常数项无穷级数

当 q = −1时, 级数成为
Sn
=
a
−
a
+
a
−
a
+L+
( ) −1 n−1
a
=
a 2
⎡⎣1 −
( −1)n
⎤ ⎦
因此
Sn
=
⎩⎨⎧
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n→∞
Sn
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知,
q < 1 时, 等比级数收敛 ; q ≥ 1 时, 等比级数发散 。
un
= lim 1 = 0，但此级数发散。 n→∞ n
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
lim
n→∞
(
S2n
−
Sn
)
=
0
但 S2n − Sn =
n
1 +
1
+
n
1 +
2
+
n
1 +
3
+
L
+
1 2n
>n 2n
=1 2
矛盾! 所以假设不真。
下面的数字将有助于更好的理解调和级数
∑∞
n=1
1 n
=
1
+
前 n 项和
n
∑ Sn = uk = u1 + u2 + u3 + L + un
k =1
称为级数的部分和。若
lim
n→∞
Sn
=
S
存在,
则称无穷级数收敛 ,
∞
并称 S 为级数的和, 记作 S = ∑un
n=1
若
lim
n→∞
Sn
不存在
,
则称无穷级数发散 。
当级数收敛时, 称差值
rn = S − Sn = un+1 + un+2 + L
当q
< 1时，由于 lim qn = 0 , n→∞ ∞
从而
lim
n→∞
Sn
=
a 1− q
;
∑ 因此级数收敛 , 其和为 a qn =
n=0
当
q
> 1时,
由于 lim qn = ∞ , n→∞
从而
lim
n→∞
Sn
=
∞
,
因此级数发散 。
2). 若 q = 1 , 则
当 q = 1时, Sn = a + a + L + a = n a → ∞, 因此级数发散 ;
例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(1) n∑∞=1ennnn! ;
(2)
∞
n∑=1n3
+
1 3n2
+
2n
;
(3) n∑∞=12n2n−1 .
解: (1)
令
un
=
enn! nn
,
则
e n+1 ( n +1) !
⎛⎜⎝1 +
1 n
⎞n ⎟⎠
<
e
<
⎛⎜⎝1 +
1 n
⎞n+1 ⎟⎠
un+1 = un
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半,
问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
由自由落体运动方程 s = 1 g t 2 知 t = 2 s
2
g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T = t1 + 2t2 + 2t3 + L
=
2 g
⎢⎣⎡1 + 2⎜⎝⎛
1 =2 n +1 n −1
∑ ∑ ∴
∞ n=2
an
=
∞
2
n=1
1 n
发散 ,
从而原级数发散。
性质4 级数收敛的必要条件
∞
设收敛级数 S = ∑un ,
n=1
则必有
lim
n→∞
un
= 0.
证: un = Sn − Sn−1
∴
lim
n→∞
un
=
lim
n→∞
Sn
−来自百度文库
lim
n→∞
Sn−1
=S−S =0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 。
第九章
无穷级数
数项级数
无穷级数 幂级数
Fourie级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数 研究性质 数值计算
第九章
9.1常数项无穷级数的概念和性质
一、常数项无穷级数的概念 二、常数项无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
9.9.1常数项无穷级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积。
+[ln 5 + ln 3 − 2 ln 4] +L+ ⎡⎣ln (n +1) + ln (n −1) − 2 ln n⎤⎦
=
−
ln
2
+
ln(n
+
1)
−
ln
n
=
ln
⎛⎜⎝1 +
1 n
⎞ ⎟⎠
−
ln
2
∴
lim
n→∞
Sn
=
− ln 2, 故原级数收敛 , 其和为
∑∞
n=2
ln
⎜⎝⎛1 −
1 n2
⎞ ⎟⎠
∴
lim
n→∞
Sn
=
1, 4
这说明原级数收敛(2, )
∞
∑ 其n=和1 为n3
14+.3n12
+
2n
(3)
Sn
−
1 2
Sn
Sn
=
1 2
+
3 22
+
5 23
+L+
2n −1 2n
=
⎜⎝⎛
1 2
+
3 22
+
5 23
+L+
2n − 2n
1⎟⎠⎞
−
⎜⎝⎛
1 22
+
3 23
+
5 24
+L+
∞
n=1
∑(αun ± βvn ) = α S ± βσ 。
n=1
n
n
n
证: 令 Sn = ∑uk , σ n = ∑ vk , ωn = ∑(αuk ± β vk ) , 则
k =1
k =1
k =1
ωn = (αu1 ± β v1 ) + (αu2 ± β v2 ) +L+ (αun ± β vn )
n
∑ Sn = uk = a + uk+1 L + un k =1
设级数②的前n项和为 σ n , b = v1 + v2 + L + vk , 则
σ n = v1 + v2 + L + vk + uk+1 L + un
= u1 + u2 + L + uk + uk+1 L + un − a + b = Sn − a + b
注意: 发散的级数加括弧后所成的级数不一定发散。
例4.判断级数的敛散性:
1 2−1
−
1 2+1
+
1 3−1
−
1 3+1
+
1 4−1
−
1 4+1
+
L
解: 考虑加括号后的级数
( ) ( ) ( ) 1 − 1 + 2 −1 2 +1
1−1 +
3−1 3+1
1−
4 −1
1 4 +1
+L
an =
1− n −1
为级数的余项。
显然
lim
n→∞
rn
=
0。
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
∞
∑a qn = a + a q + a q2 +L+ a qn +L (a ≠ 0 )
n=0
( 其中q 称为公比 ) 的敛散性。
解: 1) 若q≠1, 则部分和
Sn
=
a
+
a
q
+
a q2
+L+
a qn−1
=
a−a qn 1−q
依次作圆内接正 3× 2n ( n = 0, 1, 2,L) 边形, 设 a0 表示
内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正
3× 2n 边形面积为
a0 + a1 + a2 + L + an
n→∞时, 这个和逼近于圆的面积 A 。 即
A = a0 + a1 + a2 + L + an + L
(n+1)n+1 enn! nn
=
e
⎛⎜⎝1
+
1 n
⎞n ⎟⎠
>1
(n = 1, 2,L)
故
un > un−1 > L > u1 = e
从而
lim
n→∞
un
≠ 0 , 这说明级数(1) 发散.
(2) 因 1
=
1
= 1 (n + 2) − n
n3 + 3n2 + 2n n(n +1)(n + 2) 2 n(n +1)(n + 2)
1 2
+ (
1 2)2
+ L⎟⎠⎞⎥⎦⎤
= 2 [ 1+ 2( 2 +1) ] ≈ 2.63 ( s )
g
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , L , un , L 将各项依次
∞
相加, 简记为 ∑un , 即
n=1
∞
∑un
n=1
=
u1
+
u2
+
u3
+
L
+
un
+
L
称上式为无穷级数, 其中第 n 项un叫做级数的一般项, 级数的
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
∞
∑ ln
n=1
n
+ n
1
;
解: (1)
(2) n∑∞=1n(n1+1) .
Sn
= ln 2 1
+ ln 3 2
+ ln 4 3
+
L
+
ln
n
+ n
1
= (ln 2 − ln1) + (ln 3 − ln 2) + L + (ln(n +1) − ln n)
= ln(n +1) → ∞ ( n → ∞）
+ L + unk−1+1 + L + unk
+ L = vk , k =1
则新级数的部分和序列 σ k , 则
( ) ( ) ( ) σ k = u1 + L + un1 + un1+1 + L + un2 + L + unk−1+1 + L + unk
此为原级数部分和序列的一个子序列, 于是,
lim
于是, 数列 {σn}与{Sn} 敛散性相同, 故新旧两级数具有相同敛散性。
类似可证前面加上或去掉有限项的情况。
性质3. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和
∞
证: 设收敛级数 S = ∑ un , 若按某一规律加括弧, 例如
n=1
∞
( ) ( ) ( ) ∑ u1 +L+ un1
+ un1+1 + L + un2
=α (u1 + u2 +L+ un ) ± β (v1 + v2 +L+ vn ) = α Sn ± β σ n
于是
lim
n→∞
ωn
=
lim
n→∞
=
α
lim
n→∞
Sn
±
β
lim
n→∞
σ
n
= αS ± βσ
∞
∑ 这说明级数 (αun ± β vn ) 也收敛, 其和为 α S ± βσ 。
n=1
说明:
性质2. 在级数前面改变、加上或去掉有限项, 级数的敛散性不变。
∞
证: 设级数 ∑un = u1 + u2 + L + uk + uk+1 L + un + L ① n=1
若改变它前有限项, 得到一个新的级数
v1 + v2 + L + vk + uk+1 L + un + L
②
设级数①的前n项和为Sn, a = u1 + u2 + L + uk , 则
例如,
1 2
−
2 3
+
3 4
−
4 5
+
L
+
(−1)
n−1
n
n +
1
+
L,
其一般项为
un
=
(−1)n−1
n n +1
当n→0时, un不趋于0, 因此这个级数发散。
注意:
lim
n→∞
un
=0
并非级数收敛的充分条件。
∑ 例如, 调和级数
∞ n=1
1 n
=
1
+
1 2
+
1 3
+
L
+
1 n
+
L
虽然
lim
n→∞
(1) 性质1 表明收敛级数可逐项相加或减 。
∞
∑ (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 (un ± vn ) 必发散。 n=1
(用反证法可证)
∞
∑ 但若二级数都发散, (un ± vn ) 不一定发散。 n=1
例如,
取 un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1,
而 un + vn = 0
1 2
+
1 3
+
L
+
1 n
+
L
这个级数的前1000项相加约为7.485；
前100万项相加约为14.357；
前10亿项相加约为21； 前一万亿项相加约为28；
为使调和级数得和等于100, 必须把1043项相加起来, 如果试图 在一个很长的纸带上写下这个级数, 直到它的和超过100, 即使 每一项只占1mm长的纸带, 也必须使用1043mm长的纸带, 这大约 为1025光年。 调和级数的某些特性至今仍未得到解决。
k →∞
σ
k
=
lim
k →∞
Snk
=
S
∞
∞
所以 ∑ vk 收敛, 且 ∑ vk = S 。
k =1
k =1
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散。
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。 ∞
例如, (1−1) + (1−1) + L = 0 ,但 1−1+1−1+L = ∑(−1)n−1发散。 n=1
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求和
(2)
Sn
=1 1⋅ 2
+
1 2⋅3
+
1 3⋅4
+L+
1 n ⋅ (n +1)
=
⎜⎝⎛1
−
1 2
⎟⎠⎞
+
⎜⎝⎛
1 2
−
13⎟⎠⎞
+
⎜⎝⎛
1 3
−
1 4
⎟⎠⎞
+
L+
⎜⎝⎛
1 n
−
n
1 +
1⎟⎠⎞
= 1− 1 → 1 ( n → ∞） n +1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
利用 “拆项相消” 求和
∑ 例3. 判别级数
∞ n=2
ln
⎛⎜⎝1
−
1 n2
⎞ ⎟⎠
的敛散性
。
解:
Q
ln
⎛⎜⎝1 −
1 n2
⎞ ⎟⎠
=
ln
n2 − n2
1
= ln(n +1) + ln(n −1) − 2 ln n
∑ ∴
Sn
=
k
n =
2
ln
⎜⎝⎛1
−
1 k2
⎞ ⎟⎠
= [ln 3 + ln1− 2 ln 2] +[ln 4 + ln 2 − 2 ln 3] +
=
−
ln
2。
∞
∞
∑ 性质1. 若级数 ∑ un 收敛于 S , 即 S = un , 则各项乘以
n=1
n=1
∞
常数 c 所得级数 ∑ c un 也收敛 , 其和为 c S。
n=1
n
n
∑ 证: 令 Sn = ∑ uk , 则 σ n = c uk = c Sn ,
k =1
k =1
∴
lim σ
n→∞
n
=
1 2
⎡ ⎢⎣
1 n(n +1)
−
(n
1 + 1)(n
+
2)
⎤ ⎥⎦
( n = 1, 2, L)
∑ ∑ Sn
n
=
1
k =1 k 3 + 3k 2 + 2k
=
1 2
n k =1
⎡ ⎢⎣
k
1 (k +
1)
−
(k
+
1 1)(k
+
⎤ 2)⎥⎦
=
1 2
⎡1 ⎢⎣1⋅ 2
−
(n
+
1 1)(n
+
⎤ 2)⎥⎦
进行拆项相消
=
c
lim
n→∞
S
n
=cS
∞
这说明 ∑ c un 收敛 , 其和为 c S . n=1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
9.1.2 常数无穷级数的基本性质
∞
∞
性质1. 如果级数 S = ∑un , σ = ∑ vn 分别收敛于和 S 、σ ，
n=1
n=1
∞
∑ 则对任意常数级数α, β级数 (αun ± β vn ) 收敛, 且