高等数学习题集(上)第一章总复习题(一)答案

总复习题(一)

一、1. (1,10)，,2k x x k Z π⎧⎫

≠

∈⎨⎬⎩⎭

； 2. 2sin x ，2sin x ； 3. 2，8-； 4. ln 2； 5.

2； 6. 必要不充分； 7. 2； 8. 第二类振荡； 9. 0x =和2x =

二、1.

解：原式1

11x x →→=== 2. 解：原式112(1)11lim

lim (1)(1)12

x x x x x x →→-+-===-+-+

3. 解：原式cos 1lim

1cos 1x x

x x x

→∞-

==+

4.

解：原式lim

x =

lim

lim

1

x x ===-

5.

解：原式01lim sin 21x x x

+→==+

6. 解：原式2

2111lim 22x x x →∞⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ 7. 解：原式2

02

lim

212

x x x →== 8. 解：原式2000cos tan sin tan (1cos )lim lim cos lim sin sin tan sin tan x x x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫

=⋅=⋅

⎪⎝⎭

2

20112lim 2

x x

x →==

9. 解：原式2(1)2121

1

2

12122lim lim 12121x x x x x x x e e x x ++++→∞

→∞⎡

⎤++⎛⎫

⎛

⎫⎢⎥==+== ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭

⎝⎭

⎣

⎦

10. 解：原式2

cos 11

1

cos 12

lim[(1cos 1)

]x x x x x e --

-→=+-=

11. 解：原式sin tan sin sin 33

000(1)tan sin lim lim lim x x x x

x x x e e x x e x x -→→→--==⋅

2

33001tan (1cos )12lim lim 2

x x x x x x x x →→⋅-===

12. 解：原式3225lim 52525n

n n →∞⎛⎫

+ ⎪

⎝⎭==⎛⎫

+⋅ ⎪

⎝⎭

三、解：原式20lim 1sin cos x x x x x

→=+-

022114lim

2sin 1cos 1312

x x x x x x x →→=⋅=⨯=

-++

四、解：易得0x =是间断点

当0x -

→时，1

x

→-∞，120x →，()1f x →-，即0lim ()1x f x -

→=- 当0x +→时，

1

x

→+∞，1

2x

→+∞，此时1001112lim ()lim

1112

x

x x x f x ++→→-

==+

五、解：22

2

000ln(1)lim ()lim lim sin x x x ax ax f x a x x

x ---→→→+=== 0

0011lim ()lim 2(1)arctan lim 2(1)lim arctan 22

x x x x f x x x x x π

π++

++

→→→→=+=+⋅=⨯= 0

lim ()x f x →存在00

lim ()lim ()x x f x f x a π+-

→→⇒=∴=

六、解：1

113(3)(423)(33)n n

n n n n n

=<++<⋅=

lim33n n →∞

→∞

==∴由夹逼准则，原式3=

考研真题：

解：1

1

400012sin lim ,lim 0lim 2111x

x

x x x x e x e x x e ---→→→⎛⎫+ ⎪=-∞=⇒+=-= ⎪- ⎪

+⎝⎭

1431

40000042112sin sin lim ,lim lim lim lim 011111x x x x x x x x x x x

e x x e e e x x x e e

+++++→→→→→⎛⎫+ ⎪

⎛⎫+ ⎪ ⎪=+∞=+∞⇒+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

故原极限1=