固体介质中弹性波传播机制的细胞自动机有限深势阱模型
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第 1 7 卷 第 3 期 地 球 物 理 学 进 展 Vol. 17 No. 3 2002 年 9 月 (390～398) PROGRESS IN GEOPHYSICS June 2002
固体介质中弹性波传播机制的 细胞自动机有限深势阱模型
赵雪平 杨宝俊
(吉林大学地球物理系 ,长春 130026)
[摘 要 ] 分析了采用细胞自动机研究波动问题的建模方法 ,针对一维 、均匀 、各向同性固体介质 中弹性纵波的微观机制 ,借用了经典弹簧振子模型 、细胞自动机格子气模型 ,以及量子力学中的无 限深势阱模型 ,建立了一个细胞自动机有限深势阱模型. 从量子力学角度出发 ,基于介观物理和纳 米概念 ,以微观粒子的德布罗意假设为基础 ,利用薛定谔方程 ,讨论了该模型中粒子 (分子组) 的振 动速度与粒子物质波波速之间的联系 ,给出了模型中的波动方程 ,得出 ζ= Vp (ζ为粒子振动速度 , Vp 为物质波纵波波速) . 同时还讨论了模型中粒子的大小和能量传递问题 ,引入引力场 ,得出了能 量及引力势的量子化条件. 另外 ,对声波速度 、格子气粒子振动速度和本文模型中分子组振动速度 进行了比较 ;还对本文模型中的粒子能量分布作了分析. [ 关键词 ] 细胞自动机 ;量子力学 ;弹簧振子 ;无限深势阱 ;有限深势阱 ;纳米 ;分子组 [ 中图分类号 ] P315. 3 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 100422903 (2002) 0320390209
足关系式
ω2
=
k m
.
(3)
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
· 39 2 · 地 球 物 理 学 进 展 17 卷
若只考虑纵振动的情况 ,本弹簧振子链模型中的长波相当于固体中的声波 ,对于一维弹性纵
-
∂ 2 52Ψ 2 m 5 x2
=
i ∂ 55Ψt .
(2)
当 ∂ →0 时 ,薛定谔方程将趋于经典力学运动方程 ,即薛定谔方程有正确的经典极限.
1. 4 弹簧振子链模型
在研究一维弹性波中简单的 ,且经典的模型是由弹性力连接的质点即弹簧振子链模
型[28] . 设所有振子的质量是 m ,弹簧的劲度系数为 k ( m 与 k 皆为常值) . 振动的角频率 ω满
0 引 言
研究波动传播通常是从宏观角度出发 ,建立介质的本构关系 ,从整体上对波动的传播作 宏观连续描述 ,并用解析或数值分析方法求解连续系统的宏观方程[1] . 近代统计物理研究认 为 ,宏观复杂系统的整体复杂性 ,可表现为具有十分简单运动规律的大量基本单体之间的相 互作用的结果 ,近而揭示了复杂系统内在的各个层次上的联系. 因此 ,从微观角度出发研究 复杂系统的运动规律能揭示系统内在本质的联系. 20 世纪 80 年代出现的细胞自动机 (Cellu2 lar Automata) 研究即是试图在微观和宏观的研究之间构起桥梁[2 ,3] . 细胞自动机是一种研究 和模拟宏观现象的介观 (Mesoscope) 模型 ,地球物理学家已用细胞自动机中的格子气 (Lattice Gas) 模型进行复杂介质中纵波传播的正演模拟[2 —5] ;在研究地震活动性方面 ,它被用来模拟 地震序列以及地震的随机性[6 —11] ;它还被用来模拟磁场流体动力学系统[12] . 本文直接从量 子力学的角度出发 ,把固体介质考虑为由微观振动粒子组成的系统 ,借用格子气模型 、弹簧 振子链模型和无限深势阱模型 ,提出细胞自动机有限深势阱模型 ,用来讨论固体介质中弹性 波传播的微观机制.
i ∂
(
Et -
px)
.
(1)
式中 ∂ = 2πh , h 为普朗克常量 ; E 为粒子的总能量 ; p 为粒子的动量. Ψ ( x , t) 是复指数函
数 ,其共轭复函数
Ψ3
( x , t)
= ψ0 e -
i ∂
(
Et
-
px)
,|
Ψ|
2
= Ψ·Ψ 3 表示粒子在
t
时刻在单位体积
内出现的几率 ,称为几率密度. 对于非相对论的一维运动自由粒子的薛定谔方程为[27]
程都包括在系统的内部状态中. 根据现代物理学
的概念 ,分子间相互作用力 F (引力 f 2 和斥力 f 1) 以及两者的合力随二分子质心间距离 r 之间的变 化关系 ,可用图 3 表示.
图 2 有限深势阱示意图 Fig. 2 Sketch map of finite deep potential
模型中 ,只有相邻分子组之间存在相互作用. 当分子组相互靠
拢时 ,引力做正功而斥力则做负功. 当分子组相互分离时 ,则反之.
引力的功趋向于使分子间的势能增加 ,而斥力的功则要消耗这种
能来完成. 因此 ,两个迎面运动着的分子组可以越过平衡距离 r0 而
更加靠拢 ,直到它们在平衡距离下所具有的能量完全消耗于反抗
目前 ,自动机已经开始在复杂系统的研究 、计算机科学与技术 、数据处理 、模式识别 、人工智
能 、土地利用 、流体与固体动力学问题等诸多领域内得到了广泛的应用.
1. 2 格子气模型
细胞自动机格子气 (Lattice Gas) 模型是一个流体的时间和空间离散系统. 格子气模型的
演化包括传播和碰撞两个过程. 格网的每个节点是一个自动机 ,自动机的输入为相邻节点到
1 理论基础
1. 1 细胞自动机模型
[ 收稿日期 ] 2001212210 ; [ 修回日期 ] 2002204220. [ 基金来源 ] 国土资源部“十五”重点项目 (20001010204) 资助. [ 作者简介 ] 赵雪平 ,男 ,1978 年 8 月生 , 福建省邵武人 ,吉林大学地球探测科学与技术学院硕士研究生 ,研究专业 :固体
波 ,声波的波动方程为
52 u 5 x2
=
1 52 u
V
2 p
5 t2
.
(4)
其中 , u ( x , t) 为声波波函数 , Vp 为纵波波速. 1. 5 无限深势阱模型
无限深势阱[27]是量子力学中应用的一个例子. 设质量为 m 的粒子只能在 0 < x < r 的
区域内运动. 在 0 < x < r 内 ,粒子的势能 U ( x) = 0 ;在 x ≤0 和 x ≥r 处 ,粒子的势能 U ( x) =
现假设在一维均匀 、各向同性固体介质中 ,考虑多个分子组成的聚合体 ,它们被看成一 个整体 ,内部分子间的作用不考虑 ,在这里称它为分子组. 该分子组满足量子力学的物理关 系以及宏观物理性质. 以此为基础 ,建立的模型见图 1 。该模型的特点是 :
(1) 假设这些分子组按类似一维弹簧振子链的方式排列 ,但分子之间没有弹簧连接. 如 图 1 ,分子组的质量都是 m ,分子组质心之间的距离是 r. 研究沿着分子组排 列方向的平面 波的传播.
地球物理学. (yangbaojun @jlu. edu. cn & jldxzxp @163. com)
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
3 期 赵雪平 ,等 :固体介质中弹性波传播机制的细胞自动机有限深势阱模型 · 39 1 ·
∞, 即
U ( x) = 0 , 当 0 < x < r ,
U ( x) = ∞, 当 x ≤0 或 x ≥ r .
在一维无限深势阱中 ,用量子数 n 表示的粒子能量[22]为
En
=
n2
π2 ∂ 2 mr2
2
(
n
= 1 ,2 ,3 ……)
.
(5)
1. 6 介观物理和纳米技术
从上世纪 90 年代兴起的纳米 (1nm = 10 - 9m) 技术属于介观物理研究的范围. 纳米技术
种形式神经元系统的计算能力与“图灵”( Turing) 机等价. 现代计算机之父 John Von Neumann
也在同一时期力图解决生命系统中的一个悖论 ,即 :能否制造一类人造系统 ,使之具有自复
制能力 ,也就是所谓的自繁殖[18] . 当然 ,这并不是意味着真的要制造一种“永动机”,而仅仅
是试图证明如果要制造这样的机器 ,至少在逻辑上是可行的.
是在介观物理 、量子力学等现代科学与计算机 、微电子和扫描隧道显微镜等先进工程技术基
础上发展起来的 ,它是一门研究和应用原子 、分子现象的全新的科学技术. 构成纳米材料的
固体颗粒的尺度为纳米量级 ,纳米材料的尺寸量级为 1～100nm[20] .
2 细胞自动机有限深势阱模型
目前利用细胞自动机对波动过程建模多采用格子气模型以及格子 Boltzmann 方法或声 格固体模型[18] . 这些模型给出了微观粒子作用 、空间分布的一种可能 ,为从微观入手研究弹 性波的传播提供了一定的方法 、思路 ,但这些模型是针对流体力学现象提出的[19] ,对于描述 固体介质中的波动过程并不完全适合. 而且这些模型中很少描述粒子之间相互作用力的性 质和粒子作用过程中力与粒子运动的关系.
斥力所做的功时为止. 然后两分子将重新相对地运动起来 ,沿相反
的方向 ,带着与靠拢时完全相同的势能而彼此分开. 结果 ,分子组
就像经过了一次弹性碰撞似的彼此分离. 在此过程中分子组运动
变量表示 ,因而整个空间就构成了一个 Boolean 场. 系统的变化就是 Boolean 场的演化过程.
1. 3 量子力学
在量子力学中 ,反映微观粒子运动的基本方程是薛定谔方程 ,薛定谔方程的解称为波函
数 ,微观粒子的运动状态则用波函数描述. 一维自由粒子的波函数为
Ψ( x , t)
=
ψ0 e -
达该节点粒子与位于该节点粒子之和. 粒子运动服从 Pauli 不相容原理 ,即各时刻网格节点
的每一速度方向至多只能有一个粒子. 自动机的状态变化规则即碰撞规则必须满足力学守
恒定律 ,并由此决定了自动机的输出. 在粒子的碰撞过程中遵从粒子数守恒 、动量守恒和能
量守恒. 对于有 b 个相邻节点的网格而言 ,空间每一网格节点的状态可用 b + 1 位的 Boolean
响应就是平面波经过各个分子组而得到的波动. 均匀性的含义是当输入信号乘以某常数时 ,
响应也倍乘相同的常数.
(3) 每两个分子组之间的空间构成一个有限
深势阱 ,即存在势垒穿透. 如图 2 ,各个势阱内的势
能皆为 U ( x) , 分子组只能在限定的区域 , 即两个
分子组Hale Waihona Puke Baidu间长度为 r 的范围内运动.
(4) 模型演化过程包括传播和碰撞 ,这两个过
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
3 期 赵雪平 ,等 :固体介质中弹性波传播机制的细胞自动机有限深势阱模型 · 39 3 ·
每个激励单独作用所产生的响应之和. 对于此模型研究的激励只有一个 ,即平面波的作用 ,
Von Neumann 从格网模型 ,或称为细胞自动机入手 ,模拟所要研究的具体问题. 该格网
模型中的每一个网格都包含有一个小的数学生命体 ,它们或生或死 ,并称这种数学生命体为
自动机 ,用以比拟人造生命体的细胞. 该人造系统的自繁殖问题的逻辑解 ,在于对自动机相
互作用规则的选取 ,以及寻找该人造生命体寿命期内所能重复出现的细胞结构 ,即周期性.
图 1 细胞自动机有限深势阱模型 Fig. 1 CA’s finite deep potential trough model
(2) 每个分子组相当于一个自动机 ,它们构成一个一维的自动机网络系统. 这个系统服 从叠加性和均匀性. 所谓叠加性是指当几个激励信号同时作用于系统时 ,总的输出响应等于
细胞自动机的基本单元是自动机 (Automaton) ,上世纪 40 年代就已开始对自动机研究.
1934 年数学家 Pitts 与神经生理学家 McCulloch 共同提出了一种由形式神经元 ( Formal Neu2
rons) 组成的系统 ,并赋与它具有逻辑和处理大脑神经元信息行为的逻辑规则 . 他们证明这
固体介质中弹性波传播机制的 细胞自动机有限深势阱模型
赵雪平 杨宝俊
(吉林大学地球物理系 ,长春 130026)
[摘 要 ] 分析了采用细胞自动机研究波动问题的建模方法 ,针对一维 、均匀 、各向同性固体介质 中弹性纵波的微观机制 ,借用了经典弹簧振子模型 、细胞自动机格子气模型 ,以及量子力学中的无 限深势阱模型 ,建立了一个细胞自动机有限深势阱模型. 从量子力学角度出发 ,基于介观物理和纳 米概念 ,以微观粒子的德布罗意假设为基础 ,利用薛定谔方程 ,讨论了该模型中粒子 (分子组) 的振 动速度与粒子物质波波速之间的联系 ,给出了模型中的波动方程 ,得出 ζ= Vp (ζ为粒子振动速度 , Vp 为物质波纵波波速) . 同时还讨论了模型中粒子的大小和能量传递问题 ,引入引力场 ,得出了能 量及引力势的量子化条件. 另外 ,对声波速度 、格子气粒子振动速度和本文模型中分子组振动速度 进行了比较 ;还对本文模型中的粒子能量分布作了分析. [ 关键词 ] 细胞自动机 ;量子力学 ;弹簧振子 ;无限深势阱 ;有限深势阱 ;纳米 ;分子组 [ 中图分类号 ] P315. 3 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 100422903 (2002) 0320390209
足关系式
ω2
=
k m
.
(3)
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
· 39 2 · 地 球 物 理 学 进 展 17 卷
若只考虑纵振动的情况 ,本弹簧振子链模型中的长波相当于固体中的声波 ,对于一维弹性纵
-
∂ 2 52Ψ 2 m 5 x2
=
i ∂ 55Ψt .
(2)
当 ∂ →0 时 ,薛定谔方程将趋于经典力学运动方程 ,即薛定谔方程有正确的经典极限.
1. 4 弹簧振子链模型
在研究一维弹性波中简单的 ,且经典的模型是由弹性力连接的质点即弹簧振子链模
型[28] . 设所有振子的质量是 m ,弹簧的劲度系数为 k ( m 与 k 皆为常值) . 振动的角频率 ω满
0 引 言
研究波动传播通常是从宏观角度出发 ,建立介质的本构关系 ,从整体上对波动的传播作 宏观连续描述 ,并用解析或数值分析方法求解连续系统的宏观方程[1] . 近代统计物理研究认 为 ,宏观复杂系统的整体复杂性 ,可表现为具有十分简单运动规律的大量基本单体之间的相 互作用的结果 ,近而揭示了复杂系统内在的各个层次上的联系. 因此 ,从微观角度出发研究 复杂系统的运动规律能揭示系统内在本质的联系. 20 世纪 80 年代出现的细胞自动机 (Cellu2 lar Automata) 研究即是试图在微观和宏观的研究之间构起桥梁[2 ,3] . 细胞自动机是一种研究 和模拟宏观现象的介观 (Mesoscope) 模型 ,地球物理学家已用细胞自动机中的格子气 (Lattice Gas) 模型进行复杂介质中纵波传播的正演模拟[2 —5] ;在研究地震活动性方面 ,它被用来模拟 地震序列以及地震的随机性[6 —11] ;它还被用来模拟磁场流体动力学系统[12] . 本文直接从量 子力学的角度出发 ,把固体介质考虑为由微观振动粒子组成的系统 ,借用格子气模型 、弹簧 振子链模型和无限深势阱模型 ,提出细胞自动机有限深势阱模型 ,用来讨论固体介质中弹性 波传播的微观机制.
i ∂
(
Et -
px)
.
(1)
式中 ∂ = 2πh , h 为普朗克常量 ; E 为粒子的总能量 ; p 为粒子的动量. Ψ ( x , t) 是复指数函
数 ,其共轭复函数
Ψ3
( x , t)
= ψ0 e -
i ∂
(
Et
-
px)
,|
Ψ|
2
= Ψ·Ψ 3 表示粒子在
t
时刻在单位体积
内出现的几率 ,称为几率密度. 对于非相对论的一维运动自由粒子的薛定谔方程为[27]
程都包括在系统的内部状态中. 根据现代物理学
的概念 ,分子间相互作用力 F (引力 f 2 和斥力 f 1) 以及两者的合力随二分子质心间距离 r 之间的变 化关系 ,可用图 3 表示.
图 2 有限深势阱示意图 Fig. 2 Sketch map of finite deep potential
模型中 ,只有相邻分子组之间存在相互作用. 当分子组相互靠
拢时 ,引力做正功而斥力则做负功. 当分子组相互分离时 ,则反之.
引力的功趋向于使分子间的势能增加 ,而斥力的功则要消耗这种
能来完成. 因此 ,两个迎面运动着的分子组可以越过平衡距离 r0 而
更加靠拢 ,直到它们在平衡距离下所具有的能量完全消耗于反抗
目前 ,自动机已经开始在复杂系统的研究 、计算机科学与技术 、数据处理 、模式识别 、人工智
能 、土地利用 、流体与固体动力学问题等诸多领域内得到了广泛的应用.
1. 2 格子气模型
细胞自动机格子气 (Lattice Gas) 模型是一个流体的时间和空间离散系统. 格子气模型的
演化包括传播和碰撞两个过程. 格网的每个节点是一个自动机 ,自动机的输入为相邻节点到
1 理论基础
1. 1 细胞自动机模型
[ 收稿日期 ] 2001212210 ; [ 修回日期 ] 2002204220. [ 基金来源 ] 国土资源部“十五”重点项目 (20001010204) 资助. [ 作者简介 ] 赵雪平 ,男 ,1978 年 8 月生 , 福建省邵武人 ,吉林大学地球探测科学与技术学院硕士研究生 ,研究专业 :固体
波 ,声波的波动方程为
52 u 5 x2
=
1 52 u
V
2 p
5 t2
.
(4)
其中 , u ( x , t) 为声波波函数 , Vp 为纵波波速. 1. 5 无限深势阱模型
无限深势阱[27]是量子力学中应用的一个例子. 设质量为 m 的粒子只能在 0 < x < r 的
区域内运动. 在 0 < x < r 内 ,粒子的势能 U ( x) = 0 ;在 x ≤0 和 x ≥r 处 ,粒子的势能 U ( x) =
现假设在一维均匀 、各向同性固体介质中 ,考虑多个分子组成的聚合体 ,它们被看成一 个整体 ,内部分子间的作用不考虑 ,在这里称它为分子组. 该分子组满足量子力学的物理关 系以及宏观物理性质. 以此为基础 ,建立的模型见图 1 。该模型的特点是 :
(1) 假设这些分子组按类似一维弹簧振子链的方式排列 ,但分子之间没有弹簧连接. 如 图 1 ,分子组的质量都是 m ,分子组质心之间的距离是 r. 研究沿着分子组排 列方向的平面 波的传播.
地球物理学. (yangbaojun @jlu. edu. cn & jldxzxp @163. com)
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
3 期 赵雪平 ,等 :固体介质中弹性波传播机制的细胞自动机有限深势阱模型 · 39 1 ·
∞, 即
U ( x) = 0 , 当 0 < x < r ,
U ( x) = ∞, 当 x ≤0 或 x ≥ r .
在一维无限深势阱中 ,用量子数 n 表示的粒子能量[22]为
En
=
n2
π2 ∂ 2 mr2
2
(
n
= 1 ,2 ,3 ……)
.
(5)
1. 6 介观物理和纳米技术
从上世纪 90 年代兴起的纳米 (1nm = 10 - 9m) 技术属于介观物理研究的范围. 纳米技术
种形式神经元系统的计算能力与“图灵”( Turing) 机等价. 现代计算机之父 John Von Neumann
也在同一时期力图解决生命系统中的一个悖论 ,即 :能否制造一类人造系统 ,使之具有自复
制能力 ,也就是所谓的自繁殖[18] . 当然 ,这并不是意味着真的要制造一种“永动机”,而仅仅
是试图证明如果要制造这样的机器 ,至少在逻辑上是可行的.
是在介观物理 、量子力学等现代科学与计算机 、微电子和扫描隧道显微镜等先进工程技术基
础上发展起来的 ,它是一门研究和应用原子 、分子现象的全新的科学技术. 构成纳米材料的
固体颗粒的尺度为纳米量级 ,纳米材料的尺寸量级为 1～100nm[20] .
2 细胞自动机有限深势阱模型
目前利用细胞自动机对波动过程建模多采用格子气模型以及格子 Boltzmann 方法或声 格固体模型[18] . 这些模型给出了微观粒子作用 、空间分布的一种可能 ,为从微观入手研究弹 性波的传播提供了一定的方法 、思路 ,但这些模型是针对流体力学现象提出的[19] ,对于描述 固体介质中的波动过程并不完全适合. 而且这些模型中很少描述粒子之间相互作用力的性 质和粒子作用过程中力与粒子运动的关系.
斥力所做的功时为止. 然后两分子将重新相对地运动起来 ,沿相反
的方向 ,带着与靠拢时完全相同的势能而彼此分开. 结果 ,分子组
就像经过了一次弹性碰撞似的彼此分离. 在此过程中分子组运动
变量表示 ,因而整个空间就构成了一个 Boolean 场. 系统的变化就是 Boolean 场的演化过程.
1. 3 量子力学
在量子力学中 ,反映微观粒子运动的基本方程是薛定谔方程 ,薛定谔方程的解称为波函
数 ,微观粒子的运动状态则用波函数描述. 一维自由粒子的波函数为
Ψ( x , t)
=
ψ0 e -
达该节点粒子与位于该节点粒子之和. 粒子运动服从 Pauli 不相容原理 ,即各时刻网格节点
的每一速度方向至多只能有一个粒子. 自动机的状态变化规则即碰撞规则必须满足力学守
恒定律 ,并由此决定了自动机的输出. 在粒子的碰撞过程中遵从粒子数守恒 、动量守恒和能
量守恒. 对于有 b 个相邻节点的网格而言 ,空间每一网格节点的状态可用 b + 1 位的 Boolean
响应就是平面波经过各个分子组而得到的波动. 均匀性的含义是当输入信号乘以某常数时 ,
响应也倍乘相同的常数.
(3) 每两个分子组之间的空间构成一个有限
深势阱 ,即存在势垒穿透. 如图 2 ,各个势阱内的势
能皆为 U ( x) , 分子组只能在限定的区域 , 即两个
分子组Hale Waihona Puke Baidu间长度为 r 的范围内运动.
(4) 模型演化过程包括传播和碰撞 ,这两个过
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
3 期 赵雪平 ,等 :固体介质中弹性波传播机制的细胞自动机有限深势阱模型 · 39 3 ·
每个激励单独作用所产生的响应之和. 对于此模型研究的激励只有一个 ,即平面波的作用 ,
Von Neumann 从格网模型 ,或称为细胞自动机入手 ,模拟所要研究的具体问题. 该格网
模型中的每一个网格都包含有一个小的数学生命体 ,它们或生或死 ,并称这种数学生命体为
自动机 ,用以比拟人造生命体的细胞. 该人造系统的自繁殖问题的逻辑解 ,在于对自动机相
互作用规则的选取 ,以及寻找该人造生命体寿命期内所能重复出现的细胞结构 ,即周期性.
图 1 细胞自动机有限深势阱模型 Fig. 1 CA’s finite deep potential trough model
(2) 每个分子组相当于一个自动机 ,它们构成一个一维的自动机网络系统. 这个系统服 从叠加性和均匀性. 所谓叠加性是指当几个激励信号同时作用于系统时 ,总的输出响应等于
细胞自动机的基本单元是自动机 (Automaton) ,上世纪 40 年代就已开始对自动机研究.
1934 年数学家 Pitts 与神经生理学家 McCulloch 共同提出了一种由形式神经元 ( Formal Neu2
rons) 组成的系统 ,并赋与它具有逻辑和处理大脑神经元信息行为的逻辑规则 . 他们证明这