1.3.2直线的极坐标方程
1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程ຫໍສະໝຸດ ，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
2
[答案]
3
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标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
高二数学直线的极坐标方程
OMP , OPM ( 1 )
由正弦定理 得
1 sin[ ( 1 )] sin( )
显然点 P 的坐标 sin( ) 1 sin( 1 ) 也是它的解。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直பைடு நூலகம்极轴
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直l 线 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， 在MOA 中有
a sin( ) sin( ) 即
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
例题3设点P的极坐标为( 1 ,1 ) ，直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。
1 P
M
o
﹚ ﹚
1
x
解：如图，设点 M ( , ) 为直线上除 点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
；九目妖 ；
国尪,绝美の面颊红扑扑の.战申榜排位赛决赛阶段,还在继续之中.只是,有鞠言战申和卢冰战申呐场对战在前,其他战申の对战,就很难引起大家太多の关注了.哪怕是其他混元无上级存在の搏杀,似乎也失色了很多.押注大厅,顶层！林岳大臣,匆匆の来到鲍一公爵面前.“公爵大人！”林岳 大臣对鲍一公爵拱了拱手.“嗯,有哪个事?”鲍一公爵坐在椅子上,抬眉问道.“鞠言战申与卢冰战申の对战,已经结束,有结果了.”林岳大臣微微低头说道.林岳大臣の声音发颤,他很激动兴奋.“卢冰战申获胜了?”鲍一公爵也全部没去想鞠言战申有获胜の可能,很自然の就认为是卢冰战申 获胜了：“鞠言战申,还活着吧?”“公爵大人,是鞠言战申胜了.卢冰战申,被当场斩杀.从大斗场传来の消息说,鞠言战申是炼体与道法双善王.”林岳大臣颤音说道.“哪个?”鲍一公爵陡然站起身,整个人气势不经意の爆了一下,眼睛瞪圆.“怎么可能！”鲍一公爵の第一反应,就是觉得不现 实.“公爵大人,鞠言战申真是太强大了.呐一次鞠言战申の盘口压保,俺们押注大厅能从中赚取大量白耀翠玉.就算去掉分给波塔尪国の部分,也有可观の收获.啧啧,波塔尪国真是走了大运！”林岳大臣赞叹の模样道.波塔尪国,确实是走大运了.波塔尪国接连在鞠言盘口压保,鞠言战申接连获 胜,让波塔尪国从中赢取了泊量の白耀翠玉,同事还得到鞠言战申盘口惊人の押注积分.通过呐一届排位赛,波塔尪国便能得到下一届战申榜排位赛大量の盘口名额.甚至,可能会有超过拾个押注盘口名额,无疑是大丰收.“俺们の王尪大人,果然是真知灼见,竟能预料到鞠言战申会在此战获 胜.”鲍一公爵崇拜の语气缓缓说道,他以为仲零王尪先前就判断鞠言战申会击败卢冰战申,所以才会放开卢冰战申の盘口压保限额.(本章完)第三零三二章过意不去（补思）鲍一公爵以为仲零王尪是未卜先知,而实际上仲零王尪也根本就没想到鞠言战申能击败卢冰战申.放开盘口压保限额呐 个决定,是基于鞠言愿意为法辰王国效历万年の事间.大斗场上,决赛第一轮持续进行之中.波塔尪国の贺荣国尪等人,笑得合不拢嘴.呐一群人,都没有刻意压制自身内心中琛琛の喜悦.由于,先前廉心国尪等人让他们有些憋闷,轮到他们反击了.“陛下,呐下子俺们波塔尪国真真の发了.”申肜 公爵眉笑颜开道.“决赛阶段第一轮,鞠言战申和卢冰の盘口,压保额七拾多亿白耀翠玉！呐一下子,俺们波塔尪国就能获得七拾多亿押注积分.”另一名公爵也笑着说道.“哈哈,卢冰战申应该早点认输才是.早点认输,至少能活下来.蓝泊国尪,俺说得对不对?”贺荣国尪看向蓝泊国尪道.蓝泊 国尪看了贺荣国尪一眼,心中将贺荣国尪祖宗拾八代都骂了一遍.“呵呵,鞠言战申已经进入战申榜,他取代了卢冰战申の位置,暂事是第拾陆名.”仲零王尪笑着说道.鞠言击败了卢冰战申,在战申榜上自动取代卢冰战申の排名,而卢冰战申如果活着,那他の名次就是第拾七名.“不知道,鞠言战 申下一轮会挑战哪一位战申.”万江王尪眯着眼说道.“可能是……玄秦尪国の肖常崆战申?俺看鞠言战申呐性子,也不是好相与の呢.”秋阳王尪看向廉心国尪随意の语气道.玄秦尪国与鞠言也有矛盾,而玄秦尪国の肖常崆战申,在战申榜上排名第拾,按照规则鞠言战申是能够在下一轮决赛中 挑战肖常崆战申の.廉心国尪の脸色变了变.若是在鞠言战申杀死卢冰战申之前,廉心国尪自是巴不得鞠言挑战肖常崆战申.可现在,她の想法变了.委实是,鞠言の表现太过离奇.肖常崆战申の排名,虽然比卢冰战申高出几位,但二者在实历上,差距其实并不很大.肖常崆战申即便稍稍强出那么一 点点,可两人交手の话,肖常崆战申也不是一定能击败卢冰战申.一旦鞠言战申挑战肖常崆战申,那结果怕也难说.难道,要肖常崆战申主动认输?此事の鞠言战申,回到了纪沄国尪の身边.“鞠言战申,你已经登上战申榜了.拾陆名！”纪沄国尪兴奋の语气对鞠言说道.“俺们龙岩国,也出名了.” 纪沄国尪高兴得像个孩子,若不是由于呐里有太多人,她可能会在鞠言面前跳起来.“出名了,但俺们龙岩国还是太弱.陛下,俺们得尽快让尪国强大起来.就算不能成为顶级尪国,起码也得成为著名尪国.”鞠言笑着说道.“呐……太难了啊！著名尪国,一共只有二百个.俺们龙岩国,太弱小了.” 纪沄国尪摇头,那些著名尪国,基本上也都是很枯老の国度,每一个国家,都有大量善王级强者.龙岩国の善王,数量太少了.“只要资源足够,也并不是不能快速壮大扩罔.”鞠言笑道.“招揽善王级强者,需要の资源可就太多了.而且,就算有资源,善王也未必愿意加入呢.”纪沄国尪想一想其中 の难度,都觉得无历.“以前难,但以后会容易很多.之前是龙岩国没有名气,以后就不一样了.信任,会有不少善王,会主动の要加入龙岩国の.而且,俺们龙岩国可是有一头混鲲兽,呐吸引历对寻常善王可不小.”鞠言看着纪沄国尪道.混鲲兽！那是混元无上级强者都很在乎の叠要资源.虽是说, 混元无上级强者能够杀死混鲲兽,但并不是说混元无上级善王去了永恒之河就能猎杀到混鲲兽.想杀死混鲲兽,那需要多个条件都同事满足才行.首先,混鲲兽若是在永恒之河内不出来,那你就算一群混元无上级强者也无计可施.在永
直线方程和极坐标方程转化
直线方程和极坐标方程转化1. 直线方程转化为极坐标方程直线方程可以表示为一次函数的形式，即y = ax + b。
但在极坐标系统中，我们希望将直线方程用极坐标方程表示，即r = f(θ)的形式。
那么如何将直线方程转化为极坐标方程呢？首先，我们知道在直角坐标系中，直线可以由两点决定。
对于直线y = ax + b，假设我们选择两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)在直线上。
1.1 构造点P1和P2为了方便起见，我们选择两个特殊点P1和P2，使得它们能够方便地用极坐标表示。
首先，我们取P1点的直角坐标为(0, b)，即P1点的x坐标为0，y坐标为b。
然后，我们选择一个离P1点距离为d的点P2(x2, y2)。
由于斜率为a，我们可以使用直线的斜率公式来计算点P2的坐标：a = (y2 - b) / x2通过解上述方程，我们可以计算出点P2的x坐标和y坐标。
1.2 构造极坐标现在，我们有两个点P1和P2，它们的直角坐标已知。
我们需要将这两个点的直角坐标转化为极坐标。
对于点P1，极坐标可以表示为：r1 = √(x1^2 + y1^2)θ1 = arctan(y1 / x1)对于点P2，极坐标可以表示为：r2 = √(x2^2 + y2^2)θ2 = arctan(y2 / x2)1.3 极坐标方程转化有了点P1和P2的极坐标表示，我们可以通过插值法将直线方程转化为极坐标方程。
我们可以设想在极坐标下，点P1的极坐标为(θ1, r1)，点P2的极坐标为(θ2, r2)，我们希望找到一条极坐标曲线r = f(θ)与这两个点相切。
设曲线r = f(θ)与点P1和P2相切，那么曲线在这两个点处的切线的斜率分别等于点P1和P2处切线的斜率。
由于点P1和P2在直线上，它们的斜率是相等的。
根据直线的斜率公式，点P1的斜率可以表示为：k1 = (y1 - f(θ1)) / (x1 - θ1)点P2的斜率可以表示为：k2 = (y2 - f(θ2)) / (x2 - θ2)由于点P1和P2处曲线的斜率和直线斜率相等，我们可以有：k1 = k2 = a通过解上述方程，我们可以求解极坐标曲线的方程f(θ)。
极坐标系
§1.3.1极坐标系在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。
对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。
当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。
在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。
当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。
事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。
根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0<n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原处。
三、范例讲解例1、在极坐标系中，画出点A （1，4π），B （2，23π）C （3，4π-）D （4，49π） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即4π线，23π线，4π-线，49π线，4π线和49π线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。
指出：我们也可以允许0<ρ，此时极坐标（ρ，θ）对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上，它到极为O 的距离|ρ|，即规定当0<ρ时，点M （ρ，θ）就是点M （πθρ+-,）例2、如图在极坐标系中，写出点A ，B ，C ，的极坐标，解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。
直线的极坐标形式有哪些
直线的极坐标形式有哪些直线是几何学中最基本的图形之一，其表达形式有不同的方式，其中一种是极坐标形式。
极坐标是一种以原点和极径、极角来描述点的坐标系统。
在直角坐标系中，直线可以用一元一次方程y = kx + b来表示，而在极坐标系中，直线的表达形式则有其他几种方式。
1. 极坐标方程直线的极坐标方程是通过表示直线上的点与极坐标系的原点之间的距离和夹角来定义的。
表示直线的极坐标方程的一般形式是：$r = \\frac{p}{\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，r表示点与原点之间的距离，$\\theta$表示点与极轴之间的夹角，p表示直线到原点的垂线的长度，$\\alpha$表示直线与极轴的交角。
2. 直线的极坐标表示除了极坐标方程，直线的极坐标形式还可以用一些特殊表示来描述：(1) 斜线当直线相对极轴的交角为常数时，可以用斜线的方式表示直线。
斜线的极坐标方程为：$\\theta = \\alpha$其中，$\\theta$表示点与极轴的夹角，$\\alpha$表示直线与极轴的交角。
(2) 水平线当直线与极轴平行时，可以用水平线的方式表示直线。
水平线的极坐标方程为：$\\theta = \\frac{n\\pi}{2}$其中，n表示直线与极轴的交角为$\\frac{n\\pi}{2}$。
(3) 竖线当直线与极轴垂直时，可以用竖线的方式表示直线。
竖线的极坐标方程为：r=p其中，p表示直线到原点的垂线的长度。
(4) 直线段当直线在极坐标系内部时，用直线段的方式来表示直线。
直线段的极坐标方程为：$\\theta = \\alpha$$r \\leq r_{\\text{max}}$其中，r表示点与原点之间的距离，$\\theta$表示点与极轴之间的夹角，$\\alpha$表示直线与极轴的交角，$r_{\\text{max}}$表示直线上离原点最远的点的极径。
3. 极坐标方程与直角坐标方程的转换直线的极坐标方程可以通过一些方法转换为直角坐标方程。
直线的极坐标方程
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
直线的极坐标方程
相切的一条直线的方
B、 cos 2 D、 cos 4
3.求过A(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程。
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
π 例3.求过点A(2, )平行于极轴的直线。 4
解：如图，设M ( , )是直线l上除点A外的任意一点
A(2, ) MB 2 sin 2 4 4
在Rt OMB中， MB OM sin ,即 sin 2 可以验证，点A的坐标(2, )满足上式， 4
6、在极坐标系中，与圆 ＝4 sin 相切的一条
( B ) 直线的方程是 A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
) 1 sin( ． 1 )
1.两条直线 cos( ) a 与 sin(
置关系是（ B ） A、平行 B、垂直
) a 的位
C、重合
D、平行或重合
2.在极坐标系中，与圆
程是（ B ）
A、 sin 2 C、 cos 4
4sin
4
则上述直线MN的极坐标方程是什么？ 5 ( R) 或 ( R) 4 4 ( 0)表示极角为的一条射线。
直线的极坐标方程及柱坐标系和球坐标系课件
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为
4 ( 0)
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0 ) 2、求过极点，倾角为 坐标方程。
点M(ρ 0，θ 0)，且极轴到此直线的角为α ，直 线l的极坐标方程为： ρ sin(α -θ ) =
ρ 0sin(α -θ 0)
.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标.
由已知的对称直线的问题关于sin12一个圆的方程为在极坐标系中已知sinsin直线的方程是相切的一条化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的面积所围成的的面积积就是扇形解
§1.3.2直线的极坐标方程
【高二】高二数学直线的极坐标方程学案
【高二】高二数学直线的极坐标方程学案第06时1.3.2直线极坐标方程学习目标掌握直线的极坐标方程学习过程一、学前准备1、在平面直角坐标系中（1）通过点（3,0）并垂直于x轴的直线方程为：；通过点（3,3）并垂直于x轴的直线方程为（2）过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为2.上述两个问题中描述的直线上的点的共同特征是什么？二、新导学◆ 探索新知识（预览教科书P13~p15，找出疑问）问题1：如图，直线经过极点，从极轴到直线的角是，求直线的极坐标方程。
◆ 应用实例例1．求经过点且与极轴垂直的直线的极坐标方程。
（教材p14例2）解决方案：例2．把下列的方程是极坐标方程的化成直角坐标系方程，是直角坐标系方程的化成极坐标方程。
（1）◆反馈练习1.如果已知点的极坐标为，则通过该点并垂直于极轴的直线的极坐标方程。
三、总结提升◆ 本节摘要1．本节学习了哪些内容？答：根据极坐标方程掌握直线的坐标学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（）a、 B.很好C.一般D.差后作业1.解释以下极性方程代表的曲线，并绘制图表。
（1）（2）（3）及2、在极坐标系中，求适合下列条的直线的极坐标方程。
（1）过杆时，倾角为直线；（2）过点，并和极轴垂直的直线。
3.将下列直角坐标方程转换为极坐标方程：（1）（2）4、把下列极坐标方程化成直角坐标方程：（1）（2）5.给定直线的极坐标方程是，求点到直线的距离。
6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是.7.在极坐标系中，被圆切割的直线的弦长为。
高二数学直线的极坐标方程
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
；
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仨就一溜儿进院儿来了。他们人还都没有走进堂屋，耿憨的大嗓门就先传进来了：“嫂子哇，俺们在街门外头就闻到香味儿了！”郭氏和耿老 爹赶快接出来。郭氏高兴地说：“这不正要让兰儿去叫你们呢！快进屋哇，都准备得差不多了！”耿老爹说“大家伙儿快进屋哇！兰儿，你去 学堂喊你大哥二哥一声，就等他俩了！”耿憨说：“不用去喊了，正儿和小直子很快就回来了！”青海说：“俺们从粉坊回来之前，俺已经去 招呼过了。耿正哥说安排一下木匠师傅们下午做的活儿，他们就回来了。”说着话，耿老爹招呼大家伙儿进堂屋各自找地儿坐了。耿兰又要去 包饺子，郭氏说：“兰儿，那不多的几个，你就不用插手了。往大铁锅里添上半锅水慢慢烧着哇！”郭氏说着话，先把备好的小炒菜全部腾挪 到灶台旁边的小厨桌上，然后把并在一起的两张桌子抹干净了，再把已经装好的两份凉菜分别摆在两边，把白酒全部放在靠门口的八仙桌上， 米酒全部放在靠里边那张原先的餐桌上。想一想，又去西房橱柜里捧来两小瓷瓶米酒，擦擦瓶子的外面，在靠门口的八仙桌上也放上一小瓷瓶， 另外一小瓷瓶搁在一边备着。又摆上酒盅、筷子。一阵脚步声传进堂屋里来，郭氏高兴地说：“是这兄弟俩回来了！”话音未落，耿直欢快的 声音就响起来：“哇，真香啊！娘哎，俺饿坏了！”郭氏扭头看看快步进院儿的兄弟俩，笑着说：“还知道饿了，就你们俩回来得最晚！快快 洗手，咱们这就开饭！”耿直高兴地跳进来屋说：“俺和哥哥在学堂那边就洗过手了，现在就可以开吃！伯，叔，大家伙儿都到了，还真是俺 俩最晚了哇！”耿正进门来，抱歉地笑笑，说：“有一个师傅出去了，俺们等了他一小会儿。”面团儿全部包完了，耿英将剩下不多的肉馅儿 盖好，面盆儿面板擀面杖什么的先不管它，大家都出来洗手。于是，郭氏安排大家伙儿入座，说：“你们男人喝白酒，都坐这一桌；俺们女的 都坐这一桌。来，嫂子和弟妹招呼秀儿和妞儿坐哇，咱们喝米酒。”四个人都说要帮着炒菜煮饺子，郭氏说：“没有什么事儿了，杂烩菜和鸡 已经做好，俺盛出来就妥；其他的小炒也已经全部备好了，这炉子里火苗儿正旺着呢，一拨拉就行；有兰儿烧煮饺子的水就足够了，都坐哇， 英子你也坐下哇！”于是，耿老爹招呼男人们坐在靠外的八仙桌那边儿，耿英拉着女人们坐在靠里的桌子这边儿，各自开酒瓶子，满酒。郭氏 用两个大海碗盛了香喷喷的大杂烩菜，在两张桌子上各放上一碗；又将热好的肥鸡用两个大盘子分别装了，也在两张桌子上各放上一盘。耿老 爹说：“他娘，你和兰儿都来和大家伙儿喝一杯，你再拨拉那几个小炒菜哇！煮饺子不着急，兰儿也先来吃着哇！”郭氏对耿兰说：“兰儿， 快起来坐这儿哇。你爹说得对，煮饺子不着
厦门市高中数学教材人教A版目录(详细版)
考试范围：文科：必考内容：必修①②③④⑤+选修1-1，1-2选考内容：无选考内容理科：必考内容：必修①②③④⑤+选修2-1，2-2，2-3 选考内容（三选二）：选修4-2，4-4，4-5文、理科必考内容：数学①必修第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值1.3.2 奇偶性第二章基本初等函数（I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.2 函数模型的应用实例数学②必修第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.2 基本算法语句1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率3.1.2 概率的意义3.1.3 概率的基本性质3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 整数值随机数（random numbers）的产生3.3 几何概型3.3.1 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生数学④必修第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1.1.2 弧度制1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像和性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.4.3 正切函数的性质和图像1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义2.2.3 向量数乘运算及其几何意义2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式3.2 简单的三角恒等变换数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式√ab≤﹙a+b﹚/2文科必考内容：数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数3.3.2 函数的极值与导数3.3.3 函数的最大（小）值与导数3.4 生活中的优化问题举例数学选修1-2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图理科必考内容：数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程2.2 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.3 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.4 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算3.1.3 空间向量的数量积运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示3.2 立体几何中的向量方法数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数1.3.2 函数的极值与导数1.3.3 函数的最大（小）值与导数1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程1.5.3 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算数学选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率2.2.2 事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用理科选考内容（三选二）：数学选修4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用1.恒等变换2.旋转变换3.切变变换4.反射变换5.投影变换第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1. 逆变换与逆矩阵2. 逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1. 二元一次方程组的矩阵形式2. 逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1. 特征值与特征向量2. 特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1. A^nα的简单表示2. 特征向量在实际问题中的应用数学选修4-4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系1. 平面直角坐标系2. 平面直角坐标系中的伸缩变换二极坐标系1. 极坐标系的概念2. 极坐标和直角坐标的互化三简单曲线的极坐标方程1. 圆的极坐标方程2. 直线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介1. 柱坐标系2. 球坐标系第二讲参数方程一曲线的参数方程1. 参数方程的概念2. 圆的的参数方程3. 参数方程和普通方程的互化二圆锥曲线的参数方程1. 椭圆的参数方程2. 双曲线的参数方程3. 抛物线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线1. 渐开线2. 摆线数学选修4-5不等式选讲第一讲不等式与绝对值不等式一不等式1. 不等式的基本性质2. 基本不等式3. 三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1. 绝对值三角不等式2. 绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。
高二数学直线的极坐标方程
M
练习：写出点 的负极径的极坐标 （ 6， ） 6 11 答：（－6， +π） 或（－6，－ +π） 6 6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别 说明时），认为 ≥ 0 。因为负极径只 在极少数情况用。
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值； 在某些必要情况下，极径也可以取 负值。（？）
对于点M（，）负极径时的规定： P X
[1]作射线OP，使XOP=
O
[2]在OP的反向延长
M
线上取一点M，使OM=
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M（－3，/4）的位置
设直线L与极轴交于点A。则在MOP
极坐标系-人教版高中数学
知识图谱-极坐标方程曲线的极坐标方程直线的极坐标方程极坐标方程的应用第02讲_极坐标系错题回顾极坐标方程知识精讲一．曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程，如果曲线是由极坐标满足方程的所有点组成的，则称此二元方程为曲线的极坐标方程．2．极坐标方程与直角坐标方程的异同曲线的直角坐标系方程必须满足（1）曲线上任意一点的坐标都满足方程；（2）所有适合方程的所对应的点都在曲线上．曲线的极坐标方程由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程，有些表示形式可能不满足方程．二．直线的极坐标方程若直线经过点，且极轴到此直线的角为，则直线的极坐标方程为推导如下：如图，设直线上任意一点为，在中，由正弦定理，得因为，所以直线的极坐标方程为．几个特殊位置的直线的极坐标方程：1．直线过极点：和；2．直线过点且垂直于极轴：；3．直线过且平行于极轴：.三．圆的极坐标方程若圆心的坐标为，圆的半径为，则圆的极坐标方程为.推导如下，如图，设圆上任意一点为，在中，由余弦定理，得．故圆的极坐标方程是.几个特殊位置的圆的极坐标方程：1．圆心位于极点，半径为的圆的极坐标方程为；2．圆心位于，半径为的圆的极坐标方程为；3．圆心位于，半径为的圆的极坐标方程为．三点剖析一．方法点拨1．极坐标方程与直角坐标方程的转化当我们把极轴与平面直角坐标系的轴正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，则有和，利用这两个公式我们不仅可以把平面上的点的两种坐标进行相互转化，还可以把曲线的两种方程进行相互转化．在进行转化时，要注意：（1）互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的长度单位相同；（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在范围内求值；（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；（4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．2．极坐标方程的求法关键三角形法：寻找一个关键三角形，使动点的极径与极角与已知条件构成该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为关键三角形法．若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程，若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程．题模精讲题模一直线的极坐标方程例1.1、求（1）过点平行于极轴的直线．（2）过点且和极轴成角的直线．例1.2、如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l 的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=____．例1.3、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos（θ-）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．题模二曲线的极坐标方程例2.1、曲线ρ=2cosθ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程为____．例2.2、曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为____________．例2.3、在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，已知，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．例2.4、在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．题模三极坐标方程的应用例3.1、极坐标方程表示的曲线为（）A、极点B、极轴C、一条直线D、两条相交直线例3.2、设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，当点在圆上移动一周时，求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线例3.3、选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=1+，圆C的圆心是C(，)，半径为．（1）求圆C的极坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．随堂练习随练1.1、已知点P的极坐标是（2，π），则过点P且垂直极轴的直线方程是（）A、ρ=2B、ρ=2cosθC、ρ=-D、ρ=随练1.2、已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为____．随练1.3、在极坐标系中，圆C的圆心为（6，），半径为5，直线θ=α（0≤α≤，ρ∈R）被圆截得的弦长为8，则α的值为（）A、B、C、D、以上都不对随练1.4、表示的曲线是（）A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线随练1.5、极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为____．随练1.6、在极坐标系中，过圆ρ=4cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为____．随练1.7、已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为．随练1.8、在极坐标系中，已知圆ρ=2rsinθ（r＞0）上的任意一点M（ρ，θ）与点N（2，π）之间的最小距离为1，则r=____．自我总结课后作业作业1、极坐标系中，过点（2，）且与极轴垂直的直线方程为（）A、ρ=-4cosθB、ρcosθ-1=0C、ρsinθ=-D、ρ=-sinθ作业2、在极坐标系中，过点(2，)作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是____．作业3、极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（）A、一条射线和一个圆B、两条直线C、一条直线和一个圆D、一个圆作业4、在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=﹣2cosθ，ρcos（θ+）=1（1）求曲线C1和C2的公共点的个数；（2）过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使||•||=2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．作业5、在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为____．作业6、在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是____________________．作业7、在极坐标系中，直线与曲线相交于，两点，为极点，则的大小为（）A、B、C、D、作业8、如图，点在直线上移动，为等腰直角三角形，的顶角为（依次按顺时针方向排列），求点的轨迹方程，并判断轨迹形状．。
直线的极坐标方程
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
总结：高中数学极坐标公式及常见极坐标方程
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总结：高中数学极坐标公式及常见极坐标方程
2019-02-12| 转藏
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1.极坐标与直角坐标的互化公式；
2.常见圆的极坐标方程；
3.常见直线的极坐标方程
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l
5 射线OM’上任意一点的极角都是 ， 因此，射线OM’的极坐标 4 5 方程是 0;
4
0;
M
x
4 5 因此，直线l的方程可以用 和 表示. 4 4
直线的极坐标方程 探究:
求直线 l 的极坐标方程.
如图，直线 l 经过极点，从极轴到直线 l 的角是 4 ，
显然，点P的坐标( 1 ,1 )是方程(1)的解，所以， 方程(1)为直线l的极坐标方程。
课堂练习
1、直线l1 : sin( ) a和l2：＝ －的位置 2 关系为 ( B ) A、l1平行l2 , B、l1 l2 C、l1与l2重合，D、l1和l2 斜交
2、两条直线 cos( ) a与 sin( ) a ) 的位置关系是 ( B A、平行，B、垂直 C、重合，D、平行或重合
O
a
A
x
可以验证，点A的坐标(a,0)满足上式，
所以, 这就是所求直线的极坐标方程。
【点评】求直线极坐标方程的步骤： 1.画出草图，确定直线在极坐标系中的位置； 2.设M(ρ,θ)是直线上任意一点； 3.连接MO,建立关于ρ,θ的方程f(ρ,θ)=0并化简； 4.检验并确认所得方程即为所求.
练习 、求过点A(2, )平行于极轴的直线。 1 4
D、一条射线
5、在极坐标系中，已知一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是 ( C
＝12 sin( )，则过圆心与极轴垂直的
)
A、 sin 3 3B、 sin 3 3
C、 cos 3D、 cos 3
归纳小结：
直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定的角度 求直线的极坐标方程的步骤 1.画出草图，确定直线在极坐标系中的位置； 2.设M(ρ,θ)是直线上任意一点； 3.连接MO,建立关于ρ,θ的方程f(ρ,θ)=0并化简； 4.检验并确认所得方程即为所求.
2、求过A(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程。
解：由题意可知，在直角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方程
中的任何一个都表示直线L的方程.
们规定点M(ρ, θ)与点P(ρ,θ)关于极点对称.
例2.求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直线L的极坐标 方程.
解：如图，设M ( , )为l上除点A外的任意一点，
连接OM，由RtMOA有
OM cos MOA OA ，
L
M
即
cos a
1
P
x
在MOP中 OMP , OPM ( 1 )
由正弦定理，得 OM sin OPM OP sin OMP 即
O
1 sin[ ( 1 )] sin( )
即 sin( ) 1 sin( 1 )......... ......(1)
例3.设点P的极坐标为 ( 1 ,1 ) ,直线L过点P且与极轴所成的 角为 ,求直线L的极坐标方程.
解：如图，设M ( , )为直线l上除点P外的任意一点，
连接OM，则 OM ＝，xOP ,由点P的极坐标 为( 1 , 1 )知 OP ＝1，xOP 1 设直线l与极轴交于点A，已知直线l与极轴成
3、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2 sin
1 4、极坐标方程sin ( R)表示的曲线是 3
A、两条相交的直线
B、两条射线
C、一条直线
M
5 直线l的方程可以用 和 表示. 4 4 5
4 与用直角坐标方程y=x表示直线L x 比较，用极坐标方程表示过极点的直 M ' O 线L并不方便. 如果允许ρ取全体实数，那么极 说明：若ρ<0,则-ρ>o,我 坐标方程
4
5 R R 或 4 4
1.3.2
直线的极坐标方程
直线的极坐标方程 探究:
求直线 l 的极坐标方程.
如图，直线 l 经过极点，从极轴到直线 l 的角是 4 ，
l
4
O
x
直线的极坐标方程 探究:
求直线 l 的极坐标方程.
如图，直线 l 经过极点，从极轴到直线 l 的角是 4 ，
M
如图，以极点o为分界点，直线l上点的极坐标 分成射线OM、射线OM’两部分. 5 射线OM上任意一点的极角都是 ， 4 4 4 因此，射线OM的极坐标方程是 ' O
A ( 2,
4
)
M
O
解：如图，在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) MH 2 sin 2 4 4 在RtOMH中， ＝ OM sin , 即 sin 2 MH 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
H