函数的定义域常见求法

函数的定义域常见求法

一、函数的定义域的定义

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据

1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根

(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈.

3、指数函数x

y a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.

4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.

5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.

6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2

x x k k z π

π≠+∈.

7、复合函数的定义域的求法

（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.

（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数

()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.

8、求函数()()y f x g x =+的定义域

一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B ，则A B 就是所求函数的

定义域.

9、求实际问题中函数的定义域

不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示

函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.

四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.

五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.

研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】

方法一 直接法

使用情景 函数的结构比较简单.

解题步骤

直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.

【例1】求函数2253y x x =+-的定义域.

【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域. 【反馈检测1】求函数2

1

x y x +=+. 方法二 求交法

使用情景

函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为()()()f x g x h x =+型.

解题步骤

一般先分别求函数()g x 和()h x 的定义域A 和B ,再求A

B ,A B 就是函数()f x 的定义

域.

【例2】求函数225y x =-3log cos x 的定义域.

【解析】由题得⎪⎩

⎪

⎨⎧∈+<<-≤≤-∴⎩⎨⎧>≥-z

k k x k x x x 22225

50cos 0252π

πππ

∴}52

3

22235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或

所以函数的定义域为}52

3

22235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或

【点评】（1）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先求()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A

B ，则A B 就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函

数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式cos 0

x >时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求55

2222

x k x k k z

ππ

ππ-≤≤⎧⎪

⎨-<<+∈⎪⎩的解集时，只需给参数k 赋

几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学科#网

【例3】求函数 02)23(3

|3|)

lg(-+-+-=

x x x x y 的定义域.

【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.

【例4】求函数log (1)

(01)x

a y a a a =->≠且的定义域.

【解析】由题得 0

101=x

x

a a a ->∴>

1a >当时，x>0;当0

1{a ∴>当时，函数的定义域为x|x>0}, 1{a <当0<时，函数的定义域为x|x<0}.

【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数a 的取值范围，一般要分类讨论.

【反馈检测2】求函数2

ln

1)23

x

y a x x =---+（的定义域.

方法三 抽象复合法 使用情景

涉及到抽象复合函数.

解题步骤

利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：

只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求

出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.

【例5】求下列函数的定义域：

（1）已知函数f （

x)的定义域为[2,2]-，求函数2

(1)y f x =-的定义域； （2）已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （

x)的定义域； （3）已知函数f （

x)的定义域为[1,2]-，求函数2

(1)(1)y f x f x =+--的定义域.

【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，

不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A

B ，则A B 就是所求函数的定义域.

【反馈检测3】已知函数(tan 2)y f x =的定义域为[0,]8

π

，求函数()f x 的定义域.