线性代数—2.2 初等变换与初等矩阵

将矩阵 A 和单位阵 E 按列分块,
A (a1,L ,an ), E (e1,L ,en ) 经列变换 ct + kcs , 矩阵 A 和单位阵 E 分别变换为
和 于是
B (a1,L ,at + kas ,L , an )
E(s, t(k)) (e1,L ,et + kes ,L ,en )
也即由单位矩阵的第 j 列乘以数 k 加于第 i 列而得的方阵.
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵.
(1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种
的 m 阶初等方阵左乘 A.
(2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种
的 n 阶初等方阵右乘 A.
证明 以第三种初等列变换为例证之.
A1 的( C )为 B1 .
(A) 第二行乘以 4 ;
(B) 第二列乘以 4 ;
(C)
第二行乘以
1 ;
4
(D) 第二列乘以 1 . 4
1 0 0
1 0 0
解 B AP, P 0 4 0 , B1 P 1 A1, P1 0 1/ 4 0
0 0 1
0 0 1
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A. ❖ 定理3 n 阶方阵 A 为可逆阵的充要条件是: 方阵 A 可以 表成若干初等方阵的乘积.
AE(s, t(k)) A(e1,L ,et + kes ,L ,en ) (a1,L ,at + kas ,L ,an ) B Ae j a j ( j 1,L , n)
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A.
证明 若 A 可表成若干初等方阵的乘积, 则由初等方阵可逆, 即知 A 可逆.
若 A 可逆, 则 A 的行最简形为单位阵, 于是由定理2知, 存在初等方阵 P1, , Pk , 使得 Pk P1 A E, 因此
A P11L Pk1
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A. ❖ 定理3 n 阶方阵 A 为可逆阵的充要条件是: 方阵 A 可以 表成若干初等方阵的乘积.
等价标准形:
F
Er
O( m
r
)r
Or(nr )
O(
m
r
)(
nr
)
其中下方的零行, 右边的零列可能空缺.
• 可逆阵的等价标准形(行最简形)是一个单位阵.
提示:
• 行列式不为零的方阵, 其等价矩阵的行列式也不为零.
• 可逆阵的等价矩阵也为可逆阵.
• 可逆的标准形矩阵是一个单位阵.
二、初等矩阵
• 矩阵的(行, 列)等价具有以下性质: (1) 反身性 A～A; (2) 对称性 如果 A～B, 则 B～A; (3) 传递性 如果 A～B, B～C, 则 A～C.
对矩阵的行最简形再施行初等列变换, 可得到一种 结构最为简单的形式.
例如, 行最简形矩阵
1 0 2 0 3
0 1 4 0 5
0 0
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、逆矩阵的初等变换求法 四、矩阵方程的初等变换解法 五、矩阵的分块初等变换
一、矩阵的初等变换
❖ 矩阵的初等列变换 下列三种变换称为矩阵的初等列变换：
(1) 对换矩阵的第 i, j 列, 用 ci ↔ cj 记之; (2) 用非零数 k 乘矩阵的第 i 列, 用 kci 记之; (3) 把矩阵的第 i 列的 k 倍加到第 j 列, 用 cj + kci 记之. • 如果矩阵 A 经过有限次初等(行, 列)变换化为矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B (行, 列)等价, 记为 A～B.
0 0
0 0
1 0
6 0
再经初等列变换
c3 2c1, c5 3c1,c3 4c2 ,c5 5c2 , c5 + 6c4 ,c3 c4
化为
1 0 0 0 0
F
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
E3 O
O O
(标准形矩阵)
❖ 定理1 任一 mn 矩阵 A 经过有限次初等变换可化为如下的
例如:
A rj +kri B
B rБайду номын сангаас +(k)ri A
特别地, 令 A E, 则有
B E( j,i(k))A A E( j,i(k))B
E( j,i(k)) E( j,i(k)) E
• 初等矩阵可逆, 其逆阵也为初等矩阵. 具体如下:
[E(i, j)]1 E(i, j), [E(i(k))]1 E(i(k1))
❖ 定理4 设 A 为 mn 矩阵. (1) A 与 B 行等价的充要条件是: 存在 m 阶可逆方阵 P, 使 B PA. (2) A 与 B 列等价的充要条件是: 存在 n 阶可逆方阵 Q, 使 B AQ.
三、逆矩阵的初等变换求法
设 A 可逆, 则 A1( A, E) (E, A1)
由定理4 知, (A, E) 经若干次初等行变换可化为 (E, A1). ❖ 逆矩阵的初等变换求法
❖ 初等矩阵 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵. 相应于矩阵的三种初等变换, 初等矩阵有三种:
(1) E(i, j): 由单位矩阵交换第 i, j 行(列)而得的方阵;
(2) E(i(k)): 由单位矩阵的第 i 行(列)乘非零数 k 而得的方阵;
(3) E( j, i(k)): 由单位矩阵的第 i 行乘以数 k 加于第 j 行而得的方阵,
[E( j, i(k))]1 E( j, i(k))
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A.
例1 设 A 是 3 阶可逆矩阵, A 的第 2 列乘以 4 为矩阵 B, 则