C3
AC1 AC2 AC3
结论1：如果给定直角三角形的一个锐角，那
么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一
个确定的数。
锐角A的对边锐角A的邻边
一个确定的值
问题2：当直角三角形中一个锐角的大小变化时，
鹿鸣学校张仲炎
直角三角形
角的关系：有一个角是直角、两锐角互余
边的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
A 边与角的关系：含30°角的直角三角形含45°角的直角三角形
b
c
C
a

解直角三角形——教师版(带完整答案)

(C)．
2 2
(D)． 2 2
2、如果是锐角，且 cos
4 ，那么 sin 的值是（）． 5
（C）
（A）
9 25
（B）
4 5
3 5
（D）
16 25
）．
3、等腰三角形底边长为 10 ㎝，周长为 36cm，那么底角的余弦等于（（A）
5 13
（B）
12 13Leabharlann （C）10 13（D） )
21.如图是五角星，已知 AC＝a，求五角星外接圆的直径（结果用含三角函数的式子表示）。
6 / 14
参考答案一、选择题 1、B 2、C 3、A 4、D 5、B 6、B 7、C 8、A 9、A 10、A 二、填空题 11、
1 2
12、2.3
13、1.5 +20tan
14、13
15、3.93 米
s i nA
A的对边 a 斜边 c
B ．锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 ∠ A 的余弦，记为 cosA ，即
cos A
A的邻边 b 斜边 c A的对边 a A的邻边 b
C．锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为 tanA，即 tan A
sin 2 A cos2 A 1
tanA tan(90°—A)=1 tanA=
sin A cos A
4 1.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= 5 ，则 cosB 的值等于（ b ）
3 A． 5
4 B. 5
3 C. 4
5
D. 5
2.在正方形网格中， △ ABC 的位置如图所示，则 cos B 的值为（ b

沪教版九年级数学暑假同步讲义第14讲锐角的三角比章节复习培优 (解析版)

锐角的三角比是九年级数学上学期第二章的内容．本章的基本要求是理解锐角三角比的概念，会求特殊锐角的三角比的值，会解直角三角形，需理解仰角、俯角、方向角、坡度和坡角等概念，并能解决有关的实际问题．重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关的几何计算．难点是解直角三角形的应用．已知锐角，求三角比已知锐角的三角比，求锐角锐角的三角比的概念已知一边和一个锐角已知两边直角三角形中的边角关系解直角三角形解直角三角形的应用单元练习：锐角的三角比内容分析知识结构步同级年九2 / 19【练习1】下列不等式成立的是（）A ．sin60sin45sin30︒<︒<︒B ．cos60cos45cos30︒>︒>︒C ．tan60tan45tan30︒<︒<︒D ．cot60cot 45cot30︒<︒<︒【答案】D【解析】通过计算特殊角的锐角三角比的值，可以判断D 正确．【总结】当锐角的度数逐渐增大时，正切值和正弦值也逐渐增大，而余切值和余弦值反而逐渐减小．【练习2】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，下列条件中不能解直角三角形的是（）A ．已知c 和aB ．已知b 和A ∠C ．已知a 和bD ．已知A ∠和B ∠ 【答案】D【解析】考查解直角三角形的条件．【总结】要解直角三角形，必须至少知道一条边．【练习3】已知AD 是Rt ABC ∆的斜边BC 边上的高，BC = a ，B β∠=，那么AD 等于（） A ．2sin a βB ．2cos a βC ．sin cos a ββD ．sin tan a ββ【答案】C【解析】解：在ABC Rt △中，BCAB=βcos ，∴βcos a AB =．在ABD Rt △中，ABAD=βsin ∴βββsin cos sin a AB AD ==．【总结】本题主要考查利用锐角三角比解直角三角形．选择题【练习4】如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6厘米，则这个三角形的面积为（）A ．4.5平方厘米 B． C．平方厘米D ．36平方厘米【答案】B【解析】解：根据题意解直角三角形可得：等腰三角形的高为3，底边长为36，则三角形的面积为3933621=⨯⨯．【总结】本题主要考查30°角的锐角三角比的值．【练习5】如图，设点A （m ，n ）是锐角α的一条边上的任意一点，则mn的值（） A ．只与角α的大小有关B ．只与点A 在角α的边上的位置有关C ．与角α的大小及点A 在角α的边上的位置有关D ．与角α的大小及点A 在角α的边上的位置无关【答案】A【解析】=cot mn α，所以只与角α的大小有关．【总结】本题主要考查锐角三角比的概念及相关性质．【练习6】等腰三角形的两条边分别为5和6，关于底角A 下列等式中成立的是（）A ．3sin 5A =B ．3cos 5A =C ．3sin 5A =或512D ．3cos 5A =或512【答案】D【解析】①等腰三角形的两腰为5，底为6时，3cos 5A =； ②等腰三角形的两腰为6，底为5时，5cos 12A =．【总结】本题主要考查锐角三角比的概念，注意要分类讨论．【练习7】如图，CD 是平面镜，光线从点A 出发经CD 上点E 反射后照射到点B ，若入步同级年九4 / 19射角为α，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC = 3，BD = 6，CD = 11，则tan α的值为（）A ．113B ．311C ．911D ．119【答案】D【解析】解：由光线反射定律可知：BED AEC ∠=∠．则BED AEC ∠=∠tan tan ． ∴DE BDCE AC =． ∴CE CE -=1163，解得：311=CE ． ∴9113311tan tan ====AC CE A α．【总结】本题主要是跟物理知识相结合，注意反射角等于入射角的运用．【练习8】菱形的边长为4，有一个内角为40°，则较短的对角线是（）A ．4sin40︒B ．4sin20︒C ．8sin20︒D ．8cos20︒【答案】C【解析】考查菱形对角线平分一组内角和解直角三角形基础知识．【练习9】如图，在ABC ∆中，30A ∠=︒，E 为AC 上一点，且AE : EC = 3 : 1，EF ⊥AB于点F ，连接FC ，则cot CFB ∠的值为（）A 136B 132C 433D 134【答案】DABCDαE【解析】过C 作CG ⊥AB ．∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴EF ∥CG ∴43===AG AF GC EF AC AE ．设a FE 3=，则a CG 4=．在AEF Rt △中，AF EF A =tan ，∴AFa333=，∴a AF 33=． ∵43=AG AF ，∴a GF 3= ∴在GFC Rt △中，4343cot ===∠a a CG FG CFB ．【总结】本题主要考查通过添加辅助线将所要求的锐角放到直角三角形中求解．【练习10】在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，且AD BD ==CD = 1，那么BAC ∠的大小可能是（） A ．15° B ．75° C ．15°，75° D ．105°【答案】C【解析】解：在ABD Rt △中，133tan ===∠AD BD BAD ，∴︒=∠45BAD ．在ACD Rt △中，3331tan ===∠AD CD CAD ，∴︒=∠30CAD ． ∴①︒=︒+︒=∠+∠=∠753045DAC BAD BAC ； ②︒=︒-︒=∠-∠=∠153045DAC BAD BAC ．【总结】本题主要考查解直角三角形，注意分类讨论．步同级年九6 / 19A B CDABCDE【练习11】如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上一点B ，取145ABD ∠=︒，BD = 500米，55D ∠=︒，要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（）米 A ．500sin55︒ B ．500cos55︒C ．500tan55︒D ．500cot55︒【答案】B【解析】解：∵145ABD ∠=︒，∴︒=∠35CBD ．∵55D ∠=︒，∴︒=∠90E ．在BED Rt △中，BD EDD =cos ，∴︒=55cos 500ED ．【总结】本题主要考查解直角三角形的运用，注意分析题目中的条件．【练习12】如图，四边形ABCD 中，=135A ∠︒，90B D ∠=∠=︒，23BC =，AD = 2，则四边形ABCD 的面积是（） A ．42B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】延长CD 和BA 交于点E ．∵=135A ∠︒，90B D ∠=∠=︒，∴45C EAD ∠=∠=．∴()4221322121212222=⨯-⨯=-=AD BC S ABCD 四边形．【总结】本题主要考查通过解直角三角形求几何图形的面积．【练习13】如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC ⊥AB ，AD = CD ，4cos 5DCA ∠=， BC = 10，则AB 的值是（） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9【答案】BA BCABC D EF 【解析】解：∵AD = CD ，∴DCA DAC ∠=∠．∵AD // BC ，∴ACB DAC ∠=∠， ∴ACB DCA ∠=∠． ∴BCA DCA ∠=∠cos cos 在ABC Rt △中，BCACACB =∠cos ， ∴1054AC =，解得：8=AC ． ∴68102222=-=-=AC BC AB ．【总结】当两个锐角相等时，它们的相应的锐角三角比的值也相等．【练习14】如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB = 1.8米，要在窗子外面上方安装水平当光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，则挡光板的宽度AC 为（） A ．1.8sin80︒B ．1.8cos80︒C ． 1.8sin80︒D ．以上都不对【答案】D【解析】正确答案为︒80cot 8.1．【总结】本题主要考查锐角三角比的准确运用．【练习15】如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4 : 5，E 是AB 上的一点，沿CE 将EBC ∆向上翻折，若点B 恰好落在边AD 上的点F ，则tan AEF ∠等于（）A ．34B ． 43C ．35D ． 53 【答案】B【解析】解：设x DC 4=，x BC 5=．∵△CBE ≌△CFE ， ∴x CF 5=．在DFC Rt △中，()()x x x DC FC DF 3452222=-=-=．∵︒=∠+∠90AFE AEF ，︒=∠+∠90DFC AFE ， ∴DFC AEF ∠=∠， ∴4343tan tan ===∠=∠x x DF DC DFC AEF ．【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查等角的锐角三角比的相关性质．【练习16】菱形的两条对角线长为23和6，则菱形较小的内角为______．【答案】60°．【解析】∵菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组内角， ∴最小内角一半的正切值是33， ∴最小内角一半为30°，∴最小内角为60°．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及菱形的性质．【练习17】如果24cos 8cos 30αα-+=，那么锐角α= ______．【答案】60°．【解析】解方程可得：23cos =α或21cos =α，∵1cos 0<<α，∴21cos =α，∴︒=60α．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习18】校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．【答案】13．【解析】如图，AB =8，CD =13，BD =12．过A 作AE ⊥DC ，则四边形ABDE 为矩形． ∴AB =DE =8，BD =AE =12，∴135122222=+=+=CE AE AC ．【总结】本题主要考查根据题目中的已知条件求直角三角形的斜边．填空题ABC D【练习19】等腰三角形ABC中，AB = AC，BC = 10，ABCS∆=，那么A∠=______．【答案】120°．【解析】∵12ABCS BC h∆=⋅⋅=，BC = 10，∴335=h．∴33533521tan===BChB，∴︒=∠30B．∴︒=∠-︒=∠1202180BA．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及等腰三角形的性质．【练习20】ABC∆中，90C∠=︒，斜边上的中线CD = 6，sin A =13，则ABCS∆= _____．【答案】【解析】∵90C∠=︒，斜边上的中线CD = 6，∴AB = 2CD = 12．∵sin A =13，∴31=ABBC．∴4=BC．∴284122222=-=-=CBABAC．∴11422ABCS AC BC==⨯⨯=【总结】本题主要考查解直角三角形以及直角三角形的性质．【练习21】如图，在C处测得铁塔AB的塔顶A的仰角为30°，向塔前进10米到达D处，在D处测得A的仰角为45°，则铁塔的高为______．【答案】535+．【解析】由题意，可设xBDAB==．在ABCRt△中，33tan==BCABC，∴xCB3=．∴xx310=+，解得：535+=x．【总结】本题主要考查解直角三角形与仰角结合的应用．【练习22】某拦水坝的横截面为梯形ABCD，其中斜面AB的坡比为1 : 3，如果自A向B 走了米，那么升高的高度为______米．【答案】10．【解析】设斜面AB 的垂直高度为x ，则水平高度为x 3， ∴()101010322==+x x x ，解：10=x∴升高的高度为10米．【总结】本题主要考查解直角三角形在坡比问题中的应用．【练习23】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米．如果在坡度为1：34的山坡上种树，也要求株距为4米，则相邻两树间的坡面距离是______．【答案】5．【解析】考查坡度的定义．【练习24】用高为h 的测角仪测得铁塔AB 的顶点A 的仰角为α，测角仪到铁塔距离为m ，那么铁塔高度为____________．【答案】αtan m h +．【解析】考查仰角的定义．【练习25】如图，某人从A 点沿西南方向行了B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为______．【答案】04⎛+⎝，．步同级年九12 / 19ABP'A'P【解析】由题意可知：︒=∠45A ，︒=∠60AOB ，24=AB ．过B 作BC ⊥AO ．在ABC Rt △中，22sin ==BA CA A ， ∴4=CA ，4=BC ．在OBC Rt △中，3tan ==∠OC CB AOB ， ∴334=CO ． ∴3344+=OA ．∴A 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+33440，．【总结】本题主要考查通过添垂线将特殊角放在直角三角形中，然后进行求解．【练习26】如图，如果APB ∆绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到''A P B ∆，且BP = 2，那么'PP 的长为______．（62sin15-︒=）【答案】26-．【解析】联结'PP ，过B 作BD ⊥'BP ． ∵︒=∠30'PBP ，'BP BP =， ∴︒=∠15PBD ．∴在BPD Rt △中，PB DP PBD =∠sin ，∴2426DP =-，∴226-=PD ． ∴262'-==PD PP ．【总结】本题主要考查通过添垂线将特殊角放在直角三角形中，然后进行求解，另外还考查了旋转的性质．【练习27】 ABC ∆中，AB = 5，AC = 8，30C ∠=︒，则ABC ∆的面积是______．【答案】638±．【解析】过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．ABCDM在ACD Rt △中，421==AC AD ． ∴34482222=-=-=AD AC CD ．在Rt ABD △中，3452222=-=-=AD AB BD ．()63843342121+=⋅+⋅=⋅⋅=AD BC S ABC △； ②()638433421211-=⋅-⋅=⋅⋅=AD C B S ABC △．【总结】本题主要考查根据已知条件解直角三角形，另外要注意进行分类讨论．【练习28】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A B ∠<∠，沿ABC ∆的中线CM 将CMA ∆折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tan A 的值为______．【答案】33．【解析】∵△AMC ≌△DMC ，∴D A ∠=∠，DCM ACM ∠=∠． ∵CM 为Rt ABC ∆的中线， ∴ACM A ∠=∠． ∵CD 恰好与MB 垂直，∴︒=∠+∠90DCB B ．又∵︒=∠+∠90A B ， ∴A DCB ∠=∠． ∴DCM ACM DCB ∠=∠=∠．∵︒=∠+∠+∠90DCM ACM DCB ， ∴︒=∠30ACM ．∴︒=∠30A ，∴33tan =A ．【总结】本题综合性较强，主要考查翻折的性质以及直角三角形的性质和特殊角的锐角三角比的值．解答题步同级年九14 / 19【练习29】计算：cos 45sin 301cos60tan 452︒-︒︒+︒．【答案】212-．【解析】解：原式=212121212122-=⨯+-．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值及代数式求值．【练习30】已知α为锐角，且11tan α-无意义，求()()2cos 15615sin ααα+︒-︒的值．【答案】21-．【解析】∵α为锐角，且11tan α-无意义．∴1tan =α，∴︒=45α．∴原式=212223621245sin 30cos 660cos 2-=⨯⨯-⨯=︒︒-︒．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及分式无意义的条件．【练习31】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = BC ，BD 为AC 边上的中线．求sin ABD ∠和tan ABD ∠的值．【答案】1010，31．【解析】过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ．设AE =DE =x ，则x AD 2=．∵BD 为AC 边上的中线， ∴x AC 22=．∴x AC AB 42==． ∴x BE 3=． ∴x BE DE BD 1022=+=．∴101010sin ===∠xx DB DE ABD ，313tan ===∠x x EB DE ABD ．【总结】本题主要考查解直角三角形以及锐角三角比的概念．【练习32】如图，等腰梯形ABCD ，AD // BC ，45DBC ∠=︒，翻折梯形ABCD ，使点B重合于点D ，折痕分别交AB 、BC 于点F 、E ，若AD = 2，BC = 8．求：（1）BE 的长；（2）CDE ∠的正切值．【答案】（1）5；（2）53．【解析】∵EF 垂直平分BD ， ∴DE BE =． ∴︒=∠=∠45BDE DBC ， ∴︒=∠90DEB ．过A 作AG ⊥BC ，由等腰梯形的性质可得：3==EC BG ． ∴538=-=-=EC BC BE ． ∴5==BE DE ．∴在DEC Rt △中，53tan ==∠DE CE CDE ．【总结】本题综合性较强，主要考查翻折的性质以及等腰梯形的性质和特殊角的锐角三角比的值．【练习33】如图，已知梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，BE ⊥CD 于点E ，AD = 1，CD =．求BE 的长．【答案】223．【解析】过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则可得四边形ABFD 为矩形．A B CDE FG AB CDEF∵在DCF Rt △中，DC DFC =sin ，∴2222DF =，∴2=FD ． ∴2=CF ． ∴2=AB ，1==AD BF ． ∴3=BC ．∵在BCE Rt △中，BC BEC =sin ，∴322BE =，∴223=BE ．【总结】本题主要考查解直角三角形，注意通过添加垂线，将特殊角放到直角三角形中．【练习34】如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°．在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．【答案】34+．【解析】过A 作AG ⊥CD ，垂足为G ．由题意可得：︒=∠30CAG ，︒=∠60CED ，6==BD AG ．∵在ACG Rt △中，AG CGCAG =∠tan ，∴633CG =，∴32=CG ， ∴2332+=CD ．∵在CED Rt △中，CECDCED =∠sin ， ∴CE233223+=，∴34+=CE ．【总结】本题主要考查解直角三角形在仰角问题中的应用．【练习35】如图，有一朝向为正南方向的居民楼CD ，该居民楼的一楼是高6米的超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼AB ，当冬季正午阳光与水平线的夹角为30°时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？（2）若要超市采光不受影响，两楼应相距多少米？【答案】（1）不受影响，理由见解析；（2）320．EAB CEFG【解析】（1）由题意可知：︒=∠30AEF ，15=EF ．在CED Rt △中，∵FE AF AEF =∠tan ，∴1533AF=，∴35=AF ． ∵636.113520>≈-==BF EC ，∴超市以上的居民住房采光不受影响．（2）当︒=∠30ACB 时，超市采光不受影响，在ACB Rt △中，BCABACB =∠tan ， ∴BC2033=，∴320=BC ． ∴两楼至少相距320米．【总结】本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用．【练习36】如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6米，坝高为3.2米，为提高拦水能力，需要将水坝加高2米，并保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但背水坡坡度由原来的1 : 2变成1 : 2.5．求加高后的坝底HD 的长为多少？【答案】29.4米．【解析】解：∵BH =3.2， ∴加高后MF =EN =5.2，MN =EF =BC =6，在HMF Rt △和EDN Rt △中，5.21=HM FM ，21=DN EN ∴HM =2.5MF =13， DN =2EN =10.4 ，∴HD =13+6+10.4=29.4．【总结】本题主要考查解直角三角形在坡度问题中的应用．【练习37】近日A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正西300公里的B 处，并以107 公里/小时的速度向南偏东60°的BF 方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域．（1）A 市是否受到本次沙尘暴的影响？（2）若A 市受沙尘暴影响，求受影响的时间有多长？【答案】（1）是；（2）10小时．【解析】如图，点C 为台风离A 市最近的地方． D 为A 市是开始受到沙尘暴影响，E 为A 市不受沙尘暴影响．在ABC Rt △中，20015021<==AB AC ．∴A 市会受到本次沙尘暴影响．（2）由题意可知：AD =AE =200．在ADC Rt △中，7501502002222=-=-=CA DA DC ，∴71002==DC DE ．∴107107100==t ．【总结】本题主要考查解直角三角形在方位角问题中的应用．【练习38】如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AB = 10，【答案】143．【解析】解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ．∵120BAC ∠=︒，∴︒=∠=∠60EAB DAC ．在ABE Rt △中，521==AB AE ，∴355102222=-=-=AE BA EB ．在ADC Rt △中，2521==AC AD ．∴2352552222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AD CA DC ．在CBE Rt △中，()7510352222=+=+=CE BE CB ，∴在BDC Rt △中，72375325sin ===BC DC B ．在BEC Rt △中，737535sin ===BC BE C ；∴33sin sin =142B C ．【总结】本题主要考查解直角三角形的应用，综合性较强，要注意去寻找包含所求锐角的直角三角形．。

中考总复习数学20-第一部分第20讲锐角三角函数及解直角三角形(精练册)

解:如图，过点D作DG⊥EF于点G,则A,D,G三点共线,BC=AD=20米,
AB=CD=FG=1.58米,设DG=x米,则AG=(20+x)米,
在Rt△DEG中,∠EDG=60°,tan

60°= = =

3,
解得EG= 3x,
在Rt△AEG中,∠EAG=30°,tan

3
3
30°= =
3 2 1 6+
+ × =
2 2
2
4
2
×
2
−
2
,则sin 15°的值为_________.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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第20讲锐角三角函数及解直角三角形
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6.(2022·黑龙江牡丹江)如图，小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小
明在坡比为5:12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,则
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4.(2022·广东)sin 30°=________.
5.(2022·黑龙江绥化)定义一种运算:sin(α+β)=sin αcosβ+cos αsin β,sin(αβ)=sinαcosβ-cosαsinβ.例如:当α=45°,β=3时,sin(45°+30°)=
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锐角三角函数同步练习(应用题)

第28章锐角三角函数练习题姓名：________1.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取23=1. 732，结果保留两位小数）2.(2009成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)3．（2009年黄石市）三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区．它的主峰海拔约为600米，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，现在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中35tan tan 58αβ==，，求发射架高BC ．4．(2009年云南省)如图，小芸在自家楼房的窗户A 处，测量楼前的一棵树CD 的高. 现测得树顶C 处的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD 为20米.请5.（2009年济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β=，然后用皮尺量出A ．B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈，结果保留整数）.CB AP600米山顶发射架 45° AB C D 60°（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ . 6．（2009年山东青岛市）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°CD 的高度．（参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）7．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．（1）求ADB ∠的度数；（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）8.（2009年福州）如，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ；（2）线段CD 的长为；（3）请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是．（4）若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 .9．（2009年日照）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．10．（2009贺州）如图，︒=∠25MON ，矩形ABCD 的对角线ON AC ⊥，边BC 在OM 上，当AC=3时，AD11.（2009年天津市）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离．现测得30AC =m ，70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两个凉亭之间的距离． A CD EFBCG E DB A F ACD AO25°CBM NDC A12. （ 2009年嘉兴市）如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，（1）求该一次函数的解析式；（2）求OCD ∠tan 的值；（3）求证：︒=∠135AOB ．13. （2009年泸州）如图11，在△ABC 中，AB=BC ，以AB为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF⊥BC，交AB 的延长线于E ，垂足为F ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值． 14.（2009呼和浩特）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足5075α°≤≤°．如图，现有一个长6m 的梯子，梯子底端与墙角的距离为3m ．（1）求梯子顶端B 距离墙角C（2）计算此时梯子与地面所成角α，并判断人能否安全使用这个梯子．（3 1.732≈，2 1.414≈）15.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取2316.（2009年常德市）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．17.（2009年包头）如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米．（1）求乙建筑物的高DC ；（2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC（参考数据：2 1.4143 1.732≈，≈）18．（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．19.（2009年台州市）如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD ; （2）求斜坡新起点A 与原起点B 的20．（2009年赤峰市）公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，B D CA O1 1yx图11 BC A 墙地面 C BA5°D乙C B A甲EC∠B=∠C=120°，∠A=45°．请你求出这块草地的面积.21.（2009年娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）22. (2009年金华市) 如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离ABADCD24.（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．第28章锐角三角函数练习题参考答案1. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米2.解：如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45° ∴在Rt △ABD 中，BD=AB 又在Rt △ABC 中，∵ tan30°=BCAB ∴33=BC AB ，即BC=3AB ∵BC=CD+BD ，∴3AB=CD+AB 即（3-1）AB=60A BCD图1 图2DABCEF∴AB=1360-=30(3+1)米∴教学楼高度为30(3+1)米. 3. 解：在Rt PAB △中，∵tan AB PA α=， ∴6001000m 3tan 5AB PA α===．在Rt PAC △中， ∵tan ACPAβ=， ∴5tan 1000625m 8AC PA β===． ∴62560025m BC =-=．答：发射架高为25m ．4. 解：过点A 作AE ∥BD 交DC 的延长线于点E ，则∠AEC =∠BDC =90°．∵45EAC ∠=，20AE BD ==， ∴20EC =．∵tan tan ABADB EAD BD∠=∠=， ∴20tan 60203AB =⋅=2032014.6CD ED EC AB EC =-=-=≈（米）．答：树高约为14.6米．5. 解:（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-. ∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-.∴ 1.618.617CE x x =-+=+. ∵0tan tan 35ME CE α==,∴ 1.60.717x x -=+,解得45x m =. ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m .(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角．自身的高度. 6. 解：由题意知CD AD ⊥，EF AD ∥，45°AB ED60°C∴90CEF ∠=°，设CE x =，在Rt CEF △中，tan CE CFE EF ∠=，则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°；在Rt CEG △中，tan CECGE GE ∠=，则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°；∵EF FG EG =+， ∴845033x x =+． 37.5x =，∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=（米）．答：古塔的高度约是39米．7. （1）解：∵DC CE ⊥，∴90BCD ∠=°．又∵10DBC ∠=°， ∴80BDC ∠=°， ∵85ADF ∠=°，∴360809085105ADB ∠=---=°°°°°．（2）过点D 作DG AB ⊥于点G ．在Rt GDB △中，401030GBD ∠=-=°°°， ∴903060BDG ∠=-=︒°° 又∵100BD =， ∴111005022GD BD ==⨯=． 3cos301005032GB BD ==⨯=°． A CDEFBG在Rt ADG △中，1056045GDA ∠=-=︒°° ∴50GD GA ==，∴50503AB AG GB =+=+（米）答：索道长50503+米． 8. （1）如图（2）5;（3）∠CAD ，55(或∠ADC ，552); （4）21. 9. 延长BC 交AD 于E 点，则CE ⊥AD ．在Rt △AEC 中，AC ＝10，由坡比为1: 3可知：∠CAE ＝30°， ∴ CE ＝AC·sin30°＝10×21＝5， AE ＝AC·cos30°＝10×23＝53 ．在Rt △ABE 中，BE ＝22AE AB -＝()223514-=11．∵ BE ＝BC ＋CE ，∴ BC ＝BE －CE ＝11-5＝6（米）．答：旗杆的高度为6米． 10. 解：延长AC 交 ON 于点E ， ∵AC ⊥ON ， ∠OEC=90°，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°，A D=BC ，又∵∠OCE=∠ACB ， ∴∠BAC=∠O=25°，在Rt △ABC 中，AC=3， ∴BC=AC· ∴ADABCED A25°CBMDECAD11. 如图，过C 点作CD 垂直于AB 交BA 的延长线于点D .在Rt CDA △中，3018018012060AC CAD CAB =∠=-∠=︒-︒=︒，°.∴•=AC CD 31560sin 30sin =︒•=∠CAD ，︒•=∠•=60cos 30cos CAD AC AD =15.又在Rt CDB△中，22270BC BD BC CD ==，-，()227015365BD ∴=-=.651550AB BD AD ∴=-=-=，答：A B ，两个凉亭之间的距离为50m.12. （1）由⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 321，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3534b k ，所以3534+=x y （2）5(0)4C -，，5(0)3D ，．在Rt △OCD 中，35=OD ，45=OC ， ∴OCD ∠tan 34==OC OD ．（3）取点A 关于原点的对称点(21)E ，，则问题转化为求证︒=∠45BOE ．由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ，∵222BE OE OB +=， ∴△EOB 是等腰直角三角形． ∴︒=∠45BOE ． ∴135AOB ∠=°．BD CAO 1 1yE13.14. 解：（1）在Rt ACB △中，（2）在Rt ACB △中，31cos 62AC AB α=== ∴可以安全使用.15.. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米16. 设山高BC =x ，则AB =12x ，由tan 3012002BC x BDx==+，得1)400x=，解得1)16211x ==≈米17.解：（1）过点A 作AE CD ⊥于点E ，根据题意，得6030DBC DAE αβ∠=∠=∠=∠=°，°，36AE BC EC AB ===，米，设DE x =，则36DC DE EC x =+=+，在Rt AED △中，tan tan 30DEDAE AE∠==°， AE BC AE ∴=∴==，，在Rt DCB △中，tan tan 60DC DBC BC ∠===°，3361854x x x DC ∴=+=∴=，，（米）．（2）BC AE ==，18x =，1818 1.73231.18BC ∴==⨯≈（米）．18. 解：如图，过B 点作BD⊥AC 于DD乙CBA 甲 E∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45° 设BD ＝x,在Rt△ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°＝33x 在Rt△BDC 中,BD ＝DC ＝x BC ＝2x又AD ＝5×2＝10 ∴3103x x +=得5(31)x =- ∴25(31)5(62)BC =⋅-=-（海里）答：灯塔B 距C 处5(62)-海里19. 解：（1）在BCD Rt ∆中，︒=12sin BC CD 1.221.010=⨯≈（米）．（2）在BCD Rt ∆中，︒=12cos BC BD8.998.010=⨯≈（米）；在ACD Rt ∆中，︒=5tan CD AD 2.123.330.09≈≈（米）， 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈（米）． 20解：连接BD ，过C 作CE BD ⊥于E ，10120BC DC ABC BCD ==∠=∠=，°， 123090ABD ∴∠=∠=∴∠=°，°．553CE BE ∴=∴=，．452103A AB BD BE ∠=∴===°，．.21. 解：方法一：过D 点作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，设EF =x ，则DF =3x在Rt △ADF 中，tan 50°=303xx+30+x=3∴DF =3x≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的方法二：过点D 作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，EF =FD·tan 30°在Rt △AFD 中，AF =FD·tan 30°∵AE +EF =AF∴30+FDtan 30°=FD·tan 50°∴FD ≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的22. 解：由题意可知：AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中, sin ∠ACB =AB AC ∴AC = ABsin ∠ACB = = ∴CD = AC +AD23. （1）证明：在矩形ABCD 中，ABE DFA ∴△≌△．（2）解：由（1）知ABE DFA △≌△ 在直角ADF △中，在直角DFE △中，10sin 210EF EDF DE ∴∠===。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类练习北师大版(20

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专题训练（一）求锐角三角函数值的方法归类►方法一运用定义求锐角三角函数值1．2017·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!2．如图1－ZT－1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3），那么cosα的值是（) A.错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!图1－ZT－1►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝错误!,则tan B的值为( ）A.错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误!4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝错误!，那么cos A的值为( ）A.错误!B.错误!C。

错误! D.错误!5．如图1－ZT－2,在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝错误!，BE＝2，则tan∠DBE的值是( )图1－ZT－2A.错误! B．2 C。

错误! D.错误!6．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B,∠C的对边,且a,b,c满足b2＝(c＋a)(c－a）．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝错误!BD,连接AC，若tan B ＝错误!,求tan∠CAD的值．图1－ZT－3►方法三在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为( ）图1－ZT－4A.错误! B。

三角比综合练习题

三角比综合练习题1. 已知直角三角形的一个锐角的角度为30°，求另外两个角的度数。

解析：由于是直角三角形，所以其中一个角为90°，另外一个角为30°，根据三角形内角和为180°的性质，我们可以求得另外一个角的度数为60°。

2. 已知一个三角形的两条边的长度分别为5cm和7cm，夹角的度数为45°，求第三条边的长度。

解析：首先，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。

根据余弦定理，我们可以得到第三条边的长度：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)c² = 5² + 7² - 2 · 5 · 7 · cos(45°)c² = 25 + 49 - 2 · 5 · 7 · cos(45°)c² = 74 - 70cos(45°)c² ≈ 74 - 70 · 0.7071c² ≈ 74 - 49.497c² ≈ 24.503c ≈ √24.503c ≈ 4.95所以第三条边的长度约为4.95cm。

3. 已知一个等腰三角形的顶角为80°，底边的长度为10cm，求等腰边的长度。

解析：由于等腰三角形的两个底角相等，所以可以计算出底角的度数：底角的度数 = (180° - 顶角的度数) ÷ 2底角的度数 = (180° - 80°) ÷ 2底角的度数 = 100° ÷ 2底角的度数 = 50°再利用正弦定理可以计算出等腰边的长度：sin(底角的度数) = 等腰边的长度 ÷底边的长度sin(50°) = 等腰边的长度 ÷ 10等腰边的长度 = 10 · sin(50°)等腰边的长度≈ 10 · 0.766等腰边的长度≈ 7.66cm所以等腰边的长度约为7.66cm。

锐角三角比2015

锐角三角比第一节锐角的三角比1．锐角的三角比的定义如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，锐角A 的四个三角比为： tanA ＝b aAC BC A A ==∠∠的邻边的对边cotA ＝abBC AC A A ==∠∠的对边的邻边sinA ＝c aAB BC A ==∠斜边的对边cosA ＝cbAB AC A ==∠斜边的邻边2．三角比的值（1）特殊角的三角比的值（30°、45°、60°）（2）锐角α三角比的值都是正数，并且有0＜sin α＜1，0＜cos α＜1 （3）同角三角比的关系：AA cot 1tan =（4）互余两角的三角比的关系：tan （90°—A ）= cotA ，sin （90°—A ）= cosA 注意点：1、要熟记30°、45°、60°等特殊角的三角比值；2、会使用计算器求锐角的三角比的值；3、要善于运用锐角三角比的定义求出锐角的三角比或边长，当所给的图形中没有直角三角形，会构造直角三角形；当图形较复杂，求一个角的三角比不方便时，会分析图形、条件，观察图形中是否有与所求角相等的角，然后转化成求另一个角的三角比．例题精讲[例题1] 如图24—1，在△PQR 中，∠R =90°,tan P =3，RQ =12．求QR 和sin Q 的值．[例题分析]由已知在直角三角形中一个角的正切和一条直角边，就可直接运用三角比的定义求出另一条直角边，再由勾股定理，求出斜边，然后求出锐角的正弦或余弦．[解题过程] 在△PQR 中，∠R =90°,tan P =3，∴312==PRPR RQ ，∴4=PR 又∵222RQ PR PQ +=，∴5=PQ ∴53sin ==PQ PR Q [例题2] 如图24—2，在直角坐标平面内有一点),2(b A )0(>b ．OA 与x 轴正半轴的┒R P Q 图24—1CAB夹角为α．（1）用含α的式子表示b ．（2）用含b 的式子表示αcos ．[例题分析]轴的距离有关，所以，只要过点A 作x 轴的垂线，就可构造直角三角形，再运用三角比求解．[解题过程]（1）过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则 ∠ACO =90°，∠AOC =α，由点),2(b A )0(>b ，得,,2b AC OC ==∴OCAC=αtan ，∴αtan 2=b ．（2）∵22224b AC OC AO +=+=，∴42+=b AO∴44242cos 222++=+==b b b AO OC α． [例题3] 如图24—3，在△ABC 中，∠C =90°，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点D ，AC =5，BC =12. 求sin ∠ADE 的值．[例题分析]要求sin ∠ADE 的值，由正弦的定义即要求出AD DE的值，由于点D 、E 不确定，无法求DE 、AD 的值，从题中的信息可以证明△ADE ∽△ABC ，得AB AC AD DE = 并可求ABAC 的值，但比较复杂，由于∠ADE 与∠B 都是∠A 的余角，所以∠ADE =∠B ，那么求sin ∠ADE 的值就转化为求sin ∠B 的值．[解题过程]∵ DE ⊥AB ∴∠AED =90°，又∠C =90°， ∴∠ADE =90°-∠A ==∠B在△ABC 中，∠C =90°， AC =5，BC =12，∴169222=+=BC AC AB ∴13=AB∴135sin ==∠AB AC B ∴sin ∠ADE =135．锐角三角比的意义练习1．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 5，则tan A = ，cot A = ． 2．在Rt △MNP 中，∠P =90°,MP =10,52cot =N ，那么NP = ，MN = ．3．如图24—4，在△PQR 中，∠R =90°,点M 在边PR 上．设∠P =β，∠QMR =α，QR =a ．用含a 和α、β的式子表示PM 的长．图24—2┒EC B A 图24—3DβαMRQP图24—44．如图24—5，在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =6，AB =10，CD ⊥AB ,垂足为点D . 求(1) tan A ；(2)cot ∠ACD ．5．在Rt △ABC 中，∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系中，正确的是（） (A)c b A =sin ； (B)a c B =cos ； (C) b a A =tan ； (D)ab B =cot ． 6．如果Rt △ABC 中，∠C =90°,各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的各三角比的值（）(A)都扩大到原来的2倍； (B)都缩小到原来的2倍； (C)没有变化； (D) 不能确定． 7．在Rt △SQR 中，∠R =90°，如果tanS ＝512 ，那么sinQ 的值等于（）(A)135； (B) 1312 ； (C) 125 ； (D) 512 ． 8．在直角坐标平面内有一点)4,(a P )0(>a ．OP 与x 轴正半轴的夹角为α．（1）用含α的式子表示a ．（2）用含a 的式子表示αsin ．9．若3tan α=3，则锐角α = 度． 10．求下列各式的值：（1）3cot60°－tan45°＋2sin45°－2cos30°；（2）0060cos 160sin 30tan -+．第二节解直角三角形解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量．1．明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的．因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础．2．解直角三角形的基本类型和方法事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形┒DC A 图24—5是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。

直角锐角钝角练习题

直角锐角钝角练习题一、选择题1. 在一个直角三角形中，一个角的度数是90°，这个角被称为：A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角2. 一个角的度数小于90°，这个角是：A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角3. 如果一个角的度数大于90°但小于180°，这个角被称为：A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角4. 一个角的度数等于180°，这个角是：A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角5. 在一个三角形中，如果有一个角是直角，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 如果一个三角形的三个内角分别为70°、40°和70°，那么这个三角形是______三角形。

8. 如果一个三角形的三个内角分别为30°、60°和90°，那么这个三角形是______三角形。

9. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么另一个锐角是______度。

10. 如果一个三角形的三个内角分别为120°、30°和30°，那么这个三角形是______三角形。

三、判断题11. 直角三角形的两个锐角的和等于90°。

（）12. 钝角三角形的三个内角都小于90°。

（）13. 一个三角形中至少有两个锐角。

（）14. 平角是180°，直角是90°。

（）15. 等边三角形的三个内角都是60°，因此它是一个锐角三角形。

（）四、简答题16. 请解释什么是直角，并给出一个直角三角形的例子。

17. 钝角和锐角的区别是什么？请分别给出一个例子。

18. 如何判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？19. 如果一个三角形的两个内角已知，如何快速判断第三个角的类型？20. 在一个三角形中，如果一个角是直角，另一个角是锐角，第三个角会是什么类型？五、计算题21. 已知一个三角形的两个内角分别为50°和70°，求第三个角的度数。

2014直角三角形锐角比解答题

2014直角三角形锐角比解答题一、锐角比计算1. （崇明）计算：tan 60cot 45sin 60cot 302cos30︒︒-︒︒︒2. （嘉定）计算：︒-︒︒-︒45sin 460tan 60cos 60sin 222.3. （长宁）计算：2013(tan 45)cos60|cot301|-︒-︒+︒-． 4.（普陀）计算：()6033060124530sin tan cos cot cot +⋅-⋅．5. （黄浦）计算：2sin 30tan 602cos30cot 45︒+︒︒-︒. 6. （奉贤）计算：2cos60cot 30tan 45sin 45︒︒+︒+︒7. （徐汇）计算：2222sin 30+tan60tan30+sin 60cos 45+cot60cos30︒︒⋅︒︒︒︒⋅︒二、应用题1. （崇明）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，涉及的方案及测量数据如下：（1）在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35°；（2）在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；（3）量出A 、B 两点之间的距离为4.5米。

请你根据以上数据求出大树CD 的高度。

（结果精确到0.1）（参考数据：sin 35︒≈0.57，cos35︒≈0.82，tan35︒≈0.70）第22题图2. （嘉定）如图，某水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽3=BC 米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度1:1=i ，迎水坡CD 的坡角ADC ∠为︒30.求坝底AD 的长度.3. （虹口）我国南水北调中线工程的起点是某水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的156米增加到173.2米，以抬高蓄水位，如图是一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角∠BAE = 69°，新坝体高为DE ，背水坡坡角∠DCE = 60°，求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC ．4. （长宁）为了开发利用海洋资源，需要测量某岛屿两端A 、B 的距离．如图，勘测飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得点A 的俯角为60°，然后沿着平行于AB 的方向飞行了500米至D 处，在D 处测得点B 的俯角为45°，求岛屿两端A 、B 的距离．（结果精确到0.1米）说明：①A 、B 、C 、D 1.732,1.414≈．5. （六区）如图，已知某船向正东方向航行，在点A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上，前进8海里到达点B 处，测得岛C 在其北偏东30方向上，已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由。

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。

锐角三角比练习题7含答案

锐角三角比双基训练*1.在Rt ΔΑBC 中，∠C=900，BC=2，sin Α=,则ΑB= .【1】 *2.已知α为锐角，且cos α=25,则sin α= ,tg α= ,ctg α= .【2】**3.在Rt ΔΑBC 中，∠C=900，tgB=3,c-α=2,则α= ,b= ,c= .【2】 **4.在P 是直线y=512x 在第一象限上一点，若∠Pox=β,则cos β= ，ctg β= .【2】 **5.在直角坐标平面内有一点P(6,y),OP 与x 轴正方向所夹锐角为α,sin α=45,则y 的值是；OP 长是 .【2】**6.已知M(2,x)是直角坐标平面内一点，且锐角∠Mox=α,ctg α=3，则点M 的纵坐标为 .【2】**7.（1）sin180=cos ；（2）tg21.30=ctg ；（3）cos21012′=sin ；（4）ctg11021′31″=tg .【2】 **8.比较大小：【3】（1）sin200 sin700；（2）sin350 cos350；（3）tg180 ctg710；（4）sin720 tg620**9.tg10·tg20·tg30·…·tg890= .【2】**10.sin α210+sin220+…+sin 2880+sin 2890= .【2】 **11.已知sin α+cos α=43,则sin α·cos α= .【1】 **12.若α是锐角，且tg2α=3,则sin α·cos α= .【1】 **13.如果6sin 2cos 22sin cos a aa a-=+，那么tg α= .【2】**14.直线上有点Α(-1,-2)、B(3，4),则此直线与x 轴所夹锐角的正弦值为 .【3】**15.若ΔΑBC 中，∠C=900，则tgB=（）.【1】（Α）AB BC （B ）AC BC （C ）AC AB （D ）BC AC**16.在ΔΑBC 中，∠C=900，CD 是ΑB 边上的高，则CD ：CB 等于（）.【2】（Α）sin Α （B ）cos Α （C ）sinB （D ）cosB**17.在Rt ΔΑBCk , ∠Α=900,α、b 、c 分别是∠Α、∠B 、∠C 的对边，则下列结论中正确的是（）.【2】（Α）b=α·sinB （B ）b=c ·cosB （C ）b=c ·tgB （D ）c=α·ctgB**18.当450<∠Α<∠B<900时，下列各式不正确的是（）.【2】（Α）sin Α>sinB （B ）tg Α>tgB （C ）cos Α<cosB （D ）ctg Α>ctgB**19.在ΔΑBC 中，∠C=900，CD 是斜边ΑB 上的高，sin Α等于（）.【2】（Α）AD CD （B ）BD BC （C ）CD AC （D ）ADAC**20.在ΔΑBC 中，如果2A Btg +=1,那么ΔΑBC 的形状是（）.【2】（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形**21.如果x 为锐角，那么sinx+cosx 的值是（）.【2】（Α）大于1 （B ）小于1 （C ）等于1 （D ）不能确定**22.已知sin θ+sin 2θ=1,则cos 2θ+cos 4θ的值是（）.【2】（Α）1 （B ）2 （C （D **23.当450<α<900时，下列各式正确的是（）.【2】（Α）tg α>cos α>sin α （B ）sin α>cos α>tg α （C ）tg α>sin α>cos α （D ）cos α>sin α>tg α**24.已知P(sin300,tg450),则P 关于原点对称的点的坐标是（）.【2】（Α）（12，-1）（B ）（-12，-1）（C ）（-2，-1）（D ）（2，1）**25.在ΔΑBC 中，若|tg Α-1|+(cosB-2)2=0,则ΔΑBC 是（）.【2】（Α）等腰三角形（B ）等边三角形（C ）等腰直角三角形（D ）钝角三角形**26.已知sin α+cos α=m,sin α·cos α=n,则m 、n 的关系是（）.【2】（Α）m=n （B ）m=2n+1 （C ）m2=2n+1 （D ）m2=1-2n**27.如图9-6，两条宽度都为1的纸条交叉重叠放在一起，且它们夹角为α，则其重叠部分面积为（）.p.134【3】（Α）1sin a（B ）1cos a （C ）sin α （D ）1**28.当α为锐角时，sin α和tg α的大小关系为（）.【2】（Α）sin α>tg α （B ）si α<tg α（C ）sin α≤tg α （D ）由α的大小决定 **29.计算下列各式的值：【5】（1）tg300+sin450-cos600；（2）2cos300+5tg600-2sin300；（3）0000cos 604530245tg ctg ctg --；（4）00000006045sin 5060sin 60cos30cos 40tg tg ctg --++. **30.计算：【4】（1）0000002sin 45cos 4545360sin 30cos30tg ctg -+-；（2）0203603cos 301ctg -；（3）0000sin 604560245ctg tg tg --.**31.计算：【6】（1）tg 2300+2sin600·cos450+tg450-ctg600-cos 2300；（2）（1+sin450-cos300）(1-sin450-cos300)；（3）（cos450-sin600）(sin450+cos300)；（4）tg100·tg200·tg300·tg400·tg500·tg600·tg700·tg800. 纵向应用 **1.计算：【4】（1 （2001|3045|2ctg tg -. **2.计算：【4】（1）2020000sin 23sin 67301872ctg tg tg ++；（2.**3.化简下列各式：【8】（1（2）tg440·tg450·tg460-cos 2260-cos 2640；（3）tg(900-Α)÷ctg Α (Α为锐角)（4）|sin α+cos α|-|sin α-cos α|(α为锐角) **4.化简下列各式：【8】（1）1-sin 2630-cos 2630；（2）tg 2530·ctg 2530；（3）(cos a a为锐角）；（4a 为锐角）. ***5.θ为锐角时，化简下列各式：【8】（1 （2；（3）|||ctg ctg θθ- （4）1|sin |2θ-. ***6.化简下列各式：【6】（1 （2）（1+tg 2α）·cos 2α；（3）tg(300-α)·tg(600+α). ***7.已知tg α=2且α为锐角，求2sin 5cos 4sin cos a aa a+-的值.【2】***8.已知ctg α且α为锐角，求（2sin α+cos α）÷(2sin α-cos α)的值.【3】 ***9.已知3sin 2cos 22sin cos A AA A+=-，求tg Α.【3】***10.已知sin(x+450)=sin300·ctg300,求x 的值.【2】***11.已知a =，求α2-6α-2的值.【5】***12.若方程22sin 0x A +=有两个相等的实数根，求锐角Α的度数.【2】 ***13.在三角函数中,常用sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+计算某些三角函数值,试计算0sin 75的值.【3】***14.sin α是方程23720x x -+=的一个根,求(1)sin α的值;(2)tg α的值.【3】 ***15.已知锐角α的正弦和正切值分别是方程21529120x x -+=的一个根,求角α的正弦和正切的值.【3】***16.已知在锐角∆ΑBC 中,cos m B n=其中m 是方程260x x +-=的根,n 是方程2280x x --=的根,求角B 的度数.【5】***17.试判断方程2212cos (1)sin 0x x x θθ+-+-=的根的情况(θ为锐角).【5】 ***18.已知方程2450x x m -+=的两根是直角三角形的两锐角的正弦,求m 的值.【5】 ***19.已知α的锐角,且2,sin cos tg ctg αααα+=+求的值.【5】横向拓展***1.已知θ是大于045是锐角,且15θθsin -cos =，求(1)sin cos θθ的值;(2)tg θ的值;(3)33sin cos θθ-的值.【10】***2.已知2232cos tg a a+=8(00090α),求sin α的值.【5】 ***3.已知7sin cos ,5tg ctg ααθθ+=+求的值.【5】***4.已知0012sin cos (045)25a a α=,求sin α和cos α的值.【8】***5.已知sin α、cos α是方程20x px q ++=的两个根,求证:2120q p +-=.【6】****6.已知sin ,sin ,tg a tg b θθθθθ+=-=为锐角,当α≥b 时,求证:22a b -=.【8】****7.已知22268sin sin 1,2cos cos cos cos a a a a a a +=+++求的值.【8】****8.已知222cos cos sin cos sin sin ,sin sin sin A x C B x C A B C ==++且求的值.【6】****9.试比较①04848;tg ctg +②00sin 48cos 48+;③048cos 48tg +;④0048sin 48ctg +,这四个数值的大小.【12】****10.已知4sin 2cos 2sin 1y cisa a a a a =+--且为锐角.求当y 的值为非负时,角α的取值范围.【10】****11.已知函数2(cos )(4sin )6y x x θθ=-+,对于任意实数x 都有0y,且θ是三角形的一个内角,求θ的取值范围.【10】阶梯训练锐角三角比双基训练8 4.1213 125 5.8 10 6.23± 7.(1)720(2)68.70(3)68048′ (4)78038′29″ 8.(1)< (2)< (3)< (4)< 9.1 10.441211.718、C 17.A 、C 18.A 、B 、C 19.B 、C 20.C 21.A 22.A 23.C 24.B 25.A 、C 26.C 27.A 28.B 29.(1)36(2)6-1 (3)22 (4)0 30.(1) (2)5 (3)1231.(1)71223+-(2)54-14(4)1 纵向应用1.(1) (2)0 (3)1 (4)当00<a ≤450时，原式=2sina ；当450<a<900时，原式=2cos α 4.(1)0 (2)1 (3)1 (4)2tga 5.(1)00<θ≤450时，原式=1-tg θ；450<θ<900时，原式=tg θ-1 (3)00<θ≤300时，原式；300<θ<900时，原式=2ctg θ (4)00<θ≤300时，原式=12-sin θ；300<θ<900时，原式=sin θ-126.(1)cos400-sin400(2)1 (3)1 7.978.3+2 9.4 10.150 11.-5 12.45013.14.(1)13 15.sina=35,tga=4316.60017.∆=0有两个相等实根 18.98横向拓展1.（1）1225 （2）43 （3）37125 2.2 3.2512 4.34sin ,cos 55a a == 5.提示：sin cos a a p +=-，22sin cos ,sin cos 1a a q a a =+= 6.提示：先求出a+b,a-b ，相乘得a 2-b 2=4tg ·sin,再证θ·sin θ 7.2 8.2 9.tg480+ctg480>tg480+cos480>ctg480+sin480>sin480+cos480 10.00<a<600. 提示：y=2(sina+1)·(2cosa-1) 11.00<θ<600.提示：cosθ>0且Δ<0。

锐角三角比练习题及答案

锐角三角比练习题及答案
1. 已知一个锐角三角形的两个锐角分别为30度和60度，求第三个角的度数。

答案：第三个角的度数为90度。

2. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

答案：斜边的长度为5。

3. 已知一个锐角三角形的两个角的正弦值分别为0.5和0.866，求这两个角的度数。

答案：这两个角的度数分别为30度和60度。

4. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。

答案：另一条直角边的长度为8。

5. 已知一个锐角三角形的余弦值为0.6，求对应角的度数。

答案：对应角的度数为53度。

6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，求斜边的长度。

答案：斜边的长度为13。

7. 已知一个锐角三角形的正切值为1.732，求对应角的度数。

答案：对应角的度数为45度。

8. 一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。

答案：另一条直角边的长度为15。

9. 已知一个锐角三角形的正弦值为0.3，求对应角的度数。

答案：对应角的度数为19.47度。

10. 一个直角三角形的斜边长为20，一条直角边长为10，求另一条直角边的长度。

答案：另一条直角边的长度为10√3。

初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案

A．3B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，
∵cotα ，
∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（8 ，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．
【详解】
解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，

9、2解直角三角形(1)锐角三角比

三角比
数学符号语言
B
∠A的正弦
c
A
∠A的余弦
BC ∠A的对边 sinA= 斜边 AB
a c b c
a
∠A的对边
∠A的正切
AC ∠A的邻边 cos A= 斜边 AB
b ∠A的邻边
C
tan A=
∠A的余切
BC ∠A的对边 ∠A的邻边 AC
a b
AC ∠A的邻边 cotA= ∠A的对边 BC
a:b=1:2
∴ sin A
a 2 5 c 2 5 5
b 4 2 5 c 2 5 5
c a 2 b 2 x 2 (2 x) 2 5 x
c b
cos A
a
a x 5 ∴ sin A c 5x 5
cos A b 2x 2 5 c 5 5x
斜边
数学文字语言
B
∠A的正弦
sine
sin A= ∠A的对边
斜边
cosine
∠A的余弦
cos A=∠A的邻边
∠A的对边
∠A的正切 tangent
斜边
A
∠A的邻边
C
tan A=
∠A的余切
∠A的对边 ∠A的邻边
cotangent
锐角A的正弦、余弦、正切、余切统称锐角A的
cotA= ∠A的邻边
∠A的对边
D
CD Rt△BCD中，sin B BC
Rt△ABC中，sin B
AC AB AD AC
Rt△ACD中，sin B sin ACD
4
2
b 4 cot A 2 a 2
AC 4 cot A 2 BC 2

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来度数三角函数[来源:Z 。

xx 。

]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________．【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ．在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ．答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。

初中数学锐角三角函数练习、解直角三角形练习及详细解答

初中三角函数练习及解答1.锐角三角函数1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．15．求sin18︒的值．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．2解直角三角形1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．6．已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC ．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC ．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD 的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？1.锐角三角函数（详细解答）1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70︒化sin 20︒，再与sin19︒比大小．因为()cos70cos 9020sin 20︒=︒-︒=︒，而sin19sin 20︒<︒，所以sin19cos70︒<︒．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小．32cot 60cos 4532︒=<︒=，再将cot 65︒，cos40︒分别与cot 60︒，cos45︒比大小．因为cot 65cot 60︒<︒=，cos 40cos 45︒>︒>，所以cot 60cos45︒<︒，所以cot 65cos40︒<︒．（3）tan 451︒=，显然cos1︒，sin88︒均小于1，而tan 46︒，cot 38︒均大于1．再分别比较cos1︒与sin88︒，以及tan 46︒与cot 38︒的大小即可．因为()cos38cot 9052tan52︒=︒-︒=︒，所以tan52tan 46tan 451︒>︒>︒=．因为()cos1cos 9089sin89︒=︒-︒=︒，所以sin88sin891︒<︒<，所以cot 38tan 46cos1sin88︒>︒>︒>︒．评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30︒，45︒，60︒的三角函数值．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；解析（1）原式=tan1tan 2tan3tan 44tan 45cot 44cot 43cot 3cot 2cot1︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ ()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ 1111=⋅⋅⋅= ．（2）原式1cos7cos71cos7=︒=⋅︒=︒．（3）原式()22442242222sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos ααααααααααα⋅====--．（4）原式sin11cos11sin11cos11sin11cos110-︒-︒=︒-︒-︒-︒=．3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．原式2222sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααααααα--==+++2222tan tan 336tan 13tan 313319αααα--===-++++⨯．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒解析显然0sin 481<︒<，0cos481<︒<0<cos48°<1．因此有：sin 48sin 48tan 48cos 48︒︒<=︒︒，cos 48cos 48cot 48sin 48︒︒<=︒︒所以A 最大．5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．解析我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=，得到210cos 1x =，并且x 是锐角，因此cos x=所以sin x =．因此3sin cos 10x x =．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．解析由sin cos αα+=两边平方得()22sin cos αα+=．又22sin cos 1αα+=，所以12sin cos 2αα+=，得1sin cos 2αα=．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．解析由根与系数的关系知1sin cos 3αα=．则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-=．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．解析由于90A B +=︒，故由互余关系得()sin sin 90cos B A A =︒-=．因此条件即为sin cos A A -=，①将上式平方，得221sin cos 2sin cos 2A A A A +-=，由正、余弦的平方关系，即有12sin cos 2A A =，所以()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2A A A A A A A A +=++=+=，因sin A 、cos A 均为正数，故sin cos 0A A +>．因此由上式得sin cos A A +=，②由①、②得sin A =，cos A =sin B =9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．解析设方程的两个实根1x 、2x 分别是直角三角形ABC 的锐角A 、B 的正弦．则()22222212sin sin sin cos 190x x A B A A A B +=+=+=+=︒，又122112m x x m -+=+，12122x x m =+，所以()2222111212211242122m x x x x x x m m -⎛⎫+=+-=-= ⎪++⎝⎭．化简得224230m m -+=，解得1m =或23．检验，当1m =时，()()22114820m m =--+<△；当23m =时，()()22114820m m =--+△≥．所以23m =．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和22sin cos 1αα+=列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．解析根据韦达定理，有12125 , 4.4x x k x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有22121x x +=．于是有()2222121212512244k x x x x x x ⎛⎫=+=+-=--⨯ ⎪⎝⎭．解得98k =．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？解析（1）设A 、B 是某个直角三角形两个锐角，sin A 、sin B 是方程20x px q ++=的两个根，则有240p q =-△≥．①由韦达定理，sin sin A B p +=-,sin sin A B q =．又sin 0A >，sin 0B >，于是0p <，0q >．由于()sin sin 90cos B A A =︒-=．所以sin cos A A p +=-，sin cos A A q =，所以()()22sin cos 1sin cos 12p A A A A q -=+=+=+，即221p q -=．由①得21240q p q -=-≥，则12q ≤．故所求条件是0p <，102p <≤，221p q -=．②（2）设条件②成立，则24120p q q -=-≥，故方程有两个实根：α==，β==．由②知p -=p <=-，所以0p p <--+，故0βα>≥．又()2222221p q αβαβαβ+=+-=-=，故01αβ<<≤．12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．解析设题中所述的两个锐角为A 及B ，由题设得()241160 , 1cos cos , 2cos cos .4m m m A B m A B ⎧=+-⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩△≥因为cos sin B A =，故()2, 1cos sin , 2cos sin , 410m A A m A m m A ++==⎧=-⇒⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩可△≥取任意实数①②①式两边平方，并利用恒等式22sin cos 1A A +=，得()()221cos sin 12sin cos 4m A A A A ++=+=．再由②得()21124m m ++=，解得m =．由cos 0A >，sin 0A >及②知0m >．所以m =．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．解析30︒、45︒、60︒这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15︒角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．在ABC △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则1152D BAD ABC ∠=∠=∠=︒．设1AC =，则2AB =，3BC =2BD =，所以 23CD CB BD =+=+所以()()())2222123843242323123162AD AC CD =++++++=+=+．所以162sin15462AC AD -︒===+，2362cos15462CD AD ++︒===+1tan152323AC CD ︒===-+cot1523CDAC︒==．评注将15︒角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30︒角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75︒角的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．解析4522.52︒︒=，所以设法构造一个含22.5︒角的直角三角形，用定义求值．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，45B ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则122.52D B ∠=∠=︒．设AC b =，有222AB b b b =+=，()21DC DB BC b =+=+．故()tan 22.52121ACDCb︒==+．15．求sin18︒的值．解析构造一个顶角A 为36︒的等腰ABC △，AB AC =，如图，作内角平分线则36ABD DBC ∠=∠=︒，设1AC =，BC x =．由于36DBA DAB ∠=∠=︒，72BDC BCD ∠=∠=︒，故CB BD DA x ===，而CAB △∽CBD △（36CAB CBD ∠=∠=︒），故AC BC BC DC =，故11xx x=-，有512x -=（舍去512-）．再作AH BC ⊥于H ，则18CAH ∠=︒，514CH -=．所以1sin184-︒=．评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求出半径为R 的圆内接正十边形的边长．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．解析由221x y +=，22sin cos 1αα+=，得()()2222sin cos 1x y αα++=，即22222222sin cos cos sin 1x y x y αααα+++=，加一项减一项，得22222222sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 1x xy y x xy y αααααααα+++-+=．即()()2sin cos cos sin 1x y x y αααα2++-=，因为()2cos sin 0x y αα-≥，所以()2sin cos 1x y αα+≤，故sin cos 1x y αα+≤．2解直角三角形（详细解答）1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．解析由角平分线想到对称性，考虑过D 作DE AB ⊥，交AB 于E ，则由90C ∠=︒得CD DE ==．在直角三角形BDE 中，1sin 2DE B DB ==，则60B ∠=︒，所以3tan3AC BC B ==+⋅=，2sin ACAB AC B===，BC CD DB =+=．故ABC △的三边长分别为，．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．解析作DF AC ⊥于F ，EG AC ⊥于G ；DP BC ⊥于P ，EQ BC ⊥于Q ．令BP PQ QC a ===，AG GF FC b ===．则2DF a =，EG a =．在Rt CDF △和Rt CEG △中，由勾股定理，得()2222sin a b x +=，及()2222cos a b x +=，两式相加得()2251a b +=，2215a b +=．所以35AB BD ===．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．解析已知Rt ABH △中，10AB =，要求BH ，可求出BAH ∠的正弦值，而BAH CAD ∠=∠，因而可先求出DC 的长．作DE AB ⊥于E ，有6AE AC ==，ED CD =．设3DC k =，由三角形内角平分线性质有106BD DC =，则5BD k =．Rt BDE △中，222DE BE BD +=，即()()()22231065k k +-=，得1k =．33CD k ==，AD ==sin10BHDAC ∠==，故BH =．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．解析如图，过B 、C 两点作BM AC ∥、CN AB ∥分别交AD 、AE 于M 、N ．易知2AC BM =，2AB CN =，tan BM BAD AB ∠=，tan CNCAE AC∠=，从而，1tan tan 4BAD CAE ∠∠=．因为tan 1BAD ∠=，则1tan 4CAE ∠=．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．解析设O 是矩形对角线AC 的中点．连结CF ，由折叠知CF AF =，故FO AC ⊥，即EF AC ⊥．由3AB =，4BC =，得5AC =，从而1522AO AC ==．在Rt AOF △中，90AOF ∠=︒，故tan OF AO FAO =⋅∠．又由Rt ADC △得3tan tan 4DC FAO DAC AD ∠=∠==，所以5315248OF =⋅=，1524EF OF ==．7.已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．解析由题意可设10a b +=，30α=︒，则125sin 24S ab α==△，即1125224ab ⋅=，得25ab =．于是，由10a b +=，25ab =，得a 、b 是方程210250x x -+=的两个根．而此方程有两个相等的根，所以5a b ==，即此三角形为等腰三角形．评注也可以直接由()()2240a b a b ab -=+-=，得a b =．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．解析由于斜边长是斜边上中线长的2倍，故2AB c ==．于是，由题设及勾股定理，得224. a b a b ⎧++==⎪⎨⎪⎩①②把①式两边平方，得2226a ab b ++=．再由②得1ab =．③由①、③知，a 、b 分别是二次方程210u +=的两根，解得622u ±=．因为BC AC >（即a b >），故12BC =，12AC =，所以tan 2BC A AC ===+．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．解析（1）根据题意，尝试从边来判断．因为4a b c +=+，()42ab c =+，所以()2222a b a b ab +=+-()()224242c c c =+-⨯+=，从而知ABC △是直角三角形，90C ∠=︒．（2）由90C ∠=︒，3tan 4A ∠=，得34a b =．令3a =，()40b k k =>，则5c k =，于是754k k =+，得2k =，从而有6a =，8b =，10c =．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．解析（1）由题设得 , 32.ab m a b m =⎧⎨+=⎩消去b ，得32m a a m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故实数a 满足二次方程2320x mx m -+=．①所以()224240m m m m =-=-△≥．因为0m >，所以24m ≥．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．解析因为tan CECDE CD∠=，已知2AB CD =，因此，只需求出AB 与CE 的比值即可．不妨设1CD =，则2AB =．在Rt ABF △中，90A ∠=︒，30ABF ∠=︒，所以cos30AB BF ==︒．在Rt BEF △中，90BEF ∠=︒，45BFE ∠=︒，所以2cos 452BE BF =︒==在Rt BEC △中，90EBC ∠=︒，60ECB ∠=︒，42sin 603BE CE ===︒，所以42tan 3CE CDE CD ∠==．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC．解析作AD BC ⊥于D ，设AD x =，在Rt ABD △中，因为4sin 5B =，所以3cos 5B ==，所以sin 4tan cos 3B B B ==，所以43AD BD =，34BD x =．在Rt ADC △中，因为tan 2AD C DC ==，所以22AD x CD ==，所以35424x BC BD CD x x =+=+=．①因为1102ABC S BC AD =⨯=△，所以151024x x ⨯⋅=，所以4x =．由①知5454BC =⨯=．评注在一般三角形中，在适当位置作高线，将其转化为直角三角形求解，这是解斜三角形常采用的方法．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC．解析作CE AD ⊥于E ，设CE x =，BE y =，则有()2222225 , 37. x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩①②②-①得22697524y +=-=，所以52y =．因为2x =，所以512cos 52BE CBE CB ∠===，所以60CBE ∠=︒，18060120CBD ∠=︒-︒=︒，所以5356sin 4522CE AC ==︒．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．解析作BE AC ⊥B ，交AC 的延长线于E ，设BC x =．则sin 45BE BC =⨯︒=，cos 45CE BC =⋅︒=由DC BE ∥，D 是AB 的中点，知2AE EC ==．而222AE BE AB +=，得221+=．即x =，所以BC =．评注通过构造直角三角形，使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．解析ADE ACD B ∠=∠=∠，而tan AE ADE DE ∠=，tan ED ACD EC ∠=，tan DFB BF=，所以tan AE ED DFB DE EC FB===，又DF EC =，所以3tan AE ED EC B DE EC BF ⋅⋅=，所以3tan AEB BF=．又tan ACB BC=，所以33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．解析作DF AC ⊥于F ，不妨设3AB =，因AD BM ⊥，90BAM ∠=︒，所以DAF ABM ∠=∠．又112tan 2AC MA ABM AB AB ∠===．1tan 2DF DAF FA ∠==．又90BAC ∠=︒，AB AC =，45C ∠=︒，而90DFC ∠=︒，故FC FD =．由于12FC FA =，而3FC FA +=，1FC =，2FA =，而32MC =，31122FM =-=，1FD =，即1tan 212FD CMD FM ∠===，又tan 2AB AMB AM ∠==，AMB ∠，CMD ∠是锐角．因此AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．解析记正方形ABCD 的边长为2a ．由题设易知BFN △∽DAN △，则有21AD AN DN BF NF BN ===，得2AN NF =，所以23AN AF =．在直角ABF △中，2AB a =，BF a =，则AF ==，于是cos 5AB BAF AF ∠==．由题设可知ADE △≌BAF△，所以AED AFB ∠=∠，18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒．于是cos AM AE BAF =⋅∠=，23MN AN AM AF AM =-=-=，从而415MND AFD S MN S AF ==△△．又()()212222AFD S a a a =⋅⋅=△，所以2481515MND AFD S S a ==△△．因a =8MND S =△．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．解析由已知条件b a c >=可知，这是一个等腰三角形，且底边b 最长，则最大角为B ∠，求出ABC △中的底角A （或C ）即可．我们可以先求角A （或C ）的三角函数值，再确定角的大小，如图所示．由图知2cos 2b AD b A AB c c===，则关键是求出b 与c 的比值．通过一元二次方程中的条件，可得到关于c 、b 的方程，则问题得到解决．因为a c =，所以方程为20cx c +=．设1x 、2x 为方程的两个根，则有122b x x c +=，121x x =．因为12x x -=，()2122x x -=，即()2121242x x x x +-=，所以2242c ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，c =，b c =，所以cos 22b A c ==，所以30A ∠=︒，所以1803030120B ∠=︒-︒-︒=︒．评注这是一道方程与几何知识的综合题．三角形的边是一元二次方程的系数，利用方程条件导出边的关系，由边的关系再进一步求角的大小．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．解析由AB CD ∥，得CDE △∽ABE △．所以22::CDE ABE S S DE BE =△△．连结AD ，则90ADB ∠=︒．故由Rt ADE △，有cos DE AEθ=，又AE BE =，所以2:cos CDE ABE S S θ=△△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD 与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．解析如图，延长AD 交地面于点E ，过点D 作DF CE ⊥于点F ．因为45DCF ∠=︒，60A ∠=︒，4CD =，所以2sin 4542CF DF CD ==︒=⨯=，tan 60EF DF =︒==．因为3tan 303AB BE =︒=，所以(()8.5m 33AB BE ==++⨯=≈．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．解析若设船不改变航向，与小岛S 的最近距离为SC ．则有tan 60tan 45152SC SC ︒-︒=⨯，解得1542SC =<．因此需要改变航向，以免触礁．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？解析要使造价最小，只需考虑AD DC CB ++最小，故首先设法用h 、S 、θ表示AD DC CB ++．()()()1122cot cot 22S AB CD h CD h h CD h h θθ=+=+=+．有cot S CD h h θ=-，则2AD DC CB AD CD ++=+2cot sin h S h θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()2cos sin h S hθθ-=+．因S 、h 为常数，则要求AD DC CB ++的最小值，只需求2cos sin m θθ-=的最小值．设2cos sin m θθ-=，两边平方整理得()()2221cos 4cos 40m m θθ+---=，cos θ=由上式知()2230m m -≥，解得m m =时，2cos sin θθ-有最小值．当m =时，221cos 12m θ==+，从而得60θ=︒，此时排污渠造价最小．。

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直角三角形与锐角三角比练习卷
班级__________ 学号__________ 姓名__________ 得分__________ 一.填空题(2分×30) 1． Rt △ABC 中, ∠C =90 ,∠A =α,则∠B =____________. 2． Rt △ABC 中, ∠C=90 ,a=3,b=5,则c=_____________. 3． Rt △ABC 中, ∠C=90 ,a=3,c-b=1,则b ＝____________.
4．
Rt △ABC 中, ∠C=90 ,若a=
,c=3,则sin A ＝____________.
5． △ABC 三边长分别为7，24，25，那么这个三角形最小角的余切值为_____________. 6． △ABC 中, ∠C =90 ,AB=6,BC=4,则sin B =____________. 7． △ABC 中, ∠C =90 ,1cos 2
A =
,则22tg B ctg B +=______________.
8．如果(2)ctg β=,那么锐角β=_____________.
9．
α为锐角, 22sin cos αα+=_____________.
10． △ABC 中, ∠C =90 ,如果∠B=α,BC=15,那么AC=_____________. 11． △ABC 中,AB=AC=14,BC 边上的高AD=7,那么∠BAC=_____________.
12． △ABC 中, ∠C =90 ,AC=6,如果S ∆
abc =,那么∠A 的度数是
_____________.
13． △ABC 中, ∠C =90 ,
a c
=817
,那么tgA=_____________.
14．如果24cos 8cos 3αα-+=0,那么锐角α=_____________.
15．已知α是锐角,(10)1α+= ,那么α=_____________.
16． △ABC 中,三内角的比A:B:C=3:4:5,那么
s i A =________,tg(C-A)=__________.
17．如图, △ABC 中, ∠C=Rt ∠,E 是AB 中点,BC=6,CE=5,则
sin B =_____________. 18．如图∠B=45 ,∠C=30 ,AD ⊥BC,BC=40,那么AD=_____________. 19．某拦水坝的横截面为梯形ABCD,其中斜面AB 的坡比I=1:3,如果自A 向B
走了,那么升高的高度为____________米.
20．等腰三角形中,腰与底之比为5:8,那么底角的正弦值是_____________. 21． △
ABC
中
,
∠
ACB=
90
,CD
⊥
AB,AC=5,BC=12,则
sin B C D
∠=_____________.
22．如图用高为h 的测角仪测得铁塔AB 的顶点A 的仰角为α,测角仪到水塔距离为m,那么水塔高度为_____________.
23．如图,在梯形ABCD 中,AB=1cos 5
B =
,则BC 的长
=_____________.
24．如图, Rt △ABC 中, ∠C =90 ,AD 平分∠BAC,AC=5,AD=3
,则
BC=_____________.
25．已知Rt △ABC 中, ∠C =90 ,∠A=60 ,a+b=2,则c=_____________.
26．菱形ABCD 中, ∠A 是锐角,已知菱形的周长为80,面积为则锐角A=_________,对角线AC=_________. 27．计算:
cos 3060sin 45cos 60
ctg +=-
28． Rt △ABC 中, ∠C =90 ,则m=2
sin cos ,1A A n X +=-+的大小关系
m_______n.
29．如果锐角α在第二象限内,顶点与原点重合,一边与x 轴正半轴重合,则
sin α的变化范围_____________.
二、选择题（2×10）
1．Rt △ABC 中, ∠C =90 ,则sin tgA B 的值为………………………（）（A ）
a c
；（B ）
c a
；（C ）
a b
；（D ）
b a
；
2．△ABC ，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则三个角对边的比值为………（）
（A ） 1：2：3；（B ）1：2：（C ）1：2；（D ）以上结论都不对； 3．已知sin(15)cos 50θ+= ，那么锐角θ＝………………………（）（A ）15 ；（B ）25 ；（C ）35 ；（D ）65 ；
4．如果1<ctg θ，那么锐角θ的范围是……………………（）（A ）0 <θ<30 ；（B ）30 <θ<45 ；（C ）45 <θ<60 ；（D ）60 <θ<90 ；
5.已知,αβ都是锐角，且αβ>，则下面式子中，错误的是…………………（）
（A ）cos cos αβ<；（B ）tg tg αβ>；（C ）sin sin αβ>；（D ）ctg ctg αβ>； 6. 在Rt △ABC 中, ∠C =90 ，a+b ＝18，
A
B =
，则a,b,c 分别
为……………………………………………………………………（）
（A ）4、5 （B ）3、4、5；（C ）8、10、；（D ）8、10、6；
7．在Rt △ABC 中, ∠C =90 ，tgA ＝3，AC 等于10，则S ∆等于……（）（A ）3；（B ）300；（C ）503
；（D ）150；
8．△ABC 中，∠C =90 ，那么
B C A B
是角B 的………………………（）
（A ）正弦；（B ）余弦；（C ）正切；（D ）余切；
9 Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC ＝a ，∠B ＝α，那么AD 等于……………………………………………………………（）
（A ）2sin a α；（B ）2cos a α；（C ）sin cos a αα；（D ）sin a tga α ； 10．设∠A 为锐角在下列各等式中，错误的是………………（）（A ）sin(90)cos A A -= ；（B ）(90)tg A ctgA -= ；（C ）1sin cos A A
=
；（D ）1tgA ctgA
=
；
三．简答题（5分×4）
1．如图，已知∠C =90 ，∠ABC ＝30 ， BD ＝BA ，利用本图计算tg 15 。

A
D B C
2．已知Rt △ABC 中,的两直角边a 、b 是方程4x 2－6x ＋1＝0的两个根，求：（1）斜边c 的长；（2）sin sin A B +的值。

3．如图，在△ABC 中，AC ＝50厘米，BC ＝40厘米，∠C =90 ，点P 从A 开始沿AC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，同时，另一点Q 开始以3厘米/秒的速度沿着CB 边移动，则几秒钟后，△PCQ 的面积等于450平方厘米？
B
C A
1．一船在A 处看到在它的南偏东30 的海面上有一灯塔B ，这船以20海里/小时的速度向东北方向航行，半小时后到达C 处，此时看待灯塔在它的正南方向，求此时船与灯塔的距离BC 。

C
B
卷10 B 答案：
一．（1）
α-
（2 （3）4 （4）
3
（5）
247
（63
（7）
103
（8）15 （9）1 （10）15sin α（11）120
（12）60 （13）
815
（14）60 （15）50
（16
）2
、
3
（17）
45
（18
）1)
（19）10 （20）
35
（21）
1213
（22）h mtg α+ （23
）15+ （24
）
（25
）1) （26）60
、（27
3
（28）> （29）0<sin α<1
二．（1）A (2)C (3)B (4)B (5)D (6)C (7)D (8)B (9)C (10)C
三、1、解：3015ABC D BD BA ⎫∠=⇒∠=⎬=⎭
∠ABC ＝30
90
3021
BC ABC BA AC ⎫
∠=⎧⎪=⎪∠=⇒⎬⎨=⎪⎩⎪⎭
设＝ ∴ CD ＝BD ＋BC ＝2
∴
152AC tg DC
=
=
=-
2、①由题意得 a+b=32
,ab=
1
4
∴ a 2+b 2(a+b)2-2ab=
74
∴
c=
2
② sin ,sin a b A B c
c
=
=
∴
3
sin sin 72a b A B c
++=
=
= 3、解：t 秒钟后，45PC Q
的面积等于平方厘米。

则AP ＝2t ，cp ＝50－2t
QC ＝3t
由题意得，S PCQ ＝450。