大学物理 动量与角动量
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前 进 方 向
演示
前 进 方 向
0
风吹来
P 0
I P
P
船
取一小块风dm为研究对象 初 P0 0dm 由牛顿第 三定律 末 P dm
I P
风对帆的冲量大小
I P 方向与 P相反
F
P t
9
动量定理常应用于碰撞问题
牛顿定律是瞬时的规律。
但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 散射 （微观） … 我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应： 平动 冲量 动量的改变 转动 冲量矩 角动量的改变 改变能量 力在空间上的积累效应 功
1
第3 动量守恒定律与角动量守恒定律 §1 质点运动的动量定理 §2 质点系的动量定理 动量守恒定律 §3 质心 质心运动定理 §4 角动量定理 角动量守恒定律 §5 质心参考系
mv1
O
12
3、质量为m，速率为v的小球，以入射角α斜向与墙壁相碰，又 以原速率沿反射角方向从墙壁弹回．设碰撞时间为⊿t，求墙壁 受到的平均冲力．
解：方法一： 建立图示坐标，以v x 、v y 表示小球反射速度的x和 y分量，则由动量定理，小球受到的冲量的x，y分量 的表达式如下： x方向：Fx t mv x (mv x ) 2mv x y方向：Fy t mv y (mv y ) 0 F Fx 2mv x / t v x=v cos a F 2mv cos / t 方向沿x正向。
最后简写右边 P Pi mii 令：
P0 Pi 0 mii 0
i i i i
则，质点系的动量定理为
t2
F外dt P P0（积分形式）
t1
20
t2
F外dt P P0
t1
动量定理
dP 微分形式？ F dt
I P
积分形式
6
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t1 t2
t1 t2
说明 某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
7
讨论
I P
可以写成 F ma 吗？ 注意后面 的讲解。
当 F外 0 P C
动量守恒定律
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。
2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 21
3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它 一切惯性系中均守恒。
4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒 5.当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 可认为动量近似守恒。 6.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在 宏观和微观领域均适用。 7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 22 和条件。
i
px mi vix Cx
p y mi viy C y
i
F
F
ex z
pz mi viz Cz
i
24
4. 如图所示，设炮车以仰角a发射一颗炮弹，跑车和炮弹的质量分别为M和m，炮 弹相对于地面的出口速度为v，试求炮车反冲（即炮车倒退）速度V为（炮车与 地面间的摩擦力在发射炮弹的瞬间可以忽略不计） (A) V
单位 Ns
f
I
I ft
4
若在t 间隔内物体受力依次为 f1 , f 2 , fi f n
相应作用时间依次为 则在t 间隔内力的冲量为
定义式 I ft
t1, t2 ,ti tn
f 2 t2
f 3t3
n I f i ti
m
m v
m v
(1) (2)
m
y
x
O
根据牛顿第三定律，墙受的平均冲力F F，方向垂直墙面向内。 方法二：作动量矢量图，由图知 (mv) 2mv cos 方向垂直于墙向外 由动量定理： F t (mv )
a
mv
mv
a
得： 2mv cos / t F 不计小球重力，即为墙对球的冲力， F
外力冲量之和 内力冲量之和
17
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
第3步，化简上式：
fi
质点系 Fi
F外 Fi
i
先看外力冲量之和 Fidt
t2 i t1
mi
由于每个质点的受力时间dt 相同 t2 t2 所以： Fidt ( Fi )dt
i t1
t2
f i dt
同样，由于每个质点的受力时间dt 相同 所以：
i t1
t2
t2 f idt ( f i )dt t1 i
因为内力之和为零：
i
fi 0
所以有结论：
i t1
t2
f i dt 0
内力的冲量 之和为零
19
质点系的重要结论之二
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
2
§1 质点运动的动量定理
一、力的冲量
二、 质点运动的动量定理
3
§1 质点运动的动量定理
定义：力 f 作用时间为 t ， 则 ft 称为力 f 在 t时间间隔内的冲量， 记作
I ft
SI
一、力的冲量
MLT 1 m I F t
视频：动量 定理的应用
1）定理的形式特征 (过程量)=(状态量的增量) 2）估算平均作用力
将积分用平 Fdt F t 均力代替 t
t
0
动量定 理写为
Ft P
平均力 F P 写为 t
8 思考：为什么向水泥墙内钉钉子要用锤子呢？大力士除外
例：动量定理解释了“逆风行舟”
m v cos M
(B) V
m v M
(C) V
m v cos (D) V v cos M
［ A ］
5．一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下 落，则另一块着地点（飞行过程中阻力不计） (A) 比原来更远 (B) 比原来更近 (C) 仍和原来一样远 (D) 条件不足，不能判定 ［ A］
4、求半圆形均匀薄板的质心。
2 解：设薄板半径为R，质量为m，面密度 A 2m /(R ) 。由质量分布的对称 性可得板的质心在x轴上，而
xC
xdm 1
m
m
x A 2 R 2 x 2 dx
4R 3
28
四、证明题 1．如图所示,一质量为M的楔块,其斜面AB的长度为l,倾角为a,楔块底面BC可 沿水平地面移动。设一质量为m的物体从斜面顶端自静止开始下滑,不计一切 磨擦,试证:物体在下滑到斜面地端的过程中,楔块沿水平地面滑行的总位移为 mlcos /(m M) 证：物体与契块组成的系统在水平方向不受外力，故此系 统在水平方向的动量守恒，沿水平方向取x轴，则按题意， 有 0 0 mv (M m)V
(2) ft mv mv 0 4.7 N s (设v 0 反响为正方向) 负号表示冲量方向与 相反
v0
27
3、静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平 速度 v （相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的 阻力）． 解：以人与第一条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有： Mv1 +mv =0 v1 =-mv/M 再以人与第二条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有：mv = (m+M)v2 v2 =mv/(M+m)
i
质Biblioteka Baidu系
质点系中的重要结论之一
15
外力 external force
系统外部对质点系内部质点的作用力 约定： 系统内任一质点受力之和 写成 Ff
i i
质点系 F
外力之和
内力之和
16
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质 点系内力的特点加以化简 到 最简形式。
(mv )
13
由牛顿第三定律，墙受的平均冲力F F，方向垂直墙面向内。
§2 质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系
二、质点系的动量定理 动量守恒定律
三、火箭飞行原理-- 变质量问题
14
一、质点系
N个质点组成的系统-- 研究对象 内力 internal force 系统内部各质点间的相互作用力 特点： 成对出现； 大小相等方向相反 结论：质点系的内力之和为零 f i 0
三．计算题 1、质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的 细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10 g的子弹以 v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹 的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．
25
4．有一质量为M（含炮弹）的炮车，在一倾角为θ的光滑 斜面上下滑，当它滑到某处速率为v0时，从炮内射出一质量 为m的炮弹沿水平方向． 欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停
Mv 0 m cosθ 止下滑，则炮弹射出时对地的速率v=____________
M
m
v v
.
5.一质量为30 kg的物体以10 m·-1的速率水平向东运动，另一质量为20 kg的 s 物体以20 m·-1的速率水平向北运动。两物体发生完全非弹性碰撞后，它们的 s 速度大小v＝ 10 m/s ；方向为 北偏东36.87° .
x
mv1
O
mv2
y
11
解
由动量定理得：
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
i t1 t1 i
写成：
t2 Fidt F外dt t2 i t1 t1
将所有的外力 共点力相加 F 2 F
c F3
1
18
t2 ( Fidt f idt ) t2 i t1 t1
(Pi Pi 0 )
i
再看内力冲量之和
第1步，对 mi 使用动量定理：
fi
t2
t2 Fidt f idt Pi Pi 0 t1 t1
mi Fi
第2步， 对所有质 点求和：
Pi mii Pi0 mii0
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
l
v0
m M
v
26
1．解： (1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物 体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时 物体的水平速度为v’ 有 mv0 = mv+M v v = m(v0 - v)/M =3.13 m/s T =Mg+Mv2/l =26.5 N
t1 mv2 mv1 F t2 t1 t2 t1
注意
t2
Fdt
在 p 一定时
mv
t 越小，则 F 越大
mv1
F
mv2
10
例1 一质量为0.05 kg、 速率为10 m·-1的刚球，以与 s 钢板法线呈45º 角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 所受到的平均冲力．
守恒条件：合外力为零．
i
ex ex F Fi 0
ex in 当 F F 时，可近似地认为
系统总动量守恒．
23
若
ex ex ，但满足 F Fi 0
有 px
F 0
ex x
m v
i
i
ix
Cx
i
F
ex x
ex y
0,
0,
0,
i 1
f1t1
若力的变 化连续
t t I f dt
t
I
矢量 冲量 过程量
f 4 t4
5
二、质点运动的动量定理 dP 由牛顿第 F dt 二定律
微分形式
( Fdt dP)
Fdt
t t0 P P P
dP
质点运动的 动量定理
演示
前 进 方 向
0
风吹来
P 0
I P
P
船
取一小块风dm为研究对象 初 P0 0dm 由牛顿第 三定律 末 P dm
I P
风对帆的冲量大小
I P 方向与 P相反
F
P t
9
动量定理常应用于碰撞问题
牛顿定律是瞬时的规律。
但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 散射 （微观） … 我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应： 平动 冲量 动量的改变 转动 冲量矩 角动量的改变 改变能量 力在空间上的积累效应 功
1
第3 动量守恒定律与角动量守恒定律 §1 质点运动的动量定理 §2 质点系的动量定理 动量守恒定律 §3 质心 质心运动定理 §4 角动量定理 角动量守恒定律 §5 质心参考系
mv1
O
12
3、质量为m，速率为v的小球，以入射角α斜向与墙壁相碰，又 以原速率沿反射角方向从墙壁弹回．设碰撞时间为⊿t，求墙壁 受到的平均冲力．
解：方法一： 建立图示坐标，以v x 、v y 表示小球反射速度的x和 y分量，则由动量定理，小球受到的冲量的x，y分量 的表达式如下： x方向：Fx t mv x (mv x ) 2mv x y方向：Fy t mv y (mv y ) 0 F Fx 2mv x / t v x=v cos a F 2mv cos / t 方向沿x正向。
最后简写右边 P Pi mii 令：
P0 Pi 0 mii 0
i i i i
则，质点系的动量定理为
t2
F外dt P P0（积分形式）
t1
20
t2
F外dt P P0
t1
动量定理
dP 微分形式？ F dt
I P
积分形式
6
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t1 t2
t1 t2
说明 某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
7
讨论
I P
可以写成 F ma 吗？ 注意后面 的讲解。
当 F外 0 P C
动量守恒定律
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。
2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 21
3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它 一切惯性系中均守恒。
4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒 5.当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 可认为动量近似守恒。 6.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在 宏观和微观领域均适用。 7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 22 和条件。
i
px mi vix Cx
p y mi viy C y
i
F
F
ex z
pz mi viz Cz
i
24
4. 如图所示，设炮车以仰角a发射一颗炮弹，跑车和炮弹的质量分别为M和m，炮 弹相对于地面的出口速度为v，试求炮车反冲（即炮车倒退）速度V为（炮车与 地面间的摩擦力在发射炮弹的瞬间可以忽略不计） (A) V
单位 Ns
f
I
I ft
4
若在t 间隔内物体受力依次为 f1 , f 2 , fi f n
相应作用时间依次为 则在t 间隔内力的冲量为
定义式 I ft
t1, t2 ,ti tn
f 2 t2
f 3t3
n I f i ti
m
m v
m v
(1) (2)
m
y
x
O
根据牛顿第三定律，墙受的平均冲力F F，方向垂直墙面向内。 方法二：作动量矢量图，由图知 (mv) 2mv cos 方向垂直于墙向外 由动量定理： F t (mv )
a
mv
mv
a
得： 2mv cos / t F 不计小球重力，即为墙对球的冲力， F
外力冲量之和 内力冲量之和
17
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
第3步，化简上式：
fi
质点系 Fi
F外 Fi
i
先看外力冲量之和 Fidt
t2 i t1
mi
由于每个质点的受力时间dt 相同 t2 t2 所以： Fidt ( Fi )dt
i t1
t2
f i dt
同样，由于每个质点的受力时间dt 相同 所以：
i t1
t2
t2 f idt ( f i )dt t1 i
因为内力之和为零：
i
fi 0
所以有结论：
i t1
t2
f i dt 0
内力的冲量 之和为零
19
质点系的重要结论之二
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
2
§1 质点运动的动量定理
一、力的冲量
二、 质点运动的动量定理
3
§1 质点运动的动量定理
定义：力 f 作用时间为 t ， 则 ft 称为力 f 在 t时间间隔内的冲量， 记作
I ft
SI
一、力的冲量
MLT 1 m I F t
视频：动量 定理的应用
1）定理的形式特征 (过程量)=(状态量的增量) 2）估算平均作用力
将积分用平 Fdt F t 均力代替 t
t
0
动量定 理写为
Ft P
平均力 F P 写为 t
8 思考：为什么向水泥墙内钉钉子要用锤子呢？大力士除外
例：动量定理解释了“逆风行舟”
m v cos M
(B) V
m v M
(C) V
m v cos (D) V v cos M
［ A ］
5．一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下 落，则另一块着地点（飞行过程中阻力不计） (A) 比原来更远 (B) 比原来更近 (C) 仍和原来一样远 (D) 条件不足，不能判定 ［ A］
4、求半圆形均匀薄板的质心。
2 解：设薄板半径为R，质量为m，面密度 A 2m /(R ) 。由质量分布的对称 性可得板的质心在x轴上，而
xC
xdm 1
m
m
x A 2 R 2 x 2 dx
4R 3
28
四、证明题 1．如图所示,一质量为M的楔块,其斜面AB的长度为l,倾角为a,楔块底面BC可 沿水平地面移动。设一质量为m的物体从斜面顶端自静止开始下滑,不计一切 磨擦,试证:物体在下滑到斜面地端的过程中,楔块沿水平地面滑行的总位移为 mlcos /(m M) 证：物体与契块组成的系统在水平方向不受外力，故此系 统在水平方向的动量守恒，沿水平方向取x轴，则按题意， 有 0 0 mv (M m)V
(2) ft mv mv 0 4.7 N s (设v 0 反响为正方向) 负号表示冲量方向与 相反
v0
27
3、静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平 速度 v （相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的 阻力）． 解：以人与第一条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有： Mv1 +mv =0 v1 =-mv/M 再以人与第二条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有：mv = (m+M)v2 v2 =mv/(M+m)
i
质Biblioteka Baidu系
质点系中的重要结论之一
15
外力 external force
系统外部对质点系内部质点的作用力 约定： 系统内任一质点受力之和 写成 Ff
i i
质点系 F
外力之和
内力之和
16
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质 点系内力的特点加以化简 到 最简形式。
(mv )
13
由牛顿第三定律，墙受的平均冲力F F，方向垂直墙面向内。
§2 质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系
二、质点系的动量定理 动量守恒定律
三、火箭飞行原理-- 变质量问题
14
一、质点系
N个质点组成的系统-- 研究对象 内力 internal force 系统内部各质点间的相互作用力 特点： 成对出现； 大小相等方向相反 结论：质点系的内力之和为零 f i 0
三．计算题 1、质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的 细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10 g的子弹以 v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹 的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．
25
4．有一质量为M（含炮弹）的炮车，在一倾角为θ的光滑 斜面上下滑，当它滑到某处速率为v0时，从炮内射出一质量 为m的炮弹沿水平方向． 欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停
Mv 0 m cosθ 止下滑，则炮弹射出时对地的速率v=____________
M
m
v v
.
5.一质量为30 kg的物体以10 m·-1的速率水平向东运动，另一质量为20 kg的 s 物体以20 m·-1的速率水平向北运动。两物体发生完全非弹性碰撞后，它们的 s 速度大小v＝ 10 m/s ；方向为 北偏东36.87° .
x
mv1
O
mv2
y
11
解
由动量定理得：
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
i t1 t1 i
写成：
t2 Fidt F外dt t2 i t1 t1
将所有的外力 共点力相加 F 2 F
c F3
1
18
t2 ( Fidt f idt ) t2 i t1 t1
(Pi Pi 0 )
i
再看内力冲量之和
第1步，对 mi 使用动量定理：
fi
t2
t2 Fidt f idt Pi Pi 0 t1 t1
mi Fi
第2步， 对所有质 点求和：
Pi mii Pi0 mii0
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
l
v0
m M
v
26
1．解： (1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物 体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时 物体的水平速度为v’ 有 mv0 = mv+M v v = m(v0 - v)/M =3.13 m/s T =Mg+Mv2/l =26.5 N
t1 mv2 mv1 F t2 t1 t2 t1
注意
t2
Fdt
在 p 一定时
mv
t 越小，则 F 越大
mv1
F
mv2
10
例1 一质量为0.05 kg、 速率为10 m·-1的刚球，以与 s 钢板法线呈45º 角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 所受到的平均冲力．
守恒条件：合外力为零．
i
ex ex F Fi 0
ex in 当 F F 时，可近似地认为
系统总动量守恒．
23
若
ex ex ，但满足 F Fi 0
有 px
F 0
ex x
m v
i
i
ix
Cx
i
F
ex x
ex y
0,
0,
0,
i 1
f1t1
若力的变 化连续
t t I f dt
t
I
矢量 冲量 过程量
f 4 t4
5
二、质点运动的动量定理 dP 由牛顿第 F dt 二定律
微分形式
( Fdt dP)
Fdt
t t0 P P P
dP
质点运动的 动量定理