(浙江专用)202x版高考数学大一轮复习 课时5 2.3 函数的奇偶性与周期性
高考数学一轮复习 第二章 函数2.3函数的奇偶性与周期性教学案 理
2.3 函数的奇偶性与周期性考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是偶函数关于____对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是奇函数 关于______对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝______，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫做f (x )的最小正周期．3．对称性若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线__________对称．1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1 3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )．A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．25．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．一、函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x 1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：1．定义法2．图象法3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．请做演练巩固提升1二、函数奇偶性的应用【例2－1】设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x －2)＞0}＝( )．A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4} C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}【例2－2】设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax1＋2x是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．【例2－3】设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．方法提炼函数奇偶性的应用：1．已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．4．若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f (x )是偶函数且在x ＝0处有定义，就不一定有f (0)＝0，如f (x )＝x 2＋1是偶函数，而f (0)＝1.请做演练巩固提升3,4三、函数的周期性及其应用【例3－1】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝3，则f (2 014)＝__________.【例3－2】已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x，若f (1)＝2 014，则f (103)＝__________.方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；(2)若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(3)若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1f x ＋a＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1f x，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．请做演练巩固提升5没有等价变形而致误【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－73≤x≤5.分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x ＜－13或－13＜x ＜3或3＜x ≤5. ∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5. 答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”、“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64) ⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了．1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋12．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则f (x )为( )．A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．A．－9 B．9 C．－3 D．04．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－2，或x＞4} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}5．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．f (－x )＝f (x ) y 轴 f (－x )＝－f (x ) 原点2．(1)f (x ) (2)存在一个最小 最小3．x ＝a基础自测1．C 解析：判断f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故选C.2．A 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，即：x(2x ＋1)(x －a )＝x(－2x ＋1)(－x －a )恒成立，整理得：a＝12.故选A. 3．D 解析：当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．4．A 解析：∵f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.5．单调递增 解析：∵T ＝4，且在[－6，－4]上单调递减， ∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．考点探究突破【例1】 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)要使f (x )有意义，则1－x 1＋x≥0， 解得－1＜x ≤1，显然f (x )的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3， ∴－2≤x ≤2且x ≠0. ∴函数f (x )的定义域关于原点对称． 又f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．【例2－1】 B 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8.又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2.由f (x －2)＞0得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2，－(x －2)3－8>0.解得x ＞4或x ＜0，故选B.【例2－2】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－32 解析：∵f (x )在(－b ，b )上是奇函数，∴f (－x )＝lg 1－ax 1－2x ＝－f (x )＝－lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1＋2x 1＋ax ， ∴1＋2x 1＋ax ＝1－ax 1－2x对x ∈(－b ，b )成立，可得a ＝－2(a ＝2舍去)． ∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x.由1－2x 1＋2x ＞0，得－12＜x ＜12. 又f (x )定义区间为(－b ，b )，∴0＜b ≤12，－2＜a ＋b ≤－32. 【例2－3】 解：(1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c .∵g (x )是一个奇函数，∴g (0)＝0，得c ＝0，由奇函数定义g (－x )＝－g (x )得b ＝3.(2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2，2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42；g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.【例3－1】 3 解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32 ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3.【例3－2】 －12 014 解析：∵f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )， ∴f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ). ∴f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4.∵f (1)＝2 014，∴f (103)＝f (25×4＋3)＝f (3)＝－1f (1)＝－12 014.演练巩固提升1．D 解析：对于D，y＝lg 1x＋1的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数．2．B 解析：显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，故选B.3．B 解析：由题可知，f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)．又f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)．令t＝x＋1，可得f(t)＝－f(t－2)，所以f(t－2)＝－f(t－4)．所以可得f(x)＝f(x－4)，所以f(8.5)＝f(4.5)＝f(0.5)＝9，故选B.4．B 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4＞0，所以x＞2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞2}．将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．5．－1 解析：由已知得f(0)＝0，f(1)＝－1.又f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)且T＝4，∴f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝1，f(2 008)＝f(0)＝0，f(2 009)＝f(1)＝－1，f(2 010)＝f(2)＝0，f(2 011)＝f(3)＝1，f(2 012)＝f(0)＝0，f(2 013)＝f(1)＝－1.∴f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝－1.。
2025届高考数学一轮复习讲义函数之 函数的奇偶性、周期性与对称性
f ( x ＋ T )＝ f (做周期函数.非零
常数 T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数 f ( x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫
做 f ( x )的⑩
注意
最小
正周期.
并不是所有的周期函数都有最小正周期，如 f ( x )＝5.
1
f(x)＝ ＋｜x｜
4. 已知函数 f ( x )为R上的偶函数，且当 x ＜0时， f ( x )＝ x ( x －1)，则当 x ＞0时，
f ( x )＝ x ( x ＋1)
.
5. 已知定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x )＝ f ( x －2)，当 x ∈[0，2)时， f ( x )＝ x 2－4
x ，则当 x ∈[4，6)时， f ( x )＝
x 2－12 x ＋32
.
[解析] 设 x ∈[4，6)，则 x －4∈[0，2)，则 f ( x －4)＝( x －4)2－4( x －4)＝ x 2－12 x
＋32.又 f ( x )＝ f ( x －2)，所以函数 f ( x )的周期为2，所以 f ( x －4)＝ f ( x )，所以当 x
a ｜；
(2)若函数 f ( x )的图象既关于点( a ，0)对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的周
期为2｜ b － a ｜；
(3)若函数 f ( x )的图象既关于直线 x ＝ a 对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的
周期为4｜ b － a ｜.
二、基础题练习
，那么
高考数学大一轮复习 第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性课件
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规律方法 1 1.本例第(1)题，若盲目化简：f(x)＝ x＋12·xx－＋11＝ x2－1将扩大函数的定义域，作出错
误判断．第(2)题易忽视定义域无从入手．
2．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原
点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，
根据 f(－x)与 f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情
不等式fx＋xf－x＞0 的解集为________．
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【答案】
(1)－1
(2)f(x)＝
x2－2x，x≥0， x2＋2x，x＜0
＜－2 或 0＜x＜2}
(3){x|x
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规律方法 2 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式，常 利用奇偶性构造关于 f(x)的方程，从而可得 f(x)的解析式．
(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数， 常常采用待定系数法：利用 f(x)±f(－x)＝0 产生关于字母的恒 等式，由系数的对等性可得知字母的值．
(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称 的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反．
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对点训练 (1)(2014·湖南高考)已知 f(x)，g(x)分别是定义
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1．奇、偶函数对称区间上的单调性 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 2．奇函数图象与原点的关系： 如果奇函数 f(x)在原点有定义，则 f(0)＝0.
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二、周期性 1．周期函数：T 为函数 f(x)的一个周期，则需满足的条 件： ①T≠0； ② f(x＋T)＝f(x) 对定义域内的任意 x 都成立． 2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在 一个_最__小__的__正__数__，那么这个最__小__的__正__数___就叫做它的最小正 周期．
(浙江专版)高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性教案 文
第三节 函数的奇偶性与周期性【考纲下载】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数及其图象特征2．周期性 (1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．若函数f (x )在区间[a ，b ](a ≠b )上有奇偶性，则实数a ，b 之间有什么关系？ 提示：a ＋b ＝0.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称．2．若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，那么f (0)为何值？如果是偶函数呢？ 提示：如果f (x )是奇函数时，f (0)＝－f (0)，则f (0)＝0；如果f (x )是偶函数时，f (0)不一定为0，如f (x )＝x 2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．4．若T 为y ＝f (x )的一个周期，那么nT (n ∈Z )是函数f (x )的周期吗？提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n ∈Z 且n ≠0时，nT 是f (x )的周期．1．(2013·广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 函数y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x 为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2.2．(2013·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.3．(2013·湖北高考)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数 解析：选D 函数f (x )＝x －[x ]在R 上的图象如下图：故f (x )在R 上为周期函数．4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 为二次函数，其图象的对称轴为x ＝－a －42，因为偶函数的图象关于y 轴对称，所以－a －42＝0，解得a ＝4.答案：45．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________. 解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.答案：－12前沿热点(二)与奇偶性、周期性有关的交汇问题1．函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起与函数图象、函数零点等问题相交汇命题．2．函数的奇偶性主要体现为f (－x )与f (x )的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f (x ＋T )与f (x )的关系．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题．[典例] (2012·辽宁高考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos (πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解题指导] 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知该函数是周期为2的偶函数，可画出g (x )与f (x )的图象，利用数形结合的思想求解．[解析] 由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图象，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上有6个交点，故函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点有6个． [答案] B[名师点评] 解决本题的关键有以下几点： (1)正确识别函数f (x )的性质；(2)注意到x ＝0是函数h (x )的一个零点，此处极易被忽视； (3)正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题．(2014·合肥模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－14解析：选D ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图象如图． 显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两个不同的公共点．另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知x 2＝x ＋a ，即x 2－x －a ＝0，Δ＝1＋4a ＝0，则a ＝－14，此时x ＝12.综上可知a ＝0或－14.。
浙江专版高考数学一轮复习第三章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性及周期性课件
必过易错关
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对 称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0) ＝－f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)．
(4)f(x)＝|x＋4－3|－x23；
解：∵由4|x－＋x32|≥－03，≠0， 得－2≤x≤2 且 x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝|x＋4－ 3|－x23＝ x＋4－3－x2 3＝
4－x2， x
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)(易错题)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx><00，. 解：易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点 对称，又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x， 则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
2t＝sin θ≥0，则 f(0)＋f(1)＝1＋12sin θ±12cos θ＝1＋ 22sinθ±π4≤1＋ 22.
故所求最大值为 1＋ 22.
答案：1＋
2 2
考点三 函数性质的综合应用
[锁定考向]
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高 考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相 结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值 为主．多以选择题、填空题形式出现．
高考数学(浙江版,理)课件：2.3 函数的奇偶性与周期性
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实
数a满足f(log2a)+f(log 1 a)≤2f(1),则a的取值范围是 ( )
A. 12 ,
2
B. 12 ,2
(1)考察定义域是否关于③原点对称 ;
(2)根据定义域考察表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x): 若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数; 若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数; 若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数; 若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶 函数.
解法二:作出函数图象,发现图象关于c原点对称,所以函数为奇函数.
解法三:函数解析式可化简为f(x)=x(1+|x|),x∈R,则f(-x)=-x(1+|-x|)=-x(1+|x|)
=-f(x),所以函数为奇函数.
判断函数奇偶性的步骤 (1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数 的必要条件; (2)如果函数的定义域关于原点对称,那么可进一步判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=
f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反 例). 注意:判断分段函数的奇偶性应分段分别判断f(-x)与f(x)的关系,只有对各 段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.
1-1 (2015浙江丽水一模,3,5分)下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数
的是 ( )
A.y=2|x|
高中数学一轮专题复习：函数的奇偶性与周期性课件
解析：∵f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0 又 f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(4)＝f(0)＝0
题型三、函数性质的综合应用
命题点1：求函数值或函数解析式 例3：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)
时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__1_2___
2
由图像可知，
－2 O
x
满足不等式x f(x)<0的解为：
x<－2或x>2
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、归纳总结
1.函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于 原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系． 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
一、基础知识梳理
3.奇(偶)函数的性质
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0； (4)在公共定义域内有： ①奇函数±奇函数＝奇函数；
②偶函数±偶函数＝偶函数； ③奇函数×奇函数＝偶函数；
命题点1：求函数值或函数解析式 对点训练3：若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇 函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则
f（－2.5）＋f(2)＝__－__2__
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
∴f(2)＝f(0)＝0， ∵ 当 0<x<1时，f(x)＝4x ， ∴f(－2.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5) ＝－40.5 ＝－（22）0.5
2025高考数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性【课件】
【解】 (1)由x32－－x32≥≥00，， 得 x2＝3，解得 x＝± 3， 即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}， 从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， ∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵4|x－＋x32|>≠0，3 ⇒－2<x<2 且 x≠0， ∴函数定义域关于原点对称． f(x)＝lxn＋43－－x23＝ln4－x x2， 又 f(－x)＝ln[4－－－x x2]＝－ln4－x x2， ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
奇函数 有－x∈I，且
f(－x)＝－f(x)
关于 ，那
原点
对称
么函数 f(x)就叫做奇函数
提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)函数奇偶性常用结论 ①若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0，若函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． ②奇函数在两个关于原点对称的区间上若单调，则具有相同的单调性；偶函数在两个 关于原点对称的区间上若单调，则具有相反的单调性．
易错点睛：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要不充分条件，忽视函数的定 义域是常见的思维障碍．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 函数的奇偶性 角度 1：函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝|lxn＋43－|－x23； (3)f(x)＝x－2＋x2x＋，xx，<x0>，0 ； (4)f(x)＝loga(x＋ x2＋1)(a>0 且 a≠1)．
第二章 函数
第三节 函数的奇偶性与周期性
高考数学浙江专版(理)一轮复习：第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性.pdf
第3讲 函数的奇偶性与周期性 分层A级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列判断正确的是( )． A．函数f(x)＝是奇函数 B．函数f(x)＝(1－x) 是偶函数 C．函数f(x)＝x＋是非奇非偶函数 D．函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数 解析 选项A中的x≠2，而x＝－2有意义，定义域不关于原点对称，选项B中的x≠1，而x＝－1有意义，定义域不关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数． 答案 C 2．(2013·豫东、豫北十所名校三测)已知函数f(x)＝则该函数是( )． A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 解析 当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x－1)＝0，易知f(0)＝0.因此，对任意xR，均有f(－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0时，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增，选C. 答案 C 3．已知偶函数f(x)(x≠0)在区间(0，＋∞)上(严格)单调，则满足f(x2－2x－1)＝f(x＋1)的所有x之和为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 依题意得，方程f(x2－2x－1)＝f(x＋1)等价于方程x2－2x－1＝x＋1或x2－2x－1＝－x－1，即x2－3x－2＝0或x2－x＝0，因此所有解之和为3＋1＝4，选D. 答案 D 4．(2013·武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝( )． A．2 B. C. D．a2 解析 依题意知：f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)＝a－x－ax＋2，联立f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，解得：g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，故a＝2，f(2)＝22－2－2＝4－＝. 答案 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2012·孝感模拟)已知f(x)是偶函数，当x0时，f(x)＝________. 解析 当x>0时，则－x0时，f(x)＝x2－x. 答案 x2－x 6．(2012·重庆)函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，f(x)为偶函数， 则a－4＝0，即a＝4. 答案 4 三、解答题(共25分) 7．(12分)已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，f(x)的表达式． 解 设x＜0，则－x＞0，所以满足表达式f(x)＝x|x－2|. f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|. 又f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)， f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|， 故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|. 8(13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，aR)． (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数； 当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]， 由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x20. 要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 只需f(x1)－f(x2)0恒成立，则a≤16. 分层B级 创新能力提升 1．(2013·福州质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )． A．－2 B．2 C．－98 D．98 解析 f(x＋4)＝f(x)，f(x)是周期为4的函数，f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又f(x)在R上是奇函数，f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，而当x(0,2)时，f(x)＝2x2，f(1)＝2×12＝2，f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A. 答案 A 2．(2012·江西盟校联考)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )． A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)(1,3) D．(－1,0)(0,1) 解析 f(x)的图象如图． 当x(－1,0)时，由xf(x)>0，得x(－1,0)； 当x(0,1)时，由xf(x)＜0，得x； 当x(1,3)时，由xf(x)>0，得x(1,3)． x∈(－1,0)(1,3)，故选C. 答案 C 3．(2012·吉林实验中学模拟)给出两个函数性质： 性质1：f(x＋2)是偶函数； 性质2：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数． 对于函数：f(x)＝|x＋2|，f(x)＝(x－2)2，f(x)＝cos(x－2)，上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是________． 解析 将f(x＋2)的图象沿x轴向右平移2个单位可得f(x)的图象，f(x＋2)的图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(x)＝|x＋2|的图象关于直线x＝－2对称，排除；f(x)＝cos(x－2)是周期函数，不满足性质2，排除；f(x)＝(x－2)2同时满足性质1,2. 答案 4．(2013·盐城调研)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题： f(2)＝0； x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴； 函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增； 若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8. 以上命题中所有正确命题的序号为________． 解析 令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0；根据f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2＝－8.故正确命题的序号为. 答案 5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积． 解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又因为当0≤x≤1时，f(x)＝x，从而得f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示． 当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4SOAB＝4×＝4. 6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称． (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； (2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x[－5，－4]时，函数f(x)的解析式． (1)证明 由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故有f(－x)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x)． 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数． (2)解 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x[－1,0)时，－x(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－. 故x[－1,0]时，f(x)＝－； x[－5，－4]时，x＋4[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－. 从而，x[－5，－4]时，函数f(x)＝－.。
2025届高中数学一轮复习课件《函数的奇偶性、周期性》PPT
高考一轮总复习•数学
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已知函数奇偶性可以解决的几个问题 (1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于参数的恒等 式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值． (4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区 间上的单调性．
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对点练 2(1)(2024·重庆一中月考)已知函数 f(x)＝ax3＋bsin x＋3，若 f(m)＝2，则 f(－m)
＝( )
A．4
B．5
C．7
D．－2
(2)已知函数 f(x)的图象为[－1,1]上连续不断的曲线，且 2 019f(－x)＝2 0119fx，f(x)在[0,1]
高考一轮总复习•数学
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(3)解：∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＋f(2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1) ＝1.
高考数学一轮复习课件_2.3函数的奇偶性与周期性
【答案】 －10
1．(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝ f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x) ＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 【解析】 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x) ＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0， f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
(2)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数 在关于原点对称的区间上单调性相同．
(3)①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；②若奇函数f(x)在x＝0 时有定义，则f(0)＝0.
【解析】 (1)设x＞0，则－x＜0， ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)＝ax2＋bx. 又f(－x)＝－f(x)， ∴a＝－1，b＝1，∴a＋b＝0.
【答案】 B
【解析】 D(x)的值域是{0，1}，选项A正确．当x是有 理数时，－x也是有理数，且D(－x)＝1，D(x)＝1，故D(－x) ＝D(x)，当x是无理数时，－x也是无理数，且D(－x)＝0， D(x)＝0，即D(－x)＝D(x)，故D(x)是偶函数，选项B正确． 当x是有理数，D(x＋a)＝1＝D(x)；
【答案】 B
【解析】 y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平 移一个单位得到的，而y＝f(x)的图象的对称轴为x＝0.
【答案】 B
3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则 f(8)的值为( )
【全程复习方略】(浙江专用)高考数学 2.3函数的奇偶性与周期性配套课件 文 新人教A版
【解析】(1)∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)的最小正周期为4， ∴f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=2 012×12=2 012.
(2)∵f(x+1)=-f(x),
∴f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x).
∴最小正周期为2.
答案：(1)2 012 (2)2
第三节 函数的奇偶性与周期性
三年12考
1.理解函数的奇偶性，会判断函数奇偶性；
高考指数:★★★
2.会运用函数的图象理解和讨论函数的奇偶性；
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函 数的周期性．
1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向； 2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题;
1 x
1 x
解得函数的定义域为(-1,1］,不关于原点对称，因此函数f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为： (-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称， ∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)；
当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
（2）已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的解析式，转化到已知区间上，再利用奇偶性求 出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程（组），从而得到 f(x)的解析式.
3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目.
1.函数奇偶性的定义
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.
f(-x)=f(x) (1)f(x)为偶函数⇔___________; (2)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x) ___________.
新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第3讲函数的奇偶性与周期性课件
又当x∈(2，4]时，x－4∈(－2，0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 即当x∈(2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
〔变式训练1〕 (1)(角度1)将例2中“函数f(x)在R上为奇函数”改为“函数f(x)为偶函 数且定义域为{x∈R|x≠0}”，则f(x)的解析式为_f_(x_)_＝____x－_＋_x_1＋_x_1>_0_x<_，_0_. (2)(角度2)(2019·北京，13，5分)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若 f(x)为奇函数，则a＝__－__1__.
(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．
1－x2≥0，
－1≤x≤1，
由|x＋2|－2≠0， 得x≠0.
故 f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有 x＋2>0.
从而有 f(x)＝x＋12－－x22＝ 1－x x2，这时有 f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝
－f(x)，故 f(x)为奇函数．
(4)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx><00， ； (5)f(x)＝|x＋12－|－x22； (6)已知函数 f(x)对任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)， 且 f(0)≠0. [分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域 内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的 关系．抽象函数常用赋值法判断．
(3)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称． ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－ f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数． (4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又 当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
数学人教版新优化浙江大一轮复习课件：2.3函数的奇偶性与周期性3
9
9
∴f -2 =f -2+3×2 =f
A
3
2
3
=f 0+2 =-f(0)=0.故选 A.
关闭
解析
答案
知识梳理
知识梳理
-10-
双击自测
5.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0
时,f(x)=x(1+x),则当x<0时,f(x)=
.
关闭
当x<0时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).
1
t
数,故 C 错误;D.设 ln x=t⇒x=e ,则 f(ln x)=x+ ⇒f(t)=et+e-t,即
f(x)=e
+e ,定义域关于原点对称,且是偶函数,故 D 正确,选 D.
D
x
-x
解析
关闭
答案
-14考点一
考点二
考点三
方法总结判断函数奇偶性常用方法及思路:
1.定义法:
2.图象法:
-15考点一
x,g(x)=|x|,可知D不对,故选C.
关闭
C
解析
答案
-18考点一
考点二
考点三
函数奇偶性的应用(考点难度)
2 + , ≥ 0,
【例2】 (1)已知t∈R,函数f(x)= (), < 0 为奇函数,则
t=
,g(f(-2))=
.
关闭
因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=20+t=0,解得t=-1;因为f(-2)=-f(2)=22+1=-3,所以g(f(-2))=g(-3)=-f(3)=-23+1=-7.
(浙江专用)高考数学一轮复习 1-2-3函数的奇偶性与周期性课件 文
• 解析 依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝ －f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝ － f(x)g(x) ＝－ [f(x)·g(x)] ， f(x)g(x) 是奇函数， A 错 ； |f( － x)|·g( － x) ＝ | － f(x)|·g(x) ＝ |f(x)|g(x) ， |f(x)|g(x) 是 偶 函 数 ， B 错 ； f( － x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝ • －[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确； • |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|， • |f(x)g(x)|是偶函数，D错． • 答案 C
• 5．(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是 定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f(x) ＝ x(1 ＋x)，则x＜0时，f(x)＝________. • 解析 当x＜0时，则－x＞0， • ∴f(－x)＝(－x)(1－x)． • 又f(x)为奇函数， • ∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， • ∴f(x)＝x(1－x)． • 答案 x(1－x)
(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， 当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)． ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
2 4－x ≥0， (4)∵ |x＋3|≠3
⇒－2≤x≤2 且 x≠0，
• 4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4) ＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015) 等于 ( ) • A．－2 B．2 C．－98 D．98 • 解析 ∵f(x＋4)＝f(x)， • ∴f(x)是以4为周期的周期函数， • ∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． • 又f(x)为奇函数， • ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， • 即f(2 015)＝－2. • 答案 A
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函数;y=x|x|为奇函数,当x≥0时,y=x2为增函数,由奇函数性质得y=x|x|在R
上为增函数,故选D.
3.设函数f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)+g(x)= x3-x2+1,则f(1)= ( B ) A.-1 B.1 C.-2 D.2
解析 f(1)+g(1)=1, f(-1)+g(-1)=-f(1)+g(1)=-1,两式相减并化简得f(1)
=1.
4.已知f(x)是定义在[m,4m+5]上的奇函数,则m=
lg(x+1),则当x<0时, f(x)= -lg(1-x) .
-1 ,当x>0时, f(x)=
解析 由奇函数的定义区间关于原点对称可知m+4m+5=0,解得m=-1.当
x<0时,-x>0,此时f(-x)=lg(-x+1)=-f(x),故f(x)=-lg(1-x),即当x<0时, f(x)=-lg(1 -x).
(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.
知识拓展
与函数奇偶性相关的结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D
是关于原点对称的非空数集. (3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自 变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数, 取最值时的自变量也互为相反数.
考点突破
函数奇偶性
命题方向一 函数奇偶性的判定
典例1 判断下列函数的奇偶性.
1
(1)f(x)=x3-x ; (2)f(x)= x+2 1;
1 x2
x2 2,x 0,
(3)f(x)=
0
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
0
,
x2
2,
x
0.
解析 (1)原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
并且对于定义域内的任意一个x都有
4.周期函数常用的三个结论
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|;
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|;
(3)若f(x+a)=-
f
1 (
x,)则函数的周期为2|a|.
知识拓展
与函数周期相关的其他结论
(1)若f(x+a)= 1 ,则函数的一个周期为2|a|;
3.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
▶提醒 (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立
的.
(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各 段上的x都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.
f(-x)=(-x)3- 1 x
=-
x 3 = -1xf(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,
且f(-1)=f(1)=0, f(-1)=-f(1)=0,
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)f(x)的定义域为R,关于原点对称,
当x>0时, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x<0时, f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时, f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x).
数,所以排除B、C.
11
又因为f(-x)= ( x =) 2 x =2 f(x), 所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,排除A,故选D.
2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( D )
A.y=x+1 B.y=-x3
C.y= 1
x
D.y=x|x|
解析 y=x+1是非奇非偶函数;y=-x3是减函数;y=1 在(0,+∞)上为减
的
一个周期为4|b-a|; (5)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则函数f(x)的周期为 2|a|; (6)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则函数f(x)的周期为 4|a|.
1.(教材习题改编)函数f(x)= 1 的大致图象为 ( D )
x2
解析 因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上为减函
故该函数为奇函数.
规律方法
判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法
(2)图象法
f(x)的图象
关 于 原 点 对 称f(x)为 奇 函 数
(3)性质法 关 于 y轴 对 称f(x)为 偶 函 数
设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=
奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个数x,都有③ f(-x)=-f(x) , 关于④ 原点 对称 那么函数f(x)是奇函数
2.奇(偶)函数的性质
(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑤ 相同 ,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性⑥ 相反 . (3)在相同定义域内, (i)两个奇函数的和是⑦ 奇函数 ,两个奇函数的积是⑧ 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是⑨ 偶函数 . (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是⑩ 奇函数 .
f (x)
(2)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,那么函数f(x)的一个周期 为2|b-a|; (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x) 的一个周期为2|b-a|; (4)若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)
§ 2.3 函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
教
2.奇(偶)函数的性质
材
研 读
3.周期性
4.周期函数常用的三个结论
考点一 函数奇偶性
考
考点二 函数图象的对称性
点
突 破
考点三 函数周期性
考点四 函数性质的综合应用
教材研读
1.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数
奇函数
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个数x,都有① f(-x)=f(x) , 关于② y轴 对称 那么函数f(x)是偶函数