2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

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2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 解绝对值不等式

例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.

(1)解不等式f (x )＞3；

(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).

【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩

⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x

所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；

当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；

当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.

所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).

(2)因为f (x )＝⎪⎩

⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.

因为f (x )＞a 恒成立，

【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号

【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式

例2、(1)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋1

2

a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．

【答案】(1)⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－1－174，－1＋174. 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，

∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174

. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－1－174，－1＋174. 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题

【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可

转化为最值问题，即f (x )f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a

题型三 不等式的证明与应用

例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：

(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．

【答案】略.

【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，

由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .

(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .

因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .

由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即

a ＋

b ＋2ab >

c ＋

d ＋2cd .

因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.

因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．

【易错点】不等式的恒等变形.

【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．

【巩固训练】

题型一 解绝对值不等式

1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________

【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.

【解析】原不等式等价于⎩

⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩

⎪⎨⎪⎧－2

3

或⎩

⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.

故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．

2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.

(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；

(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围

【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．

【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2

2x －5，x ≥3.

当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；

当2

当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；

所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．

(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.

当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |

⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .

由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.

故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．

3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .

(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；

(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.

【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.

【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).

(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3.

题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式

1.已知函数.

（1）图中画出的图像；

()123f x x x =+--()y f x =