光电材料与半导体器件
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光电材料与半导体器件
3.1.1一维晶体
一、自由电子
在第1 章，我们讨论了一维晶体中的电子在两种情况下的能量 - 波失关 系。在自由电子近似中，假设势能是常数。E-K关系有如下的形式
2k 2 E E0 2m 0
式中第二项是动能
2K 2 EK 2m 0
对于自由电子，德布罗意关系成立，有 m0 v P h ，其中是电子的速度。 动能的经典值是
光电材料与半导体器件
3.1 晶体中的电子的准经典力学
经典力学，包括我们所熟悉的物理量，如质量、速度、 动能和势能，以及我们所熟悉的方程，如等，不能用来描 述晶体中的电子。但是，如果能够使用经典力学，而不是 量子力学，将是十分方便的，因为经典力学的方程很简单， 而且经典力学的物理图像很清楚。在这一节里我们将看到， 定义准经典力学是可能的。在准经典力学中，仍可以采用 经典的物理量，只是需要将电子的真实质量换成电子的有 效质量，有效质量包含了电子和晶体周期性势场的相互作 用。将有效质量应用到经典力学的方程中，可以正确地预 测晶体中的电子在受到来自外部的力（或外力）时的行为。 先讨论最简单的情况，一维晶体中的电子。
v
1 dE dK
晶体中的群速度也具有同样的形式。也就是说，晶体中电子的速 度等于群速度，为
v vg
1 dE dk
群速度正比于 E-K关系曲线的斜率。因为动能是与运动相关的能 量，因此可以推断，在 处的动能 。电子的总能量是动能和势能的和， 所以，在导带底部的电子的总能量等于势能 。也就是说，
图3.1（c）E-K曲线
式中，HOTs代表高阶项。导数项 K=0处的值，其中 dE 0 dK 忽略高阶项，有
E EC ( d 2E 2dK
2 ) K 2
。
光电材料与半导体器件
这是一个抛物线方程。可以证明，对于E-K关系是抛物线的区域此处 就是能带底部附近，忽略高阶项是可以的。 对于自由电子，群速度为
m0 v 2 P2 EK 2 2m 0
光电材料与半导体器件
在这种情况下，牛顿定律是成立的。注意到对于自由电子的情况， 不存在来自晶体的附加的力，一次采用真正的经典方程和自由电子的 真实质量。
晶体中，电子的速度由群速度确定
v vg
1 dE dk
m0 (
2
速度正比于E-K曲线的斜率。电子的质量可以表示成
光电材料与半导体器件
电子在运动的过程中，会和原子、缺陷或者是杂志发生碰撞。在碰撞中， 能量是传递给其他粒子，同时电子会损失一部分总能量，如图3.2（b） 所示。但是，电子还会继续被外加电场加速。加速度为
dv a dt
* 在最小值附近，m * 是正值，根据 F m a ，电子在外力的方向上被加 速。相反地，在最大值附近，有效质量是负的，这表明电子朝着外力相 反的方向加速——这一概念和直觉是相反的。这种结果是由于作用在电 子上的总的力，是外部施加的作用力，加上晶体内部所有原子施加在电 子上的力。有效质量中计入了内部原子的作用力，所以准经典力学才得 以应用。这种违反直觉的情况就是由于内部的作用力，才使得电子在外 力作用下向“错误的”方向加速。
d 2E dK
1 ) 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 由于E-K曲线是抛物线，因此 d E
dK
2
是一个常数，
所以电子的质量也是常数，和能量无关。
光电材料与半导体器件
二、准自由电子
在准自由电子模型中，电子处于晶体的某个区域，电子的势能是在两 个方向都延伸到无穷远的周期函数。为了得到准自由电子行为的物理 图像，用类似于自由电子的形式来表示他们的性质是很方便的。
第三章
均匀半导体
光电材料与半导体器件
本章内容
3.1 晶体中的电子的准经典力学
3.2 导带结构 3.3 价带结构 3.4 本征半导体 3.5 非本征半导体 3.6 空穴的概念 3.7 能带中电子的态密度函数 3.8 费米—狄拉克统计 3.9 电子和空穴暗能量的分布 3.10 总结
光电材料与半导体器件
3.1.2 三维晶体
在经典力学中，我们用E-K关系来求有效质量，并据此推断电子的行 为，例如在外加电场下的运动。记得在第1章，我们通过讨论布洛赫波 函数得到了一些关于E-K图的—般形状和性质的知识(例如，关于K的周 期性、在布里渊区中心的斜率为零，等等)。 一维情况下关于E-K图的 讨论和准经典力学中用到的有效参数可以推广到二维和三维的情况。这 里给出三维晶体的结果。
j[ K r ( E ) t ] ( r , t ) U ( r ) e K 1、 三维布洛赫波由下式给出： j(K ( r ) U K ( r )e r )
2、 任意一个能带的 关系在 空间是周期性的，周期为
E P EC
因此，在导带底部附近的电子的势能就等于能带底的能量。
光电材料与半导体器件
自由电子 准自由电子
2 E E0 K2 2m 0
E EC ( d 2E 2dK
2 ) K 2
动
能
EK
1 d 2E 2 K 2 2 dK
2
有效质量定义为
m [
*
d 2E dK
1 ] 2
图3.1（a）E-K曲线
图3.1（b）E-K曲线
光电材料与半导体器件
为了得到有效质量，考察材料的E-K曲 线。我们选择了一种导带底在 K=0 的 材料， GaAs就是这样的材料。将 E-K 关系展开成幂级数。因为我们考虑的 是导带底 E=Ec 处的电子，因此把能 量在 K=0附近展开为
dE d 2E 2 E EC ( ) K ( ) K HOTs 2 dK 2dK
与自由电子质量的表示类似
m0 (
2
d 2E dK
1 ) 2
有效质量反比于E-K关系曲线的斜率。
光电材料与半导体器件
下面考察作用在电子上的力。根据经典力学 在准经典力学中，对于带底附近的电子，势能
F
EP
dEP dx
,并且F
dEC dx
等于E C
图3.2一个外部电场施加在半导体棒上 （a）物理图像,(b)能带图。导带的电子被电场向右加速，在两次碰撞之间， 保持恒定的能量运动
3.1.1一维晶体
一、自由电子
在第1 章，我们讨论了一维晶体中的电子在两种情况下的能量 - 波失关 系。在自由电子近似中，假设势能是常数。E-K关系有如下的形式
2k 2 E E0 2m 0
式中第二项是动能
2K 2 EK 2m 0
对于自由电子，德布罗意关系成立，有 m0 v P h ，其中是电子的速度。 动能的经典值是
光电材料与半导体器件
3.1 晶体中的电子的准经典力学
经典力学，包括我们所熟悉的物理量，如质量、速度、 动能和势能，以及我们所熟悉的方程，如等，不能用来描 述晶体中的电子。但是，如果能够使用经典力学，而不是 量子力学，将是十分方便的，因为经典力学的方程很简单， 而且经典力学的物理图像很清楚。在这一节里我们将看到， 定义准经典力学是可能的。在准经典力学中，仍可以采用 经典的物理量，只是需要将电子的真实质量换成电子的有 效质量，有效质量包含了电子和晶体周期性势场的相互作 用。将有效质量应用到经典力学的方程中，可以正确地预 测晶体中的电子在受到来自外部的力（或外力）时的行为。 先讨论最简单的情况，一维晶体中的电子。
v
1 dE dK
晶体中的群速度也具有同样的形式。也就是说，晶体中电子的速 度等于群速度，为
v vg
1 dE dk
群速度正比于 E-K关系曲线的斜率。因为动能是与运动相关的能 量，因此可以推断，在 处的动能 。电子的总能量是动能和势能的和， 所以，在导带底部的电子的总能量等于势能 。也就是说，
图3.1（c）E-K曲线
式中，HOTs代表高阶项。导数项 K=0处的值，其中 dE 0 dK 忽略高阶项，有
E EC ( d 2E 2dK
2 ) K 2
。
光电材料与半导体器件
这是一个抛物线方程。可以证明，对于E-K关系是抛物线的区域此处 就是能带底部附近，忽略高阶项是可以的。 对于自由电子，群速度为
m0 v 2 P2 EK 2 2m 0
光电材料与半导体器件
在这种情况下，牛顿定律是成立的。注意到对于自由电子的情况， 不存在来自晶体的附加的力，一次采用真正的经典方程和自由电子的 真实质量。
晶体中，电子的速度由群速度确定
v vg
1 dE dk
m0 (
2
速度正比于E-K曲线的斜率。电子的质量可以表示成
光电材料与半导体器件
电子在运动的过程中，会和原子、缺陷或者是杂志发生碰撞。在碰撞中， 能量是传递给其他粒子，同时电子会损失一部分总能量，如图3.2（b） 所示。但是，电子还会继续被外加电场加速。加速度为
dv a dt
* 在最小值附近，m * 是正值，根据 F m a ，电子在外力的方向上被加 速。相反地，在最大值附近，有效质量是负的，这表明电子朝着外力相 反的方向加速——这一概念和直觉是相反的。这种结果是由于作用在电 子上的总的力，是外部施加的作用力，加上晶体内部所有原子施加在电 子上的力。有效质量中计入了内部原子的作用力，所以准经典力学才得 以应用。这种违反直觉的情况就是由于内部的作用力，才使得电子在外 力作用下向“错误的”方向加速。
d 2E dK
1 ) 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 由于E-K曲线是抛物线，因此 d E
dK
2
是一个常数，
所以电子的质量也是常数，和能量无关。
光电材料与半导体器件
二、准自由电子
在准自由电子模型中，电子处于晶体的某个区域，电子的势能是在两 个方向都延伸到无穷远的周期函数。为了得到准自由电子行为的物理 图像，用类似于自由电子的形式来表示他们的性质是很方便的。
第三章
均匀半导体
光电材料与半导体器件
本章内容
3.1 晶体中的电子的准经典力学
3.2 导带结构 3.3 价带结构 3.4 本征半导体 3.5 非本征半导体 3.6 空穴的概念 3.7 能带中电子的态密度函数 3.8 费米—狄拉克统计 3.9 电子和空穴暗能量的分布 3.10 总结
光电材料与半导体器件
3.1.2 三维晶体
在经典力学中，我们用E-K关系来求有效质量，并据此推断电子的行 为，例如在外加电场下的运动。记得在第1章，我们通过讨论布洛赫波 函数得到了一些关于E-K图的—般形状和性质的知识(例如，关于K的周 期性、在布里渊区中心的斜率为零，等等)。 一维情况下关于E-K图的 讨论和准经典力学中用到的有效参数可以推广到二维和三维的情况。这 里给出三维晶体的结果。
j[ K r ( E ) t ] ( r , t ) U ( r ) e K 1、 三维布洛赫波由下式给出： j(K ( r ) U K ( r )e r )
2、 任意一个能带的 关系在 空间是周期性的，周期为
E P EC
因此，在导带底部附近的电子的势能就等于能带底的能量。
光电材料与半导体器件
自由电子 准自由电子
2 E E0 K2 2m 0
E EC ( d 2E 2dK
2 ) K 2
动
能
EK
1 d 2E 2 K 2 2 dK
2
有效质量定义为
m [
*
d 2E dK
1 ] 2
图3.1（a）E-K曲线
图3.1（b）E-K曲线
光电材料与半导体器件
为了得到有效质量，考察材料的E-K曲 线。我们选择了一种导带底在 K=0 的 材料， GaAs就是这样的材料。将 E-K 关系展开成幂级数。因为我们考虑的 是导带底 E=Ec 处的电子，因此把能 量在 K=0附近展开为
dE d 2E 2 E EC ( ) K ( ) K HOTs 2 dK 2dK
与自由电子质量的表示类似
m0 (
2
d 2E dK
1 ) 2
有效质量反比于E-K关系曲线的斜率。
光电材料与半导体器件
下面考察作用在电子上的力。根据经典力学 在准经典力学中，对于带底附近的电子，势能
F
EP
dEP dx
,并且F
dEC dx
等于E C
图3.2一个外部电场施加在半导体棒上 （a）物理图像,(b)能带图。导带的电子被电场向右加速，在两次碰撞之间， 保持恒定的能量运动