[数学]数字信号处理第三章

n
理想采样序列的z变换：
H(z) h(n)zn
n
z e 对比得：s平面与z平面的映射关系
sT
H ˆa(s)H(z)zesT
h
9
稳定性：
如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 si 都在s左半平 面，即 Re[si]＜0 ,
那么变换后H(z)的极点 esiT ，也都在单位圆以内
即
esiT eRe(si)T 1
这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着 眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他 情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。
h
回章首
26
3.2 常用模拟低通滤波器特性
0 一般方法 1 巴特沃思（Butterworth）滤波器 2 切比雪夫（Chebyshev）滤波器 3 椭圆（Elliptic）滤波器
ktgb
2
b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器
为非线性相位。
c. 要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性 变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
h
23
虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得 最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器 都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等 ，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带 部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器 通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频 特性仍保持分段常数的特性。
h
10
j 3
T
T 0
T
3 T
s平面
j Im(z)
r eT
T
0
z平面
: ~
h
11
频谱混叠：
H e j T 1 m H a j jm s T 1 m H a jT j2 T m
数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓
如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2 以内，有
h
24
预畸变：
将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后 正好映射到所需要的频率上。
利用关系式： i
2 tgi
T 2
将所要设计的数字滤波器临
界频率点 i ，变换成对应
的设模计拟模域拟频滤率 波器 i，利再用通此过双i
线性变换，即可得到所需的
数字滤波器，其临界频率正
是 i 。
双线性变换时频率的预畸
① 当 z ej 时，得：
2 1e j s T 1ej
2 T
jtg
2
j
满足第一个要求, 即s平面的虚轴(整个jΩ)对应于z平面 单位圆
双线性变换的频率非线性关系
h
20
② sj
z
1
T
2
j
T 2
1
T
2
j T 2
0 时 | z |1
0时 ,|z|1
| z |
1 T 2 T 2
2 2
h
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３) 计算H(Z)
双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的 简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器 的传递函数。
置换过程:
H(z) Ha(s) sT211zz11
Ha
2 T
1 1
z1 z1
频响
H (ej)H a(j ) T 2tg 2H a jT 2tg2
快速卷积（FFT）型等； 选择合适的字长和有效数字的处理方法 等
h
4
设计方法：
1）先设计一个合适的模拟滤波器H(s)，然后变换成满足预定指标的数 字滤波器H(z)。
2）最优化设计方法。
a) 确定一种最优准则，使设计出的实际频率响应的幅度特性| H(ej)|
与所要求的理想频率响应 | Hd(ej)| 的均方误差最小，
H a(j )0
s 2
h
12
数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响
H (ej)T 1H a(jT)
但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不 可避免地存在频谱的交叠，即频谱混叠
Ha(jT )
H (e j )
0
数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的 失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真越小，这时， 采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。
建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除
了混淆现象。
h
17
虚轴压缩通过正切变换实现：
Ω c tg(Ω1T) 2
C：待定常数。
Ω 0
Ω1 /T 0 /T
扩展至整个s平面，则得到s平面到s1平面的映射关系：
1 es1T s c1 es1T
再将 s1 平面通过标准变换关系映射到z平面，即令
2 tg
T 2
消除了脉冲响应不变法频 谱混叠的问题。
双线性变换的频率非线性关系
h
22
2） 双线性变换缺点：
Ω与ω成非线性关系，导致：
a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有 畸变。
例如，模拟微分器的幅 度与频率是直线关系，通过双线性变换后，不可 能得到数字微分器
H(j)kb
H(ej)H(j)tg 2
双线性换法的主要优点：s平面与z平面单值对应，s平面的
虚轴(整个jΩ)对应于z平面单位圆，s平面的Ω=0处对应于z平
面的ω=0处，Ω=∞处对应于z平面的ω=Π处，即数字滤波器的
频率响应终止于折叠频率处（ω=Π ），所以双线性变换不存
在混迭效应。
h
19
验证是否符合从 S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：
Ha(s)Ha(s)sj 问题：由A(-S2)→Ha(S)
对于给定的A(-S2)，A(-S2)的极点和零
由 S=jΩ，Ω2=-S2
点总是“成对出现”，且对称于S平面的 实轴和虚轴。选用A(-S2)的对称极、零点
∴ A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ
的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到 Ha(s)。
4) 缺点：存在频谱混叠效应，只能用于带限的频响特性，如衰 减特性很好的低通或带通。
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h
16
2 双线性变换法 1） 原理
脉冲响应不变法的主要缺点：产生频谱混叠。 原因：从s平面到z平面的变换z＝esT是多值对应。
修正： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。
M
2
H(eji)Hd(eji)
i1
min
此外还有其他多种误差最小准则。
b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 a i 和 b i
通过不断地迭代运算，改变 a i 、b i ，直到 满足要求为止。
h
5
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3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器
Ha(s) ----> H（z），设计一个由s平面到z平面的变换. 这种变换应遵循两个基本原则： 1）H（z）的频响能模仿Ha(s)的频响，即s平面的虚轴应映 射到z平面的单位圆上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即s平 面的左半平面 Re{s}＜0 应映射到z平面的单位圆以内|z|<1。
1
2N
1
j j c
N为滤波器阶数
h
30
理想滤波器
过渡带为零， 阻带|H(jΩ)|=0 通带内幅度|H(jΩ)|=常数.， H(jΩ)的相位是线性的。
因此数字滤波器保持稳定。
由
sT
ze
s j
令zrejesTe(j )TeTej T
则 reT, T
s平面上每一条宽为
2 T
的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:
每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，
每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，
j 轴映射到单位圆上， j轴上每一段 2 T 都对应于绕单位圆一周。
z es1T
s
2 T
1 1
z1 z1
通常取C=2/T
h
18
当 z = ejω,
s
2 T
1e 1e
j j
2 T
j sin(/ 2)
cos 2
2 jtg() j
T2
其中 2tg(/2)
T
s平面的虚轴对应于z平面的单位圆
s平面与z平面的单值映射关系：
s
T
z z
z 1(T / 2)s 1(T /2)s
1
T
2
T
2
2 2
即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单 位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所 得到的数字滤波器也是稳定的。满足第二个要求.
h
21
小结
1) 双线性变换的主要优点：s平面与z平面是单值的一一对应关系 （靠频率的严重非线性关系得到的），即整个jΩ轴单值地对应于 单位圆一周，关系式为：
变换方法主要有两种：脉冲响应不变法和双线性变换法
脉冲响应不变法 双线性变换法
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h
6
1 脉冲响应不变法
使数字滤波器能模仿模拟滤波的时域特性
脉冲响应不变法使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n) 等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值
即
h(n)=ha(nT),
T为采样周期。
ha(t)
Ha(s)
h(n)
h
13
例 将一个具有如下系统函数
H(s) 2 1 1 (s1)s(3) s1 s3
的模拟滤波器数字化。