解三角形题型总结(原创)

解三角形题型总结（原创）

解三角形题型总结

ABC 中的常见结论和定理：

一、内角和定理及诱导公式: 1 .因为A B C » 所

以 sin(A B) =sin C,

(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是 B=60°;

⑶△ ABC 是正三角形的充要条件是 A 、B 、C

成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.

二、正弦定理：

cos(A B) = _cosC,

tan (A B) = _ ta nC

；

sin( A C)

二 sin B, sin( B C)二 sin A, 因为ABC

二

cos(A C)二-cosB, cos(B C)二-cos 代 tan (A C)二- ta n

B ； tan(B C)二-2 2 所以

sin =cos C ， 2 •大边对大角

A B . C cos sin ， 2 ?

3.在△ ABC

记并会证

tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC;

公式变形：① a=2Rsin A b=2Rsin B c = 2RsinC （边转化成 角）

边）

a:b: c =sin A: sinB: sinC

文字：在- ABC 中，任意一边的平方，等于另外两

边的平方和，减去这两边与它们夹角的余 弦值的乘积的两倍。 符号 : a 2

二 b 2

e 2

—2bccos A

2 2 2

c a b - 2ab cosC

a sin A =— 2R b

sin B =—

2R c

sin C =—

2R （角转化成

④ __ a

be

sin A +sinB +sin

a _

b _ e

sin A sinB sinC

=2R

余弦定理:

2 2 2

b a

c - 2ac cos B

cosC 二

.2 2 2

cosA = b +c t

2bc

a 2

b 2

-c

2ab

cosB 二

c 2

「b 2ac

四、面积公式：

（1 ）^2ah a（2）^-2 r（a b c）（其中r为三

角形内切圆半径）

(3)

S = [absin C =1 bcsin A =1 acsin B

2 2 2

五、常见三角形的基本类型及解法：

（1）已知两角和一边（如已知代B,边c）解法：根据内角和求出角C「—（A B）；

根据正弦定理旦=丄=亠“R求出其余两

sin A sin B sinC

边a,b

（2）已知两边和夹角（如已知a,b,C）解法：根据余弦定理c2 a2 b2—2abcosC求出边c；

2 2 2

根据余弦定理的变形cos^b 2b~a求A ；2bc 1

根据内角和定理求角B「—（AC）.

（3）已知三边（如:a,b,c）

2 2 2

解法：根据余弦定理的变形cosA二匕严求A ；

2bc 1

2 2 2 根据余弦定

理的变形cosB二一一—求角B ；

2 ac

根据内角和定理求角C八- （A B）

（4）已知两边和其中一边对角（如 : a,b, A ）（注意讨论

解的情况’

解法1 :若只求第三边，用余弦定理：

2 2 2

c = a b -2abcosC

；

两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角C —（A B ）；.

先看一道例题：

例：在-ABC 中，已知b

「6，c

a3，B

=3O 0

，求角C 。（答 案：C

=45°

或 1350

）

六、 在ABC 中，已知a,b,A ，则ABC 解的情况为： 法一：几何法（不建议使用

（注：表中，A 为锐角时，若a ：bsinA ，无解；A 为 钝角或直角时，若a 兰b ，无解.

解法 2 :若不是只求第三边，先用正弦定理

a b sin A sin B c

sin

=2R 求 B （可能出现一解，

法二：代数法（建议使用）

A为锐角A为钝角或

直角

图

形1/ 11.、一

一”

4

关系

式

a =

b si nA b sin A < a cb a Mb a > b

解的

个数

一解两解一解一解

通过例子说明步骤：大角对大边结合正弦定理一起使用（见题型一）

题型总结：

题型一、利用正弦定理解决两边一对角”的类型模型：在ABC中，已知边a,b和角A，若不是求第三边C，用正弦定理。

例1：在ABC 中，已知"2，C「2A=450，求/ C。（答案：C

=30。）

例2：在ABC 中，已知b-6,c = 2.3,B=3O0,求/ C。（答

案：C =45° 或1350）

例3：在ABC中，已知a=2，b拧,B=30。，求/人。（答案：无解）

例4：（3）在ABC中，已知a二2,b =1,B = 30°，求/ A。

（答案：一解）