电磁场与波公式

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矩形波导 TE 模 Hz = Acos mπ nπ xsin y a b mπ nπ xcos y a b Hx = jDsin mπ nπ xcos y a b Hy = jE cos mπ nπ xsin y a b
Ex = jB cos TM 模
Ey = −jC sin
mπ nπ xcos y a b Ez = Asin
方程组（积分形式） ‹ ˛ ¨ ∂B · dS D · dS = Q E · dl = − ∂t 方程组（时谐场，复数形式） ˙ =ρ ∇·D ˙ ˙ ˙ = −jωµH ∇×E
˙ =0 ∇·B
˙ =J ˙ + jωεE ˙ ∇×H
电荷连续性方程 ∇·J=− 边界条件 n ˆ · (D2 − D1 ) = ρs ∂ρ ∂t
‹ J · dS = −
∂ ∂t
˚ ρd V ∇ · J = −jω ρ ˙
n ˆ × (E2 − E1 ) = 0
n ˆ · (B2 − B1 ) = 0
n ˆ × (H2 − H1 ) = Js
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电偶极子的远场展开（静电场） 远场电位表达式 φp = 远场电场表达式（球坐标） Er = p cosθ 2πε0 r3 Eϑ = p sinθ 4πε0 r3 Eϕ = 0 p·r ˆ 4πε0 r2
Ez = E3 sin
mπ nπ pπ x sin y cos z a b l mπ nπ pπ Hz = jH3 cos x cos y sin z a b l
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电偶极子、磁偶极子的辐射场 电偶极子 ˆ] E = Re[M sinθej (ωt−kr) θ B= 磁偶极子 ˆ] E = Re[M sinθej (ωt−kr) ϕ ˆ] B = Re[N sinθej (ωt−kr) θ ˆ] B = Re[N sinθej (ωt−kr) ϕ 1 r ˆ× E c
+ + Ex (t, z ) = Exm cos(ωt − kz + ϕ1 )
− Ex (t, z Байду номын сангаас =− − Hy (t, z )
µ ε
√
µ ε
√
µ0 = 120π Ω ≈ 377Ω ε0
+ + Ey (t, z ) = Eym cos(ωt − kz + ϕ2 )
若 ϕ1 − ϕ2 = 0, π ，则是线极化波 ，则是左旋极化波 若 ϕ1 − ϕ2 = − π 2 若 ϕ1 − ϕ2 = π ，则是右旋极化波 2 16 平面电磁波对理想导体平面的投射 设导体平面是 x 平面，投射方向是 z 方向，垂直极化波（TE 波） Ey = Asin(kz z )e−jkx x · j Hx = B cos(kz z )e−jkx x Hz = C sin(kz z )e−jkx x · j
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时谐场的波动方程（ 《电磁场理论基础》P171） ρ ∇2 E + ω 2 µεE = jωµJ + ∇( ) ε 在无源区域中 ∇2 E + ω 2 µεE = 0 辅助位函数 ψ ∇2 ψ + ω 2 µεψ = 0 ∇2 H + ω 2 µεH = 0 ∇2 H + ω 2 µεH = −∇ × J
电磁场与波公式集锦
S. Dong
1 Gauß 定律 ‹ E · dS = 2 电位移矢量 D = ε0 E + P = εE ‹ ∇ · D = ρf D · dS = Qf 3 磁场的 Gauß 定律 ‹ B · dS = 0 4 磁场强度矢量 H= ˛ B B −M= µ0 µ H · dl = If 5 Ampère 环路定律 ˛ B · dl = µ0 I 6 Faraday 电磁感应定律 d ei = − dt 7 Maxwell 方程组 方程组（微分形式） ∇·D=ρ ∇×E=− ∂B ∂t ‹ B · dS = 0 ∇·B=0 ∇×H=J+ ˛ H · dl = ∂D ∂t ¨ (J + ∂D ) · dS ∂t ¨ B · dS ∇·B=0 q ε0 ∇·E= ρ ε0
mπ nπ xsin y a b
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谐振腔 场结构
nπ pπ mπ x sin y sin z a b l mπ nπ pπ Hx = jH1 sin x cos y cos z a b l 谐振频率 Ex = E1 cos
mπ nπ pπ x cos y sin z a b l mπ nπ pπ Hy = jH2 cos x sin y cos z a b l Ey = E2 sin m n p ω ( )2 = π 2 [( )2 + ( )2 + ( )2 ] v a b l
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静电场的能量密度 ω= 1 2 εE 2
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标量电位的边界条件（ 《电磁场理论基础》P44） φ1 | s = φ2 | s 金属表面 φ|s = const ∂φ ∂n =−
s
ε1
∂φ1 ∂n
= ε2
s
∂φ2 ∂n ρ ε
s
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电位方程 Poisson 方程 ∇2 φ = − Laplace 方程 ∇2 φ = 0 ρ ε0
Ex = −jB cos 截止频率
mπ nπ xsin y a b
mπ nπ xsin y a b mπ mπ nπ nπ Ey = −jC sin xcos y Hx = jDsin xcos y a b a b ωc = c[( mπ 2 nπ 1 ) + ( )2 ] 2 a b
Hy = −jE cos
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无损媒质中的均匀平面波（ 《电磁场理论基础》P192） 无源无损媒质中的电磁场方程 ˙ m = jωεE ˙m ∇×H ˙m ˙ m = −jωµH ∇×E ˙m=0 ∇·H √ ˙m =0 ∇·E
− Ey (t, z ) = − Hx (t, z )
设在无损媒质中电磁波向 ±z 方向传播 √ √ + + Ey (t, z ) µ µ Ex (t, z ) = =− + + Hy (t, z ) ε Hx (t, z ) ε 真空中波阻抗 Zc = 15 电磁波的极化 设沿 z 轴正向传播的电磁波电场表达式为
设导体平面是 x 平面，投射方向是 z 方向，平行极化波（TM 波） Hy = Acos(kz z )e−jkx x Ex = B sin(kz z )e−jkx x · j Ez = C cos(kz z )e−jkx x
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同轴线波导 截面电势（截面内径 r2 ，外径 r1 ，内外电势差 U0 ） φ(ρ) = 特性阻抗 Zc = U0 ρ −jkz e r1 ln ln r2 r1 √ µ 1 r1 ln ε 2π r2
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时变场的坡印亭定理（ 《电磁场理论基础》P184） 瞬时坡印亭矢量 S=E×H 一般时变场的坡印亭定理 ‹ ˚ ˚ ∂ 1 1 − S·n ˆ dS = J · EdV + ( εE 2 + µH 2 )dV ∂t 2 2 S V V 复数坡印亭矢量 ˙ = 1 E(r) × H∗ (r) S 2 平均能流密度 ¯ = Re(S ˙) S 平均磁能、电能密度和热损耗 ω ¯m = 复数坡印亭定理 ∇ · S + 2jω (¯ ωm − ω ¯ e ) = −p 1 µ|H(r)|2 4 ω ¯e = 1 ε|E(r)|2 4 p= 1 E(r) · J∗ (r) 2