线性代数—2.2 初等变换与初等矩阵
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矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
线性代数(第二版)第六节矩阵的初等变换
称为矩阵 A 的行(列)初等变换. 一般将矩阵的行、 列初等变换统称为矩阵的初等变换.
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 P( i(k) ),
1
1
P (i(k ))
k
i行
1
1
i列
பைடு நூலகம்
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的
(1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个m
阶的初等矩阵左乘 A ;
(2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个n
阶的初等矩阵右乘 A .
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明 .
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
的 第 j 行 的 k 倍 加 到 第 i 行 上 (不 妨 设 i < j )， 则 相 应
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
A1
1
A
A2
,
E
1 0 0
则
P (1, 3 ( 3 ) ) T
0
1
0 P (3, 1(3) )
0 0 1
3 0 1
(2) 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵. 其中
P(i, j)1P(i, j)
P(i(k))1 Pik1
P (i,j(k)) 1P (i,j( k))
验证
0 1 0
0
0
0 0 1
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 P( i(k) ),
1
1
P (i(k ))
k
i行
1
1
i列
பைடு நூலகம்
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的
(1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个m
阶的初等矩阵左乘 A ;
(2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个n
阶的初等矩阵右乘 A .
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明 .
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
的 第 j 行 的 k 倍 加 到 第 i 行 上 (不 妨 设 i < j )， 则 相 应
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
A1
1
A
A2
,
E
1 0 0
则
P (1, 3 ( 3 ) ) T
0
1
0 P (3, 1(3) )
0 0 1
3 0 1
(2) 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵. 其中
P(i, j)1P(i, j)
P(i(k))1 Pik1
P (i,j(k)) 1P (i,j( k))
验证
0 1 0
0
0
0 0 1
初等变换与初等矩阵
A A11
A12
A13
A14
A15 .
3
2.分块矩阵的运算规则 分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算， 第二，子块当矩阵看也可运算。如：
设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 A1r A , A A sr s1
其中 Aij与 B ij 为同型矩阵，那么
第六讲时间： 年 月 日； 星期
教学目的 掌握等价概念，理解阶梯形、最简形和标准 作业
形矩阵。理解初等矩阵与初等变换的关系定 理，理解相应推论，会用初等变换求逆矩阵 和解方程组。
重点
难点 讲授方法
初等变换的代数化定理
初等变换与初等矩阵的关系 按照章节顺序讲授
讲授内容主 初等变换初等阵，分清左乘左边乘；左乘可 线 逆行变换，求逆还能解方程。子式定义求变 换
a12 a1n a 22 a 2 n a m 2 a mn a1n b1 a 2 n b2 , a mn bm
按分块矩阵的记法 B A | b, 或 B A, b a1 , a 2 ,, a n , b, 利用矩阵乘法，此方程组可记作
a12 a 22 am 2
a11 a 21 a m1
x1 x2 x , x n
b1 b2 b , b m
a11 a B 21 a m1
A11 A21 A . A 31 A 41
a11 a12 a 21 a 22 a a 32 31 a 41 a41
线性代数 第三章
a13 a 23 a 33 a43
线性代数 第二章第三节
Er Ps , L , P2 , P1 AQ1 , Q2 , L , Qt = 0 Q P 0 0
18
推论2：对于任意的m× n 矩阵 A 存在m 阶可逆 ， Er 0 方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使得 PAQ = . 0 0 推论3：n 阶矩阵 A可逆的充要条件为A 等价 的
1
一、问题引出 引例 用消元法求解线性方程组
1 2 3
1↔ 2
−2 x1 + 3 x2 + x3 = −5 x1 − x2 − x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3
−2 3 1 −5 1 −1 −1 7 0 1 2 10 1 −1 −1 7 −2 3 1 −5 0 1 2 10
16
解： = E (1, 3) P
Q = E (2, 3)均为初等矩阵
P左乘 A相当于 A的第1，行交换， P 20 左乘 A相当于 3 把 A的第1，行交换 20次，其结果仍为 A； 3 Q右乘 A相当于 A的第 2， 3列交换， Q 21左乘 A相当于 把 A的第 2， 3列交换 21次，其结果为 A的2，3列交换位置。
1 0 0 E （2,3） 0 0 1 = 0 1 0
11
2)、初等倍乘矩阵E ( i ( k ) )
矩阵 E ( i ( k )). 1 E ( i ( k )) = 1 0 如： E3 = 0 1 0 0
13
2、初等矩阵的性质 、 1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵， 2）初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。 同类型的初等矩阵。
E (i , j ) = − 1
18
推论2：对于任意的m× n 矩阵 A 存在m 阶可逆 ， Er 0 方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使得 PAQ = . 0 0 推论3：n 阶矩阵 A可逆的充要条件为A 等价 的
1
一、问题引出 引例 用消元法求解线性方程组
1 2 3
1↔ 2
−2 x1 + 3 x2 + x3 = −5 x1 − x2 − x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3
−2 3 1 −5 1 −1 −1 7 0 1 2 10 1 −1 −1 7 −2 3 1 −5 0 1 2 10
16
解： = E (1, 3) P
Q = E (2, 3)均为初等矩阵
P左乘 A相当于 A的第1，行交换， P 20 左乘 A相当于 3 把 A的第1，行交换 20次，其结果仍为 A； 3 Q右乘 A相当于 A的第 2， 3列交换， Q 21左乘 A相当于 把 A的第 2， 3列交换 21次，其结果为 A的2，3列交换位置。
1 0 0 E （2,3） 0 0 1 = 0 1 0
11
2)、初等倍乘矩阵E ( i ( k ) )
矩阵 E ( i ( k )). 1 E ( i ( k )) = 1 0 如： E3 = 0 1 0 0
13
2、初等矩阵的性质 、 1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵， 2）初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。 同类型的初等矩阵。
E (i , j ) = − 1
【全版】线性代数初等变换与逆矩阵的初等变换求法副本推荐PPT
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
换法矩阵
1000
1000
E=
0100
r2r4
———
000
1 =E(2, 4)
0010
0010
0001
0100
1000
1000
E= 0
1
0
0
c2c4
———
0
0
0
1 =E(2, 4)
0010
0010
第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r3-3r1
———
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
《线性代数》
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k消法变换
0010
0040
0001
0001
1000
1000
E=
0100
4 c3
———
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
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6.2 初等矩阵
对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
换法矩阵
1000
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E=
0100
r2r4
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1 =E(2, 4)
0010
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E= 0
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0
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———
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1 =E(2, 4)
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第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r3-3r1
———
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k消法变换
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0 =E(3(4))
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0040
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6.2 初等矩阵
对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
初等变换与初等矩阵
上面的“和” 字换成分块线），左乘初等矩阵（即进行初等行变换），最后求
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
线性代数第三章矩阵的初等变换
备注
带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换 初等列变换
二、矩阵的初等变换
r
行等价，记作 A ~ B
有限次初等行变换
A
B
有限次初等列变换
c
列等价，记作 A ~ B
矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列）， 记作 Em( i, j )．
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
r3 r5
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
记作
E5(3,
5)
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
其逆变换是：
ri rj ri k ri krj
ri rj ; ri k; ri krj .
初等变换
初等行变换 初等列变换
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定 义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
增广矩 阵
结论： 对原线性方程组施行的变换可以 转化为对增广矩阵的变换.
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
c3 c5
0 0 0 1 0
线性代数：第二—三章 习题课
对A进行一次初等行变换, 相当于在A左边
乘 以 相 应 的m阶 初 等 方 阵 ；
对A进行一次初等列变换,相当于在A的 右边
乘 以 相 应 的n阶 初 等 方 阵 。
3/44
3)定理：任何可逆方阵都可以表示为有限个初等方阵的乘积. 推论：m n矩阵A ~ B的充要条件是：
存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆方阵Q， 使PAQ B. 注：m n矩阵A经初等行变换化为B的充要条件是： 存在可逆方阵P，使PA B。
a21 x1
am1 x1
a22 x2
am2 x2
a2n xn amn xn
b2 bm
— m n方程组
可写成矩阵形式 Ax b,
若b 0, 称Ax 0为齐次的；
若b 0, 称Ax b为非齐次的.
满足方程组Ax b的向量x, 称为它的解向量, 也 称 为 解.
8/44
5.解的结构：x k11 k2 2 knr nr
11/44
基础解系. 基础解系为解向量中一个最大无关组.
(1) 基础解系中的向量都是原方程组的解，
(2)基础解系中所含解向量的个数等于 n r( A)； (3) 方程组的每个解可以由基础解系的线性运算表示。
定理 如果 n 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则它
b k11 k2 2 kn n
成立，则称b是向量组
1
,
2
,,
的线性组合，
n
或称b 可由向量组1 , 2 ,, n线性表示，
其中k1, k2 ,, kn 称为表示系数.
注：线性方程组可表示成向量Fra bibliotek式x11 x2 2 xn n b
14/44
如果方程组有解，就等价于存在一组数k1, k2 ,, kn使
《线性代数》第2章⑶初等变换与初等矩阵
因为 | A | 0
所以
| A | k | I |
A
上三角阵
对角阵
单位阵
6/2
三．用初等变换法求逆矩阵
1.模型：
( A I ) I A ） （
一系列初等行变换
1
当 A I 则 I A 1 说明：在矩阵 A 的右边并上一个单位阵 I ，对
A
,
施加一种变换同时对 I 也施加同种变换，待
2 3 1 5 0 [3] 0 5
2 1 0 0 2
4 6 1 2
1 0 2 1 1 1 3 2
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 1
3 4 1 0 0 5 6 2 1 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 [1 / 3] 4 / 3 1 / 3 5 / 3 3 4 1 0 0 0 1 5 6 2 1 0 0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 0 0 1 4 1 5 3
1
A变为 I
原先所并的 I 随即变为 A 。相当于将 A I 时，反向
将 IA 。 2.步骤：自上而下、由左向右将
1
A
变为上三角阵,
再自下而上、由右向左将上三角阵化为单位阵。即
7/2
①首先将 a11 调整或化为1，继而将其下方元素化 为0；以次类推，分别依次将 a22 ,, ann 化为1，并 将其下方化为0。 ②反之，再依次将 ann , an1,n1 ,, a22 上方元素化 为0即可。 1 2 3 例1：设 A 4 5 6 问 A 1 是否存在？ 7 8 9 解：运用初等变换法，得
22 6 26 17 20 13 17 5 1 A 1 0 2 1 4 1 5 3
矩阵的初等变换与初等矩阵
定义3 ：如果行阶梯型矩阵满足下列两个 条件，则称其为行最简阶梯型矩阵
非零行的首非零元都是1 b 首非零元所在列的其余元素都 是零
a
例
1 0 0 r r 1 1 3 A 0 2 0 0 1 0 3 0
0 0 1 r2 1 0 0 2 2 0 0 1 0 1 3 r3 0 0 1 0 3
0 3 2 2 A与B之间用记号 或 0 0 0 0 连接。
2 3
定义2：满足下列条件的矩阵称为行阶梯型矩阵
a 矩阵的零行（元素全为零的行）在非 零行（元素不全为零的行）的下方 b 矩阵的每一个非零行的非零首元都出 现在上一行非零首元的右边 1 2 1 3 0 3 2 0 例 0 6 4 8
1 3 1 4 0 6 4 4 0 0 0 0
r( A) 2
1 1 2.B 3 1 1 1 ( )r 2 0 0 0
2
2 3 0 1 1 1 2 0 2 3 1 1 7 10 0 3
2 1 0 0 3 1 3 0
例:求矩阵的秩:
2 2 3 8 1. A 2 12 2 12 1 3 1 4
1 4 1 3 A 2 12 2 12 r1 r3 2 3 8 2
3 r2 r3 2
1 4 1 3 ( 2 ) r1 r2 0 6 4 4 ( 2 ) r1 r3 0 9 6 6
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初 等变换：
(i ) 对换矩阵中第 , j两行(列)的位置，记作 i rij (cij )或ri rj (ci c j )
线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换
例如
2. 重要结论 定理 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵. 这个定理我们不作证明,下面通过几个具体的
例子说明如何用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩 阵.
单击这里开始
五、行最简形矩阵和标准形矩阵
定义 一个行阶梯形矩阵若满足
(1) 每个非零行的第一个非零元素为 1 ; (2) 每个非零行的第一个非零元素所在列
定理 1 把矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算联 系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到 初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换 去研究矩阵的乘法.
由定理 1 可得如下推论.
推论 方阵 A 可逆的充要条件是 A ~r E .
七、求逆矩阵的初等变换法
表明，如果
A ~r ，
B
即 A 经一系列
九、矩阵的行阶梯形、行最简形和 标准形的比较
我们还是以引例中的矩阵 B 为例.
矩阵 B 的行阶梯形、行最简形和标准形分 别如下：
行阶梯形矩阵
特点：阶梯线以下的元 素全是０，台阶数即为非零 行数, 竖线后面的第一个元素 为非零元 .
行最简形矩阵
特点：非零行的第一个 非零元为１，且这些非零元 所在的列的其他元素都为０.
（i） A ~r B 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使 PA = B；
（ii）A ~c B 的充要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使 AQ = B；
（iii）A ~ B 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ = B .
为了证明定理 1，需引进初等矩阵的知识.
利用初等变换, 把一个矩阵化为行阶梯形矩 阵和行最简形矩阵, 是一种很重要的运算. 由引 例可知, 要解线性方程组只需把增广矩阵化为行 最简形矩阵.
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
记作ri krj）. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
矩阵的初等变换及初等矩阵
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 ： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci c j ).
例2
2 5 3 1 0 0 2 3 5 1 4 2 0 0 1 1 2 4 0 6 5 0 1 0 0 5 6
1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri
倍法变换（也称“倍行 变换”）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的
元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作ri kr j） .
消法变换（也称“倍加 变换”）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称 为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 ( ri rj ).
例1 1 0 0 2 5 3 2 5 3 0 0 1 1 4 2 0 6 5 0 1 0 0 6 5 1 4 2
第2行与第3行对调
《线性代数》同济六版
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换
---附(初等矩阵)
课件制作：黄 明
2018年9月
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
r j）； 换法变换（也称“调行 变换”） 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ; （第 i 行乘 k , 记作 ri k）
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
用 m 阶初等矩阵 Em ( i , j ) 左乘 A (aij )mn，得 a11 a12 a1n a 第i行 a a j2 jn j1 Em ( i , j ) A a 第 j行 a a i2 in i1 a a a m1 m2 mn 相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 ：
例2
2 5 3 1 0 0 2 3 5 1 4 2 0 0 1 1 2 4 0 6 5 0 1 0 0 5 6
1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri
倍法变换（也称“倍行 变换”）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的
元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作ri kr j） .
消法变换（也称“倍加 变换”）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称 为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 ( ri rj ).
例1 1 0 0 2 5 3 2 5 3 0 0 1 1 4 2 0 6 5 0 1 0 0 6 5 1 4 2
第2行与第3行对调
《线性代数》同济六版
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换
---附(初等矩阵)
课件制作：黄 明
2018年9月
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
r j）； 换法变换（也称“调行 变换”） 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ; （第 i 行乘 k , 记作 ri k）
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
用 m 阶初等矩阵 Em ( i , j ) 左乘 A (aij )mn，得 a11 a12 a1n a 第i行 a a j2 jn j1 Em ( i , j ) A a 第 j行 a a i2 in i1 a a a m1 m2 mn 相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 ：
线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
显然，三种初等变换都是可逆的， 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换r 换是同一类型的初等变换。变换 i↔rj的逆变换 就是本身； 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为 i− k rj。 的逆变换为r 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， ， 是等价的， 称矩阵 A与 B是等价的，记为 ↔ B 。 与 是等价的 记为A 矩阵的等价关系有如下性质： 矩阵的等价关系有如下性质： 反身性： 反身性： A ↔ A 对称性： 对称性： A ↔ B ，则B ↔ A 传递性： 传递性： A ↔ B， B ↔ C，则A ↔ C ， ，
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 (1) x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 (2) 4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4 (3)
2 −1 −1 1 方程组的增广矩阵B = 1 1 −2 1 4 −6 2 −2
2 4 4
一、矩阵的初等变换
1 3 0 2 0 (1) 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 −2 (2) 0 0 0 0 1 3 4 1 1 2 0 0 1 0 2 −1 (3) 0 1 4 1 0 0 0 0
√
×
√
二、阶梯形矩阵
1 1 1 1 4 ( A| b) = 2 3 1 1 9 −3 2 −8 −8 −4
→
r3 + 3× r1
r2 − r1
1 1 1 1 4 0 1 −1 −1 1 0 5 −5 −5 8
→
r3 − 5× r2
《线性代数》第五节初等变换初等矩阵
1
1
0
1
1
Rij
Cij
1
1
0
1
1
第i行 第j行
1
1
Ri ( ) Ci ( )
1
第i行
1
1
1
第i行
Rij
(k
)
C
ji
(k
)
k1
第j行
1
行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等[矩]阵
初等变换与初等矩阵有以下定理表出的一些性质
定理7 对 m n 矩阵 A , 做一次行 (列) 初等变换
3 y1
y3 10
解 注意到这两个方程组具有全同的
利用分块技巧，可将其看成单个矩阵方
乍看起来，对于 n×n 方程组 Ax = b ，先求出
解 A-1 b 与用行初等变换法直接算出解 A-1 b 除了增
证明 充分证性明 若充分A 性可表示若成A有可限表个示初成等有阵限的 定理 13乘积n（阶不矩妨阵乘均A积为看非（作退不为化妨行阵均初的看等充作阵分为）必行，则要初可条等将件阵A是）看，则作
可通过对是A对作单有位限阵次是I行对作(单有列位限)初阵次等行I变作初换有等后限变化次换成行的单初结位等果阵变，. 换因
例 18 证明方阵
1 3 7
A
2
4 3
3 7 2
是非退化阵，并算出其逆阵.
解
例 19 (一种密码法)密码法是信息编码与解码的
技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法。 先在 26 个英文字母与数字间建立起一一对应， 例如可以是
A B… Y Z
…
1 2 … 25 26 若要发出信息action，使用上述代码，则信息的编 码是：1，3，20，9，15，14 . 可写成两个向量 [1 3 20 ]T、 [9 15 14 ]T, 现任选一可逆阵，
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§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、逆矩阵的初等变换求法 四、矩阵方程的初等变换解法 五、矩阵的分块初等变换
一、矩阵的初等变换
❖ 矩阵的初等列变换 下列三种变换称为矩阵的初等列变换：
(1) 对换矩阵的第 i, j 列, 用 ci ↔ cj 记之; (2) 用非零数 k 乘矩阵的第 i 列, 用 kci 记之; (3) 把矩阵的第 i 列的 k 倍加到第 j 列, 用 cj + kci 记之. • 如果矩阵 A 经过有限次初等(行, 列)变换化为矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B (行, 列)等价, 记为 A～B.
❖ 定理4 设 A 为 mn 矩阵. (1) A 与 B 行等价的充要条件是: 存在 m 阶可逆方阵 P, 使 B PA. (2) A 与 B 列等价的充要条件是: 存在 n 阶可逆方阵 Q, 使 B AQ.
三、逆矩阵的初等变换求法
设 A 可逆, 则 A1( A, E) (E, A1)
由定理4 知, (A, E) 经若干次初等行变换可化为 (E, A1). ❖ 逆矩阵的初等变换求法
❖ 初等矩阵 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵. 相应于矩阵的三种初等变换, 初等矩阵有三种:
(1) E(i, j): 由单位矩阵交换第 i, j 行(列)而得的方阵;
(2) E(i(k)): 由单位矩阵的第 i 行(列)乘非零数 k 而得的方阵;
(3) E( j, i(k)): 由单位矩阵的第 i 行乘以数 k 加于第 j 行而得的方阵,
A1 的( C )为 B1 .
(A) 第二行乘以 4 ;
(B) 第二列乘以 4 ;
(C)
第二行乘以
1 ;
4
(D) 第二列乘以 1 . 4
1 0 0
1 0 0
解 B AP, P 0 4 0 , B1 P 1 A1, P1 0 1/ 4 0
0 0 1
0 0 1
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A. ❖ 定理3 n 阶方阵 A 为可逆阵的充要条件是: 方阵 A 可以 表成若干初等方阵的乘积.
[E( j, i(k))]1 E( j, i(k))
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A.
例1 设 A 是 3 阶可逆矩阵, A 的第 2 列乘以 4 为矩阵 B, 则
等价标准形:
)r
Or(nr )
O(
m
r
)(
nr
)
其中下方的零行, 右边的零列可能空缺.
• 可逆阵的等价标准形(行最简形)是一个单位阵.
提示:
• 行列式不为零的方阵, 其等价矩阵的行列式也不为零.
• 可逆阵的等价矩阵也为可逆阵.
• 可逆的标准形矩阵是一个单位阵.
二、初等矩阵
0 0
0 0
1 0
6 0
再经初等列变换
c3 2c1, c5 3c1,c3 4c2 ,c5 5c2 , c5 + 6c4 ,c3 c4
化为
1 0 0 0 0
F
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
E3 O
O O
(标准形矩阵)
❖ 定理1 任一 mn 矩阵 A 经过有限次初等变换可化为如下的
• 矩阵的(行, 列)等价具有以下性质: (1) 反身性 A～A; (2) 对称性 如果 A～B, 则 B～A; (3) 传递性 如果 A～B, B～C, 则 A～C.
对矩阵的行最简形再施行初等列变换, 可得到一种 结构最为简单的形式.
例如, 行最简形矩阵
1 0 2 0 3
0 1 4 0 5
0 0
也即由单位矩阵的第 j 列乘以数 k 加于第 i 列而得的方阵.
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵.
(1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种
的 m 阶初等方阵左乘 A.
(2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种
的 n 阶初等方阵右乘 A.
证明 以第三种初等列变换为例证之.
将矩阵 A 和单位阵 E 按列分块,
A (a1,L ,an ), E (e1,L ,en ) 经列变换 ct + kcs , 矩阵 A 和单位阵 E 分别变换为
和 于是
B (a1,L ,at + kas ,L , an )
E(s, t(k)) (e1,L ,et + kes ,L ,en )
AE(s, t(k)) A(e1,L ,et + kes ,L ,en ) (a1,L ,at + kas ,L ,an ) B Ae j a j ( j 1,L , n)
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A.
例如:
A rj +kri B
B rj +(k)ri A
特别地, 令 A E, 则有
B E( j,i(k))A A E( j,i(k))B
E( j,i(k)) E( j,i(k)) E
• 初等矩阵可逆, 其逆阵也为初等矩阵. 具体如下:
[E(i, j)]1 E(i, j), [E(i(k))]1 E(i(k1))
证明 若 A 可表成若干初等方阵的乘积, 则由初等方阵可逆, 即知 A 可逆.
若 A 可逆, 则 A 的行最简形为单位阵, 于是由定理2知, 存在初等方阵 P1, , Pk , 使得 Pk P1 A E, 因此
A P11L Pk1
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A. ❖ 定理3 n 阶方阵 A 为可逆阵的充要条件是: 方阵 A 可以 表成若干初等方阵的乘积.
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、逆矩阵的初等变换求法 四、矩阵方程的初等变换解法 五、矩阵的分块初等变换
一、矩阵的初等变换
❖ 矩阵的初等列变换 下列三种变换称为矩阵的初等列变换：
(1) 对换矩阵的第 i, j 列, 用 ci ↔ cj 记之; (2) 用非零数 k 乘矩阵的第 i 列, 用 kci 记之; (3) 把矩阵的第 i 列的 k 倍加到第 j 列, 用 cj + kci 记之. • 如果矩阵 A 经过有限次初等(行, 列)变换化为矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B (行, 列)等价, 记为 A～B.
❖ 定理4 设 A 为 mn 矩阵. (1) A 与 B 行等价的充要条件是: 存在 m 阶可逆方阵 P, 使 B PA. (2) A 与 B 列等价的充要条件是: 存在 n 阶可逆方阵 Q, 使 B AQ.
三、逆矩阵的初等变换求法
设 A 可逆, 则 A1( A, E) (E, A1)
由定理4 知, (A, E) 经若干次初等行变换可化为 (E, A1). ❖ 逆矩阵的初等变换求法
❖ 初等矩阵 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵. 相应于矩阵的三种初等变换, 初等矩阵有三种:
(1) E(i, j): 由单位矩阵交换第 i, j 行(列)而得的方阵;
(2) E(i(k)): 由单位矩阵的第 i 行(列)乘非零数 k 而得的方阵;
(3) E( j, i(k)): 由单位矩阵的第 i 行乘以数 k 加于第 j 行而得的方阵,
A1 的( C )为 B1 .
(A) 第二行乘以 4 ;
(B) 第二列乘以 4 ;
(C)
第二行乘以
1 ;
4
(D) 第二列乘以 1 . 4
1 0 0
1 0 0
解 B AP, P 0 4 0 , B1 P 1 A1, P1 0 1/ 4 0
0 0 1
0 0 1
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A. ❖ 定理3 n 阶方阵 A 为可逆阵的充要条件是: 方阵 A 可以 表成若干初等方阵的乘积.
[E( j, i(k))]1 E( j, i(k))
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A.
例1 设 A 是 3 阶可逆矩阵, A 的第 2 列乘以 4 为矩阵 B, 则
等价标准形:
)r
Or(nr )
O(
m
r
)(
nr
)
其中下方的零行, 右边的零列可能空缺.
• 可逆阵的等价标准形(行最简形)是一个单位阵.
提示:
• 行列式不为零的方阵, 其等价矩阵的行列式也不为零.
• 可逆阵的等价矩阵也为可逆阵.
• 可逆的标准形矩阵是一个单位阵.
二、初等矩阵
0 0
0 0
1 0
6 0
再经初等列变换
c3 2c1, c5 3c1,c3 4c2 ,c5 5c2 , c5 + 6c4 ,c3 c4
化为
1 0 0 0 0
F
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
E3 O
O O
(标准形矩阵)
❖ 定理1 任一 mn 矩阵 A 经过有限次初等变换可化为如下的
• 矩阵的(行, 列)等价具有以下性质: (1) 反身性 A～A; (2) 对称性 如果 A～B, 则 B～A; (3) 传递性 如果 A～B, B～C, 则 A～C.
对矩阵的行最简形再施行初等列变换, 可得到一种 结构最为简单的形式.
例如, 行最简形矩阵
1 0 2 0 3
0 1 4 0 5
0 0
也即由单位矩阵的第 j 列乘以数 k 加于第 i 列而得的方阵.
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵.
(1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种
的 m 阶初等方阵左乘 A.
(2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种
的 n 阶初等方阵右乘 A.
证明 以第三种初等列变换为例证之.
将矩阵 A 和单位阵 E 按列分块,
A (a1,L ,an ), E (e1,L ,en ) 经列变换 ct + kcs , 矩阵 A 和单位阵 E 分别变换为
和 于是
B (a1,L ,at + kas ,L , an )
E(s, t(k)) (e1,L ,et + kes ,L ,en )
AE(s, t(k)) A(e1,L ,et + kes ,L ,en ) (a1,L ,at + kas ,L ,an ) B Ae j a j ( j 1,L , n)
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A.
例如:
A rj +kri B
B rj +(k)ri A
特别地, 令 A E, 则有
B E( j,i(k))A A E( j,i(k))B
E( j,i(k)) E( j,i(k)) E
• 初等矩阵可逆, 其逆阵也为初等矩阵. 具体如下:
[E(i, j)]1 E(i, j), [E(i(k))]1 E(i(k1))
证明 若 A 可表成若干初等方阵的乘积, 则由初等方阵可逆, 即知 A 可逆.
若 A 可逆, 则 A 的行最简形为单位阵, 于是由定理2知, 存在初等方阵 P1, , Pk , 使得 Pk P1 A E, 因此
A P11L Pk1
❖ 定理2 设 A 为 mn 矩阵. (1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种 的 m 阶初等方阵左乘 A. (2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种 的 n 阶初等方阵右乘 A. ❖ 定理3 n 阶方阵 A 为可逆阵的充要条件是: 方阵 A 可以 表成若干初等方阵的乘积.