零件的变形

零件的变形及强度计算➢零件的拉伸和压缩➢零件的剪切和挤压➢圆轴的扭转➢直粱的弯曲➢零件的组合变形强度计算➢交变应力作用下零件的疲劳强度学习任务1.明确材料力学的基本任务，理解构件的强度与刚度和稳定性的力学意义。

2.理解内力的概念，能熟练利用截面法求解内力。

3.理解应力、变形和应变的概念。

4.能够熟练地计算轴力，作轴力图。

5.理解零件强度条件，能够熟练解决强度校核、设计截面和确定许可载荷问题。

变形分析的基本知识一、变形固体及其基本假设任何物体受载荷（外力）作用后其内部质点都会产生相对运动，从而导致物体的形状和尺寸发生变化，称为变形。

例如，橡皮筋在两端受拉后就发生拉伸变形；工厂车间中吊车梁在吊车作业时，梁轴线由直变弯，发生弯曲变形。

在外力的作用下会发生变形的物体可统称为变形固体。

变形固定在外力的作用下会产生两种不同的变形：✓当外力消除后，变形也会随着消失，这种变形称为弹性变形；✓外力消除后，变形不能完全消除并且具有残留的变形，称为塑性变形。

当物体的外力在一定的范围时，塑性变形很小，可以把构件当作只发生弹性变形的理想弹性变形体。

假设弹性体内连续不断地充满着物质，各点处的材料性质完全相同，且各方向上的性质都相同。

这就是变形固体的基本假设。

二、杆件在各种不同方式的外力作用下产生不同形式的变形。

变形的基本形式有四种：➢轴向拉伸（压缩）变形➢剪切（挤压）变形➢扭转变形➢弯曲变形其他复杂的变形都可以看成是这几种基本变形的组合零件变形过大时，会丧失工作精度、引起噪声、降低使用寿命、甚至发生破坏。

为了保证机械设备在载荷作用下能安全可靠的工作，必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力，简称承载能力。

构件的承载能力分为：强度、刚度、稳定性一、强度构件抵抗破坏的能力（强度要求是对构件的最基本的要求）。

构件在外力作用下不破坏必须具有足够的强度，例如房屋大梁、机器中的传动轴不能断裂，压力容器不能爆破等。

二、刚度构件抵抗变形的能力。

在某种情况下，构件虽有足够的强度，但受力后变形过大，即刚度不够，也会影响正常工作。

例如机床主轴变形过大，将会影响加工精度；吊车梁变形过大，吊车行驶时会发生较大震动，使行驶不平稳，有时还会产生“爬坡”现象，需要更大的驱动力。

因此对这类构件要保证有足够的刚度。

三、稳定性构件受载后保持原有平衡状态的能力。

例如千斤顶的螺杆、内燃机的连杆等等。

本单元主要研究构件在载荷（外力）作用下的变形、受力与破坏的规律，在保证构件即安全适用又尽可能经济合理的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸提供必要的基础知识和实用计算方法。

第一节零件的拉伸和压缩一、拉伸和压缩的概念工程上经常遇到承受拉伸或压缩的零件。

如图a所示的起重吊架中的拉杆AB(拉伸），图b所示的建筑物的立柱（压缩）。

受力零件的共同特点是：外力作用线与零件的轴线重合，零件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。

二、轴向拉伸和压缩时的内力构件上的载荷和约束力统称为外力。

零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位置的变化，材料内部会发生一种附加内力，力图使各质点恢复原来位置。

附加内力的大小随外力的增加而增加，附加内力增加到一定限度时，零件就会发生破坏。

因此，在研究零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。

后面的讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。

1、截面法截面法是用以确定零件内力的常用方法通过取截面，使零件内力显示出来以便于确定其数值的方法。

如图a所示的杆在外力F p的作用下处于平衡状态，力F p的作用线与杆的轴线重合，求截面m-m上的内力。

用假象平面在m-m处将杆截开，分成左右两段，根据作用力与反作用力定理，FN和FN’大小相等、方向相反。

取左段为研究对象PN P N X F F F F F ==-=∑00综上所述，用截面法求内力的步骤为：1.一截为二：即在欲求内力处，假想用一截面将零件一截为二；3.列式求解：即列研究对象的静力平衡方程，并求解内力。

2.轴力 与杆轴线重合的内力又称为轴力。

为了形象直观地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘制成轴力图。

做法是：以杆的左端为坐标原点，取平行于轴线的X 轴为横坐标轴，其值表示个横截面位置，取垂直于X 轴的F N 为总坐标轴，其值表示对应截面的轴力值，正值画在Z 轴上方，负值画在X 轴下方。

例1 试计算如图a 所示等直杆的轴力，并画出轴力图。

解：求约束反力取全杆为研究对象，做受力图，如图b 所示。

根据平衡方程：NkN P P P R R P P P F x k 648180--0321321=--=--==-=∑得则 分段计算轴力按外力作用的位置，将杆分为三段，并在每段内任意取一个截面，用截面法计算截面上的轴力，如图c 所示：AB 段kN 6 011===-=∑R F R F F N N x 得计算结果为正值，表明图示N1的方向正确，AB 段受拉伸。

BC 段()kN12kN 186100212-=-=-==-+=∑P R F R P F FN N x 得计算结果为负值，表面图示N2的方向相反，BC 段受压缩。

CD 段kN 4--3 0333===--=∑P F P F F N N x 得计算结果为负值，表明图示N3的方向相反，BC 段受压缩。

绘制轴力图正轴力画在x 轴上方，负轴力画在x 轴下方，如图d 所示轴力图不仅显示了轴力随截面位置的变化情况和最大轴力所在的截面位置，而且还明显的表示了杆件各段是受拉还是受压。

三、拉伸和压缩时的应力➢ 杆件是否破坏，不取决于整个截面上的内力大小，而是取决于单位面积上所分布的内力大小。

➢ 单位面积上的内力称之为应力，它所反映的是内力在截面上的分布集度。

➢ 其单位为帕斯卡（Pa ），工程上常用兆帕（MPa ）。

通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况取一等直杆，在其侧面上两条垂直于轴线的直线ab 、cd ，如图a 所示，并在杆的两端加一对轴向拉力F P ,使其产生拉伸变形。

如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它们的受力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布的，横截面上各点的应力也是相等的。

若以F N 表示内力（N)，A 表示横截面的面积（mm 2），则应力σ(MPa ）的大小为A F N=σ这就是拉（压）杆横截面上的应力计算公式。

σ的方向与F N 一致，即垂直于横截面。

垂直于横截面的应力，称之为正应力，都用σ表示。

和轴力的符号规定是一样的，规定拉应力为正；压应力为负。

四、拉伸和压缩时的变形1，变形与应变杆件在受轴向拉伸时，轴向尺寸伸长，横截面尺寸缩小。

受轴向压缩时，轴向尺寸缩短，横截面尺寸增大。

设等直杆的原长为l ，横向尺寸为b ，变形后，长为l 1,横向尺寸为b 1，如图所示。

杆件的轴向变形量为 l l l -=∆1横向变形量为： b b b -=∆1拉伸时，Δl 为正，Δb 为负；压缩时，Δl 为负，Δb 为正。

绝对变形与杆件的原有尺寸有关，为消除原长度的影响，通常用单位长度的变形来表示杆件的变形程度，即、分别称为轴向线应变和横向线应变，显然，二者的符号总是相反的，它们是无量纲量。

ε'ε2、胡克定律实验证明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某一限度时，轴线变形Δl与轴向载荷及杆长l成正比，与杆的横截面积成反比。

这一关系称为胡克定律，即引进比例常数E,则有其中：Δl的单位为mm（毫米）L的单位为mm(毫米）A的单位为mm2（平方毫米）E的单位为MPa（兆帕）F N的单位为N（牛）比例常数E称为弹性模量，其值随材料的不同而异。

EA乘积越大，零件变形越小，EA称为抗拉（压）刚度。

则有σEε=上式是胡克定律的又一表达式，即胡克定律可以表述为：五、零件拉伸与压缩时的强度计算（一）极限应力在应力作用下，零件的变形和破坏还与零件材料的力学性能有关。

力学性能是指材料在外力的作用下表现出来的变形和破坏方面的特性。

金属材料在拉伸和压缩时的力学性能通常由拉伸试验测定。

把一定尺寸和形状的金属试样（图a）装在拉伸试验机上，然后对试样逐渐施加拉伸载荷，直至把试样拉断为止（图b）根据拉伸过程中试样承受的应力σ和产生应变ε之间的关系，可以绘出该金属的σ-ε曲线。

通过对低碳钢σ-ε曲线分析可知，试样在拉伸过程中经历了弹性变形（oab 段）、塑性变形（bcde段）和断裂（e点）三个阶段。

上述比例极限σp 、屈服点σs和抗拉强度σb分别时材料处于弹性比例变形时和塑性变形、断裂前能承受的最大应力，称为极限应力（σb）。

塑性变形阶段，试样产生的变形时不可恢复的永久变形。

该阶段又分屈服阶段（be-塑性变形迅速增加）、强化阶段（cd-材料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（de-试样局部出现颈缩）。

应力σs为屈服点，当零件实际应力达到屈服点时，将会引起显著的塑性变形。

应力σb称为抗拉强度，当零件实际应力达到抗拉强度的应力值时，将会出现破坏。

（二）许用应力零件由于变形和破坏而失去正常的工作的能力，称为失效。

零件在失效前，允许材料承受的最大应力称为许用应力，常用[σ]表示。

为了确保零件的安全可靠，对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显著的塑性变形而失效。

考虑到其拉压时的屈服点相同，故拉、压许用应力同为ssn σσ=][式中，n s 是塑形材料的屈服安全系数。

对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失效（如铸铁）。

考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同，故有[]bbll n σσ=，[]bbyyn σσ=式中，n b 是脆性材料的断裂安全系数；[σbl ]和[σby ]分别是拉伸许用应力和压缩许用应力；σbl 和σby 分别时材料的抗拉强度和抗压强度。

（三）强度条件为了保证零件有足够的强度，就必须使其最大工作应力σmax 不超过材料的许用应力[σ]即可。

即[]σσ≤=AF Nmax上式称为拉（压）强度条件式，是拉（压）零件强度计算的依据。

式中，F N 是危险截面上的轴力；A 是危险截面面积。

根据强度条件式，可以解决三类问题：强度校核：已知零件的尺寸、所承受的载荷以及材料的许用应力。

设计截面：已知零件所承受的载荷和材料的许用应力。

确定许用载荷：已知零件的尺寸及材料的许用应力。

例2.某车间自制一台简易吊车（图a ）。

已知在铰接点B 处吊起重物最大为F P =20kN,杆AB 与BC 均用圆钢制作，且d BC =20mm ，材料的许用应力[σ]=58MPa 。

试校核BC 杆的强度，并确定AB 杆的直径d AB解：由受力分析可知，AB杆和BC杆分别为轴向受拉和轴向受压的二力杆，受力图如图b所示。

（1）确定AB、BC两杆的轴力用截面法在图a 上按m -n 截面取研究对象，其受力图如图c 所示，可得AB N BC N F F F F ==12,列平衡方程求解：NF F F F F N F F F F FN N N N PN P N yk 55.115.0*kN 09.23-60cos -060cos -- 0kN 09.23866.010*2060sin 0-60sin 01212x 311-==︒==︒==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒==︒=∑∑(2)校核BC 杆强度[]σππσ〈=====-MPa Pa Pa d F A F BC N BC N BC 76.3610*76.36)10*20(*10*55.11*446233222故BC 杆满足强度要求。