金融工程第11章 在险价值

• 在险价值的技术正不断被大量采用，并得到不断发展。它 主要针对的是: • 1)金融市场风险; • 2)VaR是在假定正态分布的市场环境中计算出来的, 这意 味着不考虑像市场崩盘这类极端的市场条件。 • 因此,实际上, VaR度量的是机构日常经营期间预期能够发 生的情况。 • VaR的计算至少需要下列数据:1）投资组合中所有资产的 现价和波动率，2）资产之间的相关关系。 • 如果资产是可交易的,可以从市场得到资产的价格（这种 做法被称为盯市，marking to market），否则盯模 （marking to model）。
• （二）置信度X% • 在计算VaR中通常使用的置信度是95％、97.5％或99％。 • 95％置信度的含意是预期100天中只有5天的损失会超过对 应的VaR值。同理，97.5％的置信度表示100天中预期只有 2天半的时间会出现损失超过其VaR。 • VaR并没有告诉我们在可能超过VaR损失的时间内（如 95％置信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的实际损 失会是多少。 • VaR的定义除了告诉我们损失大于某一水平的可能性之 外并没有提供任何关于整个收益/损失分布状况方面的信息。
• 所以该投资组合的VaR为$448,184。
线性模型的适用范围 线性模型显然只适用于那些投资组合的价值与构成该组 合的市场变量呈线性相关的情况，这些情况包括： 1.股票的投资组合； 2.债券的投资组合； 3.外汇的投资组合； 4.商品实物的投资组合； 5.外汇远期合约的投资组合； 6.利率互换和货币互换的投资组合； 7.由上述工具共同构成的投资组合。 远期和互换虽然是金融衍生工具，但它们都可以分解 成相应的各种零息票债券交易
i 1 i j
M
（11.5）
投资组合的VaR是：
(1 X %) T N (1 X %) T VaR P N P
•

j 1 i 1 i j i
M
M
j
ij

VaR VaR VaR
i 1 2 i i j i
M
j
ij
（11.6）
•
图11.2 具有与图11.1相同VaR，但不同的尾部
• 三、VaR的使用 • 基本上可以说，任何暴露在金融风险下的机构都应该应 用VaR。VaR的最大特点是： • ①它用一个单一的数字捕捉住了风险的一个重要方面； • ②它容易理解； • ③它询问简单的问题: “情况究竟有多糟糕”? • 根据VaR应用的历史发展，可以将其应用做如下划分： • 1、被动式地应用：信息报告。 • 2、防御式地应用：控制风险。 • 3、积极式地应用：管理风险。
第三节 投资组合的在险价值计算
• 如果假定：投资组合的价值变化与市场标的变量的 价值变化是线性相关的；并且市场标的变量的价值变化 是正态分布的。则我们只要知道投资组合中所有资产的 波动率及它们之间的相关系数，那么我们能为整个的投 资组合计算VaR。
• 一、线性模型 • 设投资组合由M个资产所组成。第i 个资产的价值为 S i ，波动 率是 ，而第i 个资产和第 j 个资产之间的相关系数是 ii (其中 i • ii =1)。因此，该投资组合价值一天的变动为：
第四节 衍生工具的在险价值
估计包含衍生证券在内的投资组合的VaR 关键在 于，即使基本标的证券价格的变动是正态的，衍生证 券本质上的非线性就意味着衍生证券价格的变动可能 同正态分布相去甚远。 • 然而，如果所关心的是基本标的证券价格一个非 常小的变化（比如在一个很短的时间内），可以用期 权的delta 来近似投资组合对基本标的证券价格变化的 敏感度。 • 对于较大的变动，可能需要采用某种高阶近似。
•
图 11.4 标准正态分布累积分布函数的逆函数
• 对于较长时间的VaR度量 • 收益率的标准差按时间的平方根比例变化，但均值按时间 本身的比例变化。 • 对于较长的时间期限，收益率（如同人们所希望的） 以时间的比例量向右移。 因此，对于较长的时间度量， 表达式 (11.2) 应该考虑对资产价值的漂移加以修正。如果 这个漂移率为μ，那么(11.2)式变成 ：
(1 X %) T VaR P N

j 1 i 1 i j i
M
M
j
ij
(1%) 10 12 0.032 2 2 0.02 2 2 1 0.03 2 0.02 0.5 N 2.33 3.1622777 0.0608276 0.448184
year day 252 week day 5 year week 52
• 二、单个资产在险价值（VaR）的计算 • 目的是计算出对应1%=(100-99)% 分布最左边的尾部位置。 • 计算标准正态分布中的对应位置, 由于任何一个正态分布都可以通 ) 为标准正态分布的累 过因子换算来得到。即N(x)=0.01，其中 N ( ( 计函数。设 N ) 为 N () 的逆函数（如图11.4所示），则：
一、在险价值的定义 • 在险价值：是按某一确定的置信度，对某一给定的时 间期限内不利的市场变动可能造成投资组合的最大损失的 一种估计。 • 通俗地说VaR是要在给定的置信度（典型的置信度为 95％、97.5％、99％等等）下衡量给定的资产或负债（即 投资组合）在一段给定的时间内（针对交易活动的时间可 能选取为一天，而针对投资组合管理的时间则可能选取为 一个月）可能发生的最大（价值）损失。VaR 是一种对可 能实现的价值损失的估计, 而不只是一种“账面”损失估 计。
• 解： • 在这个例子中我们使用 T =10 和 X = 99， day 0.03 ， • S = $1,000,000。也就是说我们关心的是10天内置信度 为99%的可能最大损失。根据公式（11.2），有VaR：
(1 X％) T 1, 000, 000 0.03 N (0.01) 10 VaR -S day N 30, 000 (2.33) 10 221, 043.21
i i • (11.4) i 1 • 其中 xi 为第i个资产一天的价值变动率 x S i i • 而 i Si 为常数。
P x
M
/ Si
，
• 投资组合的方差为：
2 P i j i j ij M M
• • • •
j 1 i 1
i2 i2 2 i j i j ij
i 1
• 其中 i Si i 。因此，方程（11.5）可以用来计算 df 的方差 或标准差。
• 对包括期权在内的投资组合的VaR的估计式:
•
• 例：假设一个基金经理希望在接下来的10天时间内存 在 95% 概率其所管理的基金价值损失不超过 $1,000,000。则可以将其写作：
Pr ob(V -$1,000,000) 5%
•
•
其中 V 为投资组合价值的变动。用符合表示,
Prob(V VaR) 1 X %
其中 X % 为置信度,在上述的例子中是95%
dS dx S df dS S dx
，那么期
• 对于存在着多个基本标的市场变量时，类似地有
ห้องสมุดไป่ตู้
df Si i dxi
i
• 其中 S i 是第i种基本标的市场变量的价格，Δi 为该投资组合关
于第 i 种基本标的市场变量的Delta值。 • 与方程（11.4）对应的有：
df i dxi
• • • •
• • •
二、选择合适的VaR参数 要使用VaR就必须选择定义中的两个参数——时间长度T 和置信度X%。 （一）时间长度 在计算VaR时有一个隐含的假设就是投资组合在所选择 的时间内不会发生变化。在选择合适的时间长度参数时 必须考虑下列三个主要因素： 1.新交易发生的频率 2.收集市场风险数据的频率 3.对风险头寸套期保值（对冲）的频率
第二节 单一资产的在险价值计算
• 假设有某一股票，其价值为 S ，年波动率为σ。我们想 要知道在接下来一个星期内具有99% 确定性的最大可 能损失是多少。 • 在图 11.3 中体现了一个星期时间中收益率的可能分布 状况。 • 如何估计VaR? • 首先，假定股票收益率是正态分布的。由于时间期限非 常短, 可以合理地假定均值为零。
•
• 一、Delta近似 • 先考虑一个由单一的标的证券S的衍生证券组成的投资组合。期权 或期权投资组合对标的证券的敏感度为Delta，用 表示。 • 则有： f

• 其中f是期权的价值，S是基本标的证券的价值。令
S
• 近似地我们有 • 如果基本标的证券价格变动分布的标准差是 S T 权价格变动分布的标准差为 S T 。
•
(1 X％) T VaR S T N day
（11.3）
• 例11.1 • 我们持有一个价值为 $100万的X公司的股票头寸，X公
司股票的日波动率为 3% ( 约为年48% )，假定该投资组 合的价值变动是正态分布的并且投资组合价值的预期变 动为零 (这对很短的时间期限是正确的)，计算10 天时间 置信度为99％的在险价值。
•
图 11.3 将来股票收益率的分布
• 一、波动率换算 • 在计算VaR时，将波动率表达成日波动率或周波动率。 严格来说，应该将定义成一天中连续复利收益率的标准 差。 • 在实务中，通常假定它是一天百分比变动的标准差。对 于股票这样具有活跃交易市场的证券计算的时间期限是 按交易日天数来进行计算的。因此有：
(0.01) 2.3263 xN
• 即：99% 置信度对应于均值的 2.33个标准差。 • 一般地，如果时间期限是（以天为单位），而要求的置信度是X％ , 如果持有价值为S的股票，则VaR被确定为： (1 X％) T • （11.2） VaR -S N
day
表11.1置信度与均值离差之间的关系 置信度 99% 98% 97% 96% 95% 90% 偏离均值的标准差数 2.326342 2.053748 1.88079 1.750686 1.644853 1.281551
第十一章 在险价值
许多机构对他们从事的一些较新型的交易， 通常是与衍生证券有关的交易，可能带来怎样 的后果全然不知。 在对如何使投资变得更透明的研究过程中， 金融界发展出了一种度量投资或投资组合下方 （downside）风险的概念，即在险价值 Value at Risk， 简称VaR）。
第一节 在险价值的定义
• VaR正被全球广泛的公司机构所应用。归结起来，它们包括： • 1、金融机构 • 金融机构通常需要处理大量的不同金融风险来源以及许多复杂的 金融工具。大大提高了风险管理的效率。 • 2、监管机构 • 对金融机构审慎监管要求金融机构为防范金融风险保证达到最低 资本金要求。一种标准风险度量。 • 3、非金融机构 • 在险现金流分析（cash flow at risk analysis）能为企业提供可能 面临资金短缺的临界值。 • 4、机构投资者 • 机构投资者现在也开始采用VaR来管理他们的金融风险。尤其是 在险资本（capital at risk）的概念已被机构投资者广泛接受。
• 例11.2 • 某一基金持有的投资组合由$100万美元投资于X公司 股票和$200万投资于Y公司股票构成。X公司股票的日 波动率为3％，而Y公司股票的日波动率为2％，并且X 公司股票与Y公司股票收益率之间的相关系数为0.5。 计算该投资组合10天时间置信度为99％的在险价值 （VaR）。
Y SY 2,000,000 ， • 解：在这个例子中 X S X 1,000,000 ， XY 0.5 。另外，N =10 和 X = 99。 • X 0.03 而 Y 0.02 ， 用公式（11.6）我们有（以百万美元表示）：