线性代数习题39,40常系数非齐次方程,线性微分方程组
完整版)《线性代数》
完整版)《线性代数》一、单项选择题1.设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^{-1}$等于（B）A。
$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$B。
$\begin{bmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{bmatrix}$C。
$\begin{bmatrix}-2&1.5\\1&-0.5\end{bmatrix}$D。
$\begin{bmatrix}-2&1\\1&0\end{bmatrix}$2.设$A$是方阵，如有矩阵关系式$AB=AC$，则必有（D）A。
$A=0$B。
$BC$时$A=0$C。
$A$时$B=C$D。
$|A|$时$B=C$3.设$Ax=b$是一非齐次线性方程组，$\eta_1$，$\eta_2$是其任意两个解，则下列结论错误的是（A）A。
$\eta_1+\eta_2$是$Ax=0$的一个解B。
$\eta_1+\eta_2$是$Ax=b$的一个解C。
$\eta_1-\eta_2$是$Ax=0$的一个解D。
$2\eta_1-\eta_2$是$Ax=b$的一个解4.设$\lambda$是矩阵$A$的特征方程的3重根，$A$的属于$\lambda$的线性无关的特征向量的个数为$k$，则必有（A）A。
$k\leq3$B。
$k<3$XXXD。
$k>3$5.下列矩阵中是正定矩阵的为（C）A。
$\begin{bmatrix}1&-2\\-2&4\end{bmatrix}$B。
$\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$C。
$\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}$D。
$\begin{bmatrix}-1&2\\2&4\end{bmatrix}$6.下列矩阵中，（B）不是初等矩阵。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
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一、填空题1. 四阶行列式44det ij a 的展开式中23413412a a a a 应带_______（正、负）号； 2. 四阶行列式44det ij a 的展开式中13413422a a a a 应带_______（正、负）号； 3. 四阶行列式44det ij a的展开式中14423321a a a a 应带_______（正、负）号；4. 排列(1)21n n ……的逆序数为 ；5. 二阶行列式12023k ，则k ；6. 设5160M，0222N则行列式2M N __________； 7. 设3275A，则行列式*2A A ________； 8.设15141312A，则其伴随矩阵*A __________； 9. 设2175A，则行列式3A A ________； 10.设5421A，则其伴随矩阵*A __________； 11.设0421A，则其伴随矩阵1A __________； 12. 1ABCD =_____________________；13. 11ABC D=_____________________； 14. 1T AB CD （）=_____________________；15. 若,ABC E 且15A ，3C ，则______B ；16. 若,E AB 且15A，则______B ；17. 若AB=E,且2A 则 B __________ ； 18. 若A 是2阶方阵且3A ，则2______A ； 19. 若M 是4阶方阵，且12 M ，则2______M ；20. 若A 是3阶方阵，且2A ，则15______A （）；21. 若A 是5阶方阵，且5A ，则 T5______A ；22. 设1231011,1,0011，则123,, 之间线性 ________（相关/无关）；23. 设1231011,1,0011，则123,, 之间线性 ____ ____（相关/无关）；24. 设1232111,2,1112，则123,, 之间线性 ____ ____（相关/无关）；25. 已知向量组1=a （3,1,),2(4,,0)a ，3(1,0,)a 则当a 时，123,, 线性相关；26. 已知(1,3,7,-2)T，(1,0,2,-3)T ，未知向量x 满足+3x ，则x ；27. 非齐次线性方程组 AX b 有解的充分必要条件是 ； 28. 非齐次线性方程组 AX b 无解的充分必要条件是 ；29.n 元齐次线性方程组0Ax 有非零解的充分必要条件是 ；30. 41101；31. 设矩阵A= 4321，P=1011，则AP T =____________ ； 32. 设1401A ，0316B，则22A B （）__________； 33. 设1421A，2316B，则AB BA __________； 34. 设100110101A ，100010002B，则2A B ；35. 设3457M，则1M ；36. 设2468M，则 15M ; 37. 111213212223313233=10a a a a a a a a a ，则11121113212221233132313322=2a a a a a a a a a a a a __________；38. 非齐次线性方程组12235x x 的通解 ；39.已知行列式0123111110,22331223 则01230123223311111223114411111223；40.计算行列式1110011001ab c d.二、选择题1. n 阶行列式D 中元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系是( )；A ．A (1)M j iij ijB ．A (1)M i jji ij C ．M A ij ij D ．M A ij ij2. 设111213212223313233222a a a A a a a a a a，111213313233212223222B 222222a a a a a a a a a，若A m ，则B ( )； A ．8m B ．2 m C ．4mD ．8m3. 设,A B 均为n 阶方阵,则有（ ）；A ． TT T A B A B B ．AB BAC ．A B B AD ．A B A B4. 设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB O ，则A 和B 的秩( )；A ．必有一个等于0B ．都小于nC ．一个小于n，另一个等于nD ．都等于n 5. 设方阵A 满足22A A E O ，则必有( ) ．A ．A EB ．12A E AC ．A ED ．12A A E6. 行列式D 的值为零的充分条件是( )；A ．D 的所有元素非零B ．D 的任意两行元素之间不成比例C ．D 的任意两行元素之间不相等 D ．D 的任意两行元素之间成比例 7. 已知A 和B 是n 阶可逆矩阵，且实数0k ，下列说法正确的是( )；A ． =kk k AB A B B ．=A A C ． 111=kA k A D ． 22=A B A B A B 8. 已知矩阵A 可逆，且=AX B 可逆，则=X ( )；A ．1AB B ．1BAC ．B AD ．1AB9. 已知1= (1, 1,－1)T ，2= (1, 1, 1)T ，则下列向量中能由1 和2 线性表示的是( )； A ．(1, 0, 0)T B ．(0, 1, 0)T C ．(1, 1, 0)T D ．(1, 0, 1)T 10. 当=t ( )时，向量组1= (－1, 2, 3)T ，2= (1, 0, 1)T ，3= (2, t , 0)T 的秩为2． A ．1 B ．－1 C ．2D ．－211．设矩阵 d b a 04=32c b a ，则（ ） (A) a=3,b=-1,c=1,d=3 (B) a=-1,b=3,c=1,d=3 (C) a=3,b=-1,c=0,d=3(D) a=-1,b=3,c=0,d=312．设A 为3阶矩阵，P =100210001,则用P 左乘A ，相当于将A ( )(A) 第1行的2倍加到第2行 (B) 第1列的2倍加到第2列(C) 第2行的2倍加到第1行 (D) 第2列的2倍加到第1列13. 矩阵A 的秩为r ，则（ ）成立;（A ）A 中所有子式都不为零 （B ）A 中存在不等于零的r 阶子式（C ）A 中所有的r 阶子式都不为零 （D ）A 中存在不等于零的r+1阶子式 14. 已知1(1,1,1)T ，2(1,1,1)T ，则下列向量中能由12, 线性表示的是（ ）（A ）(1,0,0)T ; (B) (1,1,0)T ; (C) (0,1,0)T ; (D) (0,1,0)T15. 当 t （ ）时，向量组1123，2101 ，320t 的秩为2(A) 1 ； (B) 1； (C) 2；(D) 216. 设,A B 均为n 阶方阵,则有（ ）；A ． AB BA O B ． 22A B A B A BC ．AB B AD ．0AB BA17. 设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB E ，则A 和B 的秩( )；A ．必有一个等于1B ．都小于nC ．一个小于n，另一个等于nD ．都等于n18. 12{,,} 线性相关，23{,,} 线性无关，则 ( ) ．A ． 可以由23{,,} 线性表示B ． 可以由12{,} 线性表示C ． 123{,,} 线性相关D ．123{,,} 线性无关19. 下列说法中正确的是：A ．若A 2=O,则A=O .B ．若AB=O,则A=O 或B=O .C ．若AB=BA,则(A+B)2=A 2+2AB+B 2. D.若AB=BA,AC=CA,则ABC=ACB.20. 若22,A A O 且20,A E 则AA ．0B ．2C ．不等于0 D.不能确定21. 若向量组123{,,} 线性无关，则下列向量组123{,,} 线性无关的是 ( )A.112223331,, B ．1123221333122,2,2C.112223331,,D ．112322133123,,322. 若向量组1234{,,,} 线性无关，则下列向量组1234{,,,} 线性无关的是 ( )A.112223334441,,, B ．1132243314422,2,2,2 C.112223334441,,,D ．11232234313441242,2,2,2三、计算题1. 计算行列式2111131111411115D 的值.2. 计算下列行列式的值.311113111131111311001210013100143 计算行列式2932548315070000534134430D 的值.4. 设211110101A ，110101011B ，求 22A B ，32A B ，22A B .5. 设103113A, 3213B , 求T A A B . 6. 解矩阵方程142031121101X。
线性代数复习题及答案
设 是 的一个基础解系， 不是 的解，即 ，
讨论：向量组 线性相关还是线性无关？.
七、（10分）设 ，问A能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵 ，使得 为对角阵.
八、（共14分）证明题：
1、（6分）若 为 阶幂等阵（ ），求证： ＝ .
2、（8分）设 是 实矩阵, 是 维实列向量，
证明：（1）秩 ； （2）非齐次线性方程组 有解.
七、解：由 ，
得全部特征值为： ，………………………………………4分
将 代入 得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程组
解之得基础解系 …………6分
同理将 代入 得方程组的基础解系 ………7分
由于 ，所以 线性无关，
令 ，则有： ………10分
八、(14分)
1、证明： ，
…………………………………………3分
又
故 …………………………………………6分
2、证明：（1）因为若 ，则 ；
而当 时，由
，得 。
因此齐次线性方程组 与 ，同解，
故秩 。…………………………………………4分
（2）因为秩
因此 ，故非齐次线性方程组 有解。
………………………………………8分
3、若非齐次线性方程组 中方程个数少于未知数个数，那么( ).
(A) 必有无穷多解；(B) 必有非零解；
(C) 仅有零解；(D) 一定无解.
4、设有向量组 ， ， ， 与 ，则向量组的极大线性无关组是（）
（A） ；(B) ；
(C) ；(D) .
5、设 、 为n阶实对称可逆矩阵，则下面命题错误的是（）
（A）有可逆矩阵 、 使得 （B）有可逆矩阵 使得
（C）有可逆矩阵 使得 （D）有正交矩阵 使得
线性代数题库(精心整理)
线性代数一、填空1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112,1101B A ，则=AB .2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6， 24，则D = _______.3. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 _____，设A *为A 的伴随矩阵，则1A -= ______.4. 若n 阶矩阵满足2240A A E --=,则1A -= __________.5. ()121,2,3,4_______,34⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()121,2,3,4_______34⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.6. 已知,A B 为n 阶矩阵, 2A =, 3B =-, 则1T A B -= .7. 设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 . 8.8. 设A 三阶矩阵，若A =3，则1A -= , A * = .9. n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,,,n ααα，则{}12,,,n r ααα= .10.行列式4100031000210001的值为 .11.设,a b 为实数，则当a = 且b = 时，10100--a b b a =0.12.10111111)(-=xx f 中，x 的一次项系数是 .13.已知向量组()T13,2,1=α,()()T3T 25,4,3,4,3,2==αα,则该向量组的秩()123,,r ααα= .14.A 为n 阶方阵，且d A =，则k A ⋅= .15.设A 是三阶可逆矩阵，且1121021003A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*__________A =.16.已知向量TT ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,31,31,0,21,21βα，则βα,的夹角是 .17. 已知()1,0,2,2Tα=，则α的模||||_______α=.18.行列式21064153247308021的值为 .19.已知3阶方阵A 的三个特征值为1,2-,3, 则=-1A .20.二次型222(,,)222f x y z x y z xy yz =+-+-对应的矩阵为________.21.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 .22.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= .23.向量(1,0,0,1)T α= (0,1,1,0)T β=-，则2αβ+= .24. 设n 阶方阵A 满足2290A A E +-=,则1__________A -=.25. 已知向量组()()TTa 6,6,3,2,,121-=-=αα线性相关，则a =__________26. 已知11250303121α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则向量α=__________.27.10111111)(-=xx f 中，x 的一次项系数是 .28. 已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= _____.29. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A ，则=-1A .30. 用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 .31. 设矩阵111121231A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ= .32. 向量组12,,,γααα⋅⋅⋅可由向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性表示且12,,,γααα⋅⋅⋅线性无关, 则r ____s .(填,,,≤≥<>)33. 如果线性方程组Ax b =有解则必有()r A _____(,)r A b .34. 已知A 是三阶方阵，2A =, 则()12_________A -=.35. 行列式1111141111311112的值为 .36. 二次型()2221231231223134444f x ,x ,x x x x x x x x x x =++---对应的矩阵为.37. 当a = 时, ()1,0,0,1T与(),1,5,3Ta 的内积为5.38. 若12,αα线性无关，而123,,ααα线性相关，则向量组123,2,3ααα的极大线性 无关组为 .39. 已知1121,0110A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则=AB .40. 设1111121113111031A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭,则=)(A r . 41. 若111111022,110110X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭则X = .42. 若3=λ是方阵A 的一个特征值，则3A 必有一个特征值为__________.43.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a A 111，则当a 满足条件 时，A 可逆；当a = 时，2)(=A r .44.在3ℜ中，向量()T4,3,2=α在基()T0,0,11=ε，()T0,1,02=ε，()T1,0,03=ε下的坐标为_____________.45.设4阶方阵A 的4个特征值为3，1，1，2，则=A .46.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+++003203243143214321x x x x x x x x x x x 的基础解系是 .47.已知向量T )4,2,3,1(=α与T k k )2,3,1,(--=β正交，则=k _.48. 11101-⎛⎫⎪⎝⎭= .49.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值 为 .50. 如果12,αα都是齐次线性方程组n n A x O ⨯=的解，且12αα≠，则=⨯n n A . 51. 向量组()()()1231,0,0,1,3,0,1,2,1TTTααα==-=-线性 （填相关或无关） 52. 设1λ和2λ是3阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值，()11,1,3Tη=和 ()24,5,Ta η=依次是A 的属于特征值1λ和2λ的特征向量，则实数a =_____.53. 如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a . 54.设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A .55.设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= . 56．已知3阶方阵A 的三个特征值为321,,λλλ，若,3,2,3621===λλA 则 ________3=λ.57.设线性方程组123110110110a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的基础解系含有2个解向量，则=a .58. 设A ，B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T . 59. 设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A .60. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 .61. 设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ . 62. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A .63. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a . 64. 非齐次线性方程组m n A xb ⨯=有唯一解的充要条件是_________.65. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组 的解空间维数为___________.66. 设A 为三阶可逆阵，1100210321A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A *= .67. 若A 为n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件 是 .68. 已知行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A . 69. 若()1,,1Tk α=与()1,2,1Tβ=-正交，则=k .70. 11135692536⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.71. 设111111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，123124B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭.则2A B += .72. 设向量()2,3,5-与向量()4,6,a -线性相关，则a = .73. 设A 是3×4矩阵，其秩为3，若12,ηη为非齐次线性方程组Ax b =的2个不同的解，则它的通解为 .74. 设A 是m n ⨯矩阵，A 的秩为()r n <，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解 系中含有解的个数为 .75. 设向量,αβ的模依次为2和3，则向量αβ+与αβ-的内积(),αβαβ+-= .76. 设3阶矩阵A 的行列式A =8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值 为 .77. 设矩阵010********A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，已知212α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .78. 若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = . 79.A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= .80.已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = .81.已知,,,312,321βααββαT T B A ==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=则=10A ，=10B .82.设三阶方阵A 的行列式*,2A A =为其伴随矩阵,则=*A ， =--*143A A .83.三阶方阵A 与对角阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ200090001相似, 则=A .84.设,A B 均为n 阶矩阵，且B 为可逆矩阵，若AB B =,则A = . 85.当k 时，向量组()()()k ,5,3,6,3,2,3,2,1321=--=-=ααα线性无关. 86.设,A B 均为n 阶矩阵,22()()A B A B A B -=+-成立的充分必要条件是 .87.已知33⨯A 的特征值为1，2，5，E A B 3-=，则B 的特征值是 ， B = .88.矩阵的不同特征值对应的特征向量必 .89.已知n 阶矩阵A 各行元素之和为0，则90.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400014015A ，则1-A ＝ .二、单项选择题1.设A 是n 阶方阵，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则A （ ）. A) 必为0 B) 必不为0 C) 必为1 D) 可取任何值2.已知矩阵满足23A A =，则A 的特征值是（ ）.A)λ=1 B)λ=0 C)λ=3或λ=0 D)λ=3和λ=0 3.假设C B A ,,都为n 阶方阵，下列等式不一定成立的是（ ）． A)A B B A +=+ B)BA AB = C ）()()BC A C AB = D)()()AB B A 22= 4.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组( ). A)有解 B)没解 C)只有零解 D)有非0解5.矩阵1010001000011000011001011⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩为( ).A)5 B)4 C)3 D)2 6.下列各式中( )的值为0.A)行列式D 中有两列对应元素之和为0 B)D 中对角线上元素全为0 C)D 中有两行含有相同的公因子D)D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 7. 矩阵A 可逆，且O AB =，则（ ）．A ）矩阵OB = B ）矩阵O B ≠C ）矩阵I B =D ）B 无法确定 8.向量组()11,1,1α=,()20,2,5α=, ()31,3,6α=是（ ）.A)线性相关 B)线性无关 C)0321=++ααα D)02321=++ααα 9.若A 为三阶方阵，且20,20,340A E A E A E +=+=-=，则A =（ ）. A)8 B)8-C)34D)34-10.设A 为n 阶矩阵, 如果()1-=n A r , 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系所 含向量的个数是( ).A ）0B ） 1C ） 2D ）n 11.设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ）.A)0=A 或0=B B)0=+B A C ）0=A 或0=B D)0=+B A 12.A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ）. A) A E = B)B E = C ）A B = D)AB BA = 13. 关于正交矩阵的性质，叙述错误的是（ ）. A ）若A 是正交矩阵，则1-A 也是正交矩阵 B ）若A 和B 都是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵 C ）若A 和B 都是正交矩阵，则B A +也是正交矩阵 D ）若A 是正交矩阵，则1=A 或1-14.设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）. A)A 的列向量线性无关 B)A 的列向量线性相关 C ）A 的行向量线性无关 D)A 的行向量线性相关 15.n 阶矩阵A 为可逆矩阵的充要条件是（ ）. A) A 的秩小于n B) 0A ≠C) A 的特征值都等于零 D) A 的特征值都不等于零 16.设行列式11122122a a m a a =，13112321a a n a a =，则行列式111213212223a a a a a a +=+（ ）.A ）m+nB ）-(m+n)C ） n -mD ）m -n17.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则1A -等于（ ）.A ）13120000001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B ）12131000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ）131********⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D ）12130000001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 18. 对于一个给定向量组的极大线性无关组的描述，错误的是（ ）． A ）极大线性无关组一定线性无关B ）一个向量组的极大线性无关组和这个向量组等价C ）极大线性无关组中所含向量个数就是向量组的秩D ）极大线性无关组一定是唯一的19.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A 的伴随矩阵A *中位于（1，2）的元素是（ ）. A ）–6 B ）6 C ）2 D ）–220.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB AC =，则必有（ ）.A) 0A =B) B C ≠时0A = C) 0A ≠时B C =D) 0A ≠时B C = 21.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（T A ）等于（ ）.A) 1 B) 2 C) 3D) 4 22.设两个向量组12,,,s ααα和12,,,s βββ均线性相关，则（ ）.A ）有不全为0的数12,,,s λλλ，使11220s s λαλαλα+++=和 11220s s λβλβλβ+++= B)有不全为0的数12,,,s λλλ，使111222()()()0s s s λαβλαβλαβ++++++= C)有不全为0的数12,,,s λλλ，使111222()()()0s s s λαβλαβλαβ-+-++-= D)有不全为0的数12,,,s λλλ和不全为0的数12,,,s μμμ，使 11220s s λαλαλα+++=和11220s s μβμβμβ+++= 23.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）.A)所有r -1阶子式都不为0B)所有r -1阶子式全为0 C)至少有一个r 阶子式不等于0D)所有r 阶子式都不为0 24.设A 是n 阶方阵，且AC AB =，则由（ ）可得出C B =．A ）O A ≠B ）O A ≠C ）()r A n <D ）A 为任意n 阶方阵.25.设Ax b =是非齐次线性方程组，12,ηη是其任意2个解，则下列结论错误的是 ( ）.A) 12ηη+是0Ax =的一个解B) 121122ηη+是Ax b =的一个解 C) 12ηη-是0Ax =的一个解 D) 122ηη-是Ax b =的一个解26.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）.A) ()r A n < B) ()1r A n =- C)0A = D)方程组0Ax =只有零解27.设A 是一个(3)n ≥阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）.A)如存在数λ和向量α使A αλα=，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B)如存在数λ和非零向量α，使()0E A λα-=,则λ是A 的特征值C)A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D)如123,,λλλ是A 的3个互不相同的特征值，123,,ααα依次是A 的属于123,,λλλ的特征向量，则123,,ααα有可能线性相关28.设A,B 为n 阶矩阵，且A,B 相似，则（ ）．A ）E A EB λλ-=- B ）A,B 有相同的特征值和特征向量C ）A 与B 都相似于一个对角矩阵D ）对任意常数t ，tE A -与tE B -相似29.设0λ是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ ）.A) 3k ≤ B) 3k < C) 3k = D) 3k >30.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）.A) 2A 必为1B) A 必为1 C) 1T A A -= D) A 的行（列）向量组是正交单位向量组31.要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ ）满足即可．A)A 中有r 阶子式不为0； B) A 中任何1+r 阶子式为0C)A 中不为0的子式的阶数小于等于rD) A 中不为0的子式的最高阶数等于r33.n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是（ ）.A)矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 B)矩阵A 有n 个特征值C)矩阵A 的行列式0A ≠ D)矩阵A 的特征方程没有重根34. 若21,ηη为非齐次线性方程组β=Ax 的解，则（ ）仍必为β=Ax 的解．A ）21ηη+B ）()121ηηη+-cC ）21ηη-D ）1ηc （c 为任意常数）35.向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（ ）.A)s r = B)s r ≤ C)r s ≤ D)r s <36.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则（ ）.A)()()r B r A ≤ B)()()r B r A < C)()()r B r A = D)()()r B r A ≥37.二次型212312(,,)()f x x x x x =+的矩阵为（ ）.A) 1201⎛⎫ ⎪⎝⎭ B) 120010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C) 100000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D)38.设阶矩阵A 的行列式等于D ，则()kA *等于（ ）.A)*kA B)*A k n C) *-A k n 1 D) *A39.设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是（ ）.A)AC AB = 则 C B = B) 0=AB ,则0=A 或0=BC) T T T B A AB =)( D) 22))((B A B A B A -=-+40.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A )1或2B )－1或－2C )1或－2D )－1或2.41.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ）.A )5B )-5C )-3D )342.设B A ,均为n 阶矩阵，下列运算规则正确的是（ ）.A) ()2222B AB A B A ++=+ B) ()T T TA B AB = C) BA AB = D) ()()22B A B A B A -=-+43.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） .A )0=+B AB )））B r A r ((=C )O A =或O B =D )0=A 或0=B44.设12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程 组解的是（ ）.A)21+ββ B) 121(32)5ββ+ C) 121(2)2ββ+ D) 12ββ- 45.下列矩阵为正交矩阵的是（ ）.A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110110001B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22121212231 C ）1221⎫⎪-⎭ D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011 46.A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B -=-+，则必有（ ）.A)A E = B)B E = C)A B = D)AB BA =47.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC ，则必有（ ）.A)A =0 B) B ≠C 时A=0 C) A ≠0时B=C D) |A|≠0时B=C48.对于齐次线性方程组O Ax =，若向量21,ηη都为方程组的解，则（ ）不是 方程组的解.A ）21ηη+B ）21ηη⋅TC ）21ηη-D ）1ηc （c 为任意常数）49.设A 是s n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条 件是( ) .A)A 的行向量组线性无关 B)A 的列向量组线性无关C)A 的行向量组线性相关 D)A 的列向量组线性相关50.设向量()()()T T T k ,2,1,5,1,2,2,0,321-=--=-=βαα，则k =（ ）时，β才 能由21,αα线性表示．A ）2-B ）4-C ）6-D ）8-51.对于一个向量组的极大线性无关组的描述，错误的是（ ）.A ）含非零向量的向量组一定存在极大线性无关组B ）一个向量组的极大线性无关组和这个向量组等价C ）若一个向量组线性无关，则其极大线性无关组就是向量组本身D ）极大线性无关组一定是唯一的52.若1x 是方程Ax b =的解，2x 是方程0Ax =的解，则（ ）是方程Ax b =的 解（c R ∈）A) 12x cx + B) 12cx cx + C) 12cx cx - D) 12cx x +53.n 维向量组m ,,,ααα 21线性无关的充分必要条件为（ ）.A) m ααα,,,21 均不为零向量 B)m ααα,,,21 中任意两个不成比例C) m ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-m 个向量线性表示；D) 以上均不对.54．设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）.A)所有r -1阶子式都不为0 B)所有r -1阶子式全为0C)至少有一个r 阶子式不等于0 D)所有r 阶子式都不为055.设n 阶方阵A 是奇异阵，则A 中( ).A ）必有一列元素为0B ）必有两列元素对应成比例C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合D ）任意一列向量是其余列向量的线性组合56.若n 阶矩阵A 的秩为3n -（4≥n ），则A 的伴随矩阵*A 的秩为( ).A ）n-2B ）0C ）1D ）不确定57.设0α是非齐次方程组Ax b =的一个解，r ααα,,,21 是 0Ax =的基础解 系，则( ) .A) 01,,,r ααα线性相关 B ）01,,,r ααα线性无关.C ）01,,,r ααα的线性组合是Ax b =的解 D ）01,,,r ααα的线性组合是0Ax =的解 58.n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是( ) .A)矩阵A 有n 个特征值 B ）矩阵A 的行列式0≠AC ）矩阵A 有n 个线性无关的特征向量D ）矩阵A 的秩为n59．12021k k -≠-的充要条件是（ ）. A) 1k ≠ B ） 3k ≠ C ） 1k ≠-,且3k ≠ D ）1k ≠-或3k ≠ 60. ,,A B C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）.A)AB BA = B ）0AB =,则0A =或0B =C ）22()()A B A B A B -+=-D ）AC BC =且C 可逆,则A B =61. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）. A) 0A ≠ B ）10A -≠ C ）()r A n = D ）A 的行向量组线性相关62. 向量组 12,,,s ααα的秩为r,则下述说法不正确的是（ ）. A) 12,,,s ααα中至少有一个r 个向量的部分组线性无关 B ）12,,,s ααα中任何r 个向量的线性无关部分组与12,,,s ααα可互相线性 表示C ）12,,,s ααα中r 个向量的部分组皆线性无关 D ）12,,,s ααα中任意r+1个向量的部分组皆线性相关63.向量组12,,,r ααα线性无关的充要条件是( ) . A)向量组中不含0向量 B)向量组的秩等于它所含向量的个数C)向量组中任意r-1个向量无关D)向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出64.向量组12,,,t βββ可由12,,,s ααα线性表出，且12,,,t βββ线性无关，则s 与t 的关系为( ) .A) s t = B) s t > C) s t < D) s t ≥65.若两个向量组等价，则这两个向量组具有性质（ ）.A ）秩相等B ）极大无关组中向量相同C ）向量都相同D ）向量个数相等66.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ( ) .A)有解 B)无解 C)只有零解 D)有非零解67.当k =( )时，()2,1,0,3与()1,1,1,k -的内积为2. A)-1 B)1 C)23 D)32 68.已知A 2=A ，则A 的特征值是( ) .A)0λ= B)1λ= C)0λ=或1λ= D)0λ=和1λ= 69.1111111111111111b aa +-+的值为( ) .A)1 B)0 C) a D) 2a b -70.设B A ,均为n 阶矩阵, 满足0=AB , 则（ ）.A) 0==B A B) 0=+B A C) 0=A 或0=B D) 0=+B A71.已知行列式052231521=-a，则=a （ ）.A)2 B)3 C)2- D)3-72.已知A 为n m ⨯矩阵，B 为p n ⨯矩阵，C 为m p ⨯矩阵，则下列运算不可行的 是（ ）.A)()C AB T + B)ABC C)()A BC T- D)T AC 73.已知A 为n 阶方阵，为k 常数，则=kA （ ）. A)A k B)A k C)nA k D)A k n74.若向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a 3α线性无关，则有（ ）.A)c b a == B)0==c b C)0=c D)0≠c75.若非齐次线性方程组b Ax =所对应的齐次线性方程组有无穷多解，则b Ax = 有（ ）.A)无穷多解 B)可能有唯一解 C)有可能无解 D)以上均不对76.设方阵A 与B 相似，则有（ ）.A)存在可逆阵P ，使得B AP P T = B)存在可逆阵P 、Q ，使得B PAQ =C)存在可逆阵P ，使得B AP P =-1 D)存在正交阵P ，使得B AP P T =77.设A 为4阶矩阵且2-=A ，则=A A （ ）.A)4 B)52 C)52- D)878.设,A B 为n 阶矩阵，O A ≠且0AB =AB=O ，则（ ）.A) 0B = B) 00==A B 或C) 0BA = D) ()222B A B A +=-79.下列矩阵中, （ ）是正交矩阵.A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1221 B)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21232321 C)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 D)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0211 80.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+004231x x x x 的基础解系含（ ）个线性无关的解向量.A) 1 B) 2 C) 3 D) 481.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1，2，3，则=x （ ）.A) 3 B) 4 C) 1- D) 582.下列矩阵为初等矩阵的是（ ）.A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002010100 B ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010100001 C ） ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000210001 D ） 100030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 83.设m n ⨯矩阵A 的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶可逆矩阵，则矩阵PAQ 的秩为（ ）.A) r B)1r + C ） m D ）n84.设A 与B 分别代表一非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若方程组无 解，则（ ）.A) ()()r A r B = B ）()2()r A r B +=C ）()()r A r B >D ）()1()r A r B +=85.向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩为（ ）.A) 1 B) 2 C) 3 D) 486.已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13210131131001X ，则X =（ ）. A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3921 B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2139 C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0956 D)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0699 87.设n 阶矩阵A 的秩为r ，则有（ ）成立. A)0≠A B)0=A C) r n > D) n r ≤88.向量组s ααα,,,21 线性无关的充要条件是（ ）.A) 0s > B)它有一个部分向量组线性无关C) 1s > D)它的所有部分向量组线性无关。
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试 卷 六一.单项选择题（每题3分，共18分）1．向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，向量组s βββ，，， 21能线性表示 向量组s ααα，，，21，则以下结论中不能成立的是 (A). 向量组s βββ，，，21线性无关； (B). 对任一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C). 存在一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D). 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价． 2．设B A ，为n 阶可逆矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00，则C 的伴随矩阵=*C (A)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A 00； (B)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*-*-B A A B 11||00||； (C)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A A B 00； (D)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A 00． 3．设向量组321,,ααα是三维线性空间V 的基，则 也是V 的基.(A). 32133122112,,αααβααβααβ++=+=+=； (B)．213212112,,ααβααβαβ-=+==；(C)．32133222113,,2αααβααβααβ++=+=+=； (D)．3213322211,,αααβααβααβ++=-=-=． 4．设A 为n m ⨯实矩阵，n A r =)(，则 ．(A)．A A T 必合同于n 阶单位矩阵； (B)．T AA 必等价于m 阶单位矩阵；(C)．A A T 必相似于n 阶单位矩阵； (D)．T AA 是m 阶单位矩阵． 5．设A 为n m ⨯矩阵，0)(≠=b m A r ，，则线性方程组b Ax = ．(A)．可能无解； (B)．一定无解； (C)．可能有解； (D)．一定有解．6．已知向量组s ααα，，，21可由向量组t βββ，，， 21 线性表示，则 ． (A)．当t s >时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (B)．当t s >时，向量组t βββ，，，21必线性相关； (C)．当t s <时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (D)．当t s <时，向量组t βββ，，，21必线性相关． 二.填空题（每题3分，共18分）1．设B A ，为三阶方阵，行列式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-==02012B A C B A 矩阵，，，则行列式=C ．2．已知B A ，为n 阶方阵，1±=λ不是B 的特征值，且E B A AB =--，则=-1A ．3．实二次型322123222132122),,(x x a x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则常数 a 的取值范围为 ．4．若三阶方阵A 有特征值 2,1,1，则行列式=+*-A A 21 ．5．设A 为三阶方阵，2)(=A r ，321ααα，，是线性方程组)0(,≠=b b Ax 的解， 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+13121αα，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0103α，则线性方程组b Ax =的通解为=α ．6．已知b 为一常数，设集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++==R b a a b a a a a V ，，，212121αα， 若V 是向量空间3R 的子空间，则=b ．1．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301220211A ，已知多项式12)(23--=x x x g ，求行列式)(A g . 2．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111， (1) 常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ (2) 当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111111111A ，(1) 若矩阵B 满足AB B A =+，试求矩阵B ； (2) 若列向量α满足T A αα=，试求ααT ． 4．求正交变换Qy x =,将二次型23212221321433),,(x x x x x x x x f +-+=化为标准形．5．设三维列向量 T），，121(=α，(1) 求三维列向量γβ，，使γβα，，为正交向量组；(2) 证明γβα，，是3R 的基，并求向量T），，111(=η在γβα，，下的坐标.6．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111101011321ααα，，； ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10010001321a βββ，，(1) 问：a 取何值时向量组321βββ，，是向量空间3R 的基，为什么？ (2) 求3R 中基321ααα，，到基321βββ，，的过渡矩阵．1. 设=f Ax x T 是n 元实二次型,存在n 维实列向量21x x ，,使11x A x T0>， 22x A x T0<, 证明: 存在n 维实列向量00≠x ,使00x A x T =0.2．设n 阶方阵A 即是正交矩阵又是正定矩阵，证明：A 为n 阶单位矩阵．试 卷 六------答案一．B C D A D A二．1．16- 2．1))((-+-E B E B 3．2<a 4．2125 5．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111010k 6．0三．1．A 的特征值为4,1,1 ………4分)(A g 的特征值为 31,2,2-- …7分124)(=A g …………8分2．（1）A E A B A B E A 1)(,)(--==- ……2分A B 21212121212121212121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----= …………4分（2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111111111αααTA ……6分3111)111(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴ααT…………8分或 A A T T T T T TT)()()(2αααααααααααααα==== …6分333333333332=∴=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ααT AA ………8分3．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→120001101011b a A ………………2分 1,2==b a 无穷多解； 2≠a 唯一解； 1,2≠=b a 无解 ……5分（2）R k k x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,111001321 ……………………8分4．特征值为5,1,1 ……………………2分对应的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,100,011 …………5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0100021212121Q ， 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=2332112123211211y x y y x y y x ……7分标准形为 2322215y y y f ++= ………………8分5．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++101,0120221321ξξx x x 正交化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521012γβ, 4分（2）说明γβα,,线性无关，是3R 的基 ………………5分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-15151321321321111501212121x x x x x x ,)(γβαη ……8分 注：答案不唯一6．（1）a 为任意值都使321,,βββ线性无关，所以是基 …………3分 （2）A )()(321321αααβββ= …………5分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+------==-a a a A 11111121)()(3211321βββααα……8分四．1．因为 00>>q p 且，，所以f 的规范形为22122221r p p y y y y y f ---+++=+ ………………4分取T y ），，，，，，，001001(0 =，则有000≠=Py x ，使0001001000=----+++== Ax x f Tx ……7分 ……8分2．A 为正交阵E A A T =∴ 又A 正定A E A A A T ⇒=∴=∴2的特征值为1± A 正定，A ∴的特征值只为1 ………………4分 因A 是实对称阵，∃∴可逆阵P ，有E PP A E AP P ==∴=--11……8分试 卷 七一、单项选择题（每题3分，共15分）1._____________2)(2101210211的值为则，的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 1或者1．-(D)1；-(C)1；-0或(B)0；(A)2._____________1||*=-=A A A 伴随矩阵则，，且为正交矩阵设 A．-(D)••••••••••••••A； (C)；A -(B)•••••••••••； A (A)T T3.设βα，是n 维列向量,0≠βαT ,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的n 个特征值中,必然______________(A) 有n 个特征值等于1； (B) 有1-n 个特征值等于1； (C) 有1个特征值等于1； (D) 没有1个特征值等于1．4.______________)()(，则阶方阵，且秩相等，既为，设B r A r n B A = ．r(B)r(A)B),r(A (D)；r(A)2B),r(A (C)；r(A)2B)r(A (B)；0r(A－B)(A)+≤==+=5．设n A 为阶矩阵，且0232=+-E A A ，则矩阵A E A E --与2(A) 同时为可逆矩阵； (B) 同时为不可逆矩阵； (C) 至少有一个为零矩阵； (D) 最多有一个为可逆矩阵．二、填空题（每题3分，共15分）1．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则 |2|*A =___________． 2. 行列式D 中第二行元素的代数余子式的和∑=412j j A =__________ ,其中1111111111111111---=D3. 已知实二次型32212322213212224)(x x x ax x x x x x x f ++++=，，为正定二次型，则实常数a 的取值范围为________________． 4. 2n 阶行列式 AB BA D =＝ ,其中n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000b b b B 。
线性代数习题库及答案
线性代数习题库一、选择题（每题约3分）1.的值为则的秩若矩阵a A r a a A ,2)(2101210211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=（ ）11-(D)1-(C)1-0(B)0(A)或者或2.=-=*,1||A A A 则，且为正交矩阵设（ ） A -(D)•••••••••••••A•••••••••(C)A -(B)••••••••••••••••••••A (A)T T3.设βα,是n 维列向量,0≠βαT,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的n 个特征值中,必然（ ）(A) 有n 个特征值等于1 (B) 有1-n 个特征值等于1 (C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于14.则阶方阵，且秩相等，既为设,)()(,B r A r n B A =（ ）B)(A)(B),r(A (D)r(A)2B),r(A (C)r(A)2B)(A (B)0B)r(A (A)r r r +≤==+=－ 5.b Ax n A r A n m ==⨯则非齐次线性方程组的秩设矩阵,)(（ ） )(A 一定无解 )(B 可能有解 )(C 一定有唯一解 )(D 一定有无穷多解6、设n 阶行列式D =n ija ，ji A 是D 中元素ji a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ ）(A)1=∑=ni ij ijA a；(B)1=∑=nj ij ijA a；(C)DA anj ij ij=∑=1；(D)DA ani i i =∑=1217． n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是（ ）(A) A 与B 都有n 个线性无关的特征向量； (B) )()(B r A r =；(C) A 和B 的主对角线上的元素的和相等；(D) A 与B 的n 个特征值都相等 8． 设1α,2α,3α,4α是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列向量组中不再是0=Ax 的基础解系的为（ ） (A) 1α,1α+2α,1α+2α+3α,1α+2α+3α+4α；(B) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α-1α； (C) 1α+2α,2α-3α,3α+4α,4α+1α； (D) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α+1α9. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++222513321321321x x x b x x x x x x 有无穷多组解，则必有（ ）(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 10. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则（ ）(A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等(C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 11.设矩阵ji j i j i j i b a b B a A 2)(,)(4444-===⨯⨯且，，则行列式=||B （ ）(A) ||24A -； (B) ||24A ； (C) ||24A --； (D)||24A - 12.设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b b b a b b b a A ，已知伴随矩阵*A 的秩为1，则必有（ ） (A) 02≠+≠b a b a 且； (B) 02=+≠b a b a 且； (C) 02≠+b a b a 或＝； (D) 02=+=b a b a 或13.设α是n 维非零实列向量,矩阵TE A αα+=,3≥n ，则（ ）(A) A 至少有n －1个特征值为1； (B) A 恰有1-n 个特征值为1； (C) A 只有1个特征值为1； (D) A 没有1个特征值为114.则，且，阶方阵为设)()(,B r A r n B A =（ ）(A) 0)(=-B A r ； (B) )(2)(A r B A r =+；(C) )(2)(A r B A r =，； (D) )()()(B r A r B A r +≤， 15.已知解向量组4321,,,αααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，以下解向量组中，也是0=Ax 的基础解系的是（ ）)(A 14433221αααααααα＋，＋，＋，+； )(B 14433221αααααααα－，－，－，－； )(C 14433221αααααααα－，＋，＋，+；)(D 14433221αααααααα－，－，＋，+16、向量组321,,ααα线性无关的充要条件为（ ） A 、321,,ααα均不是零向量B 、321,,ααα中任意两个向量的分量不成比例 C 、321,,ααα中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出D 、321,,ααα中一部分向量线性无关17、设A 为n 阶矩阵|A|=0，则（ ）A 、 A 中有两行（列）的元素对应成比例B 、 A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）的线性组合C 、 A 中至少有一行元素全为0D 、 A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）的线性组合 18、若321,,ααα21,ββ都为四维向量且四阶行列式m =1321,,,βααα，n =2321,,,βααα，则四阶行列式=+)(,,,21321ββααα( )A 、n m -B 、)(n m +-C 、n m +D 、m n - 19、设A 为n 阶方矩阵，且|A|=a ≠0，而A *为A 的伴随矩阵，则|A *|=( )A 、aB 、1-n aC 、a 1D 、na20、A 为m ×n 矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，r(A)=r,矩阵B=AC 的秩为r 1，则（ ） A 、1r r > B 、2r r < C 、r 与r 1关系依赖与矩阵C D 、1r r =21、已知3阶矩阵A 的特征值为1、-1、2，则矩阵3A 2+2I 的特征值为（ ） A 、1、-1、2 B 、5、1、14 C 、1、1、2 D 、1、1、12 22、设Q P ,均为n 阶初等阵，下列结论错误的是（ ）。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解D.2η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.Aの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。
线性代数考前必做50题
2 1 0 * * * 27、（公式考查）设矩阵 A 1 2 0 ，矩阵 B 满足 ABA 2 BA E ，其中 A 为 A 的伴随矩阵， E 是单位矩阵， 0 0 1
则B 28、 （概念考查）设 A, B 为满足 AB 0 的任意两个非零矩阵，则必有 ( )
线性代数考前必做 50 题
一、解答题部分：
1 2 3 1、设矩阵 A 1 4 3 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化. 1 a 5
2、已知二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) (1 a ) x1 (1 a ) x 2 2 x3 2(1 a ) x1 x 2 的秩为 2. (I) 求 a 的值； (II) 求正交变换 x Qy ，把 f ( x1 , x 2 , x3 ) 化成标准形； (III) 求方程 f ( x1 , x 2 , x3 ) =0 的解.
（A） A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线性相关.（B） A 的列向量组线性相关， B 的列向量组线性相关. （C） A 的行向量组线性相关， B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关， B 的列向量组线性相关. 29、（向量组与行列式考查） 设 1 , 2 , 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A ( 1 , 2 , 3 ) ， B ( 1 2 3 , 1 2 2 4 3 , 1 3 2 9 3 ) ， 如果 A 1 ，那么 B . )
20、设行列式|A|=
唯一解 、无
解 时时求其通解
2 2 1 1
2 2 3 1 3 4 1 5 M 31 M 32 M 33 M 34 2
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题 （1） 二阶行列式2a ab bb=___________。
（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。
【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。
A -3；B -2；C 2；D 3。
（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。
A -1， B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。
A -70；B -63；C 70；D 82。
（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。
（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。
A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-•。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。
线性代数考试和答案
线性代数考试和答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行向量的最大个数，那么对于矩阵A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，其秩为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)是否线性相关？A. 是B. 否答案：A3. 对于齐次线性方程组Ax=0，若A为3×3矩阵，且秩为2，则该方程组的解的个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D4. 矩阵A和矩阵B相乘，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则AB的维度为（）。
A. m×pB. m×nC. n×pD. p×m答案：A5. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，那么对于矩阵A=[1 2;3 4]，其转置矩阵为（）。
A. [1 3; 2 4]B. [1 2; 3 4]C. [2 4; 1 3]D. [4 3; 2 1]答案：A6. 矩阵的特征值是指满足|A-λI|=0的λ值，那么对于矩阵A=[1 0; 0 2]，其特征值为（）。
A. 1, 2B. 0, 2C. 1, 0D. 2, 1答案：A7. 向量组的秩是指向量组中线性无关向量的最大个数，那么对于向量组α1=(1,2,3)，α2=(2,4,6)，α3=(1,0,1)，其秩为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 对于非齐次线性方程组Ax=b，若A为3×3矩阵，且秩为2，则该方程组的解的个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 矩阵的行列式是指满足|A|≠0的矩阵，那么对于矩阵A=[1 2;3 4]，其行列式为（）。
A. 0B. -2C. 2D. 10答案：B10. 向量组的秩是指向量组中线性无关向量的最大个数，那么对于向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，其秩为（）。
线性代数(含全部课后题详细答案5-1.
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr n。
4 7
4 7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
x1
13 7
3 7
x3
13 7
x4
x2
4 7
2 7
x3
4 7
x4
25
13 7
令 x3 x4 0,
得
4 7
0
0
又原方程组对应的齐次方程组的通解是
x1 x3
2x2 3
10 x4
1 5
x4
令
x2 x4
1
0
得
1
1 0 0
1
5
令
x2
x4
0
1
得
2
0 3
10 1
2
举例说明消元法具体步骤：
例1：解线性方程组
2 4
x1 x1
2 x1
2 1 3
解：(
A,
b)
4 2
线性代数练习题及答案
线性代数练习题及答案线性代数是数学中的一个重要分支，它在工程、物理、计算机科学等多个领域都有广泛应用。
下面是一些线性代数的练习题及答案，供同学们学习和参考。
练习题1：向量空间的基与维数设向量空间V由以下向量构成：{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}。
请确定这个向量空间的基和维数。
答案1：这个向量空间的基就是给定的向量集合{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}。
因为这些向量线性无关，并且任何向量空间中的向量都可以表示为这些向量的线性组合。
所以，这个向量空间的维数是3。
练习题2：矩阵的行列式给定矩阵A如下：\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]计算矩阵A的行列式。
答案2：矩阵A的行列式可以通过公式\( \text{det}(A) = a_{11} \cdota_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \)来计算。
将矩阵A的元素代入公式，得到：\[ \text{det}(A) = (2)(3) - (1)(4) = 6 - 4 = 2 \]练习题3：线性方程组的解解线性方程组：\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]答案3：使用消元法，我们可以将第二个方程乘以2，然后从第一个方程中减去得到：\[ 3x = 9 \]解得 \( x = 3 \)。
将 \( x \) 的值代入第一个方程，得到 \( y = 2 \)。
所以，方程组的解为 \( (x, y) = (3, 2) \)。
练习题4：特征值与特征向量给定矩阵B：\[ B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵B的特征值和对应的特征向量。
答案4：设特征值为λ，特征向量为 \( \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} \)。
线性代数第四章线性方程组练题
线性代数第四章线性方程组训练题一、单项选择题1．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ）A ．α1+α2B ．α1–α2C ．β+α1+α2D ．β+212121α+α 2．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，–1，3）T ，且系数矩阵A的秩R(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ）A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,–1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,–1,3)TC ．(1,0,2)T +k (0,1,–1)TD ．(1,0,2)T +k (2,–1,5)T3．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax =0的一个基础解系，C 1，C 2为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ ）A ．)()(212121121αααββ++++C C B ．)()(212121121αααββ+++-C C C ．)()(212121121ββαββ-+++C C D ．)()(212121121ββαββ+++-C C 4.设3元线性方程组Ax=b,A 的秩为2，1η，2η，3η为方程组的解，1η+2η=（2，0，4）T ， 1η+3η=（1，–2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax=b 的通解为（ ）A ．(1,0,2)T +k(1,–2,1)TB ．(1,–2,1)T +k(2,0,4)TC ．(2,0,4)T +k(1,–2,1)TD ．(1,0,2)T +k(1,2,3)T 5.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解B. η+（1α–2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α–2α是Ax=b 的解 6．设A 为5阶方阵，若秩（A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 7．设m ×n 矩阵A 的秩为n –1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax =0的两个不同的解，则Ax =0的通解为（ ）A ．k ξ1，k ∈RB ．k ξ2，k ∈RC ．k ξ1+ξ2，k ∈RD ．k (ξ1–ξ2),k ∈R 8．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）= r ，则（ ）A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解D ．r <n 时，方程组Ax =b 有无穷多解 9..设A 是4×6矩阵，R （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=( )A.2B.3C.4D.5二、填空题11．设非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-642002*********M M M ，则该方程组的通解为_________.12．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.13.设A 为33⨯矩阵,且方程组A x =0的基础解系含有两个解向量,则秩R(A )= ___________.14.设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________. 15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解.则A （5α2–4α1）=_________.16.设A 是m ×n 实矩阵，若R （A T A ）=5，则R （A ）=_________.17.设线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.三、计算题18．设有非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+++=++12342243214321431x x x x a x x x x x x x问a 为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.19．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解. 20.求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37x x x x x 5432154325432154321的通解.四、证明题21．设α为Ax=0的非零解，β为Ax=b (b ≠0)的解，证明α与β线性无关.22．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr 是其导出组Ax =0的一个基础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.。
线性代数模拟试题(4套)
模拟试题一一、判断题:（正确：√,错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………（ ）2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆。
……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ）4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ,则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。
…………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分）1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 。
2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 。
3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 。
4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 。
7、()B A R + ()()B R A R +。
8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关。
10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为 . 三、计算:(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+。
2、设矩阵A 和B 满足B AE AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B 。
四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、（10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ, 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解。
常系数非齐次线性微分方程ppt课件
思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (ax b) cos 2x (cx d)sin 2x k e2 x
提示:
[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
21
2. 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
解 对应齐次方程特征方程 r2 1 0 特征根 r i
Q 2i 不是特征方程的根,
设 y* (ax b)cos 2x (cx d )sin 2x, 代入方程得
(3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x x cos 2x
3a 1
3b 4c 0
可设 Q( x) Qm ( x), y* Qm ( x)ex; (2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQm ( x), y* xQm ( x)ex; 3
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设
Q( x)
x
Q 2 m
3c 0
3d 4a 0
a 1 ，b 0, c 0, d 4
3
9
y* 1 x cos 2x 4 sin 2x.
3
9
13
例5 求方程 y 2 y 5 y ex sin 2x 的通解.
解 对应齐次方程通解 Y e xC1 cos 2x e xC2 sin 2x,
Q 1 2i 是单根,
3、 y 4 y 1 ( x cos 2x) , 2
y x0
0,
y
x
0
0.
24
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三 . ye3x4x3exx2e3x1.
四 . fx1x1ex1c2oxs
2
2
五 . 1t1l0n 5 (26);2t1l0n 1 9422
g
g3
习题四十
一.1 x e t,d d 2 2 y t 2 d d 5 y ty 0 :y 1 x ( C 1 c2 o lx n )s C 2 ( s2 iln x n )
2 x e t,d d 3 3 y 2 td d 2 2 y 3 td d 3 y t e 2 t:y C 1 C 2 x 3 C 3 x 1 1 2 x 2
3 z 2 x 1 e t,d d 2 2 y 2 t d d y y t0 :y C 1 2 x 1 C 2 2 x 1 l2 n x 1
2
10:yy1cox,si w i是单根
y 1 x (A cx o 2 B sx i)代 n y 入 1 1 4 x s得 x i(A n 0 ,B ： 1 4 )
2 0:y y 1 c3 o x ,x siw 3 i不,代 是入 A 根 1 ， 得 B 0
2
16
y2 通 A co y x 解 sc B 1 s ci3 x n o x, ： yc 2 2 s s1 1x ic 6 n o 1 4 3x x s sx i n 1 1c6 3 o xs
g 1
0c2et
g3 10
2
令 x8,解:出 t 10 gln1 93 422
习题四十
一 1.令 、 xet:d d22 yt2d d y t5y0
y1 x(c1co2lsn x ()c2si2 n ln (x))
2.令 xet:d d33 yt2d d22 yt3d d y t3e2t
yc1c2x3c3x11 2x2
习题三十九
一.1(A xB)e3x;2 x 2 (A 2 x B C x )ex ;
3 A c x o B sx s i C n 3 D x 2 E x F ; x
4 ( A B ) x cx o ( C s D ) x sx i .n x
二.(1) yC1exC2e2ex
2
y
二.
d2x dy d2x d2t2d t4x d2t4x0:
xC1e2tC2e2t
y12ddxtC1e2t C2e2t
三 . xcot s ysitn
习题三十九
一 1.y 、 (a0xa1)e3x2 .yx2(a 0x2 a 1 x a 2)ex
3 .y A cx o B s sx i C n 3 D x 2 E x F x
4 .y ( A B x ) cx o ( C s D ) x sx in
二 y (1 c )1e 2 、 .rx2 cr 2e 1 2 1 x, 特 0 r1 解 y 1 A ,r ： 2 x ,e 代 1 2 入 A1 得 x
通解 yc1e ： xc2e2ex (2 )y y 1 (c x o c3 o s x ) sr 2 1 0 ,r i
三 r2、 6 r 9(r 3 )20 ,r3 重根
齐次通 yc解 1e3x ： c2xe3x y6y9ye3x y1 x22e3x
y 6 y 9 y 9 y 2 1
非齐次 yc1e通 3xc2x 解 3x ex 2 ： 2e3x1
yx00c11 c11,yx 013 c1c2 c24 解 ye3x4x3exx2e3x1
xc1et
ce g 10
t 2
g
1 02,
x(0)x(0)0c1c2 1
x e t g 1 0e t g 1 02 ,又 x 8 解t 出 1g 0 ln 5 ： 2 (6 )
(2 )20 d d 22 xt(1 2 x)g(8x)gg
d2x 2d 02t2g x3g,
r1,2g10
解x出 c1et
3.z2x1:4z2d d22 yz4zd d y z4y0
zet :dd22yt 2ddyty0
y c 1 ( 2 x 1 ) c 2 ( 2 x 1 ) l2 n x 1 ) (
二 d d22 、 xt2d d y t4x,d d22 xt4x0
xc1e2t c2e2t
y1 2d dxtc1e2t c2e2t
2
四 f(0 、 )0 两端 xf(求 t)d te导 x(x 1 ) ： f(x) 0 f(0 ) 1 再求 f(x) 导 ex(x ： 2 )f(x)
y f( x ) :y y ( x 2 ) e x ,r 2 1 0 r i
齐次y通 c1c解 ox s： c2sixn
非齐次 y(A 特 x B )ex 解 代： 入 AB 得 1 ： 2
非 f(0)0 齐 ,f(0) y 次 1 c1c c 1 通 o x1 2 ,s c c2 2s 解 0 ix n 1 2( ： x 1 )ex
f(x)1(x1)ex1coxs
2
2
五(1、 )20dd22xt (12x)(8x)g
x(0)x(0)0 2d d 0 2 2 xt 2 g x 4 g ,2r2 0 2 g0 ,rg10 解 2 得 g A 4 g ： A 2
三、由方程组第二个式 代入第一个式子得：
子得：
dy dt
d 2x dt 2 ,
d 2x dt 2
x
0 , 从而：
x c1 sin t c 2 cos t
y dx dt
c1 cos
t c 2 sin
t
由初始条件： c1 0 , c 2 1
x y
cos sin
t t