常数项无穷级数
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级 数
n1
上定理的作用：
任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例
判别级数
n1
s
i n
nn
2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
Hale Waihona Puke 而 1 收敛, n2n1
sin n 收敛, n2 n1 故由定理知原级数绝对收敛.
(1)
（1
cos
）
n1
n
n sin a (a 0,常数)
n1
n
（
n
n
）
n1 3n 1
lim n n
un
lim n n 3n 1
1 3
1
幂级数及其收敛性
定义: 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n1
31n收敛,
3n n 1
3n
lim
n
1
1
n 3n
故原级数收敛.
1,
比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
而级数
1 发散,
n1 n 1
常数项级数
n1
n1
则 (1) bn收 敛 时, an也 收 敛.
n1
n1
(2) an发 散 时, bn也 发 散.
n1
n1
注意 比较法中的条件"an bn (n 1,2 )" 可改为 "an bn (n N ),其中N为某一自然数".
比较判别法的极限形式:
设
n1
an
,
n1
bn为正项级数,
(3)
n1
1 n 0
1
x x4
dx
(4)
1
n1 3 n2 (n2 2)
(5)
n1
n 1(1 cos )
n
(6) ( 1 ln n 1)
n1 n
n
(7)
n1
a nn! nn
(a
0)
(8)
n1
1 3n
(1
1 )n2 n
1
1
(9)
n1 (ln n) p
sin n
交错级数及其判敛法
且
lim
n
an bn
l
则 (1) 0 l 时, an与 bn同敛散.
n1
n1
(2) l 0时, bn收 敛 时, an也 收 敛.
n1
n1
(3) l 时, bn发 散 时, an也 发 散.
n1
n1
级数
n1
1 np
称为
p 级数,
p 1时,发散; p 1时,收敛。
重点比较对象：几何级数、 p级数.
lim
n
an
0,
则 (1)n1 an收敛, 且其和 s a1 , 余项 rn an1 .
常数项级数基本概念以及性质
1 4 p
1 4p
1 4p
1 4p
1 4 p1
1 2 2 p1
1 8 p
1
9p
1 15 p
1 8p
1 8p
1 8p
1 8 p1
1 2 p1
3
……………………………………
x2 2n 2
x2 ，
n
1
n 1
2
n2
n2
即 x2 0 (x 0)
2
而
1
n1 n 2
是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数
( 1 cos x )收敛.
n1
n
5. 达朗贝尔比值判别法
设 un
n 1
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
u
，
k
n 1
k 1
cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n
lim
n
cS
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
十无穷数常数项数的概念与性质
第十一章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质教学目标：1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件. 课时安排：2课时重点：1、 掌握级数收敛的充要和必要条件； 2、 掌握收敛级数的性质； 难点：级数概念及其敛散性 教学法：讲授法一、问题的引出：1、用正多边形的面积逼近园的面积；①.S ≈6A ②.S ≈＋612A A S ≈＋61224....A A A ++S ≈⨯1621limi nn i A -=å二、常数项无穷级数定义1、定义: 设1u ，2u ，. . . 是常数列, 算式简称为级数 。
记为1nN u∞=∑，称为一般项或通项。
2、部分和与部分数列. ①部分和：前几项的和②部分和数列：()③1n n n u s s -=-④n n n n 1u lim S ¥==å3、敛散定义（充要条件）①设1nN u∞=∑若lim n n S →∞∃，称1n N u ∞=∑收敛，否则称发散。
（判别敛散的方法）。
②若收敛，如何求和。
（收敛，求和的方法）（求数列的极限） 1lim n n n n S S u ¥==å@4、例子.n n n 1n1u n S n 1¥=+å=例 . 设前项部分的和为问：①.收敛否？ ………………………………………………（收敛） ②.若收敛，和为多少？ ……………………………（ 1 ） ③.写出（求出）该级数.()()n 1n n n 1n n 1n 1n 11S u S S nn n+11u n n 1--ゥ==-=\=-=\=+邋例 2. 判别 ()n 11n n 1¥=+å 是否收敛，若收敛，求和。
(用定义)。
()n1111 S ...1223n n 1=+++创+解：）. ()()()111111...223n n 1=-+-++-+ 1n=1n 1n 1-=++2）.. 收敛。
无穷级数的介绍
n1
un 称为级数的一般项，或通项.
级数的前n 项和称为级数的部分和，记为
n
sn u1 u2 un ui
i 1
当n取1,2,3,···，可得部分和数列
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,,
sn u1 u2 un ,
定义2 当n无限增大时,如果级数 un的部分和
1 2n 1
1 2
级数收敛, 和为 1 . 2
其余项为 rn s sn
即 s1 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2n 1 2 2n 1
例3
证明级数
n
n1 2n
收敛,并求其和.
证
因为
sn
1 2
2 22
3 23
n 2n
2sn
1
2 2
3 22
n 2n1
后式减前式,得
sn
1
(2n 1)(2n 1)
1 1 1 2 2n 1 2n 1
sn
1 1 3
1 35
(2n
1 1) (2n
1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
sn
1 2
1
1 2n
1
lim
n
sn
lim 1 1 n 2
2n
n 1, 2n 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0,
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散.
例4 判别下列级数的敛散性
(1)
n1
(2n
n3 2n 5 1)(2n 1)(2n
十无穷数常数项数的概念与性质
一、问题的引出： 1、用正多边形的面积逼近园的面积；
①.S≈ A6
②.S≈ A6＋A12
S≈A6＋A12 A24 ....
n
S≈
lim
n
i
A62i 1
1
二、常数项无穷级数定义
1、定义: 设u1 ，u2 ，. . . 是常数列, 算式
简
称为级数 。记为 un ，称 N 1
2、部分和与部分数列.
为一般项或通项。文档来自于网络搜索
如: 1).要求
,用以前的方法无法求出
2).但 un收敛性易观察得到（即 收敛）
n1
n=1
lim
n
un
0
3、例子.
例 1： 若
n
1
1-
1 un
收敛，求 lim
n
1 un
？
4/5
解：原级数收敛 lim 1
n
1 un
lim
n
un
1
小结. 1、由定义. 若
0
lim
n
1 un
1
2、当 3、按基本性质审敛。 四、级数收敛的必要条件. 1、结论（定理）：
②但发现
n
un 收敛性易得（即
1
n
un
1
收敛）∴ lim
n
un
=0
3、
例题分析. 例 1． 若
1
n1
1 un
收敛, 求 lim
n
un
?
解：∵
1
n1
1 un
收敛
lim 1
n
1 un
0
∴
lim
n
un =
1
作业：
. 3.①，②. 4.
①.S≈ A6
②.S≈ A6＋A12
S≈A6＋A12 A24 ....
n
S≈
lim
n
i
A62i 1
1
二、常数项无穷级数定义
1、定义: 设u1 ，u2 ，. . . 是常数列, 算式
简
称为级数 。记为 un ，称 N 1
2、部分和与部分数列.
为一般项或通项。文档来自于网络搜索
如: 1).要求
,用以前的方法无法求出
2).但 un收敛性易观察得到（即 收敛）
n1
n=1
lim
n
un
0
3、例子.
例 1： 若
n
1
1-
1 un
收敛，求 lim
n
1 un
？
4/5
解：原级数收敛 lim 1
n
1 un
lim
n
un
1
小结. 1、由定义. 若
0
lim
n
1 un
1
2、当 3、按基本性质审敛。 四、级数收敛的必要条件. 1、结论（定理）：
②但发现
n
un 收敛性易得（即
1
n
un
1
收敛）∴ lim
n
un
=0
3、
例题分析. 例 1． 若
1
n1
1 un
收敛, 求 lim
n
un
?
解：∵
1
n1
1 un
收敛
lim 1
n
1 un
0
∴
lim
n
un =
1
作业：
. 3.①，②. 4.
高数(同济第六版)下册无穷级数要点
∞
若 lim S n = S ，称数列收敛， S 为级数的和，即：
n →∞
∑u
N =1
n
=S；
若 lim S n 不存在，称级数发散。
n →∞
�
性质：
（1） 若级数 � �
∑u ,∑v
n n
n
都收敛，则
∑ (u
± vn ) 也收敛，且 ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn
也收敛，且
∑ cu
n =0
幂级数收敛定理——阿贝尔定理
∞
如果幂级数
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时收敛， 则对满足不等式 x < x0 的一切 x ， 幂级
数都收敛，并且是绝对收敛；
∞
如果幂级数 数都发散。
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时发散， 则对满足不等式 x > x0 的一切 x ， 幂级
∑ u ( x) = u ( x) + u ( x ) + ⋯ + u ( x ) + ⋯ 为函数项级数。
n
1 2
∞
n
n =1
∞
�
函数项的收敛点： ∀x0 ∈ I ，
∑ u ( x ) 收敛，称 x 为函数项级数的收敛点；
n
0 0
n =1
∞
函数项的发散点： ∀x0 ∈ I ， � � 收敛域：收敛点的全体。
n →∞
p
∑u
n =1
n
收敛。
∞
�
比值审敛法：设
∑u
n =1
n
是正项级数，则 lim
若 lim S n = S ，称数列收敛， S 为级数的和，即：
n →∞
∑u
N =1
n
=S；
若 lim S n 不存在，称级数发散。
n →∞
�
性质：
（1） 若级数 � �
∑u ,∑v
n n
n
都收敛，则
∑ (u
± vn ) 也收敛，且 ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn
也收敛，且
∑ cu
n =0
幂级数收敛定理——阿贝尔定理
∞
如果幂级数
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时收敛， 则对满足不等式 x < x0 的一切 x ， 幂级
数都收敛，并且是绝对收敛；
∞
如果幂级数 数都发散。
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时发散， 则对满足不等式 x > x0 的一切 x ， 幂级
∑ u ( x) = u ( x) + u ( x ) + ⋯ + u ( x ) + ⋯ 为函数项级数。
n
1 2
∞
n
n =1
∞
�
函数项的收敛点： ∀x0 ∈ I ，
∑ u ( x ) 收敛，称 x 为函数项级数的收敛点；
n
0 0
n =1
∞
函数项的发散点： ∀x0 ∈ I ， � � 收敛域：收敛点的全体。
n →∞
p
∑u
n =1
n
收敛。
∞
�
比值审敛法：设
∑u
n =1
n
是正项级数，则 lim
常数项无穷级数的概念和性质
常数项无穷级数的概念和性质
1、比值判别法由于是正项级数，根据收敛的基本定理，级数收敛[公式]其部分和数
列收敛，因此对于正项级数，如果其部分和有上界，则可判别其收敛，反之发散。
即正项
级数收敛部分和数列有上界。
2、根值判别法。
3、对数审敛法
级数的敛散性定义：[公式]收敛[公式]部分和数列[公式]收敛，[公式].若级数[公式]收敛，则必有[公式]，反之未必（如：调和级数）.由此可知，若[公式]，则级数[公式]
必发散。
方法二：比值辨别法
对于正项级数[公式]，[公式]则该正项级数发散；[公式]则该正项级数收敛；[公式]
或[公式]不易计算或不存在，此方法失效。
注：对于多个式子连乘的，适合用比值判别法。
方法三：根值辨别法
对于正项级数：[公式]则该正项级数发散；[公式]则该正项级数收敛；[公式]或[公式]不易计算或不存在，此方法失效。
注：对于通项中含有以[公式]为指数幂的，适合用
根值判别法。
方法四：对数欧拉变换法
（1）若存在[公式]，使当[公式]时，[公式]，则正项级数[公式]收敛；（2）若[公式][公式][公式]，则正项级数[公式]发散。
12.1 常数项级数的概念和性质
敛的（具体解释见课本 253、254 页） 。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。
3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：
lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数 是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节 常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn
最新111第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质汇总
«Skip Record
发散。 If...»
2). 若
不一定推出
发
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
散。
3). 可以利用级数收敛的必要条件求某数列的极限。
如：①要求
用以前的方法无法求，
«Skip Record If...»
111 第十一章无穷级 数第一节常数项级数
的概念与性质
精品资料
第十一章 无穷级数
教学目标：
第一节 常数项级数的概念与性质
1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.
2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件.
课时安排：2 课时
重点：1、 掌握级数收敛的充要和必要条件；
四、级数收敛的必要条件.
1、结论（Theorem），«Skip Record If...» «Skip Record If...»
简证: «Skip Record If...» ① . «Skip Record If...» ②.
«Skip Record If...»
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5
解释：
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4
精品资料
原 «Skip Record If...»： «Skip Record If...»
新«Skip Record If...» «Skip Record If...»
5、例子
例 1. 若
.
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
二、常数项无穷级数定义
1、定义: 设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，. . . 是常数列, 算
高等数学(下)无穷级数
为级数的和函数 , 并写成
01
添加标题
则在收敛域上有
04
添加标题
若用
02
添加标题
表示函数项级数前 n 项的和, 即
05
添加标题
令余项
03
添加标题
称它
06
例如, 等比级数
它的收敛域是
添加标题
它的发散域是
添加标题
或写作
添加标题
又如, 级数
添加标题
级数发散 ;
添加标题
所以级数的收敛域仅为
添加标题
有和函数
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
例7. 讨论级数
的敛散性 .
例8. 讨论级数
的敛散性 .
D
C
A
B
二 、交错级数及其审敛法
01
02
03
04
05
06
07
收敛
收敛
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
发散
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
两个级数同时收敛或发散 ;
特别取
可得如下结论 :
对正项级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
例3. 判别级数
添加标题
添加标题
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添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
设
为正项级数, 且
则
(1) 当
01
添加标题
则在收敛域上有
04
添加标题
若用
02
添加标题
表示函数项级数前 n 项的和, 即
05
添加标题
令余项
03
添加标题
称它
06
例如, 等比级数
它的收敛域是
添加标题
它的发散域是
添加标题
或写作
添加标题
又如, 级数
添加标题
级数发散 ;
添加标题
所以级数的收敛域仅为
添加标题
有和函数
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
01
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08
09
10
例7. 讨论级数
的敛散性 .
例8. 讨论级数
的敛散性 .
D
C
A
B
二 、交错级数及其审敛法
01
02
03
04
05
06
07
收敛
收敛
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
发散
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
两个级数同时收敛或发散 ;
特别取
可得如下结论 :
对正项级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
例3. 判别级数
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设
为正项级数, 且
则
(1) 当
高等数学无穷级数 PPT
P时 1收敛、
注意 P 级数在判断正项级数得敛散性方面经常用到,因
此有关 P级数敛散性得结论必须牢记、
例3判定级数
1 25
1 36
n
1
1n
4
得敛散性、
解
因为级数得一般项
1
un n 1n 4
满足
0
n
1
1n
4
1 n2
而级数就是p＝2得P 级数,它就是收敛得,所以原级数
也就是收敛得、
定理3 比较判别法得极限形式:
判别级数
1
n
1
nn
就是否绝对收敛、
n 1
n!
解 因为
n 1n1
lim un1 u n
n
lim n
n 1!
nn
n 1n
lim
n n
n
lim1 n
1 n
n
e
1
n!
故由比值判别法可知级数
un
n 1
n
n
n1 n!
数
1 n 1
n不n 就是绝对收敛、
n 1
n!
发散,从而原级
例10
证明级数
例8
判别级数
n 1
1 n 1
n 3 n 1
得敛散性,说明就是否绝对收
敛、
解 因为
n 1
lim un1 lim 3n lim n 1 1 1
u n n
n n
n 3n 3
3n1
故由比值判别法可知级数
u
n
n 1
n
3 n 1
n 1
数
绝对收敛、 1 n1 n
n 1
3 n 1
第五章无穷级数第一节常数项级数资料
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
无 穷
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
级
数 证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨
设对一切
都有
分别表示级数
- 23 -
部分和, 则有
第一节 常数项级数
(1) 若级数
收敛, 则有
第 十
因此对一切
有
一
章
由定理 1 可知,级数
也收敛 .
无
穷
级 数
(2) 若级数
次相加, 简记为 un , 即
n1
第
十
一
章 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
无 穷
级数的前
n
项和
级
数
称为级数的部分和.
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
-4-
则称无穷级数
第一节 常数项级数
则称无穷级数发散 .
第
十 一
当级数收敛时, 称差值
章
无
穷 级
为级数的余项.
(
1)n 2n
收敛，且
均收(2敛) ，n所1以(32nnn1(n232)n
(1)n 2n
)
无 穷 级
2
n1 ( 3n
(1)n 2n )
2 (1)n1 3 n1 3
1 ( 1)n1 2 n1 2
数
21
3
1
1 3
1 1
2
1
1 2
2 3
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
常数项级数与无穷级数的关系_概述说明
常数项级数与无穷级数的关系概述说明1. 引言1.1 概述常数项级数和无穷级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对常数项级数和无穷级数进行详细讨论，并探索它们之间的关系。
1.2 文章结构本文共分为五个部分。
首先，在引言部分我们将对文章的概述进行介绍。
然后，我们将在第二部分阐述常数项级数和无穷级数的基本概念。
接着，在第三部分我们将探讨常数项级数的性质及其判别准则。
第四部分将介绍无穷级数的求和方法以及特殊类型的级数。
最后，在结论部分我们将总结文章的主要内容并提出一些思考题。
1.3 目的本文旨在帮助读者深入理解常数项级数和无穷级数，并掌握它们之间的关系。
通过介绍相关概念、定理和判别准则，读者可以更好地应用这些知识解决实际问题。
同时，本文也为进一步研究与探索提供了基础。
2. 常数项级数与无穷级数的基本概念2.1 常数项级数的定义常数项级数是一个特殊类型的无穷级数，它由一系列常数项的和组成。
形式上，常数项级数可以表示为∑(an)，其中n表示索引或序号（可能从0开始或从1开始），an表示每一项的常量。
2.2 无穷级数的定义无穷级数也称为序列之和，它是一系列无穷多个项所构成的和。
标准的无穷级数形式为∑(an)，其中n可以从任意正整数值开始并一直持续到正无穷大。
每一项an可能是数字、变量或函数等。
2.3 常数项级数和无穷级数之间的关系常数项级根据其定义可以被看作是无穷级中特殊情况下的一种。
常数项级将无限多个恒定值相加，并试图计算出其总和。
因此，可以说常数组成了部分无限序列中与索引n有关联性质的集合。
在实际应用中，我们可以将一个无穷级数视为求解一个趋于无限小的问题而不断添加更多元素以尝试逼近答案。
而当这些元素都是常量时，它们就构成了一个常数项级数。
常数组和无穷级数之间的关系不仅仅限于其定义方式，还涉及到它们的性质和运算规则。
通过对常数项级数中各个项的求值以及无穷级数的收敛性与发散性等特点的研究，可以进一步理解两者之间的联系并深入探讨其共同属性和差异。
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前 n 项和
n
∑ Sn = uk = u1 + u2 + u3 + L + un
k =1
称为级数的部分和。若
lim
n→∞
Sn
=
S
存在,
则称无穷级数收敛 ,
∞
并称 S 为级数的和, 记作 S = ∑un
n=1
若
lim
n→∞
Sn
不存在
,
则称无穷级数发散 。
当级数收敛时, 称差值
rn = S − Sn = un+1 + un+2 + L
1 =2 n +1 n −1
∑ ∑ ∴
∞ n=2
an
=
∞
2
n=1
1 n
发散 ,
从而原级数发散。
性质4 级数收敛的必要条件
∞
设收敛级数 S = ∑un ,
n=1
则必有
lim
n→∞
un
= 0.
证: un = Sn − Sn−1
∴
lim
n→∞
un
=
lim
n→∞
Sn
−
lim
n→∞
Sn−1
=S−S =0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 。
依次作圆内接正 3× 2n ( n = 0, 1, 2,L) 边形, 设 a0 表示
内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正
3× 2n 边形面积为
a0 + a1 + a2 + L + an
n→∞时, 这个和逼近于圆的面积 A 。 即
A = a0 + a1 + a2 + L + an + L
性质2. 在级数前面改变、加上或去掉有限项, 级数的敛散性不变。
∞
证: 设级数 ∑un = u1 + u2 + L + uk + uk+1 L + un + L ① n=1
若改变它前有限项, 得到一个新的级数
v1 + v2 + L + vk + uk+1 L + un + L
②
设级数①的前n项和为Sn, a = u1 + u2 + L + uk , 则
+[ln 5 + ln 3 − 2 ln 4] +L+ ⎡⎣ln (n +1) + ln (n −1) − 2 ln n⎤⎦
=
−
ln
2
+
ln(n
+
1)
−
ln
n
=
ln
⎛⎜⎝1 +
1 n
⎞ ⎟⎠
−
ln
2
∴
lim
n→∞
Sn
=
− ln 2, 故原级数收敛 , 其和为
∑∞
n=2
ln
⎜⎝⎛1 −
1 n2
⎞ ⎟⎠
=
c
lim
n→∞
S
n
=cS
∞
这说明 ∑ c un 收敛 , 其和为 c S . n=1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
9.1.2 常数无穷级数的基本性质
∞
∞
性质1. 如果级数 S = ∑un , σ = ∑ vn 分别收敛于和 S 、σ ，
n=1
n=1
∞
∑ 则对任意常数级数α, β级数 (αun ± β vn ) 收敛, 且
例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(1) n∑∞=1ennnn! ;
(2)
∞
n∑=1n3
+
1 3n2
+
2n
;
(3) n∑∞=12n2n−1 .
解: (1)
令
un
=
enn! nn
,
则
e n+1 ( n +1) !
⎛⎜⎝1 +
1 n
⎞n ⎟⎠
<
e
<
⎛⎜⎝1 +
1 n
⎞n+1 ⎟⎠
un+1 = un
1 2
+
1 3
+
L
+
1 n
+
L
这个级数的前1000项相加约为7.485；
前100万项相加约为14.357；
前10亿项相加约为21； 前一万亿项相加约为28；
为使调和级数得和等于100, 必须把1043项相加起来, 如果试图 在一个很长的纸带上写下这个级数, 直到它的和超过100, 即使 每一项只占1mm长的纸带, 也必须使用1043mm长的纸带, 这大约 为1025光年。 调和级数的某些特性至今仍未得到解决。
=
1 2
⎡ ⎢⎣
1 n(n +1)
−
(n
1 + 1)(n
+
2)
⎤ ⎥⎦
( n = 1, 2, L)
∑ ∑ Sn
n
=
1
k =1 k 3 + 3k 2 + 2k
=
1 2
n k =1
⎡ ⎢⎣
k
1 (k +
1)
−
(k
+
1 1)(k
+
⎤ 2)⎥⎦
=
1 2
⎡1 ⎢⎣1⋅ 2
−
(n
+
1 1)(n
+
⎤ 2)⎥⎦
进行拆项相消
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求和
(2)
Sn
=1 1⋅ 2
+
1 2⋅3
+
1 3⋅4
+L+
1 n ⋅ (n +1)
=
⎜⎝⎛1
−
1 2
⎟⎠⎞
+
⎜⎝⎛
1 2
−
13⎟⎠⎞
+
⎜⎝⎛
1 3
−
1 4
⎟⎠⎞
+
L+
⎜⎝⎛
1 n
−
n
1 +
1⎟⎠⎞
= 1− 1 → 1 ( n → ∞） n +1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
∞
∑ ln
n=1
n
+ n
1
;
解: (1)
(2) n∑∞=1n(n1+1) .
Sn
= ln 2 1
+ ln 3 2
+ ln 4 3
+
L
+
ln
n
+ n
1
= (ln 2 − ln1) + (ln 3 − ln 2) + L + (ln(n +1) − ln n)
= ln(n +1) → ∞ ( n → ∞）
(1) 性质1 表明收敛级数可逐项相加或减 。
∞
∑ (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 (un ± vn ) 必发散。 n=1
(用反证法可证)
∞
∑ 但若二级数都发散, (un ± vn ) 不一定发散。 n=1
例如,
取 un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1,
而 un + vn = 0
=α (u1 + u2 +L+ un ) ± β (v1 + v2 +L+ vn ) = α Sn ± β σ n
于是
lim
n→∞
ωn
=
lim
n→∞
=
α
lim
n→∞
Sn
±
β
lim
n→∞
σ
n
= αS ± βσ
∞
∑ 这说明级数 (αun ± β vn ) 也收敛, 其和为 α S ± βσ 。
n=1
说明:
∞
n=1
∑(αun ± βvn ) = α S ± βσ 。
n=1
n
n
n
证: 令 Sn = ∑uk , σ n = ∑ vk , ωn = ∑(αuk ± β vk ) , 则
k =1
k =1
k =1
ωn = (αu1 ± β v1 ) + (αu2 ± β v2 ) +L+ (αun ± β vn )
k →∞
σ
k
=
lim
k →∞
Snk
=
S
∞
∞
所以 ∑ vk 收敛, 且 ∑ vk = S 。
k =1
k =1
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散。
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。 ∞
例如, (1−1) + (1−1) + L = 0 ,但 1−1+1−1+L = ∑(−1)n−1发散。 n=1
注意: 发散的级数加括弧后所成的级数不一定发散。
例4.判断级数的敛散性:
1 2−1
−
1 2+1
+
1 3−1
−
1 3+1
+
1 4−1
−
1 4+1
+
L
解: 考虑加括号后的级数
( ) ( ) ( ) 1 − 1 + 2 −1 2 +1