1期望效用理论
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定理：如果消费者的偏好关系满足公理1－4的假定， 那么这一偏好关系可以由一个连续的效用函数来表示， 即可以得到一个连续的无差异曲线。
注意：这里得到的效用函数并不唯一，一个效用函 数通过正单调的变换得到的另一个效用函数与原来的效 用函数具有相同的偏好关系。即
u(x) f [u(x)]且f ()是单调递增函数，则有： u(x) u(y) u(x) u(y)
Lagrangian函数为： L U (x1, x2) (w p1x1 p2x2)
F.O.C.
U x1
p1
0
U x2
p2
0
U
w
p1x1
ห้องสมุดไป่ตู้
p2 x2
0
由假定，U的二阶偏导小于零，因此一阶条件是充要 条件。
一、确定条件下的效用函数
结论：
U / x1 p1 U / x2 p2
（边际替代率=价格比）
x, y, z C,ifx y且yz tx (1 t) yz
严格凸性（strict convexity）
无差异曲线凸 向原点
x, y, z C,ifx y, yz, x y tx (1 t) y z
其中， 0 t 1
一、确定条件下的效用函数
➢ （四）确定条件下消费者效用最大化
max(u), s.t.W
第1章 期望效用理论
杜晓蓉 金融工程系
教学计划
（一）教学大纲 ➢ 期望效用理论方面的文献综述
期望效用理论 个体风险态度
➢ 资产定价方面的文献综述 经典资产定价理论及其发展 有效市场假说
教学计划
➢ 公司财务方面的文献综述 资本结构之谜 公司治理
教学计划
（二）教材及参考文献 ➢ 陈雨露，汪昌云. 金融学文献通论（微观金融卷）. 中国
U 0, U 0（非满足性），
2U
0, 2U
0（边际效
x1 x2
x12
x22
用递减）。
（2）假定x1、x2的价格分别为p1、p2，且价格是外生给 定的，消费者的财富为w。
消费者的选择问题可以写成如下：
maxU
x1 ,x2
(
x1
,
x2
)
s.t. p1x1 p2 x2 w
一、确定条件下的效用函数
dx2 U / x1 p1 dx1 U / x2 p2
（无差异曲线斜率=预算约束线斜率）
一、确定条件下的效用函数
常见效用函数的形式： ➢ 完全替代偏好的效用函数：U（x,y）=ax+by ➢ 完全互补偏好的效用函数：U（x,y）=min｛ax,by｝ ➢ 拟线性偏好的效用函数：U（x,y）=af(x)+by
例如：
一、确定条件下的效用函数
➢ （三）效用函数的存在性和唯一性
定义：假设是 u(x)定义在X上的一个正实数值函 数，如果对于C中的任意两个商品组合x，y， x y 的 充分必要条件是 u(x) u( y) ，那么就称函数 u(x) 是
消费者的效用函数。
注：但是仅在前面三个理性偏好的假定下，这样 的效用函数是不一定存在的，例如字典序偏好。
定义2 二元关系(binary relations) ：一个集合上的 二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系。
定义3 偏好关系(preference relationship) ：具有完 备性、自反性、传递性的一个二元关系
一、确定条件下的效用函数
令x、y、z…是商品集合C的子集，或者称之为商品 束（commodity bundle）或者消费束（consume boundle）。则可以在消费束的集合上建立下面的偏好 关系（preference relation）或者偏好顺序 （preference ordering） ：
x～y
xy 且 yx
一、确定条件下的效用函数
2、偏好应满足的基本公理（Axiom)条件： 公理1 偏好具有完备性（completeness）：
x, y C 有 x y 、yx 与 x ～ y 至少一个成立。
有序
公理2 偏好有自反性（reflexivity）：
x C ，有 xx 。
确定序
公理3 偏好具有传递性(transitivity)：
一、确定条件下的效用函数
衣 A
B x
食 字典序偏好
一、确定条件下的效用函数
公理4 偏好具有连续性（continuity） ：
如果 x y ，那么与x“充分接近的”商品组合z，
也满足 z y 。
微小变动的序
z C,集合{x C : x f z}和{y C : y p z}是闭的
一、确定条件下的效用函数
桃梨
的满足，李四不会不答应，成交！
(2) 张三提出用梨子换桃子，并要求李四
苹果
找一分钱，李四还会答应，成交！
(3) 张三提出用桃子换苹果，并要求李四
找一分钱，李四依然同意，成交！
李四的不传递的偏好
交换一直循环进行下去，李四变成穷光蛋，张三变成富翁。 显然，这样的事情不可能发生在理性消费者身上。
一、确定条件下的效用函数
注：若一个二元关系同时满足公理1-3，则称此二元关 系为等价关系（equivalence relation)或无差异关系。这样可 以将有等价关系的东西放在一起，得到无差异曲线。即对于 xC，集合 [x]={yC: y x} 称作 x 的等价类或者无差异类 或者无差异曲线，它由两两无差异(一样好)的消费方案构成。
则最大化问题为： maxu(.)
s.t. {C RM ; qc W )
一、确定条件下的效用函数
消费者效用最大化的解法 1、图示法：无差异曲线与预算线的最高切点
x1
x*1
x*2
x2
一、确定条件下的效用函数
2、Lagrangian法
假定：（1）消费者只消费两种不同商品x1、x2，其
效用函数为U（x1.x2)，满足：
计算这两种工作月收入的方差
2 1
0.5
(2000
1500)2
0.5
(1000
1500)2
250000
2 2
0.99 (1510
1500)2
0.01 (510
1500)2
9900
这个人会选择哪一种工作呢？
二、VNM期望效用函数
如果第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情 况下的月收入都比上面所述的收入要增加100元，第二种工 作的收入情况还是如上，则:
ER1 0.5 2100 0.5 1100 1600
ER2 0.99 1510 0.01 510 1500
2 1
0.5
(2100
效用与偏好联系在一起。偏好正是消费者对效用进行 自我比较后得出的关于各种消费方案好坏的评价。
cardinal utility vs. ordinal utility
一、确定条件下的效用函数
1、消费者的偏好关系 定义1 偏好（preference): A preference is a
complete ranking of pairs of consumption (cash flow) streams.
一、确定条件下的效用函数
主流经济学——新古典理性对消费者的基本假定：消 费者具有良好的偏好或效用函数，追求效用最大化。
满足这一假定的消费者，叫做理性消费者。
一、确定条件下的效用函数
➢ （一）消费集合及其特点 消费集合：商品空间中那些代表可行消费活动的商品
向量的全体（用C表示）。
1、闭集
Ifxn X (n 1,2,...) & lim xn x, n
（1） x y 被称为消费者在商品x、y中，“弱偏好
于”x，即消费者认为x至少与y一样好。
一、确定条件下的效用函数
（2）x y 被称为消费者“严格偏好于”x，即在任
何情况下，消费者认为x比y好，即：
x y
x y ，但 y ~ x不成立
（3）x ～ y 被称为消费者“无差异于”商品x、y，即消 费者认为两样东西同样好，即：
人民大学出版社，2006年
➢ 参考文献 经典论文（具体见各章PPT附录）
教学计划
（三）教学方式 ➢ 专题讲授＋课堂报告、讨论
（四）考核方法 ➢ 平时成绩（课堂报告、讨论、作业、出勤）：40％ ➢ 期末成绩（课程论文）：60％ （五）联系方式：dxraa@163.com
教学计划
➢ 课堂讨论的拟定题目： 1、CAPM的缺陷文献综述 2、关于APT与CAPM关系研究的文献综述 3、股票价格决定因素 4、梳理中国证券市场有效性实证检验的文献 5、债权期限结构影响因素的文献综述 6、资本结构之谜的文献综述 7、 亚洲家族控股企业的优缺点，及家族控股如何影响 公司价值 8、中国上市公司不同的股权结构与公司价值之间的关系 文献综述。
thenx X
C为闭集，因此消费具有 连续性
一、确定条件下的效用函数
2、凸集
如果 S R，n 在S中 任取两点，其连线仍在S 中，则S为凸集。
对消费集合C为凸集 的意思是，如果两个消 费束 x, y C，则对于任 意实数 a [0,1]，消费束
z ax (1 a) y C
一、确定条件下的效用函数
一、确定条件下的效用函数
公理5 偏好关系具有单调性（monotonicity） ：
x, y C ，如果有 x y ，则有 x y 。
多总比少好
强单调性 ：
x, y C ， ifx y且x y，则x y
例如：
1
0
1
0
Time 0
1
Time
一、确定条件下的效用函数
公理6 偏好具有凸性（convexity）
二、VNM期望效用函数
2、不确定性下理性决策的原则 （1）数学期望最大化准则
数学期望最大化准则是指使用投资收益的预期值比较各 种投资方案优劣。
上例的解： 计算这两种工作的预期月收入：
ER1 0.5 2000 0.51000 1500 ER2 0.99 1510 0.01 510 1500
二、VNM期望效用函数
x, y, z C ，如果 x y ， yz ，则 xz 。
非循环序
例5 不服从传递性公理将导致富翁变穷人的例子
张三是穷人，李四是富翁；张三只有一个苹果，而李四不但
有一个桃子，还有一个梨子；但李四的偏好不传递，他认为，桃
比苹果好，苹果比梨好，梨比桃好。
Money pump
(1) 张三提出用苹果换梨子，并要求李四 找一分钱。仅花一分钱就能换来更大
一、确定条件下的效用函数
解：将（2）式带入（1）式可得：
Maxu(x,
y)
x2
m (
px
x)3
求一阶导数：
py
2 3 py px 可得：x m px x p y
x2 m 5 px
y3 m 5 py
二、VNM期望效用函数
➢ （一）不确定性下的理性决策原则
1、确定性下的决策原则——收益最大准则 收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下。按 照这一法则，只需选取收益率最高的投资机会即可。通过 正确的选择，可以实现投资期末的财富最大化。 ——经济学中的生产者理论和价值理论使用这一准 则。
二、VNM期望效用函数
问题：不确定条件下效用最大化还适用吗？
例子 假设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。 第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高，但是收入 是不确定的。如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般， 每月就只能挣得1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元 的概率各为1/2。第二种工作是在国营商店当售货员，每 月工资1510元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每 月就只能得到510元的基本工资收入。不过，一般情况下 国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可 能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能 性为99％。
一、确定条件下的效用函数
非凸
一、确定条件下的效用函数
消费集合为凸性的经济学含义：凸性明确指出从一种 可行方案过渡到另一种可行方案的最短路径。
例如：面临选择为 4两米饭 vs 4两馒头
一、确定条件下的效用函数
➢ （二）偏好及其基本假定 效用：消费者消费一定数量的若干商品后所感受到的
满足程度。 效用是一种纯主观的心理感受，因人因时而异。
其中W是由收入或财富构成的预算约束，包含收入和 商品价格等方面的要素。假定消费集C中的所有商品都具 有一个唯一的公开市场价格：
qc q1c1 q2c2 ... qM cM W
这通常被称为瓦尔拉预算集（walrasian budget set） ，
记为：
{c R M : qc W}
例如： U（x,y）=2ln(x)+y
一、确定条件下的效用函数
➢ 柯布-道格拉斯偏好的效用函数：
u(x, y) xb yc 令：a b
bc 则有：u（x，y） x a y1-a
练习：求解如下柯布-道格拉斯偏好效用函数
Maxu(x, y) x2 y3 （1）
S.T.px x py y m
（2）
注意：这里得到的效用函数并不唯一，一个效用函 数通过正单调的变换得到的另一个效用函数与原来的效 用函数具有相同的偏好关系。即
u(x) f [u(x)]且f ()是单调递增函数，则有： u(x) u(y) u(x) u(y)
Lagrangian函数为： L U (x1, x2) (w p1x1 p2x2)
F.O.C.
U x1
p1
0
U x2
p2
0
U
w
p1x1
ห้องสมุดไป่ตู้
p2 x2
0
由假定，U的二阶偏导小于零，因此一阶条件是充要 条件。
一、确定条件下的效用函数
结论：
U / x1 p1 U / x2 p2
（边际替代率=价格比）
x, y, z C,ifx y且yz tx (1 t) yz
严格凸性（strict convexity）
无差异曲线凸 向原点
x, y, z C,ifx y, yz, x y tx (1 t) y z
其中， 0 t 1
一、确定条件下的效用函数
➢ （四）确定条件下消费者效用最大化
max(u), s.t.W
第1章 期望效用理论
杜晓蓉 金融工程系
教学计划
（一）教学大纲 ➢ 期望效用理论方面的文献综述
期望效用理论 个体风险态度
➢ 资产定价方面的文献综述 经典资产定价理论及其发展 有效市场假说
教学计划
➢ 公司财务方面的文献综述 资本结构之谜 公司治理
教学计划
（二）教材及参考文献 ➢ 陈雨露，汪昌云. 金融学文献通论（微观金融卷）. 中国
U 0, U 0（非满足性），
2U
0, 2U
0（边际效
x1 x2
x12
x22
用递减）。
（2）假定x1、x2的价格分别为p1、p2，且价格是外生给 定的，消费者的财富为w。
消费者的选择问题可以写成如下：
maxU
x1 ,x2
(
x1
,
x2
)
s.t. p1x1 p2 x2 w
一、确定条件下的效用函数
dx2 U / x1 p1 dx1 U / x2 p2
（无差异曲线斜率=预算约束线斜率）
一、确定条件下的效用函数
常见效用函数的形式： ➢ 完全替代偏好的效用函数：U（x,y）=ax+by ➢ 完全互补偏好的效用函数：U（x,y）=min｛ax,by｝ ➢ 拟线性偏好的效用函数：U（x,y）=af(x)+by
例如：
一、确定条件下的效用函数
➢ （三）效用函数的存在性和唯一性
定义：假设是 u(x)定义在X上的一个正实数值函 数，如果对于C中的任意两个商品组合x，y， x y 的 充分必要条件是 u(x) u( y) ，那么就称函数 u(x) 是
消费者的效用函数。
注：但是仅在前面三个理性偏好的假定下，这样 的效用函数是不一定存在的，例如字典序偏好。
定义2 二元关系(binary relations) ：一个集合上的 二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系。
定义3 偏好关系(preference relationship) ：具有完 备性、自反性、传递性的一个二元关系
一、确定条件下的效用函数
令x、y、z…是商品集合C的子集，或者称之为商品 束（commodity bundle）或者消费束（consume boundle）。则可以在消费束的集合上建立下面的偏好 关系（preference relation）或者偏好顺序 （preference ordering） ：
x～y
xy 且 yx
一、确定条件下的效用函数
2、偏好应满足的基本公理（Axiom)条件： 公理1 偏好具有完备性（completeness）：
x, y C 有 x y 、yx 与 x ～ y 至少一个成立。
有序
公理2 偏好有自反性（reflexivity）：
x C ，有 xx 。
确定序
公理3 偏好具有传递性(transitivity)：
一、确定条件下的效用函数
衣 A
B x
食 字典序偏好
一、确定条件下的效用函数
公理4 偏好具有连续性（continuity） ：
如果 x y ，那么与x“充分接近的”商品组合z，
也满足 z y 。
微小变动的序
z C,集合{x C : x f z}和{y C : y p z}是闭的
一、确定条件下的效用函数
桃梨
的满足，李四不会不答应，成交！
(2) 张三提出用梨子换桃子，并要求李四
苹果
找一分钱，李四还会答应，成交！
(3) 张三提出用桃子换苹果，并要求李四
找一分钱，李四依然同意，成交！
李四的不传递的偏好
交换一直循环进行下去，李四变成穷光蛋，张三变成富翁。 显然，这样的事情不可能发生在理性消费者身上。
一、确定条件下的效用函数
注：若一个二元关系同时满足公理1-3，则称此二元关 系为等价关系（equivalence relation)或无差异关系。这样可 以将有等价关系的东西放在一起，得到无差异曲线。即对于 xC，集合 [x]={yC: y x} 称作 x 的等价类或者无差异类 或者无差异曲线，它由两两无差异(一样好)的消费方案构成。
则最大化问题为： maxu(.)
s.t. {C RM ; qc W )
一、确定条件下的效用函数
消费者效用最大化的解法 1、图示法：无差异曲线与预算线的最高切点
x1
x*1
x*2
x2
一、确定条件下的效用函数
2、Lagrangian法
假定：（1）消费者只消费两种不同商品x1、x2，其
效用函数为U（x1.x2)，满足：
计算这两种工作月收入的方差
2 1
0.5
(2000
1500)2
0.5
(1000
1500)2
250000
2 2
0.99 (1510
1500)2
0.01 (510
1500)2
9900
这个人会选择哪一种工作呢？
二、VNM期望效用函数
如果第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情 况下的月收入都比上面所述的收入要增加100元，第二种工 作的收入情况还是如上，则:
ER1 0.5 2100 0.5 1100 1600
ER2 0.99 1510 0.01 510 1500
2 1
0.5
(2100
效用与偏好联系在一起。偏好正是消费者对效用进行 自我比较后得出的关于各种消费方案好坏的评价。
cardinal utility vs. ordinal utility
一、确定条件下的效用函数
1、消费者的偏好关系 定义1 偏好（preference): A preference is a
complete ranking of pairs of consumption (cash flow) streams.
一、确定条件下的效用函数
主流经济学——新古典理性对消费者的基本假定：消 费者具有良好的偏好或效用函数，追求效用最大化。
满足这一假定的消费者，叫做理性消费者。
一、确定条件下的效用函数
➢ （一）消费集合及其特点 消费集合：商品空间中那些代表可行消费活动的商品
向量的全体（用C表示）。
1、闭集
Ifxn X (n 1,2,...) & lim xn x, n
（1） x y 被称为消费者在商品x、y中，“弱偏好
于”x，即消费者认为x至少与y一样好。
一、确定条件下的效用函数
（2）x y 被称为消费者“严格偏好于”x，即在任
何情况下，消费者认为x比y好，即：
x y
x y ，但 y ~ x不成立
（3）x ～ y 被称为消费者“无差异于”商品x、y，即消 费者认为两样东西同样好，即：
人民大学出版社，2006年
➢ 参考文献 经典论文（具体见各章PPT附录）
教学计划
（三）教学方式 ➢ 专题讲授＋课堂报告、讨论
（四）考核方法 ➢ 平时成绩（课堂报告、讨论、作业、出勤）：40％ ➢ 期末成绩（课程论文）：60％ （五）联系方式：dxraa@163.com
教学计划
➢ 课堂讨论的拟定题目： 1、CAPM的缺陷文献综述 2、关于APT与CAPM关系研究的文献综述 3、股票价格决定因素 4、梳理中国证券市场有效性实证检验的文献 5、债权期限结构影响因素的文献综述 6、资本结构之谜的文献综述 7、 亚洲家族控股企业的优缺点，及家族控股如何影响 公司价值 8、中国上市公司不同的股权结构与公司价值之间的关系 文献综述。
thenx X
C为闭集，因此消费具有 连续性
一、确定条件下的效用函数
2、凸集
如果 S R，n 在S中 任取两点，其连线仍在S 中，则S为凸集。
对消费集合C为凸集 的意思是，如果两个消 费束 x, y C，则对于任 意实数 a [0,1]，消费束
z ax (1 a) y C
一、确定条件下的效用函数
一、确定条件下的效用函数
公理5 偏好关系具有单调性（monotonicity） ：
x, y C ，如果有 x y ，则有 x y 。
多总比少好
强单调性 ：
x, y C ， ifx y且x y，则x y
例如：
1
0
1
0
Time 0
1
Time
一、确定条件下的效用函数
公理6 偏好具有凸性（convexity）
二、VNM期望效用函数
2、不确定性下理性决策的原则 （1）数学期望最大化准则
数学期望最大化准则是指使用投资收益的预期值比较各 种投资方案优劣。
上例的解： 计算这两种工作的预期月收入：
ER1 0.5 2000 0.51000 1500 ER2 0.99 1510 0.01 510 1500
二、VNM期望效用函数
x, y, z C ，如果 x y ， yz ，则 xz 。
非循环序
例5 不服从传递性公理将导致富翁变穷人的例子
张三是穷人，李四是富翁；张三只有一个苹果，而李四不但
有一个桃子，还有一个梨子；但李四的偏好不传递，他认为，桃
比苹果好，苹果比梨好，梨比桃好。
Money pump
(1) 张三提出用苹果换梨子，并要求李四 找一分钱。仅花一分钱就能换来更大
一、确定条件下的效用函数
解：将（2）式带入（1）式可得：
Maxu(x,
y)
x2
m (
px
x)3
求一阶导数：
py
2 3 py px 可得：x m px x p y
x2 m 5 px
y3 m 5 py
二、VNM期望效用函数
➢ （一）不确定性下的理性决策原则
1、确定性下的决策原则——收益最大准则 收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下。按 照这一法则，只需选取收益率最高的投资机会即可。通过 正确的选择，可以实现投资期末的财富最大化。 ——经济学中的生产者理论和价值理论使用这一准 则。
二、VNM期望效用函数
问题：不确定条件下效用最大化还适用吗？
例子 假设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。 第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高，但是收入 是不确定的。如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般， 每月就只能挣得1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元 的概率各为1/2。第二种工作是在国营商店当售货员，每 月工资1510元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每 月就只能得到510元的基本工资收入。不过，一般情况下 国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可 能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能 性为99％。
一、确定条件下的效用函数
非凸
一、确定条件下的效用函数
消费集合为凸性的经济学含义：凸性明确指出从一种 可行方案过渡到另一种可行方案的最短路径。
例如：面临选择为 4两米饭 vs 4两馒头
一、确定条件下的效用函数
➢ （二）偏好及其基本假定 效用：消费者消费一定数量的若干商品后所感受到的
满足程度。 效用是一种纯主观的心理感受，因人因时而异。
其中W是由收入或财富构成的预算约束，包含收入和 商品价格等方面的要素。假定消费集C中的所有商品都具 有一个唯一的公开市场价格：
qc q1c1 q2c2 ... qM cM W
这通常被称为瓦尔拉预算集（walrasian budget set） ，
记为：
{c R M : qc W}
例如： U（x,y）=2ln(x)+y
一、确定条件下的效用函数
➢ 柯布-道格拉斯偏好的效用函数：
u(x, y) xb yc 令：a b
bc 则有：u（x，y） x a y1-a
练习：求解如下柯布-道格拉斯偏好效用函数
Maxu(x, y) x2 y3 （1）
S.T.px x py y m
（2）