第5章 电磁波的辐射

第五章 电磁波的辐射

1.若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。

解：把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场，分别用角标L 和T 表示。

由于0∇⋅=B ，所以B 本身就是无散场，没有纵场分量，即0L =B ，T =B B ； L T =+E E E ，0L ∇⨯=E ，0T ∇⋅=E ；L T =+J J J ，0L ∇⨯=J ，0T ∇⋅=J ；

由真空中的麦克斯韦方程组：t

∂∇⨯=-∂B E ；0

ρε∇⋅=

E ；000t

μμε∂∇⨯=+∂E B J

得：()T L

T T t

∂∇⨯+=∇⨯=-

∂B E E E ；0

()L T L

ρε∇⋅+=∇⋅=

E E E ；000

000

L T T

L T t

t

μμεμμε∂∂∇⨯=+++∂∂E E B J J 由电荷守恒定律t

ρ∂∇⋅=-∂J ，得：0

L L t t ερ

∂∂⎛⎫

∇⋅=-

=-∇⋅ ⎪

∂∂⎝⎭

E J ；又因为0

0L L t ε∂⎛

⎫

∇⨯==-∇⨯ ⎪∂⎝

⎭

E J

所以0

L L t

ε∂=-∂E J ，即0

L L t

ε∂+=∂E J ，从而000

T T T t

μμε∂∇⨯=+∂E B J

所以有方程组：000

;;;0;0

T T L T T T L L L t

t

t

ρμμεεε∂∂∂∇⨯=-

∇⨯=+∇⋅=

=+=∂∂∂B E E E B J E B J 成立。

由0L ∇⨯=E 引入标势φ，L φ=-∇E ，代入0/L ρε∇⋅=E 得，20/φρε∇=-

2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若0ρ=，0=J ，则E 和B 可完全由矢势A 决定。若取0φ=，这时A 满足哪两个方程？

解：0ρ=，0=J ，则麦氏方程表示为：t

∂∇⨯=-

∂B E ；t

∂∇⨯=

∂D H ；0∇⋅=D ；0∇⋅=B

引入矢势A ，使=∇⨯B A ，于是得：0t ∂⎛

⎫

∇⨯+

= ⎪∂⎝

⎭

A E ，由此引入标势φ，使t

ϕ

∂+

=-∇∂A E

于是得：2()0t

φ∂∇⋅∇+

=∂A ，所以，φ

可由A 决定，进而，E 也可完全由矢势A 决定。

如果取0=ϕ，则得：0=⋅∇A ，2

2

20t

με∂∇-=∂A A

3.证明沿z 轴方向传播的平面电磁波可用矢势()ωτA 表示，其中z t c

τ=-，A 垂直于z 轴方向。

证：平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播满足：2

2

00

2

0t

με∂∇-=∂A A ；2

2

00

2

0t

φφμε∂∇-=∂

满足条件00

0t

φμε∂∇⋅+=∂A 下,沿

z 轴方向传播平面波解为：()()

00,z i t i kz t c e

e

A ωωωτ

⎛

⎫-- ⎪

-⎝⎭

===A A A

4.设真空中矢势A 可用复数傅里叶展开为*(,)[()()]i i k

t t e t e ⋅-⋅=+∑k x k x k A x a a ，其中*

k a 是k a 的复共轭。 (a)证明

222

2

d

()()0d t k c t t

+=k k a a ;(b)取0∇⋅=A 规范，证0⋅=k k a ;(c) 0φ=，把E 和B 用k a 和*k a 表示。

解：(a)证明：根据傅立叶级数的正交性，必有：()(,)d i t t e

⋅=⎰k x

k a A x x ,于是

2

2

22

d ()(,)d d i k t t e

t

t

⋅∂=

∂⎰

k x

a A x x

洛伦兹规范下，2

2

0002

t

μεμ∂∇-=-∂A A J ，真空中0=J ，故，2

2

00

2

t

με∂∇=∂A A

所以

2

22

2222

2d ())d d ()d i i k t e c e

c k k c t t

⋅⋅=

∇=-=-⎰⎰k x k x

k a A x A x a （；进而

2

2

2

2

d ()()0d k t k c t t

+=k a a

(b)选取规范*

*

[()()][()()]0i i i i k k t e

t e

i t e

i t e

⋅-⋅⋅-⋅∇⋅=

⋅∇+⋅∇=

⋅-⋅=∑∑k x

k x

k x

k x

k

k

A a

a k a

k a