2013-2017高考数学全国卷--立体几何汇编
2013年全国各地高考数学试题分类汇编(文科)：立体几何
2013年全国各地高考数学试题分类汇编（文科）：立体几何各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢2013年全国各地高考数学试题分类汇编（文科）：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】A3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（）A．B．C．D．【答案】A4 ．（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱锥的正弦值等于（）A．B．C．D．【答案】A5 ．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】D6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3【答案】B7 ．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体中, 为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B8 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【答案】B9 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1 C．D．【答案】D10．（2013年高考浙江卷（文））设是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （）A．若m‖α,n‖α,则m‖n B．若m‖α,m‖β,则α‖βC．若m‖n,m⊥α,则n⊥α D．若m‖α,α⊥β,则m⊥β【答案】C11．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若, , ,则球的半径为（）A．B．C．D．【答案】C12．（2013年高考广东卷（文））设为直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若, ,则B．若, ,则C．若, ,则D．若, ,则【答案】B13．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．B．C．D．8,8【答案】B14．（2013年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（）A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π【答案】A二、填空题15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.【答案】16．（2013年高考湖北卷（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)【答案】317．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知是球的直径上一点, , 平面, 为垂足, 截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.【答案】;18．（2013年高考北京卷（文））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.【答案】319．（2013年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.【答案】20．（2013年高考大纲卷（文））已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径, 则球的表面积等于______.【答案】21．（2013年上海高考数学试题（文科））已知圆柱的母线长为,底面半径为, 是上地面圆心, 、是下底面圆周上两个不同的点, 是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则________.【答案】22．（2013年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为______.【答案】23．（2013年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】24．（2013年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.【答案】425．（2013年高考安徽（文））如图,正方体的棱长为1, 为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).①当时, 为四边形;②当时, 为等腰梯形;③当时, 与的交点满足;④当时, 为六边形;⑤当时, 的面积为.【答案】①②③⑤三、解答题26．（2013年高考辽宁卷（文））如图,(I)求证:(II)设【答案】27．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC 所成的角的正切值;(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求PGGC 的值.【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,且,所以;、,又因为;(Ⅱ)设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知: ,,所以与面所成的角的正切值是;(Ⅲ)由已知得到: ,因为,在中, ,设28．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,.(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【答案】解: (Ⅰ) 设...(证毕)(Ⅱ).在正方形AB CD中,AO = 1 ..所以, .29．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥中, ,, ,, , , .(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若为的中点,求证: ;(3)求三棱锥的体积.【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形中,过点作,垂足为, 由已知得,四边形为矩形,,在中,由, ,依勾股定理得:,从而,又由平面得,从而在中,由, ,得正视图如右图所示:(Ⅱ)取中点,连结,,在中, 是中点,∴, ,又,∴,, ∴四边形为平行四边形,∴又平面, 平面, ∴平面(Ⅲ) ,又, ,所以解法二:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)取的中点,连结,在梯形中, ,且,∴四边形为平行四边形∴,又平面, 平面∴平面,又在中,平面, 平面∴平面.又,∴平面平面,又平面∴平面(Ⅲ)同解法一30．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形中, 分别是边上的点, , 是的中点, 与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1) 证明: //平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积.【答案】(1)在等边三角形中,,在折叠后的三棱锥中也成立,, 平面,平面, 平面;(2)在等边三角形中, 是的中点,所以①,.在三棱锥中, , ②;(3)由(1)可知,结合(2)可得.31．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC= ,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.(I) 证明:AD⊥C1E;(II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.【答案】解: (Ⅰ)..(证毕)(Ⅱ) ..32．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥中, , , ,平面底面, , 和分别是和的中点,求证:(1) 底面;(2) 平面;(3)平面平面【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD 所以PA垂直底面ABCD.(II)因为AB‖CD,CD=2AB,E为CD的中点所以AB‖DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形,所以BE‖AD,又因为BE 平面PAD,AD 平面PAD所以BE‖平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA ⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD 和PC的中点所以PD‖EF,所以CD⊥EF,所以CD ⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱中, ,, .(Ⅰ)证明: ;(Ⅱ)若, ,求三棱柱的体积.【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接、、,因为CA=CB,所以,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故为等边三角形,所以OA ⊥AB.因为OC⨅OA =O,所以AB 平面OA C.又A CC平面OA C,故AB AC.(II)由题设知34．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥中, ,,分别为的中点(Ⅰ)求证: ;(Ⅱ)求证:【答案】35．（2013年高考四川卷（文））如图,在三棱柱中,侧棱底面, , ,分别是线段的中点, 是线段上异于端点的点.(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,求三棱锥的体积.(锥体体积公式: ,其中为底面面积, 为高)【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点作直线,因为在平面外,BC在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, 平面.由已知, , 是BC中点,所以BC⊥AD,则直线,又因为底面,所以,又因为AD, 在平面内,且AD与相交,所以直线平面(Ⅱ)过D作于E,因为平面,所以,又因为AC, 在平面内,且AC与相交,所以平面,由,∠BAC ,有,∠DAC ,所以在△ACD中, ,又,所以因此三棱锥的体积为36．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为, ,且. 过, 的中点, 且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.(Ⅰ)证明:中截面是梯形;(Ⅱ)在△ABC中,记,BC边上的高为,面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算. 已知,试判断与V的大小关系,并加以证明.【答案】(Ⅰ)依题意平面, 平面, 平面,所以A1A2‖B1B2‖C1C2. 又, , ,且.因此四边形、均是梯形.由‖平面, 平面,且平面平面,可得AA2‖ME,即A1A2‖DE. 同理可证A1A2‖FG,所以DE‖FG.又、分别为、的中点,则、、、分别为、、、的中点,即、分别为梯形、的中位线.因此, ,而,故,所以中截面是梯形.(Ⅱ) . 证明如下:由平面, 平面,可得.而EM‖A1A2,所以,同理可得.由是△的中位线,可得即为梯形的高,因此,即.又,所以.于是.由,得, ,故.37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E 分别是AB,BB1的中点.(1) 证明: BC1//平面A1CD;(2) 设AA1= AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥C一A1DE的体积.【答案】38．（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=900，BC=2AD，△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形.(I)证明:PB⊥CD；(II)求点A到平面PCD的距离.【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由和都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故,从而.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE//CD.因此, .(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB.由(Ⅰ)知, ,故.又, ,故为等腰三角形,因此, .又,所以平面PCD.因为AE//CD, 平面PCD, 平面PCD,所以AE//平面PCD.因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而,所以A至平面PCD的距离为1.39．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形, .已知.(Ⅰ)证明:(Ⅱ)若为的中点,求三菱锥的体积.【答案】解:(1)证明:连接交于点又是菱形而⊥面⊥(2)由(1) ⊥面=40．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥底面边长为,高为,求该三棱锥的体积及表面积.【答案】41．（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【答案】42．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12 分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)如题(19)图,四棱锥中, ⊥底面, , ,(Ⅰ)求证: ⊥平面;(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.【答案】43．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD –A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3(1) 证明:BE⊥平面BB1C1C;(2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则在在,故由(2),同理,因此.设点B1到平面的距离为d,则,从而各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
历届立体几何真题
2013-2017文科数学立体几何集锦2013年全国一卷：1、(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．2、(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．2013年全国二卷：1、（2013课标全国2，文9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A)(B)(C)(D)2、（2013课标全国2，文18）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，。
（Ⅰ）证明：1//BC 平面11A CD ；（Ⅱ）设12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积。
2014年全国一卷：1、(2014课标全国1，文19)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（I ）证明：;1AB C B ⊥（II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.2014全国二卷：1、（2014课标全国2，文6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）（A ）1727（B ）59（C ）1027(D)132、（2014课标全国2，文18）如图，四凌锥p—ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 上面ABCD ，E 为PD 的点。
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【最新整理，下载后即可编辑】2013-2017高考数学全国卷理科--立体几何汇编学校：姓名：班级：考号：评卷得分一、选择题I(理)]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A. 10B. 12C. 14D. 162. [2017·全国新课标卷II(理)]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】 3. [2017·全国新课标卷II(理)]已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ( )A. √32B. √155C. √105D. √33 4. [2017·全国新课标卷III(理)]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A. πB. 3π4C. π2D. .π4 5. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,6]如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是 ( )A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π6. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,11]平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为 ( )A. √32B. √22C. √33D. 13【最新整理，下载后即可编辑】7. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,6]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π8. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,9]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A. 18+36√5B. 54+18√5C. 90D. 819. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,10]在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是 ( )A. 4πB. 9π2C. 6πD. 32π310. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,6]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米【最新整理，下载后即可编辑】 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛11. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,11]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )正视图 俯视图A. 1B. 2C. 4D. 812. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,6]一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. 18B. 17C. 16D. 15【最新整理，下载后即可编辑】 13. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,9]已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π14. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ，12]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A. 6√2B. 6C. 4√2D. 4 15. [2014·全国新课标卷Ⅱ,6]如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13【最新整理，下载后即可编辑】 16. [2014·全国新课标卷Ⅱ,11]直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,∠BCA ＝90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC ＝CA ＝CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A. 110 B. 25 C. √3010 D. √22 17. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，6]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. 500π3 cm 3B. 866π3 cm 3C. 1372π3 cm 3D.2048π3 cm 318. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，8]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 16＋8πB. 8＋8πC. 16＋16π D. 8＋16π19. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，4]已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A. α∥β且l ∥αB. α⊥β且l ⊥βC. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行l20. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，7]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )A. B. C. D.评卷得分二、填空题I(理)]如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.22. [2017·全国新课标卷III(理)]a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】 ②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角;③直线AB 与a 所成角的最小值为45°;④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号)23. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,14]α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题:①如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β.②如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n .③如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β.④如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)三、解答题 I(理)] (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD ,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD ; (2)若PA=PD=AB=DC ,∠APD=90°,求二面角A-PB-C 的余弦值.25. [2017·全国新课标卷II(理)] (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.26. [2017·全国新课标卷III(理)] (本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】27. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,18] (本小题满分12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,∠AFD =90°,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ;(2)求二面角E -BC -A 的余弦值.28. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,19] (本小题满分12分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB =5,AC =6,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE =CF =54,EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置,OD'=√10.(1)证明:D'H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.29. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,19] (本小题满分12分) 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】30. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,18](本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ; (2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.31. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,19](本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F= 4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.【最新整理，下载后即可编辑】32. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ,19] (本小题满分12分) 如图,三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,AB ⊥B 1C .(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1＝60°,AB ＝BC ,求二面角A A 1B 1C 1的余弦值.33. [2014·全国新课标卷Ⅱ，18] (本小题满分12分) 如图,四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°,AP ＝1,AD ＝√3,求三棱锥E ACD 的体积.【最新整理，下载后即可编辑】34. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，18](本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.35. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，18](本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝√22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；C－E的正弦值.(2)求二面角D－A1【最新整理，下载后即可编辑】。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13 立体几何 )
图 2俯视图侧视图正视图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何 ）一、选择题：1．(2013安徽理)在下列命题中，不是公理．．的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A2. (2013北京文)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个答案 B解析 设正方体边长为1，不同取值为P A ＝PC ＝PB 1＝63，P A 1＝PD ＝PC 1＝1，PB ＝33，PD 1＝233共有4个．3．(2013广东理) 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143 C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,故选B ．4．(2013广东文) 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是A ．16B ．13C ．23D ．1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形， 三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.5．(2013广东文) 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.6．(2013广东理) 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．A1A正视图侧视图7、(2013湖北理) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C 【相关知识点】三视图，简单几何体体积8. (2013湖南文) 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于____ D ____ A ．B.1【答案】 D【解析】 正方体的侧视图面积为.2..2212同，所以面积也为正视图和侧视图完全相为，所以侧视图的底边长⋅=9．(2013湖南理) 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD 【答案】 C【解析】 由题知，正方体的棱长为1，121-2.]2,1[]2,1[1<而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。
全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何 Word版含答案.pdf
学海无涯
A．16 + 8
【答案】A
B．8 + 8
C．16 +16
D．8 +16
（）
6 ．（2013 年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简
单几何体组成,其体积分别记为V1 ,V2 ,V3 ,V4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面
两个简单几何体均为多面体,则有
（）
①当 0 CQ 1 时,S 为四边形;②当 CQ = 1 时,S 为等腰梯形;③当 CQ = 3 时,S 与
2
2
4
C1D1
的交点
R
满足
C1R1
=
1 3
;④当
3 4
CQ
1 时,S
为六边形;⑤当 CQ
=
1时,S
的面积
为 6. 2
【答案】①②③⑤
25．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视
V1 : V2 = ____________.
C1 B1
A1
F
C
E
B
AD
【答案】1: 24
23．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））若某几何体的
三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________ cm2 .
4
3
3
2 正视图
侧视图
3
俯视图 （第 12 题图）
学海无涯
【答案】12
27．（2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中,
异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为_______
2013年全国各省(市)高考数学真题分类汇编(四)(立体几何)
2013年全国各省（市）高考真题数学（理）分类汇编与解析 （四）立体几何（黑龙江 zhangyajun131@ ）1.（2013安徽卷19题）（本小题满分13分）如图，圆锥顶点为p 。
底面圆心为o ，其母线与底面所成的角为22.5°。
AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°，（Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求cos COD ∠。
【解析】 （Ⅰ）m AB PCD AB PCD CD CD AB m C 直线面面且直线面设面//////,D P PAB ⇒⇒⊂=⋂ ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ .所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C （2） rPOOPF F CD r =︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒-︒=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[21cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.2.（2013北京卷17题）(本小题共13分)是边长为4的正方如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C1形。
平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =。
（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值。
3.（2013福建卷19题）（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分．解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k ==∴四边形ABED 为平行四边形//BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q 222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuur 得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r 67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案4.（2013广东卷18题）．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC =连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '== 所以cos 5OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,.C O BD EA 图1则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,3n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5.（2013广西卷19题）．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求二面角.A PD C --的大小6.（2013全国新课标二卷18题）（本小题满分12分）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D ，E 分别是AB ，BB1的中点，AA1=AC=CB=2AB 。
2017年新课标全国理数高考试题汇编：立体几何—学生专用
2017年全国理数立体几何高考题—学生专用（4）1．【2017全国III卷理数·8T】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π42．【2017全国II卷理数·4T】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．90πB．63πC．42πD．36π3．【2017全国I卷理数·7T】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．164.【2017全国北京卷理数·7T】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）（B）（C）5．【2017全国浙江卷理数·3T 】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（第3题图）A ．B ．C ．D ． 6．【2017全国II 卷理数·10T 】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A．2 B．5 C．5 D．37. 【2017全国天津卷理数·10T 】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .8．【2017全国I 卷理数·16T 】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为.9．【2017全国III 卷理数·16T 】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；12π+32π+312π+332π+其中正确的是________。
全国各地市历年高考立体几何题汇编(含参考答案)
全国各地市历年高考立体几何题汇编（含参考答案）（一）2018年高考立体几何题1.（北京理16）如图，在三棱柱ABC -111A B C 中，1CC 平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11AC ，1BB 的中点，AB=BC AC =1AA =2．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ； （Ⅱ）求二面角B-CD -C 1的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．2.（浙江-19）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2． （Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．3.（课标III 理-19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时， 求面与面所成二面角的正弦值．4.（课标II 理-20）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．ABCD CD M CD C D AM D ⊥BMC M ABC -MABMCD5.（课标I理-18）如图，四边形ABCD为正方形，,E F分别为,AD BC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PF BF⊥.（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.（二）2017年高考立体几何题1.（课标III理-19）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.2.（课标II 理-19）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值.3.（课标I 理-18）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.（三）2016年高考立体几何题 1.（课标III 理-19）如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I ）证明平面；（II ）求直线与平面所成角的正弦值.2.（课标II 理-19）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF'的位置OD '=（I ）证明：DH'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值. P ABC -PA ⊥ABCD AD BC 3AB AD AC ===4PA BC ==M AD 2AM MD =N PC MN PAB ANPMN3.（课标I 理-19）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ， 90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E -BC -A 的余弦值．（四）2015年高考立体几何题 1.（课标II 理-19）如图，长方体1111ABCD A BC D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．DD 1 C 1A 1EF ABCB 1参考答案（一）2018年高考立体几何题1.（北京理16）如图，在三棱柱ABC -111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11AC ，1BB 的中点，AB=BCAC =1AA =2．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ； （Ⅱ）求二面角B-CD -C 1的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交． 1.解析：（Ⅰ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∵CC 1⊥平面ABC ，∴四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，∴AC ⊥EF ． ∵AB =BC ，∴AC ⊥BE ，∴AC ⊥平面BEF ． （Ⅱ）由（I ）知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1． 又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． ∵BE ⊂平面ABC ，∴EF ⊥BE ． 如图建立空间直角坐称系E -xyz ．由题意得B （0，2，0），C （-1，0，0），D （1，0，1），F （0，0，2），G （0，2，1）．∴=(201)=(120)CD CB u u u r u u r，，，，，， 设平面BCD 的法向量为()a b c =，，n ， ∴00CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uur n n ，∴2020a c a b +=⎧⎨+=⎩，令a =2，则b =-1，c =-4，∴平面BCD 的法向量(214)=--，，n ， 又∵平面CDC 1的法向量为=(020)EB u u r ，，，∴cos =||||EB EB EB ⋅<⋅>=uu ruu r uu r n n n ． 由图可得二面角B -CD -C 为钝角，所以二面角B -CD -C的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD 的法向量为(214)=--，，n ，∵G （0，2，1），F （0，0，2），∴=(021)GF -u u u r ，，，∴2GF ⋅=-uu u r n ，∴n 与GF uuu r不垂直，∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交．2.（浙江-19）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2． （Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 2.解析：方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得， 由得由，得，故. 因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面， 由得平面， 所以是与平面所成的角. 由， 所以，故. 因此，直线与平面. 方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O 为原点，分别以射线OB ，11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥111AB AB ==2221111A B AB AA +=111AB A B ⊥2BC =112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥11B C =2,120AB BC ABC ==∠=︒AC =1CC AC ⊥1AC 2221111AB BC AC +=111ABB C ⊥1AB ⊥111A B C 1C 111C D A B ⊥11A B D AD 1AB ⊥111A B C 111A B C ⊥1ABB 111C D A B ⊥1C D ⊥1ABB 1C AD ∠1AC 1ABB 111111BC AB AC ==111111cos C A B C A B ∠=∠=1C D 111sin C D C AD AC ∠==1AC 1ABBOC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz . 由题意知各点坐标如下：因此 由得.由得. 所以平面. （Ⅱ）设直线与平面所成的角为.由（Ⅰ）可知 设平面的法向量.由即可取.所以. 因此，直线与平面. 3.（课标III 理-19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时， 求面与面所成二面角的正弦值．3.解析：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM .又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .111(0,(1,0,0),(0,(1,0,2),),A B A B C 111112),3),AB A B AC ==-=-uuu r uuu u r uuu u r 1110AB A B ⋅=uuu r uuu u r 111AB A B ⊥1110AB AC ⋅=uuu r uuu u r111AB AC ⊥1AB ⊥111A B C 1AC 1ABB θ11(0,0,2),AC AB BB ===uuu r uu u r uuu r1ABB (,,)x y z =n 10,0,AB BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uuu r n n 0,20,x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩(,0)=n 111|sin |cos ,||||AC AC AC θ⋅===⋅uuu r uuu r uuu r n |n n |1AC 1ABB ABCD CD M CD C D AM D ⊥BMC M ABC -MAB MCD ⊂CD ⊂DA当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点.由题设得，设是平面MAB 的法向量,则即可取.是平面MCD 的法向量，因此，，所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是. 4.（课标II 理-20）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．4.解：（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==. 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥. 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),23),(0,2,O B A C P AP -=u u u r取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r.设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r. CD (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M (2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==(,,)x y z =n 0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩(1,0,2)=n DA 5cos ,5||||DA DA DA ⋅==n nn 2sin ,DA =n5由0,0AP AM ⋅=⋅=u u u r u u u r n n得20(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取,)a a =--n ，所以cos ,OB =uu u rn由已知得|cos ,|OB =uu u r n .解得4a =-（舍去），43a =.所以4()3=-n .又(0,2,PC =-u u u r，所以cos ,PC =uu u r n 所以PC 与平面PAM5.（课标I 理-18）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.5.解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz . 由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1， 所以PE=.又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF . 可得32PH EH ==.则33(0,0,0),(1,,0),(1,22H P D DP --=HP =为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin ||||||3HP DP HP DP θ⋅===⋅所以DP 与平面ABFD所成角的正弦值为（二）2017年高考立体几何题 1.（课标III 理-19）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.1.【解析】（1）由题设可得，ABD CBD △≌△，从而AD DC =. 又ACD △是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO . 又由于ABC △是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB △中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以2222BO DO BO AO AB BD 22+=+==，故90DOB ∠=. 所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O x y z -.则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12， 从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12， 即E 为DB的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()11,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则00AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n即0,10.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 可取⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n .设m 是平面AEC 的法向量，则00AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m同理可取(0,=-m .则cos ,⋅==n m n m n m .所以二面角D -AE -C. 2.（课标II 理-19）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值.2.解析：（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ． 因为E 为PD 的中点，所以EF AD , 12EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=︒得//BC AD ， 又12BC AD =所以//EF BC ．四边形BCEF 为平行四边形， //CE BF ． 又BF PAB ⊂平面， CE PAB ⊄平面，故//CE PAB 平面（2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点， AB 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则则()000A ，，， ()100B ，，， ()110C ，，，(01P ，(10PC =，,()100AB =，，，则 ()(1,1BM x y z PM x y z =-=-，，，，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，是底面ABCD 的法向量，所以0cos , sin45BM n =，=即（x-1）²+y ²-z ²=0又M 在棱PC 上，学|科网设,PM PC λ=则x ,1,y z λ==由①，②得()y=1 y=1 z z ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩舍去，所以M ⎛ ⎝⎭，从而AM ⎛= ⎝⎭设()000x ,y ,z m =是平面ABM的法向量，则(0000x 2y 0·AM 0 ·AB 0x 0m m ⎧+=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即所以可取m =（0，2）.于是·10,5m n cosm n m n == 因此二面角M-AB-D的余弦值为3.（课标I 理-18）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.3.【解析】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得(2A，(0,0,2P，(2B，(2C -.所以(PC =-，(2,0,0)CB =，2(PA =，(0,1,0)AB =.设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0,y z ⎧+=⎪⎨=可取(0,1,=-n . 设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,220.x z y -=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m . 则cos ,||||⋅==<>n m n m n m ，所以二面角A PBC --的余弦值为（三）2016年高考立体几何题1.（课标III 理-19）如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I ）证明//MN 平面；（II ）求直线与平面所成角的正弦值. 1.解析：（Ⅰ）由已知得223AM AD ==. 取BP 的中点T ，连接,AT TN ，由N 为PC 中点知//TN BC ，122TN BC ==. 又//AD BC ，故,//TN AM TN AM =，四边形AMNT 为平行四边形，于是//MN AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面.（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE .由AB BC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，且.以A 为坐标原点， AE 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.由题意知，P ABC -PA ⊥ABCD AD BC 3AB AD AC ===4PA BC ==M AD 2AMMD =N PC PAB AN PMN PAB，，，5(,1,2)N，()0,2,4PM =-， 52PN ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， 52AN ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则0, 0,n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即240, 20,y z x y z -=⎧+-=可取()0,2,1n =. 于是85cos ,25n AN n AN n AN⋅〈〉==. 2.（课标II 理-19）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF'的位置OD '=（I ）证明：DH'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值. 2.【解析】⑴证明：∵54AE CF ==，∴A E C FA D C D=，∴E F A C ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF D H ⊥，∴EF DH'⊥． ∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =，∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ．⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r ，，，∴1212cos n n n n θ⋅=u r u u ru r u u r∴sin θ= 3.（课标I 理-19）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ， 90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E -BC -A 的余弦值．3.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AF ⊥平面FDC E ，结合AF ⊂平面ABEF ，可得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量求解. 试题解析：（Ⅰ）由已知可得AF DF ⊥， AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ． 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．（Ⅱ）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（Ⅰ）知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点， GF 的方向为x 轴正方向， GF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=，则2DF =， 3DG =，可得()1,4,0A ， ()3,4,0B -， ()3,0,0E -，(D ． 由已知， //AB EF ，所以//AB 平面EFDC ．又平面ABCD ⋂平面EFDC DC =，故//AB CD ， //CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，60CEF ∠=．从而可得(C -．所以(EC =， ()0,4,0EB =，(3,AC =--， ()4,0,0AB =-． 设(),,n x y z =是平面BCE 的法向量，则n EC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0 40x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,n =．设m 是平面ABCD 的法向量，则0m C m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩，同理可取()0,3,4m =．则219cos ,n m n m n m ⋅〈〉==-． 故二面角E BC A --的余弦值为． （四）2015年高考立体几何题1.（课标II 理-19）如图，长方体1111ABCD A BC D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 1.【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14A M A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH =，所以10AH =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF =-，故45cos ,15n AF n AF n AF⋅<>==⋅．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为15． 考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．DD 1C 1A 1EFABCB 1。
2017高考试题分类汇编立体几何
立体几何1（2017北京文）（本小题14分如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2017新课标Ⅱ理）（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．3（2017天津理）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长.4（2017新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有以下结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所称角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；其中正确的选项是________。
（填写所有正确结论的编号）5（2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒获取的，G 是DF 的中点. （Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.6（2017新课标Ⅰ理数）．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。
2017年高考数学—立体几何(选择+填空+答案)
2017年高考数学—立体几何（选择+填空+答案）1.（17全国1理7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．162.（17全国1文6）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是3.（17全国2理4） 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A ． 90πB ．63πC ．42πD ．36π4.（17全国3文9）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．34πC ．2πD ．4π 5.（17全国2理10） 已知直三棱柱111ABC A B C -中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．32B ．155C ．105D ．33 6.（17全国3文10）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥7.（17北京理（7））某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）28.（17北京文（6））某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60（B ）30（C ）20（D ）109.（17浙江3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12π+B ．32π+C ．312π+ D ．332π+ 10.（17浙江9）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CR QC RA ==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为,,αβγ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α11.（17全国1文16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。
2013-2017高中数学理全国三卷立体几何
2013-2017高中数学理全国三卷立体几何 （2016年课标卷Ⅲ理9文10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ） （B ） （C ）90 （D ）8118365+54185+（2017年全国Ⅰ卷理7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16（2015年全国Ⅰ卷理11文11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =A ．1B ．2C ．4D ．8（2017年全国Ⅱ卷理19）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． （Ⅰ）证明：直线CE ∥平面P AB ；EADB C P（2013年全国Ⅰ卷理6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（2017年全国Ⅱ卷文15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．（2016年全国Ⅱ卷文4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A）12π（B）323π（C）8π（D）4π（2017年全国Ⅲ卷理16）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所称角的最小值为45°；④直线AB与a所称角的最大值为60°；其中正确的是________．（填写所有正确结论的编号）【2017年全国Ⅰ卷理18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，求二面角A PB C --的余弦值．（2016年课标卷Ⅱ文19）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF 交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置． （Ⅰ）证明：'AC HD ⊥；（Ⅱ）若55,6,,'224AB AC AE OD ====,求五棱锥D ABCFE '-体积．。
2013-2017年新课标I卷高考理科数学解答题—立体几何
2013-2017年新课标I 卷高考理科数学解答题立体几何(本小题满分12分)1. 【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠= ,求二面角A -PB -C 的余弦值． 【解析】（1）证明：∵90BAP CD P ∠=∠=︒∴PA AB ⊥，PD CD ⊥ 又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥又∵PD PA P = ，PD 、PA ⊂平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD（2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ∵ABCD∴四边形ABCD 为平行四边形∴OE AB由（1）知，AB ⊥平面PAD∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 两两垂直∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -设2PA =，∴()00D ，、)20B ，、(00P ，、()20C ，，∴(0PD = ，、2PB = ，、()00BC =-， 设()n x y z =,,为平面PBC 的法向量由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200y +=-=⎪⎩令1y =，则z =0x =，可得平面PBC的一个法向量(01n =,∵90APD ∠=︒，∴PD PA ⊥又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ∴PD AB ⊥，又PA AB A = ∴PD ⊥平面PAB即PD是平面PAB的一个法向量，(0PD = ,,∴cos PD n PD n PD n ⋅===⋅,由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为【2016，18】 如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，︒=∠=90,2AFD FD AF ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是︒60． （Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．【解析】：⑴ ∵ABEF 为正方形，∴AF EF ⊥，∵90AFD ∠=︒，∴AF DF ⊥，∵=DF EF F∴AF ⊥面EFDC ，AF ⊂面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒，∵AB EF ∥，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥，∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设F Da =，()()000020E B a ，，，，()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，， ()020EB a =u u r ，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，，()200AB a =-u uu r ，，，设面BEC 法向量为()m x y z = ，，，00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uu u r，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩，11101x y z ==-，，)01m =-u r ，设面ABC 法向量为()222n x y z =r，，，=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r .即222220220a x ay ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩22204x y z ==，，()04n =r，设二面角E BC A --的大小为θ. cos m n m n⋅===⋅u r ru r r θ，∴二面角E BC A --的余弦值为ABC DE【2015，18】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠= ，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥．（I ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （II ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC . ……6分【2014，19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥.AA 1B1CC 1（Ⅰ）证明：1AB AC =;（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）17【解析】试题分析：（Ⅰ）由侧面C C BB 11为菱形得11B C BC ⊥，结合C B AB 1⊥得1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥，且O 为1B C 的中点．故AO 垂直平分线段1B C ，则1AB AC =；（Ⅱ）求二面角大小，可考虑借助空间直角坐标系．故结合已知条件寻找三条两两垂直相交的直线是解题关键．当1AC AB ⊥且1AB AC =时，三角形1ACB 为等腰直角三角形，故AO CO =，结合已知条件可判断BOA BOC ∆≅∆，故090AOC BOC ∠=∠=，从而1OA OB OB ，，两两垂直．故以O 为坐标原点，OB的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标．分别求半平面11AA B 和111A B C 的法向量，将求二面角问题转化为求法向量夹角处理．试题解析：（I ）连接1BC ，交1B C 于O ，连接AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥．又1B O CO =,故1AB AC =．（II ）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为BC AB =，BOA BOC ∆≅∆．故O A O B⊥，从而1OA OB OB ，，两两垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB BC =,则A ，(1,0,0)B，1B ，(0,C ．1AB =,11(1,0,A B AB ==,11(1,B C BC ==- ．设(,,)n x y z = 是平面11AA B 的法向量，则1110,0,n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y z x z =⎨⎪=⎪⎩所以可取(3)n =． 设m 是平面111A B C 的法向量，则11110,0,m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩同理可取(1,m = ． 则1cos ,7n m n m n m ⋅<>==．所以二面角111C B A A --的余弦值为17．z yOAA 1BB 1CC 1【考点定位】1、直线和平面垂直的判定和性质；2、二面角求法．【2013，18】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0，B (－1,0,0)． 则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)． 故cos 〈n ，1AC 〉＝11AC AC ⋅ n n＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C。
2013数学高考真题—立体几何分类汇编
2013数学高考真题—立体几何分类汇编1.（北京理14）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为BC 中点，点P 在线段E D 1上。
点P 在线段E D 1上，点P 到直线1CC 距离的最小值为 。
2.（北京理17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，平面⊥ABC 平面C C AA 11，5,3==BC AB .（1）求证：⊥1AA 平面ABC ； （2）求二面角111B BC A --的余弦值； （3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得B A AD 1⊥，并求1BC BD的值。
3.（北京文8）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）.A 3个 .B 4个 .C 5个 .D 6个 4（北京文10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 。
4（北京文17）如图，四棱锥ABCD P -中，AB ∥CD ，AD AB ⊥,AB CD 2=,平面PAD ⊥底面ABCD ，AD PA ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 中点。
求证： （1）⊥PA 底面ABCD ； （2）BE ∥平面PAD ； （3）平面⊥BEF 平面PCD5（大纲理10）已知正四棱柱1111D C BA ABCD -中，AB AA 21=，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） .A 2 .B 3.C 2.D 1 ABA 1C 1D 1CB 1C BA B CA 1C 1D 俯视图正（主）视图侧（左）视图CD6（大纲文理16）已知圆O 与圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，23=OK ,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于 。
7（大纲理19）如图，四棱锥ABCD P -中，090=∠=∠BAD ABC ,AD BC 2=,PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形。
2017高考试题分类汇编-立体几何最新版
立体几何1 （2017北京文）（本小题14分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄AB, PA丄BC, AB丄BC, PA=AB=BC=2, D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（H）求证：平面BDE丄平面PAC;（川）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.2 （2017新课标H理）（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面1ABCD, AB 二BC AD, BAD 二ABC =90°, E是PD的中2占八、、♦（1）证明：直线CE /平面PAB;（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M -AB -D的余弦值.3 （2017天津理）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC, • BAC =90 .点D，E，N分别为棱PA, PC，BC 的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4, AB=2.（I）求证：MN //平面BDE;（H）求二面角C-EM-N的正弦值；（川）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为求线段AH的长.214 （2017新课标川理数）a, b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形边AC所在直线与a, b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论:①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所称角的最小值为45°;④直线AB与a所称角的最小值为60°其中正确的是_________ 。
（填写所有正确结论的编号）5 （2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点.（I）设P是CE上的一点，且AP _ BE，求.CBP的大小;（H）当AB =3，AD =2，求二面角E - AG -C的大小.6 （2017新课标I理数）•如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为0。
2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第8章立体几何-5直线,平面垂直的判定与性质.docx
第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质题型 95证明空间中直线、平面的垂直关系1. (2013 全国新课标卷理4） 已知 m ，n 为异面直线， m 平面， n 平面 .直线 l 满足 lm ， ln ， l，则（） .A. ∥ 且 l ∥B.且 lC.与相交 ,且交线垂直于 lD.与相交 ,且交线平行于 l2.（ 2013 广东理 18）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， A 90 ， BC 6 ， D , E 分别是 AC , AB 上的点， CD BE2， O 为 BC 的中点 .将ADE 沿 DE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 ABCDE ，其中 AO3 .CO.BADECOBADE图 1图 2(1) 证明 : A O 平面 BCDE ；(2) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值 .3.（ 2013 江西理 19）ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ， E 为 BD 的中点， G 为 PD 的中如图，四棱锥P 点， △ DAB ≌△ DCB ， EA EB AB 1， PA3，连接 CE 并延长交 AD 于 F ．求证： AD2(1) 平面 CFG ；(2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值．4.（ 2013 江苏 16）AB ，过 A如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面 SBC ， AB BC ， AS 作 AF SB ，垂足为 F ，点 E ， G 分别是棱 SA ， SC 的中点 . 求证：（1）平面 EFG // 平面 ABC ；S（2） BCSA .EGFCAB5. (2013 福建理 19）如 图 ， 在 四 棱 柱 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中 ， 侧 棱 AA 1底 面 ABCD ，AB/ / DC, AA 11,AB 3k,A D4 k, B C5 k, D C 6,k( k 0（ 1）求证：CD平面 ADD 1 A 1（ 2）若直线AA 1 与平面AB 1 C 所成角的正弦值为6 ，求7k 的值（ 3）现将与四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f (k) ，写出f (k) 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.6.(2013 天津理 17）ABCD ABC D 1如图，四棱柱－ 1 1 1 1 中．侧棱 AA 底面 ABCD ，AB ∥ DC ，ABAD ，AD CD1， AA AB 2， E 为棱 AA 的中点．1 1(1)证明： BC CE ；1 1(2) 求二面角 B 1－CE －C 1 的正弦值；(3) 设点M 在线段 CE 上，且直线AM与平面 ADD A 所成角的正弦值为2，求线段1 1 16AM 的长．B B1C C1A A1ED D1 7． (2013 湖南理 19）如图 5，在直棱柱ABCD ABC11 1D中，AD// BC，BAD 90,AC BD , BC1, 1AD AA 3.A1 D 1 1（ 1）证明：AC B1D；B1C1（ 2）求直线BC11与平面ACD1所成角的正弦值 .A DBC8.（ 2013 辽宁理 18）如图， AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面， C 是圆上的点.（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若AB 2，AC 1，PA 1，求证：二面角C -PB -A的余弦值 .PABC9. (2013 陕西理 18）如图，四棱柱ABCDABC- D 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心，AO 平面11 111ABCD ， ABAA 12 .D1C1A1B1（1）证明： AC 1 平面 BBD 11D ；DC（2）求平面 OCB 与平面 BBD D 的夹角 的大小 .1 1 1OAB10（. 2014 辽宁理 4）已知 m n表示平面，下列说法正确的是 （）.， 表示两条不同直线，A ．若 m// , n // , 则 m // nB ．若 m ，n，则 m nC ．若 m， mn ，则 n // D ．若 m//， m n ，则 n10. 解析A 选项 m 、n 也可以相交或异面，C 选项也可以 n，D 选项也可以 n//或 n 与斜交 . 根据线面垂直的性质可知选B .11.（ 2014 广东理 7）若空间中四条两两不同的直线 l 1,l 2,l 3, l 4 ，满足 l 1 l 2 ,l 2l 3, l 3l 4 ，则下列结论一定正确的是（ ） .A ． l 1 l 4B ． l 1//l 4C ． l 1,l 4 既不垂直也不平行D ． l 1, l 4 的位置关系不确定11. 解析由 l 1l 2 ， l 2 l 3 可知 l 1与 l 3的位置不确定，若 l 1 //l 3 ，则结合 l 3 l 4 ，得 l 1 l 4 ，所以排除选项 B ，C ，若 l 1 l 3，则结合 l 3 l 4 ，知 l 1与 l 4可能不垂直，所以排除选项A.故选 D.评注 本题考查了空间直线之间的位置关系，考查学生的空间想象能力、思维的严密性 .12.（ 2014 江苏理 16）如图，在三棱锥 PABC 中， D ， E ， F 分别为棱 PC ， AC ， AB 的中点．已知 PAAC ， PA6， BC8 ， DF 5．求证：（ 1）直线 PA // 平面DEF；（ 2）平面 BDE平面 ABC ．PD13.（ 2015 广东理 18）如图所示， △ PDC 所在的平面AE与 长方形 ABCD 所 在 的平面 垂直 ， PDPC 4 ，FCBAB 6 ， BC3，点 E 是 CD 的中点，点PDCEAFGBF , G分别在线段AB ， BC上，且 AF2 FB , CG2GB .(1)求证：PEFG；(2) 求二面角 P AD C 的正切值；(3) 求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值 .13. 解析 （ ）证明：因为 PD PC 且点 E 为 CD 的中点，所以 PEDC ．1又平面 PDC 平面 ABCD ，且平面 PDC平面 ABCDCD ， PE 平面 PDC ，所以 PE 平面 ABCD ．又 FG 平面 ABCD ，所以 PEFG ．（ ）因为 ABCD 是矩形，所以 ADDC ．由（ ）可得 PE 平面 ABCD ，所以PE AD，2 1所以 AD平面 PCD ．又 PD 平面 PDC ，所以 AD PD ．又因为 ADDC ，所以 PDC 即为二面角 P AD C 的平面角．在 Rt △ PDE 中， PD 4， DE1AB 3 ， PEPD 2DE 27，2所以tanPDCPE 7，即二面角 PAD C 的正切值为7 ．DE33（3）如图所示，连接AC ，因为 AF2FB ， CG 2GB ，即AFCG 2 ，FBGB所以 AC //FG ，所以PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角或其补角．在 △PAC 中，因为 PAPD 2AD 25 ，ACAD 2 CD 23 5，52352所以由余弦定理可得2AC 2PC 242cos PACPA9 5 ，2PA AC2 53 525所以直线PAFG 所成角的余弦值为9 5 ．与直线25PDECGA FB14.（ 2016 全国甲理 14 ） ，是两个平面， m ， n 是两条线，有下列四个命题：①如果 m n ， m ， n//，那么．②如果 m ， n // ，那么 m n ．③如果 a //， m，那么 m//．④如果 m //n ， // ，那么 m 与所成的角和 n 与 所成的角相等．以上命题正确的命题有.14. ②③④ 解析将题中假设放在一个正方体模型中易知②③④正确.15（. 2016 浙江理 2）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l .若直线 m, n 满足 m ∥ , n ⊥ ，则（ ）.A. m ∥ lB. m ∥ nC. n lD. m n15.C 解析对于选项 A ，因为l ，所以 l.又因为 m //，所以 m 与 l 平行或异面.故选项 A 不正确；对于选项 B 和 D ，因为，n ，所以 n或 n // .又因为 m //，所以 m 与 n 的关系平行、相交或异面都有可能 .故选项 B 和 D 不正确；对于选项 C ，因为l, 所以 l , 因为 n,所以 n l ，故选项 C 正确，故选 C.16.(2016 全国甲理 19)如图所示，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，AB 5 ，AC 6 ， 点 E ， F 分别在 AD ， CD 上， AECF5， EF 交 BD 于点 H ，将 △ DEF沿 EF 折4到 △ D EF 的位置， OD10 . （1）证明： DH平面 ABCD ；D /AEDOHFBC16.解析 （ 1）证明：因为 AE CF5AE CF EF ∥ AC4 ，所以ADCD ，所以 ．因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD ，所以 EF BD ，所以 EF DH ，所以 EFDH ．因为AC6 ，所以AO3.又AB 5 ，OB ，所以OBOD4，所以 OHAEOD 1 ，AOAD所以 DH D H3，所以OD2OH2D H 2，所以 D HOH．又因为OH I EFH，所以 DH面 ABCD ．17.（ 2016 全国乙理 18）如图所示，在以 A， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF2 FD ， AFD 90 ，且二面角 DAF E 与二面角C BE F 都是 60 ．（1）求证：平面ABEF平面EFDC；CDEFB A17.解析（ 1）由已知可得AF DF ， AF FE ，所以 AF平面 EFDC.又 AF平面 ABEF ，故平面 ABEF平面 EFDC.18.（ 2016 北京理17）如图所示，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD平面 ABCD ，PA PD ， PA PD ， AB AD ， AB 1 ， AD 2 ，AC CD 5 .（1）求证：PD平面 PAB；PD ABC18.解析（ 1）如题中的图所示，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD ，AB平面 ABCDAB,AD，得AB平面 PAD ，所以 PD AB .又因为 PD PA,PA平面 PAB ， AB平面 PAB， AB PA A ，所以PD平面PAB .19.（ 2016 浙江理17）如图所示，ABC DEF，BCFE平面ABC ,在三棱台中平面ACB =90 ，BE EF FC1, BC2, AC 3.(1) 求证：BF平面 ACFD ；D FA ECB19.解析（ 1）因为此几何体三棱台，延长AD, BE,CF 可相交于一点K, 如图所示.因为平面 BCFE平面ABC，平面 BCFE 平面ABC为BC，KD FAEC BAC平面ABC，且AC BC ，所以AC平面BCK，因此BF AC .又因为 EF ∥BC , BE EF FC1, BC 2 ，可以求得KBC KCB 60 ，所以△ BCK为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则BF CK .因为 AC,CK平面ACFD，AC CK C ，所以BF平面 ACFD .20．（2016 江苏 16）如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D , E分别为AB, BC的中点，点F 在侧棱 B B 上，且 B D A F ， AC1A B ．111111求证：（ 1）直线DE //平面AC11F；（2）平面B1 DE平面AC F．11C11B1AFCEA D B20.解析（ 1）因为 D , E 分别为AB, BC的中点，所以DE为△ ABC 的中位线，所以DE // AC ，又因为三棱柱ABC A1 B1C1为直棱柱，故 AC //AC11，所以 DE //AC11，又因为 AC11平面 AC11F ，且 DE AC11 F ，故DE// 平面AC1 1F．（2）三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱，所以 AA1平面 A1B1C1.又 AC11平面 A1 B1C1，故 AA1AC11.又 AC1 1A1B1，且 AA1A1B1A1， AA1 , A1B1平面 AA1B1 B ，所以 AC11平面 AA1B1B ．又因为 B1D平面 AA1B1 B ，所以 AC11B1 D ．又因为 AF1B1D ， AC11A1 F A1，且 AC11, A1 F平面 AC11F ，所以B1D平面AC F．又因为 B D平面B DE，所以平面 B DE平面AC1F．111111（江苏15）如图所示，在三棱锥 A BCD 中，AB AD ，BC BD ，平面ABD21. 2017平面 BCD ，点 E,F （E与A,D不重合）分别在棱AD , BD 上，且EF AD ．求证：（ 1） EF∥平面ABC；（ 2）AD AC．AEBF DC21.解析（1）在平面ABD内，因为AB AD ， EF AD ，且点 E 与点 A 不重合，所以EF //AB .又因为 EF平面 ABC ，AB平面 ABC ，所以 EF // 平面 ABC .（2）因为平面ABD平面 BCD ，平面ABD平面 BCD BD ，BC平面 BCD ， BC BD ，所以 BC平面 ABD .因为 AD平面 ABD ，所以BC AD .又 AB AD ，BC AB B ，AB平面 ABC ， BC平面 ABC ，所以 AD平面 ABC 又因为 AC平面 ABC ，所以 AD AC..22.（ 2017全国 1 卷理科18（ 1））如图所示，在四棱锥P ABCD中， AB //CD ，且BAP CDP90.(1) 求证：平面PAB平面PAD；PD CA B22.1BAP CDP90，所以 PA AB，PD CD .解析（）证明：因为又因为 AB∥ CD ，所以.又因为PD PA P ，PD，PA平面，所以AB PAD AB PD AB PAB PAD平面PAB PAD.又平面，所以平面平面.（2017全国3卷理科（））如图所示，四面体 ABCD 中，△ ABC 是正三角形，△ ACD23.191是直角三角形，ABD CBD ，AB BD ．（1）求证：平面ACD平面 ABC ；23．解析⑴如图所示，取AC 的中点为 O ，联结 BO ， DO .因为△ ABC 为等边三角形，所以BO AC ， AB BC .AB BC由 BD BD，得△ABD △CBD ，所以 AD CD ，即△ ACD 为等腰直角三角形，ABD DBC从而 ADC 为直角.又 O 为底边 AC 中点，所以 DO AC.令 AB a ，则 AB ACBC BD a，易得 ODa3a ，， OB22222DOB，即 OD OB .所以 OD OB BD ，从而由勾股定理的逆定理可得2OD ACOD OB由 AC OB O，所以 OD平面 ABC.AC平面 ABCOB平面 ABC又因为 OD平面 ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面 ABC.DCEOBA题型 96与垂直有关的开放性、探索性问题——暂无1．（ 2013 四川理19）如图，在三棱柱ABC A BC 中，侧棱AA底面 ABC ，AB AC2AA ，1111 BAC120，D, D 分别是线段BC,BC 的中点，P是线段AD的中点．1111P ABC（）在平面 ABC内，试作出过点与平面平行的直线 l ，说明理由，并证明直线 l 平面 ADD A ；1 1（2）设（ 1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A AM N 的余弦值．1CDA P BC1D 1B1A12. (2015 陕西理18) 如图a所示，在直角梯形ΑΒCD中，ΑD //ΒC，ΒΑDπ，2ΑΒ=ΒC = 1，ΑD 2 ，Ε是ΑD 的中点，O是ΑC与 BE的交点．将△ABE 沿 BE 折起到△ΑΒΕ的位置，如图 b所示．1A1(A)A E DEDOOB C B C（ a ）（ b）（ 1）证明：CD平面ΑΟC；1（ 2）若平面ΑΒΕ1平面ΒCDΕ，求平面ΑΒ1C与平面Α1CD夹角的余弦值．2. 解析（ 1）因为AB = AE =1,所以△ABE为等腰三角形，所以AO BE.1同理可证 CO BE .因为AO1CO=O，所以BE平面 AOC1.因为 ED //BC 且 ED =BC ，所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以 EB //CD .所以 CD平面 AOC1.(2) 当平面A1BE平面 BCDE 时，以 O 为坐标原点，OBxOC为 y 轴，OA为 z 为轴，1轴的正方向建立空间直角坐标系O - xyz ，如图所示 .则B( 2,0,0), C(0,2,0), A1(0,0,2), E(2,0,0), D( 2,2,0)，22222则 A1B = ( 2,0, -2), BC = (- 2 ,2,0),2222设平面 A1 B C的法向量为n1 =(x ,y , 1， ) 则n1BC 2x22y2n11,1,1.z 22n1A1B x0A1(A)22AD (2,22CD(2,0,0)E D同理，,)，，122B OCx y设平面 ACD的法向量n =(w, z,1)，所以12n2CD2w0w 02 z2，n2A1D2w0z 122得 n2(0,1,1)，从而平面ABC ACDcos n1n22.1与平面1夹角的余弦值为6n1n2 3 23。
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第1页 共10页2013-2017高考数学全国卷理科--立体几何汇编学校： 姓名： 班级： 考号：一、选择题I(理)]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )A. 10B. 12C. 14D. 162. [2017·全国新课标卷II(理)]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 ( )A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π3. [2017·全国新课标卷II(理)]已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ( )A.B.C. D.4. [2017·全国新课标卷III(理)]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A. π B.C.D. .5. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,6]如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π6. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,11]平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A. B. C. D.7. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,6]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π8. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,9]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A. 18+36B. 54+18C. 90D. 819. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,10]在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是() A. 4π B. C. 6π D.第3页 共10页10. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,6]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛11. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,11]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )正视图 俯视图A. 1B. 2C. 4D. 812. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,6]一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.B.C.D.13. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,9]已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A. 36π B. 64π C. 144π D. 256π14. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ，12]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A. 6B. 6C. 4D. 415. [2014·全国新课标卷Ⅱ,6]如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D.16. [2014·全国新课标卷Ⅱ,11]直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA＝90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC＝CA＝CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )A. B. C. D.17. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，6]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. cm3B. cm3C. cm3D. cm318. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，8]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 16＋8πB. 8＋8πC. 16＋16πD. 8＋16π19. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，4]已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )A. α∥β且l∥αB. α⊥β且l⊥βC. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行l第5页 共10页20. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，7]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )A. B.C. D.二、填空题I(理)]如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为 .22. [2017·全国新课标卷III(理)]a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角; ②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号)23. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,14]α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β. ②如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n . ③如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β.④如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 三、解答题24. [2017·全国新课标卷I(理)] (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.25. [2017·全国新课标卷II(理)] (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.26. [2017·全国新课标卷III(理)] (本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.27. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,18] (本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D -AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.28. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,19] (本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=第7页共10页(1)证明:D'H ⊥平面ABCD ; (2)求二面角B -D'A -C 的正弦值.29. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,19] (本小题满分12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB =AD =AC =3,PA =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.(1)证明MN ∥平面PAB ;(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.30. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,18](本小题满分12分) 如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.31. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,19](本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F= 4.第9页 共10页过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.32. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ,19] (本小题满分12分) 如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,AB ⊥B 1C .(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1＝60°,AB ＝BC ,求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值.33. [2014·全国新课标卷Ⅱ，18] (本小题满分12分) 如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°,AP ＝1,AD ＝ ,求三棱锥E -ACD 的体积.34. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，18](本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.35. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，18](本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值.。