利用角平分线构造全等三角形(可编辑修改word版)

H

G

E

I

善于构造活用性质

安徽张雷

几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线

的特性来解决问题.

1.显“距离”, 用性质

很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质

的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一

点向角的两边作垂线段）

例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？

分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证

明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．

已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I，求证：

点I 在∠ACB 的平分线上．

证明：过点I 作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、

G、F．B

∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH⊥AB、IG⊥AC

∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）

同理IH=IF ∴IG=IF（等量代换）

又IG⊥AC、IF⊥BC

A

D F C

∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．

【例2】已知：如图，PA、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于

点P，PD⊥BM 于D，PF⊥BN 于F．

求证：BP 为∠MBN 的平分线．

【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC 为外角平分线，•故

可过P 作PE⊥AC 于E．根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问

题得证．

【证明】过P 作PE⊥AC 于E．

∵PA、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD⊥BM，PF⊥BN

∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF

又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，

即 BP 是∠MBN 的平分线．

2. 构距离,造全等

有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．

例 3．△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，DA 平分∠CAB 交 BC 于 D 点，问能否在 AB 上确 定一点 E 使△BDE 的周长等于 AB 的长．请说明理由．

解：过 D 作 DE⊥AB，交 AB 于 E 点，则 E 点即可满足要求． 因为∠C=90°，AC=BC ， 又 DE⊥AB，∴DE=EB．

∵AD 平分∠CAB 且 CD⊥AC、ED⊥AB， ∴CD=DE． 由“HL”可证

Rt△ACD≌Rt△AED． ∴AC=AE．

∴L △BDE =BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB ．

例 4．如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 上一点，且 DM 平分∠ADC，AM 平分

∠DAB． 求证：AD=CD+AB ．

证明：过 M 作 ME⊥AD，交 AD 于 E ． ∵DM 平分∠ADC，∠C=90°．

MC=ME ． 根据“HL”可以证得 Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED． 同理可得 AB=AE ．∴CD+AB=ED+AE=AD． 即 AD=CD+AB ．

3. 巧翻折, 造全等

以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．

例 5.如图，已知△ABC 中∠BAC=90°，AB=AC ，CD•垂直于∠ABC•的平分线 BD 于 D ，BD 交 AC 于 E ，求证：BE=2CD ．

分析：要证 BE=2CD ，想到要构造等于 2CD 的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD 沿BD 翻折，使 BC 重叠到BA 所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌ △BFD ），然后证明 BE 和 CF （2CD ）所在的三角形全等．

F

证明：延长 BA 、CD 交于点 F

A 5

4

D E

1

3

B C

⎨

⎩

⎨ ⎩

∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中

⎧∠2 = ∠1( 公 公 ) ⎪

BD = BD ( 公 公 公 ) ⎪∠BDC = ∠BDF ( 公 公 ) ∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ， 即 CF=2CD

∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。∴∠1=∠3。在△ABE 和△ACF 中

⎧∠4 = ∠5 ⎪

AB = AC ⎪∠1 = ∠3( 公 公 ) ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）∴BE=CF ， ∴BE=2CD 。 例 6.如图，已知AC∥BD、EA 、EB 分别平分∠CAB 和△DBA， C

E

CD 过点 E ，则 AB 与 AC+BD 相等吗？请说明理由．

D

【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法．

1. 可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一

A

B

段， 然后证明剩余的线段与另一条线段相等．（割）

2. 把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等．（补）

F

C

D

2

5 6

3 4

F B

(1)

A

(2)

证法一：如图（1）在 AB 上截取 AF=AC ，连结 EF ．在△ACE 和△AFE 中

C

5 E

6 D

1

2

3

4 E

1 B