2020高一数学下学期期中试题
2020-2021学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −23 B. 23 C. −32 D. 322.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √53.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 149.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 12.（填空题，4分）已知cosα4sinα−2cosα=16，则tanα=___ ．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f 1（t ）=sin200πt ，乙声波的数学模型为f 2（t ）=sin （200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f （t ）=f 1（t ）+f 2（t ）．要使f （t ）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H （t ），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分别记为f （t ）和g （t ），满足H （t ）=f （t ）+g （t ）．已知S 1，S 2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y =sin π2t ； ② y=sin2πt ； ③ y=sin3πt ； ④ y=2sin3πt ． 则S 1，S 2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）16.（问答题，9分）已知函数 f (x )=1−cos 2xsinx． （Ⅰ）求f （x ）的定义域； （Ⅱ）若 f (θ)=2√55，且 θ∈(π2，π) ，求tan （π-θ）的值．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ3 5π6 11π6 7π3 x −π3π 3π2 2π f （x ）2（ⅰ）若函数g （x ）的最小正周期为 2π3 ，求g （x ）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g （x ）在 [0，π3] 上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −23 B. 23 C. −32 D. 32【正确答案】：C【解析】：利用任意角的三角函数的定义求解．【解答】：解：∵角α的终边经过点P （-2，3）， ∴tanα= 3−2 =- 32 ， 故选：C ．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题． 2.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √5【正确答案】：D【解析】：根据题意，由向量的坐标结合向量的模的计算公式，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |= √12+22 = √5 ， 即| a ⃗ |= √5 ， 故选：D ．【点评】：本题考查向量模的计算，关键是理解向量的坐标以及向量模的定义．3.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【正确答案】：A【解析】：根据向量的减法的运算法则进行求解即可．【解答】：解：因为： MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．【点评】：本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限 【正确答案】：B【解析】：根据三角形内角和定理与三角函数值的符号法则，判断即可．【解答】：解：△ABC 中，A 为钝角，所以B 为锐角， 所以cosA ＜0，tanB ＞0，所以点P （cosA ，tanB ）在第二象限内． 故选：B ．【点评】：本题考查了三角形内角和定理与三角函数值符号的判断问题，是基础题． 5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x 【正确答案】：A【解析】：利用三角函数的周期性和单调性即可求解．【解答】：解：对于A，y=cos2x的周期为π，在区间（π2，π）单调递增函数，所以正确；对于B，y=sin2x的周期为π，在区间（π2，π）不是单调函数，所以不正确；对于C，y=cos 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；对于D，y=sin 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；故选：A．【点评】：本题考查三角函数的周期性以及单调性的判断，是基础题．6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④【正确答案】：C【解析】：根据三角函数沿x轴的平移变换和伸缩变换，看哪个变换可由y=sinx得到y=sin(3x+π4)即可．【解答】：解：① y=sinx→ y=sin(x+π4)→ y=sin(3x+π4)；② y=sinx→ y=sin(x+π12)→ y=sin(3x+π12)；③ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π4)；④ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π12)=sin(3x+π4)．故选：C．【点评】：本题考查了三角函数沿x轴方向的平移变换和伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗【正确答案】：D【解析】：利用平面向量的基本定理，推出结果即可．【解答】：解：如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ = a⃗+b⃗⃗ +（2 a⃗−2b⃗⃗）-（-3 a⃗）=6 a⃗ - b⃗⃗．故选：D．【点评】：本题考查向量的基本定理的应用，向量的加减运算，是基础题．8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 14【正确答案】：C【解析】：由点（0，√2）在函数的图象上可求sinφ= √22，结合范围|φ|＜π2，可得φ= π4，又点（2π，- √2）在函数的图象上，有sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，从而解得ω的值．【解答】：解：∵点（0，√2）在函数的图象上，即有2sinφ= √2，∴sinφ= √22，∵|φ|＜π2，∴可得：φ= π4，又∵点（2π，- √2）在函数的图象上，即有2sin（2πω+ π4）=- √2，∴sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，∴解得ω=k- 14，或ω=k- 12，k∈Z，则当k=1时，ω的值为12．故选：C．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于基础题．9.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：sinα=cosβ⇒cos（π2 -α）=cosβ，可得β=2kπ±（π2-α），k∈Z．即可判断出结论．【解答】：解：sinα=cosβ⇒cos（π2-α）=cosβ，∴β=2kπ±（π2-α），k∈Z．化为：α+β= π2+2kπ，k∈Z，或β-α=- π2+2kπ，k∈Z，∴“sinα=cosβ“是“α+β= π2+2kπ，k∈Z“的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个 【正确答案】：A【解析】：先由已知可得Q 为M ，N 的中点，然后根据函数f （x ）的对称性即可做出判断．【解答】：解：因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为MN 的中点， 因为函数f （x ）=（x-1）3关于点（1，0）成中心对称，所以当Q 的坐标为（1，0）时，取关于点Q 对称的点M ，N 符合题意， M ，N 在（1，0）两侧时，中点也要在函数f （x ）上，只能是（1，0），M ，N 在（1，0）同侧时，相当于M ，Q ，N 所在的直线与f （x ）在一侧有3个交点，不可能成立，故满足条件的Q 只有一个， 故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到函数的对称性，考查了学生的分析问题的能力，属于中档题．11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]（7，0）【解析】：根据向量的坐标运算求出 a ⃗ +2 b ⃗⃗ 的坐标即可．【解答】：解：∵ a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1）， ∴ a ⃗ +2 b⃗⃗ =（1，-2）+2（3，1）=（7，0）， 故答案为：（7，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查对应思想，是基础题． 12.（填空题，4分）已知 cosα4sinα−2cosα=16 ，则tanα=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：对已知等式分子分母同时除以cosα，即可求出tanα的值．【解答】：解：∵ cosα4sinα−2cosα=16 ， ∴ 14tanα−2=16 ， ∴4tanα-2=6， ∴tanα=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 【正确答案】：[1]- 35【解析】：利用已知条件画出图形，利用平面向量的基本定理，求解x ，y 即可．【解答】：解：在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图，可知 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x= 15 ，y= 45 ， 则x-y=- 35 ． 故答案为：- 35 ．【点评】：本题考查平面向量的基本定理的应用，是基础题． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ． 【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出ω，再根据五点法作图，可得φ的值．【解答】：解：∵函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，∴ 1 2• 2πω= 4π3- π3，∴ω=1．且π3是f（x）的最大值点，4π3是函数f（x）的最小值点，由五点法作图可得1× π3+φ= π2，∴φ= π6，故答案为：π6．【点评】：本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f1（t）=sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）=sin（200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）=f1（t）+f2（t）．要使f（t）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）=f（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y=sinπ2t；② y=sin2πt；③ y=sin3πt；④ y=2sin3πt．则S1，S2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）【正确答案】：[1] ② ③【解析】：（1）由函数f（t）的解析式以及正弦型函数的性质，即可解出；（2）由函数图象分析可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④ 是必选，再利用函数图象及其周期性可作出判断．【解答】：解：（1）由题意可知sin200πt=-sin（200πt+φ），又∵sin（π+α）=-sinα，∴φmin=π，（2）当t=1时，y=sinπ2=1，y=sin2π=0，y=sin3π=0，y=2sin3π=0，由图象可知H（1）=0，∴排出① ，由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f（t），g（t）的周期不同，而③ ④ 的周期相同，∴一定包含② y=sin2πt，若② ④ 组合，当t= 16时，H（16）=sin（2π× 16）+2sin（3π× 16）= √32+2＞3，与图象不符，∴排除④ ，∴只能是② ③ ．故答案为：π，② ③ ．【点评】：本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，分析问题能力，属于基础题．16.（问答题，9分）已知函数f(x)=1−cos2xsinx．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f(θ)=2√55，且θ∈(π2，π)，求tan（π-θ）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由sinx≠0即可求出f（x）的定义域．（Ⅱ）先化简函数f（x）的解析式，再代入f(θ)=2√55，得到sinθ= 2√55，在根据同角三角函数间的基本关系和角θ的范围求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可知sinx≠0，∴x≠kπ（k∈Z），∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．（Ⅱ）f(x)=1−cos 2xsinx = sin2xsinx=sinx，∵ f(θ)=2√55，∴sinθ= 2√55，又∵ θ∈(π2，π)，∴cosθ=- √1−sin2θ =- √55，∴tan（π-θ）=-tanθ=- sinθcosθ=2．【点评】：本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据向量的运算性质计算即可；（Ⅱ）根据向量的线性运算计算即可．【解答】：解：（Ⅰ）∵A （5，-2），B （-1，4），M 是线段AB 的中点， ∴M （5−12 ， −2+42）=（2，1）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，4）-（5，-2）=（-6，6）；（Ⅱ）设D （x ，0），则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，-4）， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-2）， ∵ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴（x+1）•（-2）-（-4）•（-1）=0，解得：x=-3， ∴点D 的坐标是（-3，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题． 18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ35π611π6 7π3x−π3π3π22πf（x） 2（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为2π3，求g（x）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g（x）在[0，π3]上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦函数的性质及五点作图法即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）由已知可求g（x）=2sin（ωx- π3），利用正弦函数的周期公式可求ω=3，利用正弦函数的单调性即可求解；（ⅱ）利用正弦函数的性质即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）表格如下：x π35π611π67π3x−π3π2π3π22πf（x） 2 -2 图像如下：（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）∵ f (x )=2sin (x −π3) ，g （x ）=f （ωx ）（ω＞0）． ∴g （x ）=2sin （ωx - π3 ），∵函数g （x ）的最小正周期为 2π3 = 2πω ，解得ω=3， ∴g （x ）=2sin （3x- π3），令2kπ- π2 ≤3x - π3 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z ，解得- π18 + 2kπ3 ≤x≤ 5π18 + 2kπ3，k∈Z ， 可得g （x ）的单调递增区间为[- π18 + 2kπ3 ， 5π18 + 2kπ3]，k∈Z ； （ⅱ）ω的取值范围为（0，1）．【点评】：本题主要考查了五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题． 19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用定义分别判断即可求解得结论；（Ⅱ）由 ② 计算可得f （x+2n ）=f （x ）+n ，即f （x+2n ）-f （x ）=n ，令n=2021即可求得a 的值；（Ⅲ）根据已知可得任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ，由f （t ）≠0，可得t∉[-2，2），分t=2，|t|＞2两种情况分别求出g （t ）的值域即可得解．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=2x 为增函数，满足性质 ① ， 对于 ② ，由∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1有2（x+T ）=2x+1， 所以2T=1，T= 12，所以函数f （x ）=2x 满足性质P （ 12 ）．函数g （x ）=sinx 显然不满足 ① ，所以不满足性质P （T ）． （Ⅱ）存在，理由如下： 由∀x∈R ，f （x+2）=f （x ）+1．可得f （x+2n ）=f （x+2n-2）+1=f （x+2n-4）+2=f （x+2n-6）+3=…=f （x ）+n （n∈N*）， 即f （x+2n ）-f （x ）=n ， 令n=2021，得a=2n=4042．（Ⅲ）依题意，对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），所以f （0）=0， 因为函数f （x ）满足性质P （4），由 ① 可得，在区间[-2，0]上有f （-2）≤f （x ）≤f （0），又因为f （-2）=0，所以0≤f （x ）≤0，可得任意x ∈[-2，0]，f （x ）=0， 又因为对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ）， 所以任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ， 函数g （t ）=tf (t )(f(4t)+1)，因为f （t ）≠0，所以t∉[-2，2），由 ② 及f （-2）=0，可得f （2）=1， 所以当t=2时，g （2）= 21×(1+1) =1， 当|t|＞2时， 4t ∈（-2，2），所以f （ 4t ）=0， 即|t|＞2时，g （t ）= tf (t ) ，所以当t∈[4k -2，4k+2）（k∈Z ，k≠0，t≠2）时，g （t ）= tk ， 当k≥1时，g （t ）∈[4k−2k ， 4k+2k ）=[4- 2k ，4+ 2k）（当k=1时，g （t ）≠2，需要排除），此时 2k 随k 的增大而减小，所以[4- 2k+1 ，4+ 2k+1 ）⫋[4- 2k ，4+ 2k ）， 所以求值域，只需取k=1，得g （t ）∈[4- 21 ，4+ 21 ）=[2，6）， 当k ＜0时，g （t ）∈（4k+2k ， 4k−2k ]=（4+ 2k ，4- 2k]， 此时 2k 随k 的增大而减小，所以（4+ 2k−1 ，4- 2k−1 ]⫋（4+ 2k ，4- 2k ]， 只需取k=-1，得g （t ）∈（4+ 2−1 ，4- 2−1 ]=（2，6]．综上，函数g（t）的值域为{1}∪（2，6]．【点评】：本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。
黑龙江省鸡西市第一中学2020学年度高一学年下学期期中考试数学考试试题含答案
鸡西市第一中学2020学年度高一学年下学期期中考试数学考试试题第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，规定时间内问卷星提交，逾时后果自负。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡竖版拍照5分钟内上传家校本交回。
一．选择题（共12小题，每题5分）1．已知集合A＝{x|3x2+x﹣2≤0}，B＝{x|log2（2x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．（] B．[] C．（] D．[﹣1，]2．函数的单调递减区间为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，﹣1] D．（3，+∞）3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有（）A．log a x＞log b y B． a x＞b yC．ay＞bx D．sin a x＞sin b y4．已知向量＝（2，2），若（+3）⊥，则在上的投影是（）A．B．﹣ C．D．﹣5．《算法统宗》里有一段叙述：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，数学试卷第1页共3页务要分明依次第，孝和休惹外人传”，意思是将996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第二和第七个孩子分得棉的斤数之和为（）A．255B．249C．176D．1676．已知向量，且向量与向量平行，则3x+2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A．0°≤α＜90° B．90°＜α＜180° C．90°≤α＜180° D．0°＜α＜180°8．已知等比数列{a n}中，若a5+a7＝8，则a4（a6+2a8）+a3a11的值为（）A．8 B．128 C．16 D．649．△ABC是边长为4的等边三角形，，则＝（）A．﹣2 B．14 C．10 D．1210．已知正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，则使得a n＞6成立的n的最小值为（）A．14 B．11 C．12 D．1311．已知向量，，，△ABC的重心为G，则与的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．12．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．11 B ．12 C ．10 D ．13数学试卷第2页共3页第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题，每题5分）13．向量与向量共线且反向，则x＝14．若关于x的一元二次不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R，则实数a的取值范围是15．已知a1＝4，a n a n+1＝2﹣a n+1，，n∈N*，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝．16．已知不等式mx2+nx﹣3＜0的解集为（﹣3，1），若曲线|y|＝n x+1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）已知，，与的夹角为150°．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若k为实数，求的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}中，b1＝3a1，b2＝2，求数列{a n+b n}的前n项和T n．19．（12分）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}满足，且a1＝1．数学试卷第3页共3页（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知，，令．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及的解集；（Ⅱ）锐角△ABC中，，边，求△ABC周长最大值．22．（12分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设．（1）求a，b的值（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．鸡西市第一中学2020学年度高一学年下学期期中考试数学考试试题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1—6 ACBBBC7—12BDCDDA二、填空题13．﹣214．（0，1）．数学试卷第4页共3页15．1﹣16．[-1,1]三．解答题（共6小题）17．已知，，与的夹角为150°．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若k为实数，求的最小值．【分析】（Ⅰ）直接展开代入已知条件即可求解；（Ⅱ）对其平方结合二次函数的性质即可求解【解答】解：（Ⅰ）因为，，与的夹角为150°，，所以．(5分)（Ⅱ），（8分）当k＝1时，（9分）的最小值为1，即的最小值为1．（10分）【点评】本题考查了数量积运算性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝l（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}中，b1＝3a1，b2＝2，求数列{a n+b n}的前n项和T n．数学试卷第5页共3页【分析】（1）先由数列{a n}的前n项和S n和通项a n的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{a n}的类型，再求出通项公式；（2）先由题设条件求出b n，再结合（1）中的a n求出a n+b n，最后求出T n．【解答】解：（1）当n＝1时有2S1+a1＝1＝3a1，解得a．（1分）又∵2S n+a n＝l（n∈N*）①，∴2S n+1+a n+1＝1 ②．由②﹣①可得：2（S n+1﹣S n）+a n+1﹣a n＝0＝2a n+1+a n+1﹣a n即a n+1＝，（4分）所以数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列．（5分）∴a n＝（）n．（6分）（2）∵等差数列{b n}中，b1＝3a1＝1，b2＝2，∴b n＝n，（8分）a n+b n＝（）n+n．（10分）∴T n＝[]+（1+2+3+…n）＝＝+．（12分）【点评】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由已知结合对数的运算性质及基本不等式即可求解；数学试卷第6页共3页（2）由已知可求的最小值，然后结合不等式的恒成立与最值关系的相互转化可求．【解答】解：（1）因为x＞0，y＞0，由基本不等式，得．又因为2x+5y＝20，所以，xy≤10，（2分）当且仅当，即时，等号成立．此时xy的最大值为10．所以u＝lgx+lgy＝lgxy≤1g10＝1．（4分）所以当x＝5，y＝2时，（5分）u＝lgx+lgy的最大值为1；（6分）（2）因为x＞0，y＞0，所以，（9分）当且仅当x=5y，即时x=20/3，y=4/3等号成立．（10分）所以的最小值为．不等式恒成立，只要，解得．所以m的取值范围是．(12分)【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的恒成立与最值的相互转化关系的应用．20．已知数列{a n}满足，且a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和S n．数学试卷第7页共3页【分析】（1）将已知等式两边同除以n（n+1），可得﹣＝＝﹣，再由数列的恒等式计算可得所求通项公式；（2）求得b n＝（2n﹣1）•（）n﹣1，再由错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）由，可得：﹣＝＝﹣，（2分）由＝+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1+1﹣+﹣+…+﹣＝2﹣，（4分）所以a n＝2n﹣1，n∈N*；（6分）（2）＝（2n﹣1）•（）n﹣1，（7分）S n＝1•1+3•+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，S n＝1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，两式相减可得S n＝1+2[+（）2+…+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n＝1+2•﹣（2n ﹣1）•（）n，（10分）化简可得S n＝3﹣（n+1）•（）n﹣1．（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的求和：错位相减法，考数学试卷第8页共3页查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21．已知，，令．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及的解集；（Ⅱ）锐角△ABC中，，边，求△ABC周长最大值．【分析】（Ⅰ）先根据数量积以及三角函数的有关知识整理解析式，进而求解结论即可．（Ⅱ）先根据条件求出角A，根据正弦定理表示出周长，结合角的范围即可求解．【解答】解：（Ⅰ）＝，（2分）∴T＝π，（3分）∵，∴，∴，k∈Z，∴的解集是．（5分）（Ⅱ），∴，∴，（7分）∵，∴＝＝，（9分）∵锐角三角形且角，∴，（10分）当时，（11分）a+b+c最大为，∴△ABC周长最大值为．（12分）数学试卷第9页共3页【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设．（1）求a，b的值（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【分析】（1）由函数g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故g （2）＝1，g（3）＝4，由此解得a、b的值；（2）不等式可化为log2x+﹣2≥2k log2x在x∈[2，4]上有解，即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，通过换元法和对数函数的单调性，以及二次函数的单调性求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围；（3）原方程化为|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|＝t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），构造函数h（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过二次方程实根分布，可得k的不等式组，即可求得k的范围．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b+1＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得；（3分）（2）由（1）可得f（x）＝＝x+﹣2，不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，数学试卷第10页共3页等价为log2x+﹣2≥2k log2x在x∈[2，4]上有解，即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，（5分）令t＝，则2k≤t2﹣2t+1，∵x∈[2，4]，∴t∈[，1]，则函数m（t）＝t2﹣2t+1在t∈[，1]递减，可得m（t）的最大值为m（）＝，则2k≤，即k≤；（7分）（3）原方程可化为|2x﹣1|2﹣（3k+2）|2x﹣1|+（2k+1）＝0，可令t＝|2x﹣1|，则t＞0，由题意可得t2﹣（3k+2）t+（2k+1）＝0有两个不等实根t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2＝1，设h（t）＝t2﹣（3k+2）t+（2k+1），则或，解得k＞0或k∈∅，则k的取值范围是（0，+∞）．（12分）数学试卷第11页共3页。
山西省长治市第二中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(解析版)
【解析】
【分析】作出直观图的平面图形，判断直观图与平面图形的形状和数据之间的关系，求出平面图形的面积即可.
【详解】在 中， ，
直观图恢复原图如下：
则 ， ，
，
故答案为：
15.若圆锥底面半径为1，高为 ，其中有一个内接正方体 ，其中 、 、 、 四点在圆锥底面上， 、 、 、 在圆锥侧面上，则这个正方体的棱长为______．
2.已知 ，若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先算出 ，再根据平面向量平行的坐标运算即可求得.
【详解】 ，因为 ，所以 .
故选：C.
3.已知直线 和平面 ，下列说法正确的是（）
A.如果 ，那么 平行于经过 的任意一个平面．
B.如果 ，那么 平行于平面 内的任意一条直线．
C.若 ，则 ．
D.若 且 ，则 ．
【答案】D
【解析】
【分析】A,D选项考查线面平行的判断，A选项缺少条件，D选项正确；B选项是线面平行推线线平行，需要借助另外一个面；C选项中，平行于同一个面的两条线没有特定的位置关系
【详解】选项A中，由 推出 平行于经过 的任意一个平面，需要增加一个条件，即 不在 所在的面内，A选项没有这一限制条件，所以A错误
A. B.
C. 的最大值为1D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A.由 ，可得 可判断；选项B.过 作 交 于点 ，所以 ,结合条件可判断；选项C.由B结合均值不等式可判断；选项D.由 结合均值不等式可判断.
【详解】选项A.由 ，可得
所以 ，故A正确.
选项B.过 作 交 于点
所以 ,由这两式可得
由 ，则 ， ，
江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1C.2D ．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )． A ．－3B ．－10C ．9D ．15 3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．A ．10B ．15C ．4D ．174．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD →·BC →的值为( ▲ )． A ．－113B ．－13C ．23D ．435．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝a 2＋b 2－c 243，则C ＝( ▲ )．A ．π6B ．π3C ．π4D ．π26．若α，β∈(π2，π)，且sin α＝255，sin(α－β)＝－1010，则sin β＝( ▲ )．A ．7210B ．22C ．12D ．1107．已知|AB →|＝3，|AC →|＝2，若对于任意的实数m ，不等式|AB →＋AC →|≤|AB →＋mAC →|恒成立，则 cos ∠BAC ＝( ▲ )． A ．53 B ．－53 C ．－23 D ．238．已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则c b ＋(2ba)2的最小值为( ▲ )．A ．－1B ．73C ．3D ．103二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题为真命题的是( ▲ )．A ．若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1z 2为实数B ．若i 为虚数单位，则i 3＝iC ．若复数z ＝1＋i ，则z 2＝2iD ．若复数z ＝－12＋32i ，则1＋z ＋z 2＝010．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ，AF及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( ▲ )． A ．AG ⊥△EFH 所在平面B ．AH ⊥△EFH 所在平面C ．EF ⊥△AGH 所在平面D ．HG ⊥△AEF 所在平面11．给出下列命题，其中正确的选项有( ▲ )．A ．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且同向B ．若非零向量a ､b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°C ．若单位向量的e 1､e 2的夹角为60°，则当|2e 1＋t e 2| (t ∈R )取最小值时，t ＝1D ．在△ABC 中，若(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中，正确的命题有( ▲ )．A ．c ＝a cosB ＋b cos A B ．若A ＞B ，则sin2A ＞sin2BC ．若A ＝30º，a ＝4，b ＝6，则满足条件的三角形有两解D ．若△ABC 是钝角三角形，则tan A ·tan C ＜1三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ＝(sinα，4)，b ＝(1，cosα)，且a ⊥b ，则sin2α＋2sin 2α＝▲________．14．已知函数f (x )＝2cos 2(π2x －π4)－1，g (x )＝x 3，设函数F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )所有的零点之和为▲________．15．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若MN →＝λ1AM →＋λ2BN →，λ1，λ2∈R ，则λ1λ2的值为▲________．16．向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论．例如，在△ABC 中，若O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →＝12AB →2．证明如下：取AB 中点E ，连接OE ，可知OE ⊥AB ，则AB →·AO →＝2AE →·AO →＝2|AE →||AO →|cos ∠OAE＝2|AE →|(|AO →|cos ∠OAE )＝2AE →2＝12AB →2．利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，满足a ＞c 且2b cos A ＝3c ，3(c ＋a )＝2b ． 设O 为△ABC 的外心，若AO →＝x AB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x －2y ＝▲________．DC A B MNEAB·O四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17．(本小题10分)已知复数z =b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位(1) 求复数z ；(2) 若复数(m +z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17° ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12° ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48° ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论．19．(本小题12分)设向量a ＝(3cos α，sin α)，b ＝(sin β，3cos β)，c ＝(cos β，－3sin β)． (1)若a 与b －c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b －c |的最小值；20．(本小题12分)如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，∠ABC ＝π4， OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点(1)画出平面AMN 与平面OCD 的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)； (2)证明：直线MN ||平面OCD ； (3)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．ABCDOM N21．（本小题12分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为4百米，C ，D 都设计在以AB 为直径的半圆上．设∠COB ＝θ． (1)现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若∠COD ＝π3， 则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC ， CD 和DA 组成，若BC ＝CD ，则当θ为何值时，栈道的总 长l 最长，并求l 的最大值．22．（本小题12分）已知ΔABC 为锐角．．三角形，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．R 为ΔABC 外接圆半径． (1)若R ＝1，且满足sin B sin C ＝(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A )tan A ，求b 2＋c 2的取值范围； (2)若b 2＋c 2＝2aR cos A ＋a 2，求tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值．江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1 C.2 D ．2答案：D2．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )．A ．－3B ．－10C ．9D ．15答案：D3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。
2020年浙江省台州市联谊五校高一(下)期中数学试卷解析版
= =2，a1a2=2，
∴an+2=2an，a2=2． ∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，公比为 2．首项分别为：1，2． ∴S2018=（a1+a3+……+a2017）+（a2+a4+……+a2018） =（1+2+22+……+21008）+（2+22+……21009）
=+
=3•21009-3． 故选：B．
解：对于 A，若{an}是等差数列，且首项 a1=0，当 d＞0 时，
，当 n→+∞时，
|Sn|→+∞， 则{an}不是“L 数列”，故 A 错误； 对于 B，若{an}是等差数列，且公差 d=0，Sn=na1，当 a1≠0 时，当 n→+∞时，|Sn|→+∞， 则{an}不是“L 数列”，故 B 错误；
6.【答案】D
【解析】【分析】 本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用正弦定理、余弦定理直接求解． 【解答】 解：由在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，知： 在 A 中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，故 A 正确；
在 B 中，由正弦定理得：
18. 已知 为单位向量，
．
（1）求|2 + |．
（2）求
与 的夹角 θ 的余弦值；
19. 如图，在圆内接△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，满足 acosC+ccosA=2bcosB． （1）求 B 的大小； （2）若点 D 是劣弧 上一点，a=2，c=3，cos∠CAD= ，求线段 AD 长．
杭州市高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣124．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣15．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥C1﹣A1BD的体积为（）A．B．C．D．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB＝BC＝2，AB，BC分别与y'轴、x'轴平行，则△ABC在原图中对应三角形的面积为（）A．B．1C．2D．48．若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为，此时||＝．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝A sin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H（t）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．20．已知函数f（x）＝g（x）h（x），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f（x）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝﹣3+2i，∴，∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣12解：，，与的夹角θ为45°，则＝＝12．故选：B．4．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣1解：根据题意，函数，则f（﹣1）＝e0＝1，则f（f（﹣1））＝f（1）＝1﹣2＝﹣1；故选：D．5．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行解：∵a⊂α，α∥β，∴a与α内直线的位置关系有两种：平行或相交，故A错误；a与β内直线的位置关系有两种：平行或异面，平行的有无数条，相交的也有无数条，故B正确CD错误．故选：B ．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为（）A ．B ．C ．D ．解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体的体积为1×1×1＝1，又＝，∴三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为1﹣，故选：A ．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB ＝BC ＝2，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则△ABC 在原图中对应三角形的面积为（）A ．B ．1C ．2D ．4解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：则原平面图形为直角三角形，计算该直角三角形的面积为S ＝×4×2＝4．故选：D ．8．若函数f （x ）＝x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）＝x 2+ln （x +a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．（﹣）B ．（）C ．（）D ．（）解：因为f （x ），g （x ）图象上存在关于y 轴对称的点，设P （x ，y ）（x ＜0）在函数f （x ）上，则P 关于y 轴的对称点Q 为（﹣x ，y ），则存在x ∈（﹣∞，0），满足x 2+e x ﹣＝（﹣x ）2+ln （﹣x +a ），即方程e x ﹣＝ln （﹣x +a ）在（﹣∞，0）上有解，即函数F（x）＝与函数h（x）＝ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有交点，在直角坐标系中画出函数F（x）和h（x）的图象，如图所示，当h（x）过点时，a＝，由图象可知，当a＜时，函数F（x）与h（x）在x＜0时有交点，所以a的取值范围为（﹣∞，）．故选：A．9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形解：在A中，面最少的多面体是三棱锥，故最多面体至少有四个面，故A正确；在B中，平行六面体的六个面均为平行四边形，故B正确；在C中，长方体、正方体都是四棱柱，但长方体不是正四棱柱，故C错误；在D中，棱台的所有侧面都是梯形，故D正确．故选：ABD．10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则解：对于A，当x＜0时，x+≤﹣2，故错；对于B，当a＜b＜0时，，则，故正确；对于C，若x（x﹣2）＜0，则0＜x＜2，则log2x∈（﹣∞，1），故错；对于D，若a＞0，b＞0，a+b≤1，则有ab，即，故正确．故选：BD．11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个解：建立直角坐标系，如图所示：设正方形的边长为1，设动点P（x，y），则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（﹣1，1），所以＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝+μ，整理得，所以λ+μ＝x+2y，下面对点P的位置逐一进行讨论，①当点P在AB上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，1]，②当动点P在BC上时，，故λ+μ＝x+2y∈[1，3]，③当动点P在CD上时，，故λ+μ＝x+2y∈[2，3]，④当动点P在DA上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，2]，由此可得：λ+μ＝2，得到动点P为BC的中点或点D的位置，故A错误，当λ+μ＝1时，得到动点P为点B的位置或AD的中点，故B正确，当λ+μ＝时，点P为CD的中点或P（1，），故D正确，当λ+μ＝3时，点P为C（1，1）的位置，故C正确．故选：BCD．12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是解：当x＝时，，所以，故选项A正确；当时，图象面积增加，即f（x）单调递增，故选项B错误；取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD＝x，所以∠AOF＝π﹣x，将射线OF绕点O按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S＝f（x），因为S+f（π﹣x）＝4，所以f（x）+f（π﹣x）＝4，故选项C正确；因为f（x）+f（π﹣x）＝4，则，所以，则f（x）的图象不关于对称，故选项D错误．故选：AC．二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．解：复数||＝＝＝＝，故答案为：．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝1．解：在△ABC中，∵AB＝，BC＝3，∠C＝120°，∴由余弦定理可得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C，即：（）2＝AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4＝0，解得：AC＝1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝﹣7．解：设大正方形的边长为a＝5，小正方形的边长为1，故设直角三角形的边长为x和x+1，故x2+（x+1）2＝25，解得x＝3，故tan．故＝﹣7．故答案为：﹣7．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为﹣16，此时||＝6．解：∵A（﹣5，0）和B（5，0）在中点为原点O（0，0），不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为AB上一点，，故，所以，P到直线AB的距离为3，则P点在直线L：y＝3上，可得：A（﹣5，0），B（5，0），P（x，3），则＝（﹣5﹣x，﹣3）⋅（5﹣x，﹣3）＝x2﹣25+9＝x2﹣16，当且仅当x＝0时，取最小值﹣16，此时P（0，3），．故答案为：﹣16；6．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．【解答】（1）解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点，则EC＝CD＝1，∠ACB＝60°，所以，故三棱锥C1﹣CDE的体积为＝＝；（2）证明：因为D、E分别为BC、AC的中点，则DE∥AB，又AB∥A1B1，所以DE∥A1B1，又A1B1⊄平面DEC1，DE⊂平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．解：（1），所以．（2），因为与共线，所以，解得m＝4．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H （t ）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．解：（1）H 关于t 的函数关系式为H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B ，由，解得A ＝62，B ＝83，…1分又函数周期为30，所以ω＝＝，可得H （t ）＝62sin （t +φ）+83，…2分又H （0）＝62sin （×0+φ）+83＝21，所以sin φ＝﹣1，φ＝﹣，…3分所以摩天轮转动一周的解析式为：H （t ）＝62sin （t ﹣）+83，0≤t ≤30，…4分（2）H （t ）＝62sin （t ﹣）+83＝﹣62cos t +83，所以﹣62cos t +83＝52，cos t ＝，…6分所以t ＝5…8分（3）由题意知，经过t 分钟后游客甲距离地面高度解析式为H 甲＝﹣62cos t +83，乙与甲间隔的时间为＝5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H 乙＝﹣62cos （t ﹣5）+83，5≤t ≤30，…10分所以两人离地面的高度差h ＝|H 甲﹣H 乙|＝|﹣62cos t +62cos （t ﹣5）|＝62|sin （t ﹣）|，5≤t ≤30，当t ﹣＝，或时，即t ＝10或25分钟时，h 取最大值为62米…12分20．已知函数f （x ）＝g （x ）h （x ），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f （x ）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．解：若选条件①，f（x）＝＝2sin x（cos x﹣sin x）＝2sin x cos x﹣2sin2x＝sin2x+cos2x﹣1＝．（1）函数的周期为T＝π；（2）∵x∈，∴2x+∈[，]，当2x+＝，即x＝﹣时，函数取得最小值﹣2，当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值；若选条件②，f（x）＝＝＝．（1）函数的周期为T＝2π；（2）由x∈，得sin x∈[，]，当sin x＝，即x＝时，函数取得最大值，当sin x＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最大值﹣1﹣．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【解答】（1）y1＝（10﹣m）x﹣20，其中{x|0≤x≤200，x∈N}，，其中{x|0≤x≤120，x∈N}．（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y1在定义域上是增函数，∴当x＝200时，（y1）max＝（10﹣m）200﹣20＝1980﹣200m，又，∴当x＝100时，（y2）max＝460，（y1）max﹣（y2）max＝1980﹣200m﹣460＝1520﹣200m，当1520﹣200m＞0时，即6≤m＜7.6时，投资A产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＝0时，即m＝7.6时，投资A或B产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＜0时，即7.6＜m≤8时，投资B产品可获得最大年利润．22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）g(x)＝|log2x|＝,因为关于x的方程g(x)＝n有两个不等的实数根α,β,(α＜β)所以﹣log2α＝n,log2β＝n,所以α＝2﹣n,β＝2n,所以αβ＝2﹣n•2n＝20＝1．（2）f(m)＝＝m+﹣3在m∈[1,2]上单调递减，则f(2)≤f(m)≤f(1),所以1≤f(m)≤2,令p＝f(m),则p∈[1,2],因为g(x)＝|log2x|在[,1]上单调递减，在[1,4]上电脑端递增，又g()＝3,g(1)＝0,g(4)＝2,令t＝g(x),则当t∈(0,2]时，方程t＝g(x)有两个不等实数根，由(1)知，两个根之积为1，当t∈(2,3]∪{0}时，方程t＝g(x)有且仅有一个根且此根在区间[,)内或为1，令h(t)＝4t2﹣4at+3a﹣1,所以原题目等价于，对任意p∈[1,2]，关于t的方程h(t)＝p在区间[0,3]上总有2个不等根t1,t2(t1＜t2),且t1＝g(x)有两个不等根，t2＝g(x)只有一个根，则必有0＜t1≤2＜t2≤3,则有,解得＜a≤,此时t2＝g(x)∈(2,3),则其根x∈[,),所以x1x2x3∈[,),所以存在实数a,使得对任意m∈[1,2],关于x的方程4g2(x)﹣4ag(x)+3a﹣1﹣f(m)＝0在区间[,4]上总有3个不等根，x1,x2,x3,实数a的取值范围为(，],x1x2x3的范围为[,)．。
2020-2021学年广东省实验中学高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年广东省实验中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设复数z满足z•（1+i）=2（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B. √2C.2D.32.（单选题，5分）已知向量a⃗=(3，4)，b⃗⃗=(1−λ，2+λ)，且a⃗⊥b⃗⃗，则λ=（）A.-11B.-2C. 117D. −273.（单选题，5分）如图，平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=5，O'C'=2，∠A'O'C'=30°，则原图形的面积是（）A.4B. 4√2C. 10√2D.64.（单选题，5分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是（）A.4B.5C.6D.75.（单选题，5分）下列四个命题中正确的是（）A.底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.两两相交的三条直线必在同一平面内C.在空间中，四边相等的四边形是菱形D.不存在所有棱长都相等的正六棱锥6.（单选题，5分）已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为（）A.P∈l，Q∈l，P∈α，Q∈α⇒l⊂αB.P∈α，P∈β⇒存在唯一直线l，α∩β=l，且P∈lC.l || m，m || n⇒l || nD.m || n⇒确定一个平面γ且m⊂γ，n⊂γ7.（单选题，5分）已知三棱锥A-BCD中，CD=√2，BC=AC=BD=AD=1，则此几何体外接球的体积为（）A.2πB. √2π3C. √2π6D.π⃗⃗⃗⃗⃗⃗•8.（单选题，5分）在△OAB中，OA=OB=2，AB=2√3，动点P位于直线OA上，当PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值时，∠PBA的正弦值为（）PBA. 3√77B. 2√77C. √2114D. √2139.（多选题，5分）设z为复数，则下列命题中正确的是（）A. |z|2=z•zB.z2=|z|2C.若|z|=1，则|z+i|的最小值为0D.若|z-1|=1，则0≤|z|≤210.（多选题，5分）如图，直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则下列说法正确的是（）A.以AD 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 16√2πB.以CD 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 32π3C.以AB 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 20π+4√2πD.以BC 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 28√2π311.（多选题，5分）如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．对于该几何体，则（ ）A.AF || CDB.2V 三棱锥F-ABC =V 四棱锥A-BCDEC.新几何体有7个面D.新几何体的六个顶点在同一个球面上12.（多选题，5分）在棱长为 3+√3 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，球O 1同时与以B 为公共顶点的三个面相切，球O 2同时与以D 1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E ，若球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2，则（ ）A.O 2，O 1，B ，D 1四点不共线B.r 1+r 2=3C.这两个球的体积之和的最小值是9πD.这两个球的表面积之和的最大值是18π13.（填空题，5分）设A={正方体}，B={直平行六面体}，C={正四棱柱}，D={长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是___14.（填空题，5分）向量 a ⃗=(2，1) 在向量 b⃗⃗=(3，4) 方向上的投影向量的坐标为 ___ ． 15.（填空题，5分）如图，在△ABC 中， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λμ =___ ，λ2-2μ的最小值是___ ．16.（填空题，5分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1为棱长为2，动点P ，Q分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP=x ，CQ=y ，其中x ，y∈[0，2]，下列命题正确的是___ ．（写出所有正确命题的编号）① 当x=0时，S 为矩形，其面积最大为4；② 当x=y=1时，S的面积为92；③ 当x=1，y∈（1，2）时，设S与棱C1D1的交点为R，则RD1=4−4y；④ 当y=2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值83．17.（问答题，10分）已知向量a⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3，且|a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=2．（1）求a⃗•b⃗⃗，| a⃗ + b⃗⃗ |；（2）求向量a⃗与a⃗ + b⃗⃗的夹角的余弦值．18.（问答题，12分）（1）在△ABC中，a=1，b=2，cosC= 14，求cosA．（2）在△ABC中，已知a= 5√2，c=10，A=30°，求角B；19.（问答题，12分）已知棱长为1的正方体AC1，H、I、J、K、E、F分别相应棱的中点如图所示．（1）求证：H、I、J、K、E、F六点共面；（2）求证：BE、DF、CC1三线共点；（3）求几何体B1BE-D1DF的体积．20.（问答题，12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且CQQD1 = BPPD= 23．（1）求证：PQ || 平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当CRCD的值为多少时，能使平面PQR || 平面B1C1CB？请给出证明．21.（问答题，12分）若函数f（x）= √3 sinx+2cos2x，△ABC的角A，B，C的对边分别为a，2b，c，且f（A）=3．取最大值时，判断△ABC的形状；（1）当b+ca（2）在△ABC中，D为BC边的中点，且AD= √13，AC=2，求BC的长．22.（问答题，12分）已知向量m⃗⃗⃗=(cos2x+2√3sinx，1)，n⃗⃗=(2，−a)．（1）当a=0时，令f(x)=m⃗⃗⃗•n⃗⃗，求f（x）的最值；)上有6个不等的实根，求a的取值范围；（2）若关于x方程m⃗⃗⃗•n⃗⃗=0在x∈(0，5π2，求a的值．（3）当m⃗⃗⃗•n⃗⃗≥0对x∈[x1，x2]恒成立时，x2-x1的最大值为5π32020-2021学年广东省实验中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设复数z满足z•（1+i）=2（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B. √2C.2D.3【正确答案】：B【解析】：先对复数进行化简，然后结合复数的模长公式可求．【解答】：解：由题意得z= 21+i = 2(1−i)(1+i)(1−i)=1-i，则|z|= √2．故选：B．【点评】：本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义，属于基础题．2.（单选题，5分）已知向量a⃗=(3，4)，b⃗⃗=(1−λ，2+λ)，且a⃗⊥b⃗⃗，则λ=（）A.-11B.-2C. 117D. −27【正确答案】：A【解析】：利用向量垂直的性质列方程，能求出λ．【解答】：解：∵向量a⃗=(3，4)，b⃗⃗=(1−λ，2+λ)，且a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗ =3（1-λ）+4（2+λ）=0，解得λ=-11．故选：A．【点评】：本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3.（单选题，5分）如图，平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=5，O'C'=2，∠A'O'C'=30°，则原图形的面积是（）A.4B. 4√2C. 10√2D.6【正确答案】：C【解析】：求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为2 √2：1，计算即可．【解答】：解：平行四边形O'A'B'C'中，O'A'=5，O'C'=2，∠A'O'C'=30°，=5，所以平行四边形O′A′B′C′的面积为S′=O′A′•O′C′•sin30°=5×2× 12所以原平面图形的面积是S=2 √2S′=2 √2 ×5=10 √2．故选：C．【点评】：本题考查了平面图形的直观图与原图形的面积比为1：2 √2的应用问题，是基础题．4.（单选题，5分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：C【解析】：直接利用异面直线的定义对正方体的棱逐一判断，得到与直线BA1异面的直线，即可得到答案．【解答】：解：根据异面直线的定义可得，与直线BA1为异面直线的棱有：AD，B1C1，CD，C1D1，CC1，DD1，共6条．故选：C．【点评】：本题考查了异面直线的判断，涉及了正方体几何性质的应用，解题的关键是掌握异面直线的定义，属于基础题．5.（单选题，5分）下列四个命题中正确的是（）A.底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.两两相交的三条直线必在同一平面内C.在空间中，四边相等的四边形是菱形D.不存在所有棱长都相等的正六棱锥【正确答案】：D【解析】：直接利用几何图形的定义和性质判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥与锥体的定义矛盾，故A错误；对于B：两两相交的三条直线且不相交于同一点的直线必在同一平面内，故B错误；对于C：在空间中，四边相等的四边形沿一条对角线折叠，构成四面体，故C错误；对于D：不存在所有棱长都相等的正六棱锥，由于六个等边三角形正好360°，构成一个周角，故正确；故选：D．【点评】：本题考查的知识要点：几何图形的定义和性质，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6.（单选题，5分）已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为（）A.P∈l，Q∈l，P∈α，Q∈α⇒l⊂αB.P∈α，P∈β⇒存在唯一直线l，α∩β=l，且P∈lC.l || m，m || n⇒l || nD.m || n⇒确定一个平面γ且m⊂γ，n⊂γ【正确答案】：D【解析】：公理是不能被证明但确实是正确的结论，是客观规律，依据公理的定义，依次求解．【解答】：解：由公理一可知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A选项为公理，由公理三可知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B选项是公理，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故C选项是公理，不同的两直线平行，确定一个平面，且两直线在平面内，为判定定理，非公理，故D选项错误．故选：D．【点评】：本题考查了对公理的判断，需要学生熟练掌握公理的定义，属于基础题．7.（单选题，5分）已知三棱锥A-BCD中，CD=√2，BC=AC=BD=AD=1，则此几何体外接球的体积为（）A.2πB. √2π3C. √2π6D.π【正确答案】：B【解析】：由已知结合勾股定理证明AC⊥AD，BC⊥BD，取CD中点O，则O为该几何体外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式求解．【解答】：解：如图，由CD=√2，BC=AC=BD=AD=1，可得AC2+AD2=CD2，BC2+BD2=CD2，则AC⊥AD，BC⊥BD，取CD中点O，则OA=OC=OD=OB，∴O为该几何体外接球的球心，则半径为12CD=√22．∴此几何体外接球的体积为43π × (√22)3= √2π3．故选：B ．【点评】：本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．8.（单选题，5分）在△OAB 中，OA=OB=2， AB =2√3 ，动点P 位于直线OA 上，当 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，∠PBA 的正弦值为（ ）A.3√77 B. 2√77C. √2114D. √213 【正确答案】：C【解析】：建立平面直角坐标系，写出坐标表示出 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用二次函数求出有最小值时P 的坐标，再利用向量的夹角公式即可求出．【解答】：解：建立如图平面直角坐标系，则A （- √3 ，0），B （ √3 ，0），O （0，1），设P （x ，y ）， 直线AO 的方程为y= √33 x+1，∵ PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √3 -x ，-y ）•（ √3 -x ，-y ）=x 2+y 2-3 =x 2+ (√33x +1)2 -3= 43 x 2+ 2√33 x-2= 43 (x +√34)2 - 94 ， ∴当x=- √34 时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值，此时P （- √34 ， 34）， ∴ BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 5√34 ， 34）， BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2 √3 ，0）， ∴cos∠PBA= BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 1522√3•√8416 = 5√714 ， ∵∠PBA∈（0，π），∴sin∠PBA= √1−2528 = √2114 ．故选：C．【点评】：本题考查向量的数量积、夹角公式等知识，考查运算求解能力，属于中档题．9.（多选题，5分）设z为复数，则下列命题中正确的是（）A. |z|2=z•zB.z2=|z|2C.若|z|=1，则|z+i|的最小值为0D.若|z-1|=1，则0≤|z|≤2【正确答案】：ACD【解析】：直接利用复数的运算，复数的模，共轭，圆的方程，圆与圆的位置关系的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：由于z为复数，设z=a+bi（a，b∈R），对于A：|z|2=a2+b2= z•z，故A正确；对于B：z2=（a+bi）2=a2+2abi-b2，|z|2=a2+b2，故B错误；对于C：由于a2+b2=1，所以|z+i|=√a2+(b+1)2∈[0，2]，故C正确；对于D：若|z-1|=1，即（a-1）2+b2=1，所以0=1−1≤√(a−0)2+(b−0)2≤1+1=2，故D正确；故选：ACD．【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，共轭，圆的方程，圆与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）如图，直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则下列说法正确的是（）A.以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为16√2πB.以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为32π3C.以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为20π+4√2πD.以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为28√2π3【正确答案】：CD【解析】：旋直接利用切割法的应用分别利用体积和表面积公式的应用的应用求出圆锥和圆台的体积和表面积．【解答】：解：直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则对于A：S侧=π(2+4)×2√2=12√2π，故A错误；对于B：V= V圆柱−V圆锥=π•22•4−13×π•22•2 = 40π3，故B正确；对于C：以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为相当于一个圆柱挖去一个圆锥，如图所示：构成的表面积为4π+2•π•2•4+π•2√2•2 == 20π+4√2π，故C正确；对于D：以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，相当于一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图所示：即：13•π•(2√2)2•2√2+13•[π•(√2)2+√π(√2)2•π•(2√2)2+π•(2√2)2]×√2−13•π•(√2)2•√2=28√2π3．故D正确；故选：CD．【点评】：本题考查的知识要点：旋转体的体积公式，切割法，圆锥和圆台的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.（多选题，5分）如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．对于该几何体，则（）A.AF || CDB.2V三棱锥F-ABC=V四棱锥A-BCDEC.新几何体有7个面D.新几何体的六个顶点在同一个球面上【正确答案】：AB【解析】：根据空间直线和平面位置关系分别进行判断即可．【解答】：解：取BC的中点G，DE的中点H，连接FG，AH，GH，则FG⊥BC，BC⊥GH，AH⊥DE，则BC⊥平面FGH，DE⊥平面AGH，∵BC || DE，∴平面FGH与平面AGH重合，即AHGF为平面四边形，∵AF=CD=GH，∴四边形AHGF为平行四边形，∴AF || CD，故A正确，由于BE || CD，∴BE || 平面ADCF，∵V四棱锥A-BCDE=2V四棱锥A-BCD=2V四棱锥B-ACD，V四棱锥B-ACD=V四棱锥B-ACF=V三棱锥F-ABC，∴2V三棱锥F-ABC=V四棱锥A-BCDE，故B正确，由于平面ACF与平面ACD重合，平面ABF与平面ABE重合，∴该几何体有5个面，故C错误，由于该几何体为斜三棱柱，故不存在外接球，故D错误，故选：AB．【点评】：本题主要考查与空间立体几何有个的命题的真假判断，涉及空间直线位置关系，空间体积的判断，涉及知识点较多，综合性较强，属于中档题．12.（多选题，5分）在棱长为3+√3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（）A.O2，O1，B，D1四点不共线B.r1+r2=3C.这两个球的体积之和的最小值是9πD.这两个球的表面积之和的最大值是18π【正确答案】：BC【解析】：由球与正方体的对称性判断A；画出过正方体对角面的截面图，由对角线长度相等求得r1+r2判断B；写出两球的体积与表面积之和，利用基本不等式求最值判断C与D．【解答】：解：由对称性作过正方体对角面的截面图如下，可得O2，O1，B，D1四点共线，故A错误；由题意可得O1B=√3r1，O2D1=√3r2，则（√3+1）r1+（√3+1）r2=BD1= √3 ×（3+ √3），从而r1+r2=3，故B正确；这两个球的体积之和为：43π（r13+r23）= 43π（r1+r2）（r12−r1r2+r22），∵r1+r2=3，∴（r1+r2）（r12−r1r2+r22）=3（9-3r1r2）≥3[9-3× (r1+r22)2]= 274，即43π（r13+r23）≥9π，当且仅当r1=r2= 32时等号成立，故C正确；这两个球的表面积之和S=4π（r12+r22）≥4π• (r1+r2)22=18π，当且仅当r1=r2= 32时等号成立，故D错误故选：BC．【点评】：本题主要考查了正方体的结构及其特征，球的表面积及体积公式，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，5分）设A={正方体}，B={直平行六面体}，C={正四棱柱}，D={长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是___【正确答案】：[1]A⊆C⊆D⊆B．【解析】：根据正方体、直平行六面体、正四棱柱、长方体的定义以及结构特征进行分析判断即可．【解答】：解：在这4种图象中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，最小的是正方体，其次是正四棱柱，故A⊆C⊆D⊆B．故答案为：A⊆C⊆D⊆B．【点评】：本题考查了四棱柱的结构特征的理解和应用，同时考查了集合之间关系的判断及应用，属于基础题．14.（填空题，5分）向量a⃗=(2，1)在向量b⃗⃗=(3，4)方向上的投影向量的坐标为 ___ ．【正确答案】：[1]（65，85）【解析】：求出向量a⃗，b⃗⃗的数量积和向量b的模，再由向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|，设向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影向量m⃗⃗⃗ =（x，y），x＞0，y＞0，由m⃗⃗⃗与b⃗⃗共线，可得y=4x3，又x2+y2=22，解得x，y的值，即可得解．【解答】：解：因为a⃗=(2，1)，b⃗⃗=(3，4)，则 a⃗⃗⃗⃗• b⃗⃗ =2×3+1×4=10，| b⃗⃗ |= √32+42 =5，则向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗| = 105=2，设向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影向量m⃗⃗⃗ =（x，y），x＞0，y＞0，由于m⃗⃗⃗与b⃗⃗共线，可得 x3=y4，即y= 4x3，又x2+y2=22，解得x= 65，y= 85，所以向量a⃗=(2，1)在向量b⃗⃗=(3，4)方向上的投影向量的坐标为（65，85）．故答案为：（ 65 ， 85 ）．【点评】：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，考查向量的投影定义，考查运算能力，属于中档题．15.（填空题，5分）如图，在△ABC 中， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λμ =___ ，λ2-2μ的最小值是___ ．【正确答案】：[1]2; [2] −14【解析】：由已知结合向量的线性表示及共线定理可以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后结合平面向量基本定理可求 λμ，结合二次函数的性质可求λ2-2μ的最小值．【解答】：解：因为 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为E 在线段AD 上移动（不含端点）， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x3AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2x3AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，（0＜x ＜1）， 所以λ= 2x3 ，μ= x3 ， λμ =2， λ2-2μ=4x 29−2x 3， 根据二次函数的性质知，当x= 34时取得最小值- 14． 故答案为：2，- 14 ．【点评】：本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，还考查了二次函数性质的应用，属于中档题．16.（填空题，5分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1为棱长为2，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP=x ，CQ=y ，其中x ，y∈[0，2]，下列命题正确的是___ ．（写出所有正确命题的编号） ① 当x=0时，S 为矩形，其面积最大为4； ② 当x=y=1时，S 的面积为 92 ；③ 当x=1，y∈（1，2）时，设S与棱C1D1的交点为R，则RD1=4−4y；④ 当y=2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值83．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：由题意可知当x，y变化时，S为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可．【解答】：解：当x=0时，点P与点B重合，∴AB⊥PQ，此时S为矩形，当点Q与点C1重合时，S的面积最大，S= 2×2√2 = 4√2．故① 错误；当x=1，y=1时，PQ为△BCC1的中位线，PQ || BC1，∵BC1 || AD1，∴AD1 || PQ，∴S为等腰梯形APQD1，过P作PE⊥AD1于E，PQ= √2，AD1=2 √2，∴ AE=√22，AP= √5，∴ PE=3√22，∴S梯形APQD1=12×3√2×3√22= 92，故② 正确；由图可设S与DD1交于点F，可得D1F || CC1，△C1QR∽△D1FR，C1RD1R =C1QFD1∵CQ=y，则C1Q=2-y，∴ RD1=4−4y，故③ 正确；当y=2时，以B1为定点，S为底面的棱锥为B1-APC1H，V B1−APC1H =2V P−B1C1H=2×13×12×2 × 2×2=83，故④ 正确；故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题考查了立体几何的截面面积的相关知识点，以及棱锥体积公式．17.（问答题，10分）已知向量a⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3，且| a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=2．（1）求a⃗•b⃗⃗，| a⃗ + b⃗⃗ |；（2）求向量a⃗与a⃗ + b⃗⃗的夹角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合向量数量积的定义及性质即可直接求解； （2）结合向量夹角公式即可直接求解．【解答】：解：（1） a ⃗•b ⃗⃗ =| a ⃗ || b ⃗⃗ |cos 2π3 =3× 2×(−12) =-3， | a ⃗+b ⃗⃗ |= √(a ⃗+b ⃗⃗)2= √a ⃗2+b ⃗⃗2+2a ⃗•b ⃗⃗ = √9+4−6 = √7 ， （2）设向量 a ⃗ 与 a ⃗ + b ⃗⃗ 的夹角θ， 则cosθ= a ⃗⃗•(a ⃗⃗+b ⃗⃗)|a ⃗⃗||a ⃗⃗+b⃗⃗| = 3×√7 = 2√77 ．【点评】：本题主要考查了向量数量的性质的综合应用，属于基础试题． 18.（问答题，12分）（1）在△ABC 中，a=1，b=2，cosC= 14，求cosA ． （2）在△ABC 中，已知a= 5√2 ，c=10，A=30°，求角B ；【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合余弦定理可求c ，然后结合余弦定理可求； （2）由正弦定理可求sinC ，进而求出C ，结合三角形内角和求出B ．【解答】：解：（1）由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC=1+4-2× 1×2×14 =4， 解得c=2， 再由余弦定理得cosA= b 2+c 2−a 22bc = 4+4−12×2×2 = 78 ；（2）由正弦定理得 asinA =csinC ， 所以sinC= 10×125√2= √22 ， 因为C 为三角形内角， 所以C=45°或C=135°， 当C=45°时，B=105°，C=135°时，B=15°．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）已知棱长为1的正方体AC1，H、I、J、K、E、F分别相应棱的中点如图所示．（1）求证：H、I、J、K、E、F六点共面；（2）求证：BE、DF、CC1三线共点；（3）求几何体B1BE-D1DF的体积．【正确答案】：【解析】：（1）连接C1D，AB1，推导出FJ || KH，设两线确定的平面为α，则点F，J，K，H∈α，在平面ADD1A1内延长JI交直线A1A于P点，推导出AP=DJ=12AA1，在平面ABB1A1内延长KH交直线A1A与Q点，推导出AQ=12AA1，由此能证明H、I、J、K、E、F 共面．（2）设BE∩DF=O，则O∈平面DC1，O∈平面BC1，由此能证明BE、DF、CC1三线共点；（3）由S△C1EF =18，S△CBD=12，求出V棱台C1EF−CBD=13(S△C1EF+S△CBD+√S△C1EF⋅S△CBD)⋅|CC1|=724，由此能求出几何体B1BE-D1DF的体积．【解答】：（1）证明：连接C1D，AB1，由已知FJ || C1D，KH || AB1，又C1D || AB1，∴FJ || KH，设两线确定的平面为α，即点F，J，K，H∈α，在平面ADD1A1内延长JI交直线A1A于P点，由△API与△DJI全等，可得AP=DJ=12AA1，在平面ABB1A1内延长KH交直线A1A与Q点，同理可得AQ=12AA1，∴P，Q重合，∴P∈α，∴I∈α同理可证E∈α，综上H、I、J、K、E、F共面．（2）证明：设BE∩DF=O，则O∈平面DC1，O∈平面BC1，∵平面DC1∩平面BC1=CC1，∴O∈CC1，∴BE、DF、CC1三线共点；（3）解：∵ S△C1EF =18，S△CBD=12，∴ V棱台C1EF−CBD =13(S△C1EF+S△CBD+√S△C1EF⋅S△CBD)⋅|CC1|=13×(18+12+14)=724，∴ V几何体B1BE−D1DF =12−724=524．【点评】：本题考查六点共面、三线共点的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．20.（问答题，12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且CQQD1 = BPPD= 23．（1）求证：PQ || 平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当CRCD的值为多少时，能使平面PQR ||平面B1C1CB？请给出证明．【正确答案】：【解析】：（1）连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，由三角形的相似和线面平行的判定定理，即可得证；（2）当CRCD =25时，能使平面PQR || 平面B l C l BC．由平行线的判定和性质，以及线面平行和面面平行的判定定理，即可得到结论．【解答】：（1）证明：连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以BC || AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM =BPPD=23，又因为CQQD1=BPPD=23，所以CQQD1=CPPM=23，所以PQ || MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ || 平面A1D1DA．（2）当CRCD =25时，能使平面PQR || 平面B l C l CB．证明：因为CRCD =25，即有CRRD=23，故CQQD1=CRRD=23，所以QR || DD1．又∵DD1 || CC1，∴QR || CC1，又CC1⊂平面B l C l CB，QR⊄平面B l C l CB，所以QR || 平面B l C l CB，由CRRD =23=BPPD，得PR || BC，BC⊂平面B l C l CB，PR⊄平面B l C l CB，所以PR || 平面B l C l CB，又PR∩RQ=R，所以平面PQR || 平面B l C l CB．【点评】：本题考查线面平行和面面平行的判定定理，以及平行线的性质和三角形相似的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）若函数f（x）= √3 sinx+2cos2x2，△A BC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=3．（1）当b+ca取最大值时，判断△ABC的形状；（2）在△ABC中，D为BC边的中点，且AD= √13，AC=2，求BC的长．【正确答案】：【解析】：利用三角恒等变换化简f（x），由f（A）=3，可求得A的大小，（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得b+ca取最大值时B的大小，即可求解△ABC的形状；（2）取AB边的中点E，连接DE，在△ADE中，利用余弦定理可求解AE，从而可得AB，在△ABC中，利用余弦定理即可求解BC．【解答】：解：因为f（x）= √3 sinx+2cos2x2 = √3 sinx+cosx+1=2sin（x+ π6）+1，所以f（A）=2sin（A+ π6）+1=3，即sin（A+ π6）=1，因为0＜A＜π，所以π6＜A+ π6＜7π6，所以A+ π6= π2，A= π3．（1）由正弦定理可得b+ca = sinB+sinCsinA= sinB+sin(2π3−B)√32=2sin（B+ π6），因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+ π6＜5π6，所以当B= π3时，b+ca取得最大值，此时C= π3，所以A=B=C，所以△ABC是等边三角形．（2）解：取AB边的中点E，连接DE，则DE || AC，且DE= 12 AC=1，∠AED= 2π3，在△ADE中，由余弦定理得AD2=AE2+DE2-2AE•DE•cos 2π3=13，解得AE=3，AB=6，在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=36+4-2×6×2× 12=28，所以BC=2 √7．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，正、余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知向量m⃗⃗⃗=(cos2x+2√3sinx，1)，n⃗⃗=(2，−a)．（1）当a=0时，令f(x)=m⃗⃗⃗•n⃗⃗，求f（x）的最值；（2）若关于x方程m⃗⃗⃗•n⃗⃗=0在x∈(0，5π2)上有6个不等的实根，求a的取值范围；（3）当m⃗⃗⃗•n⃗⃗≥0对x∈[x1，x2]恒成立时，x2-x1的最大值为5π3，求a的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数，转化求解幂函数的最值即可．（2）由 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=0 ， −4sin 2x +4√3sinx +2−a =0 令t=sinx ， ℎ(t )=−4t 2+4√3t +2−a 结合函数的零点，转化求解a 的范围即可．（3）通过 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗≥0 ，推出 √3−√5−a ≤2sinx ≤√3+√5−a ，然后分类讨论推出a 的范围，转化求解即可．【解答】：解：（1）∵a=0， f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=2cos2x +4√3sinx =2(1−2sin 2x )+4√3sinx =−4(sinx −√32)2 +5， 又|sinx|≤1，∴当sinx=-1时， f (x )min =−2−4√3 ；当 sinx =√32 时，f （x ）max =5． （2）由 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=0 ， −4sin 2x +4√3sinx +2−a =0令t=sinx ， ℎ(t )=−4t 2+4√3t +2−a由题意，结合函数t=sinx 在 x ∈(0，5π2) 上的图像可知： ℎ(t )=−4t 2+4√3t +2−a 在t∈（0，1）上有两个零点，∴Δ＞0，16×3+16（2-a ）＞0，并且h （1）=-4+4 √3 +2-a ＜0，h （0）=2-a ＜0，解得 4√3−2＜a ＜5 ，（3）∵ m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗≥0 ，即： 4sin 2x −2+a −4√3sinx ≤0 ，即 (2sinx −√3)2≤5−a ，则5-a≥0，得a≤5，得 √3−√5−a ≤2sinx ≤√3+√5−a ，∵对x∈[x 1，x 2]恒成立时，x 2-x 1的最大值为 5π3 ，∴当 √3+√5−a ＞2 时，不妨 2sin (π2−12×5π3)=−√3=√3−√5−a ，得 2√3=√5−a ，得a=-7，当 √3−√5−a ＜−2 时，不妨 2sin (3π2−12×5π3)=√3=√3+√5−2 ，得 √5−a =0 ，得a=5，此时√3−√5−a＜−2不成立，舍去，综上a=-7．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，两角和与差的三角函数，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．。
2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期数学期中考试试卷 带详解
【解析】
【分析】
通过换元，令 则 ，将函数零点转化为函数 的图象与直线 有三个交点，利用数形结合求得 的范围.
【详解】函数 ， ，令 则 ，函数 恰有三个零点，可转化为函数 的图象与直线 有三个交点，如图： 根据三角函数图象的性质可得 ， ，所以 ， 即 ，由 ，可得 ，所以 的取值范围是 .
④ 图像关于 中心对称;
⑤ 的最小正周期为 .
【答案】②③⑤
【解析】
分析：①根据 可判断；②由 、 可判断；③ 时， ，进而可得结论；④ 是奇函数图象关于 对称，结合周期性可判断；⑤由
，利用周期公式可得结论.
详解：① ,
,
, 不是 对称轴，①错误；
② ， ，
， 是 的最小正周期，②正确；
③ 时， ，
（1）求 值；
（2）将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，若函数 在区间 上存在零点，求实数k的取值范围.
18.已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到 函数为奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求 的取值范围．
【详解】 的递减区间是 ，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
14.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（3）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍后所得到的图象对应的函数记作 ，已知常数 ， ，且函数 在 内恰有 个零点，求常数 与 的值．
杭州市学军中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）1．复数z ＝﹣i 的虚部为（）A ．B ．﹣C ．iD ．﹣i2．已知向量＝（k ，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k ＝（）A ．﹣B ．0C ．3D ．3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则B 的解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A ．1B ．C ．2D ．25．已知向量，不共线，且向量λ+与+（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（）A ．1B ．﹣C ．1或﹣D ．﹣1或﹣6．设复数z 满足＝i ，则|z |＝（）A ．1B ．C ．D ．27．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交8．已知，为单位向量，|+|＝|﹣|，记是与+方向相同的单位向量，则在+方向上的投影向量为（）A ．B ．﹣C ．D ．9．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是（）A ．若|z 1﹣z 2|＝0，则＝B ．若z 1＝，则＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1•＝z 2•D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 2210．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝c cos A ，角A 的角平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos A ＝，以下结论正确的是（）A．AC＝B．AB＝8C．＝D．△ABD的面积为二、填空题（6题，每题5分，共30分）11．若1+i是关于x的实系数方程x 2+bx+c＝0的一个复数根，则c＝．12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为．13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A＝，sin B＝cos C，并且a＝，则△ABC的面积为．15．设P为△ABC所在平面上一点，且满足（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为．16．如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是．三、解答题（4题，每题12分，共48分）17．如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0．（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．（1）设＝x+y，求x+y的值；（2）若＝6，求的值．20．设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．参考答案一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）1．复数z＝﹣i的虚部为（）A．B．﹣C．i D．﹣i 解：z＝﹣i的虚部为﹣，故选：B．2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k＝（）A．﹣B．0C．3D．解：∵＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）∴2﹣3＝（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•＝0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）＝0，解得，k＝3．故选：C．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则B的解的个数是（）A．0B．1C．2D．不确定解：因为a＝80，b＝100，A＝30°，由正弦定理得，，所以sin B＝，因为a＜b，所以B＞A，故B有两解．故选：C．4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1B．C．2D．2解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）＝π，解得：r＝，l＝，故圆锥的高h＝＝，故选：B．5．已知向量，不共线，且向量λ+与+（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣解：与的方向相反，且不共线，∴存在μ＜0，使，∴，解得或1（舍去）．故选：B．6．设复数z满足＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：∵复数z满足＝i，∴1+z＝i﹣zi，∴z（1+i）＝i﹣1，∴z＝＝i，∴|z|＝1，故选：A．7．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C ．l 可以和l 1，l 2都相交，如下图：，∴该选项错误；D ．“l 至少与l 1，l 2中的一条相交”正确，假如l 和l 1，l 2都不相交；∵l 和l 1，l 2都共面；∴l 和l 1，l 2都平行；∴l 1∥l 2，l 1和l 2共面，这样便不符合已知的l 1和l 2异面；∴该选项正确．故选：D ．8．已知，为单位向量，|+|＝|﹣|，记是与+方向相同的单位向量，则在+方向上的投影向量为（）A ．B ．﹣C ．D ．解：由题意可得2+2＝2﹣4+2，可得＝，则＝1+＝，设与+的夹角为α，则||•||cos α＝，有||＝＝，故＝＝．则在+方向上的投影向量为：．故选：C ．9．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是（）A ．若|z 1﹣z 2|＝0，则＝B ．若z 1＝，则＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1•＝z 2•D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 22解：对（A ），若|z 1﹣z 2|＝0，则z 1﹣z 2＝0，z 1＝z 2，所以为真；对（B ）若，则z 1和z 2互为共轭复数，所以为真；对（C ）设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则，，所以为真；对（D ）若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|为真，而，所以为假．故选：ABC ．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝c cos A，角A的角平分线交BC于点D，AD＝1，cos A＝，以下结论正确的是（）A．AC＝B．AB＝8C．＝D．△ABD的面积为解：因为b＝c cos A，由正弦定理可得，sin B＝sin C cos A＝sin（A+C），所以sin A cos C＝0，因为sin A≠0，所以cos C＝0即C＝，∵＝cos A＝，由角平分线定理可得，＝，设AC＝x，AB＝8x，则BC＝3x，CD＝，Rt△ACD中，由勾股定理可得，，解可得x＝，即AC＝，AB＝6，∵S ABC＝＝，＝＝．所以S△ABD故选：ACD．二、填空题（6题，每题5分，共30分）11．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则c＝3．解：因为1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，所以1﹣i也是方程的根，由根与系数的关系可知：，所以b＝﹣2，c＝3．故答案为：3．12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为2+．解：DC＝AB sin45°＝，BC＝AB sin45°+AD＝+1，S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，S＝S梯形ABCD＝2+．故答案为：2+13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为．解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO＝AO＝R，PO1＝4，OO1＝4﹣R，在Rt△AO1O中，AO1＝，由勾股定理R2＝2+（4﹣R）2得R＝，∴球的体积为．故答案为：．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A＝，sin B＝cos C，并且a＝，则△ABC的面积为．解：∵cos A＝，A为三角形的内角，∴sin A＝＝＝，∵sin B＝cos C，且sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin A cos C+cos A sin C＝cos C，则cos C+sin C＝cos C，即sin C﹣cos C＝0，由得，sin C＝，cos C＝，∴sin B＝cos C＝，又a＝，由正弦定理得，则c＝＝＝，∴△ABC的面积S＝＝＝，故答案为：．15．设P为△ABC所在平面上一点，且满足（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为14．解：由3+4＝m，可得+＝，可设＝+，则D，A，C共线，且D在线段AC上，可得＝，即有D分AC的比为4：3，即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍，＝S△ABP＝×8＝14．故S△ABC故答案为：14．16．如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是．解：如图，设D是线段BC的中点，则OD⊥BC，连接OA，OB．OC，OD，设θ为和的夹角，则•＝（﹣）•＝•﹣•＝||•||•∠BCO﹣||•||•cosθ＝﹣|•cosθ≥﹣|＝（||﹣）2﹣，∵||∈[0，2]，∴当||＝时，•有最小值为﹣，当||＝2且cosθ＝﹣1时，﹣|•cosθ有最大值为3，即•有最大值为3，故答案为：[﹣，3]．三、解答题（4题，每题12分，共48分）17．如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接AE、NE，如图所示：由NE∥DC，且NE＝DC，AM∥DC，且AM＝DC，所以NE∥AM，且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD；（2）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥BC．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0．（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．解：（1）由题意知，a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0，由正弦定理得：sin A cos C+sin A sin C﹣sin B﹣sin C＝0，由sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）得，sin A cos C+sin A sin C﹣sin（A+C）﹣sin C＝0，则sin A sin C﹣cos A sin C﹣sin C＝0，又sin C≠0，则sin A﹣cos A＝1，化简得，，即，又0＜A＜π，所以A＝；（2）在△ABC中，cos B＝得，sin B＝＝…则sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝…由正弦定理得，＝＝…设a＝7x、c＝5x，在△ABD中，由余弦定理得：AD2＝AB2+BD2﹣2•AB•BD•cos B，，解得x＝1，则a＝7，c＝5…所以△ABC的面积S＝＝…19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．（1）设＝x+y，求x+y的值；（2）若＝6，求的值．解：（1）△ABC中，D是BC的中点，BE＝2EA，AD与CE交于点O．设＝x+y＝x+y（﹣）＝﹣x﹣y+y＝（﹣x﹣y）+y，又＝，＝，所以＝（﹣x﹣y）+y，所以﹣x﹣y+y＝1，①又＝﹣（x+y）+2y，所以﹣（x+y）+2y＝1，②由①②组成方程组解得，所以x+y＝﹣＝﹣；（2）设＝m＝m（+），＝+＝+n＝+n（﹣）＝（1﹣n）+n＝+n；所以，，所以＝＝（+），＝﹣＝﹣+，所以6•＝6×（+）•（﹣+）＝﹣+•+；又•＝6，所以0＝﹣+，所以＝3，所以＝．20．设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1，∵|a|＞0，∴﹣a＞0∴⇒a≤﹣1（2）当x≥a时，f（x）＝3x2﹣2ax+a2，∴，如图所示：当x≤a时，f（x）＝x2+2ax﹣a2，∴．综上所述：．（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△＝4a2﹣12（a2﹣1）＝12﹣8a2当a≤﹣或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；当﹣＜a＜时，△＞0，得：即进而分2类讨论：当﹣＜a＜﹣时，a＜，此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当﹣≤a≤时，＜a＜；此时不等式组的解集为[，+∞）．当＜x＜，a＞；此时不等式组的解集为（a，+∞）．综上可得，当a∈（﹣∞，﹣]∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；当a∈（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当a∈[﹣，]时，不等式组的解集为[，+∞）．。
福建省福州第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷
福州一中2020 - 2021学年第二学期第三学段期中考试高一数学第二册期中考试卷（完卷120分钟满分150分）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足z （1 - i ） = 3 - i （i 是虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A .4B .5C .2D .12.已知向量a ⃗ = （9，6），b ⃗ = （3，x ），若a ⃗ ∥b ⃗ ，则b ·（a ⃗ -b⃗ ） = （ ） A . - 26 B . - 25 C .25 D .263.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ | =6，|b ⃗ | = 2，（a ⃗ -b ⃗ ）·b ⃗ = 1，则向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角等于（ ） A .30° B .45° C .60° D .120°4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满是 bcosA cosB + a = 2c ，则角B = （ ）A . π 6B . π 4C . π 3D . 2π 35.如图，已知等腰△ABC 中，AB = AC = 3，BC = 4，点P 是边BC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）（ ）A .为定值6B .为定值10C .最大值为18D .与P 的位置有关6.某天象馆的主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体.小明同学为了估算该天象馆的高度，在天象馆的正东方向找到一座建筑物AB ；高为（123 - 12）m .在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 以及天象馆顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得天象馆顶C 的仰角为30°，则小明估算该天象馆的高度为（ ）A .16 mB .24 mC .163mD .243m7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A . 13 25 a ⃗ + 16 25b ⃗ B . 16 25 a ⃗ + 12 25 b ⃗ C . 2 5 a ⃗ + 4 5 b ⃗D . 1 5 a ⃗ + 3 5 b ⃗ 8.已知点O 是△ABC 的内心，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 9 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 9 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos ∠BAC = （ ）A . 1 5B . 1 6C . 1 8D . 1 9 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求..全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）A .若复数z = 1+i 1−i （i 是虚数单位），则 z 30 = - 1B .若复数z 满足z 2ϵR ，则z ϵRC .若复数z = a + bi （a ，b ϵR ），则复数z 为纯虚数的充要条件是a = 0D .若复数z 满足|z | = 1，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆10.设a ⃗ ，b⃗ 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A .若|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | - |b ⃗ |，则a ⃗ ，b⃗ 的方向相同 B .若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ + b ⃗ |=|a ⃗ - b⃗ | C .若|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | + |b ⃗ |，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影向量为a ⃗D .若存在实数λ使得a ⃗ =λb ⃗ ，则|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | - |b⃗ | 11.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b - 2a + 4a sin 2 A+B 2 = 0，则下列结论正确的是（ ）A .角C 一定为锐角B .a 2 + 2b 2 - c 2 = 0C .3tan A + tan C = 0D .tan B 的最大值为 √3 312.在同一平面内，设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 - BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = c （c 为常数），则下列正确的是（ ）A .若c = 1 3 ，则存在满足条件的点M 使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .∀c ϵR ，点M 构成的集合是垂直于线段AB 的一条直线C .若c = 1，则点M 、A 、B 可构成一个直角三角形D .若c = 3，则|MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min = 1 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数z = ii 2021+2 ，则复数z 在复平面内对应的点在第 _________ 象限.14.已知平面向量a ⃗ =（2， - 1），b ⃗ =（m ，2），且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ | = _________ .15.为了测量A 、B 两岛屿之间的距离，一艘测量船在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向。
甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
兰州一中2020-2021-2学期高一年级期中考试试题参考答案数学命题：何乃文 审题：陈小豹本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．将两个数1,2a b ==交换，使2,1a b ==，下列语句正确的是（ ）.A ．=,=a b b aB ．=,=b a a bC ．=,=,=a c c b b aD ．=,=,=c b b a a c 2．袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ） A ．“至少有一个黑球”和“没有黑球”B ．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C ．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D ．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”3．已知实数,x y 满足22430x y x +-+=,则 ）AB ．C ．1D ．24．某公司从代理的A ，B ，C ，D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A ，B ，C ，D 四种产品的数量比是2：3：2：4，则该样本中D 类产品的数量为（ ） A ．55件B ．40件C ．33件D ．22件5．某公司在2016－2020年的收入与支出如下表所示：根据表中数据可得回归方程为ˆ0.8a yx =+，依此估计2021年该公司收入为8亿元时支出为（ ） A ．4．2亿元B ．4．4亿元C ．5．2亿元D ．5．4亿元6．下列各数中最大的数是（ ） A ．()985B ．()6210C ．()41000D ．()21111117．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（ ）A ．24和29B ．26和29C ．26和32D ．31和298．我校高中数学兴趣小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得π的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标（x ，y ）()01,01x y <<<<，其中有399个点的坐标满足221x y +≤，据此可估计π的值约为（ ） A ．3.19B ．3.16C ．3.14D ．3.119.一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ） A ．40.6, 1.1B ．48.8, 4.2C ．81.2, 44.4D ．78.8, 75.610．已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x +y =a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为（ ）A ．[-B ．(,)-∞-⋃+∞C ．(-D ．(-11．从标有1、2、3、…、9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率是（ ） A ．1318B ．1118C ．718D ．1212．曲线1y =与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．5012⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．5+12⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， C ．1334⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．53124⎛⎤⎥⎝⎦，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个容量为n 的样本分成若干个小组，已知某组的频数和频率分别是48和0.3，则n ＝________. 【答案】16014．下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是_______【答案】515．由点(1,3)P -向圆222220x y x y ++--=作的切线方程为___________． 【答案】1x =或3490x y ++=16．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (3,0),C (0,a )，D (0,a +2)，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．（注：PA 表示点P 与点A 之间的距离）【答案】1⎡⎤-⎣⎦三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）同学小王通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书. 求小王周末不在家看书的概率.解析：∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，……………3分 去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116， ……………6分 ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.故小王周末不在家看书的概率：1316 ……………10分18．（本小题12分）已知直线:30l kx y k --=与圆22:8290M x y x y +--+=.（Ⅰ）求证：直线l 必过定点，并求该定点； （Ⅱ）当圆M 截直线l 所得弦长最小时，求k 的值.【解析】（Ⅰ）证明：直线l 方程可化为：()30k x y --=， 对上式中，当3,0x y ==时，不论k 取何值，等式恒成立，所以直线l 恒过点()3,0A .……………4分（Ⅱ）将圆M 的方程化为：()()22418x y -+-=，圆心为()4,1M ，半径r =由（Ⅰ）知，直线l 恒过点()3,0A ，当圆M 截直线l 所得弦长最小时，则MA 垂直于直线l ， ……………8分 即1MA k k ⋅=-.()4,1M ，()3,0A ，10143MA k -∴==-，1k ∴=- 所以当圆M 截直线l 所得弦长最小时，k 的值为1- .……………12分 19．（本小题12分）一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：（1）2只球都是红球的概率 （2）2只球同色的概率（3）“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？【解析】记两只白球分别为1a ，2a ；两只红球分别为1b ，2b ；两只黄球分别为1c ，2c 从中随机取2只的所有结果为()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()12,a c ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()22,a c ，()12,b b ，()11,b c ，()12,b c ，()21,b c ， ()22,b c ，()12,c c 共15种（1）2只球都是红球为()12,b b 共1种，概率115P =……………4分 （2）2只球同色的有：()12,a a ，()12,b b ，()12,c c ，共3种，概率31155P ==……………8分 （3）恰有一只是白球的有：()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()12,a c ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()22,a c ，共8种，概率815P =; 2只球都是白球的有：()12,a a ，概率115P =……………12分 所以：“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍 20．（本小题12分）某企业为了增加某种产品的生产能力，决定改造原有生产线，需一次性投资300万元，第一年的年生产能力为300吨，随后以每年40吨的速度逐年递减，根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，该设备的使用年限为3年，该产品的销售利润为1万元/吨．(Ⅰ)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数(x 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．()i 根据频率分布直方图估计年销售利润不低于180万的概率和不低于220万的概率； ()ii 试预测该企业3年的总净利润.(3年的总净利润3=年销售利润一投资费用)【解析】(Ⅰ)年销量的平均数0.11200.21600.32000.252400.15280206(x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=吨)． (Ⅱ())i 该产品的销售利润为1万元/吨，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220吨时，年销售利润才不低于220万，∴年销售利润不低于220万的概率0.30.250.150.7P =++=．()ii 由(Ⅰ)可知第一年的利润为：2061206(⨯=万元)，第二年的利润为：()0.11200.21600.32000.42401200(⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元)， 第三年的利润为：()0.11200.21600.72001184(⨯+⨯+⨯⨯=万元)，∴预测该企业3年的总净利润为：206200184300290(++-=万元)．21．（本小题12分）我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆1C :221x y +=，直线:340l x y m -+=.（Ⅰ）若直线l 关于圆1C 的距离比2λ=，求实数m 的值；（Ⅱ）当0m =时，若圆2C 与y 轴相切于点()0,3A ，且直线l 关于圆2C 的距离比65λ=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系，并说明理由.【解析】（Ⅰ）由直线关于圆的距离的比的定义得：25m =，所以10m =±（Ⅱ）当0m =时，直线:340l x y -=，圆2C 与y 轴相切点于(0,3)A所以可设2C ：222()(3)x a y a -+-=3126545a a a -=⇒=-或43①当4a =-时，2C ：22(4)(3)16x y ++-=两圆的圆心距5d =，两圆半径之和为145+=，因此两圆外切 ②当43a =时，2C ：22416()(3)39x y -+-=两圆的圆心距48433d =-+=大于两圆的半径之和47133+=，因此两圆外离 22．（本小题12分）已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （C ）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx ay e+=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（Ⅰ）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（Ⅱ）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36C C 之间（包括26C 与36C ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据： 3.28227e ≈， 3.79244e ≈，5.832341e ≈， 6.087440e ≈， 6.342568e ≈．） 附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…，(),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．【解析】（Ⅰ）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆz abx =+． ()()()7172146.418ˆ0.255182iii ii x x zz bx x ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348a z bx=-=-⨯=-， 故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得ln 0.255 3.348y x =-， 于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=,当26x =时，0.25526 3.3483.28227y ee ⨯-==≈； 当36x =时，0.25536 3.3485.832341y e e ⨯-==≈；因为函数0.255 3.348x y e-=为增函数，故气温在26~36C C 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[]27.341内的正整数．。
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题含解析
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32．下列说法正确的是（ ） A ．任意三点确定一个平面B ．两个不重合的平面α和β有不在同一条直线上的三个交点C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面 3．在边长为3的等边三角形ABC 中，12BM MC =，则AB BM ⋅=（ ）A B ．32C ．32-D ．124．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）A ．2+B ．8C ．4D ．5．已知1OA =，3OB =，56AOB π∠=，若O B O C ⊥u u u r u u u r 且OC mOA nOB =+，则mn（ ）. A ．5B ．4C ．2D ．16．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中A ．NC 与DE 相交B ．CM 与ED 平行C ．AF 与CN 平行D ．AF 与CM 异面7．如图所示，CD 是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB (高为15)m )与雕像之间的地面上的点M 处(B ，M ，D 三点共线)测得楼顶A 及雕像顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30︒，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）A ．20mB ．30mC ．D ．8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误的是（ ）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马” B ．四面体11AC CB 为“鳖臑” C ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥二、多选题9．对任意平面向量a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =B ．若a b =，b c =，则a c ＝C ．a b a b -<+D ．a b a b ⋅≤10．已知a ，b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A ．,//a b a b αβα⋂=⊂⇒ B ．,////a a b b αβα=⇒，且b β//C ．//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D ．//,,//a b a b αβαγβγ==⇒11．在ABC 中，内角A ，B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（ ）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos AB > B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=三、单选题12．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（ ） A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =四、填空题13．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是__14．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有_______条．15．在ABC 中，a ､b ､c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b C a c =-，ABC S =△且3b =，则a c +的值等于___________.五、双空题16．如图，在ABC 中，8,12AB BC AC =+= ，分别取三边的中点,,D E F ，将,,BDE ADF CEF 分别沿三条中位线折起，使得,,A B C 重合于点P ，则当三棱锥P DEF -的外接球的体积最小时，其外接球的半径为____________，三棱锥P DEF -的体积为____________．六、解答题17．已知复数()1z mi m R =+∈，312z i-+是实数． （1）求复数z ； （2）若复数0112z m z =+-是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，||1OC =，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．（1）若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值； （2）若[0,]2πθ∈，向量(),1cos ,sin 2cos m BC n θθθ==--，求m n ⋅的最小值及对应的θ值．19．在①sin sin sin sinb A a B A B +=，②2sin cos cos cos b C A C C ，③()sin sin sin a b A b B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知锐角ABC 中，a ､b ､c 分别为内角A ，B ､C 的对边，2c =，___________. （1）求角C ；（2）求a b +的取值范围.(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，1AB =，设M 、N 分别为PD 、AD 的中点.（1）求证：平面//CMN 平面PAB ； （2）求三棱锥A CMN -的侧面积.21．党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略.如图，A 村､B 村分别位于某河流的南､北两岸，,5AC BC BC ⊥=公里，30BAC ∠=︒，现需将A 村的农产品运往B 村加工.乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a 元/公里，水路运输价格为2a 元/公里.（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A 村通过水路运输到B 村；第二种，先从A 村通过公路运输到与B 村相对的南岸近岸处C ，再通过水路运输到B 村.试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC 上选择一个中转站D ，先将A村的农产品通过公路运往中转站D ，再将农产品通过水路运往B 村加工.试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由. 22．已知ABC 的外心为O ，内心为Ⅰ.（1）如图1，若|||1,0AB AC AB AC ==⋅=∣. ①试用,AB AC 表示AO ； ②求()BA BC OI +⋅的值.（2）如图2，若存在实数λ，使OI BC λ=，试求cos cos B C +的值.参考答案：1．B【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得34x y =-⎧⎨=⎩，进而求模长即可.【详解】因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，所以=|34|5x yi i ---=.故选：B. 2．C【分析】由平面的性质及确定平面的条件逐项判断即可得解. 【详解】A 选项，不共线的三点确定一个平面，A 错； B 选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线， 如没有公共点，则两平面平行，B 错；C 选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行， 所以梯形一定是平面图形，C 对；D 选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D 错. 故选：C. 3．C【分析】由向量的数量积计算． 【详解】1123BM MC BC ==，1BM = AB BM ⋅=13cos(18060)3122AB BM ⎛⎫⋅︒-︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ． 4．B【分析】画出直观图对应的原图，由此求得原平面图形的周长.【详解】直观图中，''''''1,O A C B O B ===中1,OA OB ==3OC AB =，所以原平面图形的周长为32128⨯+⨯=.故选：B.【点睛】本小题主要考查斜二测画法的直观图和原图的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 5．C【分析】由a b ⊥，0a b ⋅=，将OC 由mOA nOB +表示，利用0OB OC ⋅=u u u r u u u r，找出m 和n 的关系即可.【详解】由OB OC ⊥u u u r u u u r和OC mOA nOB =+， ()2OB OC OB mOA nOB mOB OA nOB ⋅=⋅+=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r25cos 1cos36m OB OA AOB n OB m n π=∠+=⨯+⨯ 3302m n =-+=，所以332m n =，2m n=故选：C【点睛】本题主要考查向量垂直的应用和向量的数量积公式，属于基础题. 6．B【详解】根据题意得到立体图如图所示：A NC 与DE 是异面直线，故不相交；BC M 与ED 平行，由立体图知是正确的； C AF 与CN 位于两个平行平面内，故不正确；D AF 与CM 是相交的． 故答案为B ． 7．D【分析】由锐角三角函数及正弦定理逐步运算即可得解. 【详解】在Rt ABM 中，sin15ABAM =︒, 在ACM △中，由正弦定理得sin sin AM CMACM CAM =∠∠，sin sin 45sin sin30AM CAM AM CM ACM ∠︒==∠︒；在Rt CDM 中，sin 45sin60sin60sin15sin30AB CD CM ︒︒︒︒︒===故选：D. 8．C【分析】由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”. 所以在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC , 在选项A 中，因为1AA BC ⊥，AC BC ⊥，且1AA AC A =，则BC ⊥平面11AAC C ，且11AAC C 为矩形，所以四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确； 在选项B 中，由11AC BC ⊥，111AC C C ⊥且1C CBC C =，所以11AC ⊥平面11BB C C ，所以111AC BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形， 由BC ⊥平面11AAC C ，得1A BC ,1CC B 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，所以四面体11AC CB 为“鳖臑”，故B 正确; 在选项C 中，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤， 当且仅当AC BC =时取等号，则1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，所以C 不正确；在选项D 中，由BC ⊥平面11AAC C ，则1,BC AF AF AC ⊥⊥且1ACBC C =， 则AF ⊥平面1A BC ，所以1,AF A B ⊥又1AE A B ⊥且AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ，则1A B EF ⊥，所以D 正确. 故选：C.9．BD【分析】利用反例判断A 的正误；向量相等关系判断B 的正误；向量的模的运算法则判断C 的正误；利用向量的数量积的性质判断D 的正误.【详解】若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =，反例0b =，则a 与c 具有任意性，所以A 不正确；若a b =，b c =，则a c ＝，向量相等的充要条件，所以B 正确；a b a b -<+，如果0b =，则不等式不成立，所以C 不正确； ()|cos ,|a b a b a b a b ⋅=≤v v v vv v v v ，所以D 正确.故选：BD【点睛】本题考查向量数量积概念辨析，属于基础题. 10．ABC【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断. 【详解】A. 因为a αβ⋂=，b α⊂，则,a b 平行或相交，故错误； B. 因为a αβ⋂=，//a b ，则//b α或 b α⊂，//b β或 b β⊂，故错误； C. 因为//a β，//b β，a α⊂，b α⊂，则,αβ平行或相交，故错误； D. 因为//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，由面面平行的性质定理得//a b ，故正确；故选：ABC 11．ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，可判定B 正确；由正弦定理可得sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，所以B 正确； 对于C 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得sin 2sin 2A B =，故22A B =或22A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+， 则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD . 12．B【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论. 【详解】如下图所示：由2BP PC =，可得()2AP AB AC AP -=-， 1233AP AB AC ∴=+， 若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>， 则1AB AM m =，1AC AN n =， 1233AP AM AN m n∴=+， M 、P 、N 三点共线，12133m n ∴+=，123m n∴+=， 故A 正确； 所以12m =，2n =时，也满足123m n +=，则D 选项正确；()122255223333333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭Q ，当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立；()1221113333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当n =时，即m n =B 选项错误. 故选：B 13．4∶3或43【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意得2π23r l π=，解得3l r =． 所以2S πr πr 4S πr 3l l +==表侧． 答案：43点睛：（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理． 14．1【分析】在正方体的上、下面，左、右面，前、后面逐一去找出能与1AD 垂直的面对角线，得出结论.【详解】1AD 与面对角线11AC ，11,,BD AB DB 异面，所成的角是60，由于11//AD BC ，又11BC CB ⊥，所以11AD CB ⊥，而1AD 与正方体其它异面的面对角线都不垂直， 所以与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有1条， 故填：1.【点睛】本题考查空间里的异面直线和其垂直关系，属于基础题.15．【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得,3B π=再由三角形面积公式可得3ac =，最后结合余弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理得cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==. 因为A 为三角形内角，sin 0,(0,)A B π≠∈，所以1cos ,2B =,3B π=又3ABCSb ==11sin 22ac B a c ==⨯⨯=，解得3ac =，由余弦定理得22229()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=故答案为：16．83【分析】将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，进而可得外接圆的半径和体积. 【详解】由题意得三棱锥P DEF -的对棱分别相等，设2BC a =，则122AC a =-， 将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，则()22222222,6,16x y a y z a x z +=+=-+=， 所以2222626x y z a a ++=-+，则外接球半径r ==当3a =时，半径最小，此时三棱锥P DEF -的外接球的体积最小，此时r =解得1x z y ===，所以三棱锥118141323P DEF V -=-⨯⨯⨯=.，83. 【点睛】方法点睛：将三棱锥P DEF -补充成长方体，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.本题考查了空间想象能力和运算求解能力. 17．（1）14z i =-；（2）4,20b c ==. 【分析】（1）根据复数的除法运算，化简得32241255z m m i i --+=++，结合312z i-+是实数，列出方程，即可求解；（2）根据024z i =--是方程的根，得到(164)2120b i b c --+-=，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）因为()1z mi m R =+∈， 可得32(2)(12)2241212(12)(12)55z mi mi i m m i i i i i -----+===++++-， 又由312z i -+是实数，可得405m +=，解得4m =-，所以14z i =-． （2）因为011242z m z i =+-=--是方程20(,)x bx c b c R ++=∈的根， 所以2(42)(42)0i b i c --+--+=，即(164)2120b i b c --+-=，可得16402120b b c -=⎧⎨-+-=⎩，解得4,20b c ==.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．（1；（2）m n ⋅的最小值为18πθ=.【分析】（1）设出D 点坐标，求得||OC OD +uuu r uuu r的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得m n ⋅的最小值及对应的θ值.【详解】（1）设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知(C ，所以22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭，所以221||2OC OD t ⎛+=+ ⎝⎭，所以当t =时，||OC OD +uuu r uuu r . （2）由题意得()()cos ,sin ,cos 1,sin C m BC θθθθ==+，()1cos ,sin 2cos n θθθ=--， 则m n ⋅＝=1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝124πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以52444πππθ≤+≤，所以当242ππθ+=，即8πθ=时，sin 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，m n ⋅取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18πθ=.19．条件选择见解析；（1）3C π=；（2）.【分析】（1）选条件①：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件②：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件③：由条件结合正弦定理、余弦定理运算即可得解；（2）确定B的范围，由正弦定理转化条件为2sin sin 3b a B B π⎤⎛⎫+=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）选条件①：由sin sin sin sin b A a B A B +=及正弦定理得sin sin sin sin sin sin B A A B C A B +=，即2sin sin sin sin A B C A B =，所以sin C =因为C 为锐角，所以3C π=；选条件②：由2sin cos cos cos b C A C C =及正弦定理得sin sin (sin cos sin cos )B C C C A A C =+，即sin sin sin()B C C A C +，∴sin sin sin B C C B =. ∵02B π<<，∴sin 0B >，可得tan C 02C π<<，∴3C π=；选条件③：由()sin sin sin a b A b B c C -+=及正弦定理得22()a b a b c -+=， 即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，∵02C π<<，∴3C π=.（2）∵ABC 是锐角三角形，∴0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，由正弦定理得sin sin sin b a c B A C ====，∴21sin sin sin sin 32b a B B B B B π⎫⎤⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭3sin 2B B ⎫+=⎪⎪⎝⎭4sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵62B ππ<<，∴2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴b a +∈.20．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）要证明面面平行，需根据判断定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明//MN 平面PAB ，//CN 平面PAB ；（2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥A CMN -的三个侧面的面积.【详解】（1）∵M 、N 分别为PD 、AD 的中点，∴//MN PA ， 又MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ， 在Rt ACD ∆中，60CAD ∠=o ，CN AN =，∴60ACN ∠=， 又60BAC ∠=，∴//CN AB ，∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴//CN 平面PAB ， 又CN MN N ⋂=，∴平面//CMN 平面PAB ，（2）∵PA ⊥平面ABCD ，AN ⊂平面ABCD ，CN ⊂平面ABCD ， 由（1）可知//MN PA ，∴MN AN ⊥、MN CN ⊥，∵90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，2PA =，1AB =， ∴22AC AB ==，24AD AC ==，112MN PA ==， 由（1）可知122CN AN AD ===，在Rt CMN 中，AM CM ===∴11sin 602222ACNS AN CN =⋅⋅=⨯⨯ 又1121122AMNSAN MN =⋅=⨯⨯=，在ACM △中，AM CM =，∴AC 边上的高2h =， ∴1122222ACMSAC h =⋅=⨯⨯=，∴三棱锥A CMN -的侧面积3ACNAMNACMS S SS=++=【点睛】方法点睛：本题考查了面面平行的判断定理，以及三棱锥侧面积的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.21．（1）第二种方案比第一种方案更优；（2）当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的，理由见解析.【分析】（1）在直角三角形ABC 中求出AB ，AC 的长，从而可求出两种方案的费用，然后比较大小可得答案；（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则表示出BD ，DC ，AD，从而可表示则所需总费用为2cos 5sin W a θθ-⎫=⎪⎭，令2cos sin y θθ-=，然后利用斜率的几何意义求出y 的最小值即可【详解】（1）由于10sin30BCAB ==︒公里，cos30AC AB =︒=. 第一种运输方案所需费用为20a 元；第二种运输方案所需费用为10)a 元；可得2010)a a >， 故第二种方案比第一种方案更优.（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则5sin BD θ=公里，5tan DC θ=公里，5tan AD DC θ==公里，于是，所需总费用为5102cos 5tan sin sin W a a a θθθθ-⎛⎫⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎭， 令2cos sin y θθ-=，则2cos 2cos 10sin sin 0sin 2cos y θθθθθθ--==-=----，表示过单位上一段圆弧上的点(cos ,sin )M θθ[30,90]θ∈︒︒与定点(2,0)N 的直线的斜率k 的负倒数，由图可知当直线过点()cos30,sin30E ︒︒时，斜率最大，直线与圆弧相切时斜率最小，可得sin 300tan150cos302k ︒-︒≤≤︒-，得k ≤≤14k ≤-≤4y ≤≤所以当y =60,AD θ=︒=即当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的. 22．（1）①1122AO AB AC =+（2）cos cos 1B C +=. 【分析】（1）①由直角三角形外接圆的性质可得O 为BC 中点，结合平面向量的加法法则即可得解；②由外接圆及内切圆的性质可得,45,||1OI BA OI <>=︒=-，再由平面向量数量积运算法则即可得解；（2）由三角形内切圆、外接圆的性质可转化条件为cos2sin 2cos sinsin 22A AB C A=，结合三角恒等变换化简即可得解.【详解】（1）由已知得O 为BC 中点，且A ，I ，O 三点共线， ①1122AO AB AC =+； ②由于2,||2OI BC AO ⊥=，ABC内切圆半径r ==,45,||||21OI BA OI AO r <>=︒=-=-， 故()11cos45BA BC OI BA OI ⎛+⋅=⋅=⋅︒=⎝⎭（2）如图，设ABC 的外接圆半径､内切圆半径分别为R，r ， 记BC 中点为M ，ID BC ⊥于D ，由OI BC λ=知OM ID r ==，又2,,2BOC A BOM A BC BD DC BM ∠=∠==+=， 则,,tan tan tan tan 22ID r ID rBD DC B C IBD ICD ====∠∠tan tan BM OM BOM r A =∠=则cos2sin 22tan cos tan tan sinsin 2222A r r Ar A BC B C A+=⇒=， 即cos 4sin sin sin 222A B C A =. 则2sin 2sin sin sin 12222A B C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 2sin sin cos 12222A B C B C +⎛⎫⇔+= ⎪⎝⎭2sin cos122A B C-⇔= 2cos cos 122B C B C +-⇔=22222cos cos sin sin 12222B C B C ⎛⎫⇔-= ⎪⎝⎭1cos 1cos 1cos 1cos 212222B C B C ++--⎛⎫⇔⋅-⋅= ⎪⎝⎭，即cos cos 1B C +=.。
江苏省徐州市邳州市运河中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题及答案(实验班)
2020——2021高一年级第二学期中考试数学试卷（实验班）注意事项：1．本试卷共8页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）三部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答题空格内．考试结束后，交回答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若复数z 满足()12i z i +=+，则复数z 的虚部是（）A ．-B ．C D3．若平面内两条平行线1l ：(1)20x a y +-+=，2l ：210ax y ++=间的距离为5，则实数a =（） A ．2-B ．2-或1C ．1-D ．1-或24．吉希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知(0,0)O ，(3,0)A ，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足||2||PA PO =，则r 的取值可以为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点()()1,1P a a >在抛物线()220y px p =>上，过P 作圆()2211x y -+=的两条切线，分别交抛物线于点A ，B ，若直线AB 的斜率为1-，则抛物线的方程为（）A ．24y x =B ．22y x =C ．2y x =D ．24x y =6.北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放a ，b 个坛子，一共堆了n 层，则酒坛的总数()()()()()()112211S ab a b a b a n b n =+--+--+⋅⋅⋅+-+-+．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（） A ．55B ．165C ．220 D ．2867.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2π,π）单调递增 ③f(x)在[,]-ππ有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（） A.①②④B.②④C.①④D.①③8.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()15315m -，在它们之间的地面上的点M （,,B M D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（） A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分. 9．对于复数123,,z z z ，下列命题都成立（） A.1212z z z z +≤+ B.2121z z z =，则12=z zC.1212z z z z ⋅=⋅D.若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零 10．路人甲向正东方向走了xkm 后向右转了150°，然后沿新方向走了3km ，结果离出发点恰好3km ，则x 的值为（） A ．3B ．23C ．2D ．311.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A．12nk +=B ．133n n a a +=-C．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 12.已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（）A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 13．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝10相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．14.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.15.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 16．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知向量1sin ,,(cos ,1)2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （1）当a b ⊥时，求实数x 的值. （2）求()()f x a b b =+⋅在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足12a =，24b =，22log n n a b =，*N n ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中不在数列{}n b 中的项按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求100S ． 19.(本小题满分12分)已知设复数z 满足=1z 使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，其中z 为z 的共轭复数，求满足条件的z 构成的集合。
2020年安徽省黄山市屯溪一中高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A. ac＞bcB.C. a2＞b2D. a3＞b32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A. a=2，b=4，A=600B. a=2，c=2，A=600C. ，b=6，A=600D. a=3，b=4，A=3003.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=70，则S40=（）A. 80B. 110C. 130D. 1504.在△ABC中，若sin B sin C=cos2，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5.已知tanα，tanβ是方程的两根，且，则α+β的值为（）A. B. C. 或 D.6.各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，，S2m-1=38，则m等于（）A. 38B. 20C. 10D. 97.已知数列{a n}满足，（n∈），则a1•a2•a3…a2019=（）A. -3B. -2C.D. -8.已知不等式ax2-bx+1≥0的解集是，则不等式x2-bx+a＜0的解集是（）A. （-3，4）B.C. （-∞，-3）∪（4，+∞）D.9.已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线，AB=2，则△ABC的面积S为（）A. 3B.C.D.10.如果的三个内角的正弦值分别等于的三个内角的余弦值，则下列正确的是（）A. 与都是锐角三角形B. 与都是钝角三角形C. 是锐角三角形且是钝角三角形D. 是钝角三角形且是锐角三角形11.已知数列{a n}满足a n+1-a n=2，若不等式a12+a2+…+a n≤33恒成立，则n的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 912.已知数列{a n}、{b m}的通项公式分别为a n=4n-2（1≤n≤100，n∈N*），b m=6m-4（m∈N*），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求新数列的各项和（）A. 6788B. 6800C. 6812D. 6824二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，则sin x=______；14.已知数列{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，若1≤a2≤5，2≤a3≤7，则S6的取值范围是______；15.已知数列{a n}满足：a1，a2-a1，a3-a2，…，a n-a n-1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{a n}的通项公式为______；16.把正整数排成如图（a）的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形阵，现将图（b）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a n}，若a k=2019，则k=______；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，，A，B为动点，满足DA=AB=BC=2．（1）求证：；（2）设△BCD和△ABD的面积分别为S1和S2，求的最大值．18.函数f（x）=x2+ax+3.（1）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a∈[4，6]时，f（x）≥0恒成立，求实数x的取值范围；（3）若函数f（x）在区间[-1，]上有零点，求实数a的取值范围．19.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a cos B=2c cos A-b cos A且（1）若b=2c，求cos B的值；（2）求的取值范围．20.我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止2018年年底该地区的绿化率只有，计划从2019年开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快速播种，每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化．设该地区的面积为1，2018年年底绿洲面积为，经过一年绿洲面积为a1……经过n年绿洲面积为a n，（1）求经过n年绿洲面积a n；（2）截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过？（取lg2=0.30，lg3=0.48）21.已知数列{a n}为等差数列，且d≠0，{a n}的部分项组成等比数列{b n}，其中，若k1=1，k2=5，k3=17，（1）求k n；（2）若a1=2，求数列{a n k n}的前n项和S n．22.已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，其前n项的和为S n，且当n≥2时，a n+1S n-1-a n S n＝0．（1）证明：数列{S n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、3＞2，但是3×（-1）＜2×（-1），故A不正确；B、1＞-2，但是，故B不正确；C、-1＞-2，但是（-1）2＜（-2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：对于A，a=2，b=4，A=600，由正弦定理可得：，则sin B=＞1，无解；对于B，a=2，c=2，A=600，可得A=C=B=600，三角形有一解；对于C，a=4，b=6，A=60°，由正弦定理可得：=，得sin B=，∵a＞b，∴B为锐角，有一解；对于D，a=3，b=4，A=30°，由正弦定理可得：=，得sin B=，由大边对大角b＞a，可知B即可为锐角，也可为钝角，有两解；故选：D．由条件利用正弦定理、余弦定理以及大边对大角，逐项判断△ABC解的个数即可．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，大边对大角等知识的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：设设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S10=10，S30=70，∴（1-q10）=10，（1-q30）=70，联立解得：q10=2，=-10，则S40=（1-q40）=-10×（1-24）=150，故选：D．设等比数列{a n}的公比为q≠1，由S10=10，S30=70，利用求和公式可得：（1-q10）=10，（1-q30）=70，联立解得：q10，，进而得出．本题考查了等比数列的求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：由题意，即sin B sin C=1-cos C cos B，亦即cos（C-B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选：A．利用cos2=可得，再利用两角和差的余弦可求．本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合．属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵tanα，tanβ是方程的两根，∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，∵，∴α，β∈（），则α+β∈（π，2π），由tan（α+β）==．得α+β=．故选：A．由已知可得tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，展开两角和的正切求tan（α+β），然后结合已知角的范围得答案．本题考查由已知三角函数值求角，考查一元二次方程根与系数的关系，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由，利用等差数列的性质可得：2a m-=0，a m＞0．解得a m=2．∴S2m-1==（2m-1）a m=38，则m=10．故选：C．由，利用等差数列的性质可得：2a m-=0，a m＞0．解得a m．再利用S2m-1==（2m-1）a m=38，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：数列{a n}满足，（n∈），当n=1时，，当n=2时，，当n=3时，，当n=4时，，…，故数列的周期为4．所以a1•a2•a3•a4=1，由于2019=504×4+3，所以：a1•a2•a3…a2019=1×．故选B．直接利用数列的递推关系式的应用和数列的周期的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.【答案】A【解析】解：∵ax2-bx+1≥0的解集是，∴由韦达定理有，，，∴不等式x2-bx+a＜0可写为x2-x-12=（x-4）（x+3）＜0，∴-3＜x＜4，∴不等式的解集为（-3，4）．故选：A．根据韦达定理可得，代入不等式x2-bx+a＜0中，解不等式即可本题考查了一元二次不等式的解法和韦达定理，属基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于中档试题．由等差数列的性质结合三角形的内角和定理可求A+C，B，然后在△ABD中，由正弦定理可得，，可求sin∠ADB，结合题意及三角形的面积公式可求．【解答】解：由A，B，C依次成等差数列，可得A+C=2B，∵A+B+C=π，∴A+C=，B=，∵BC边上的中线，AB=2，在△ABD中，由正弦定理，可得，∴sin∠ADB===，且AB＜AD，∴∠ADB=，则∠BAD=，BD=4，面积S==4．故选：D．10.【答案】D【解析】【分析】本题是中档题，考查学生对三角形知识的灵活运用，考查计算能力，逻辑推理能力．通过已知条件，推出关系式，得到A为最大角的情况，同理推出B，C为最大角的情况，得到结论．【解答】解：由题意不妨有cos D=sin A，cos E=sin B，cos F=sin C，那么如果A为最大角，可得：cos D=sin（90°-D）=sin A，可得：90°-D=180°-A，即A-D=90°，可得：A为钝角，D为锐角．同理，如果B为最大角，E为锐角；如果C为最大角，F为锐角．从而可得△ABC是钝角三角形且△DEF是锐角三角形．故选：D．11.【答案】B【解析】解：数列{a n}满足a n+1-a n=2，可得数列{a n}为公差为2的等差数列，a12+a2+…+a n≤33，即有a12-a1+na1+×2≤33，则a12+（n-1）a1+n2-n-33≤0，由△=（n-1）2-4（n2-n-33）≥0，可得3n2-2n-133≤0，即为（n-7）（3n+19）≤0，可得n≤7，即n的最大值为7．故选：B．由题意可得数列{a n}为公差为2的等差数列，运用等差数列的求和公式，化简，结合二次不等式的判别式非负，解不等式可得所求最大值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查不等式恒成立的解法，注意运用判别式法，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：数列{a n}、{b m}的通项公式分别为a n=4n-2（1≤n≤100，n∈N*），b m=6m-4（m∈N*），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列为等差数列{c n}，其公差为4与6的最小公倍数12．其首项为：2．∴c n=2+12（n-1）=12n-10，令12n-10≤a100=4×100-2，解得n≤34．∴新数列的各项和=34×2+=6800．故选：B．数列{a n}、{b m}的通项公式分别为a n=4n-2（1≤n≤100，n∈N*），b m=6m-4（m∈N*），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列为等差数列{c n}，其公差为4与6的最小公倍数12．其首项为：2．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵，∴π＜x+＜2π，∵＞0，∴＜x+＜2π，则sin（x+）＜0，且sin（x+）=-，sin x=sin（x+-）=sin（x+）cos-cos（x+）sin=--=-，故答案为：-．求出角的范围，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合角的范围，利用两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．14.【答案】[3，60]【解析】解：{a n}为等差数列，1≤a2≤5，2≤a3≤7，∴，∴-15≤3（a1+d）≤-3，18≤9（a1+2d）≤63，则S6=6a1+15d=-3（a1+d）+9（a1+2d）∈[3，60]，故答案为：[3，60]由等差数列的通项公式可得关于a1，d的不等式，结合等差数列的求和公式及不等式的性质可求．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，不等式性质的简单应用，属于基础试题．15.【答案】【解析】解：已知数列{a n}满足：a1，a2-a1，a3-a2，…，a n-a n-1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则：，所以：，则：，故：，故答案为：直接利用数列的递推关系式的求法中的叠加法求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列的通项公式的求法中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】1032【解析】解：由题意，图a中第n行有2n-1个数，前n行有n×=n×n=n2个数，图b知各行数字个数等于行数，故前n行共有n×=，∵图a每行的最后一个数恰好是行号的平方，45×45=2025，故2019是第45行倒数第8个数，由图b知各行数字个数等于行数，故前45行共有45×=1035，由于最后一个数是奇数，按图b规则知，2019是第45行倒数第4个数，故k=1035-3=1032，故答案为：1032．由题意可以得出，图a中第n行有2n-1个数，且每行的最后一个数恰好是行号的平方，由此可以确定出a k=2019在图a中的位置，图b中每行的数字数等于行号，由此可以计算出前n行共有多少个数字，结合图a即可求出2019在图b中的位置，从而得出k的值．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．17.【答案】解：（1）证明：∵BD2=AB2+AD2-2AB•AD cosA=4+4-2•2•2cos A=8-8cos A，又∵，∴，即．（2）∵，S2=2sin A，，∴=，==，∴当时，有最大值为14．【解析】（1）由已知利用余弦定理即可化简求证．（2）根据三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，二次函数的性质可得=，从而得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，二次函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．18.【答案】解：函数f（x）=x2+ax+3，其对称为x=.（1）∵x∈[-2，2]，∴当，即a≥4时，f（x）min=f（-2）=4-2a+3≥a，解得a，此时a无解；当，即a≤-4时，f（x）min=f（2）=4+2a+3≥a，解得a≥-7，则-7≤a≤-4；当，即-4＜a＜4时，f（x）min=f（）=≥a，解得，则-4＜a≤2.综上所述，求实数a的取值范围是[-7,2]．（2）由f（x）≥0在a∈[4，6]恒成立，即x2+ax+3≥0在a∈[4，6]恒成立，令g（a）=ax+x2+3，则，即，解得或；故得实数x的取值范围是．（3）函数f（x）在区间[-1，]上有零点，则或，解得或a≥4，故得实数a的取值范围是：．【解析】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数零点的分布问题，属于中档题．（1）由二次函数的性质，结合对称轴对a进行讨论，可得实数a的取值范围；（2）看成关于a的一次函数的恒成立的问题，结合函数单调性即可求解实数x的取值范围；（3）根据二次函数的性质及零点存在性定理的即可求解.19.【答案】解：（1）因为：a cos B=2c cos A-b cos A，所以：sin A cos B=2sin C cos A-sin B cos A，可得：sin C=2sin C cos A，所以：由sin C≠0，可得，则可得：，由b2+c2-2bc cos A=a2，且b=2c，可得：，所以c=2，b=4，则cos B==0．（2）由，所以b=4sin B，，故，令，，则，所以故，而，，，当时，b+c有最大值，且，所以的取值范围是．【解析】（1）由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求sin C=2sin C cos A，结合sin C≠0，可得，可得，根据余弦定理求得c，b的值，即可求得cos B的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，，，利用正弦函数的性质可求的取值范围．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：（1）、由题：，所以而，故；（2），得，所以，所以n=4，即截止到2022年年底．【解析】（1）直接利用实际问题的应用，求出数列的通项公式．（2）利用数列的通项公式的应用，进一步利用对数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，对数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】（1）由k1=1，k2=5，k3=17，知，得a1=2d从而a k=（k+1）d，所以b1=a1=2d，b2=a5=6d则等比数列{b n}的公比为3，，所以（2）a1=2，则a n=n+1，令①，3T n=2•3+3•32+…+n•3n-1+（n+1）•3n②由①-②：，，所以．【解析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．22.【答案】（1）证明：当n≥2时，a n+1S n-1-a n S n=0．∴，∴，又由S1=1≠0，S2=4≠0，可推知对一切正整数n均有S n≠0，则数列{S n}是等比数列，公比q==4，首项为1．∴．当n≥2时，a n=S n-S n-1=3×4n-2，又a1=S1=1，∴a n=．（2）解：当n≥2时，b n===，又．∴，则，当n≥2时，b n=，则，n=1时也成立．综上：．【解析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可证明．（2）当n≥2时，b n==，又．利用“裂项求和”方法即可得出．本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确选项的代码填入答题卡上.） 1. 化简sin600°的值是A.12B.12-3 D. 32. 角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝A.55 B.255 C ．525 3. α是第二象限角，则2α是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第一象限角或第三象限角D.第一象限角或第二象限角 4.已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是A.1B.2C.4D.1或45．甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是A ． x x <甲乙，甲比乙成绩稳定B ． x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C ． x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D ． x x >甲乙，乙比甲成绩稳定 6.如图，给出的是计算11111246822+++++L 的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是A. 11i <B. 11i >C. 22i <D. 22i >7. 已知圆221:23460C x y x y +--+=和圆222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切8. 某数据由大到小为10, 5, x ,2, 2, 1,其中x 不是5,该组数据的众数是中位数的23,该组数据的标准差为A. 3B.4C. 5D. 69．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为 A ．23 B ．25 C ．35 D ．31010.若a 是从区间0,3[]中任取的一个实数，则12a <<的概率是A ．23 B ．56 C ．13 D ．1611.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.7512.已知圆C ：22240x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以44a a(,-)为中点的弦长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．）13. 某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取50岁以上职工人数为 ． 14．若32)sin(-=-απ, 且)0,2(πα-∈, 则αtan 的值是___________．15. 在[]4,3-上随机取一个实数m ，能使函数在R 上有零点的概率为 ．16．已知直线l ： (0)y kx k =>，圆221:(1)1C x y -+=与222:(3)1C x y -+=，若直线l 被圆C 1，C 2所截得两弦的长度之比是3，则实数k = .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17题10分，其余均为12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）（Ⅰ）求值：()tan150cos 210sin 60sin(30)cos120︒-︒-︒o o； （Ⅱ）化简：sin()cos()tan(2)cos(2)sin()tan()απαπαπαπαα-+++--.18. （本小题满分12分）某公司为了解下属某部门对企业职工的服务情况，随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分，得到的频率分布表如下：（Ⅰ）求出频率分布表中m 、n 位置的相应数据，并画出频率分布直方图； (Ⅱ)同一组中的数据用区间的中点值作代表，求这50名职工对该部门的评分的平均分. 19. （本小题满分12分） 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.20．（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（结果保留两位小数）参考公式：1221ˆ=ni i i nii x ynx y bxnx ==-⋅-∑∑， ˆˆa y bx=-. 参考数据：5162.7i i i x y ==∑，52155i i x ==∑.21．（本小题满分12分）已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=. （Ⅰ）求sin cos x x -的值； （Ⅱ）求24sin cos cos x x x -的值. 22．（本小题满分12分）已知圆C 过点M (0，－2)，N (3，1)，且圆心C 在直线x ＋2y ＋1＝0上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)过点(6,3)作圆C 的切线，求切线方程；(Ⅲ)设直线:l y x m =+，且直线l 被圆C 所截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆C 1过原点，求直线l 的方程.2019-2020学年山东省潍坊市下学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题：DBCCB BDADC DA二、填空题13. 19 14.255- 15.3716.13三、解答题17.解：（Ⅰ）原式=00000tan30cos30) sin30(cos60)---（-）(-sin60tan60 3.=-=-…………………………………………5分（Ⅱ）原式sin(cos)tan sin cos tan=1cos sin(tan)cos sin tanαααααααααααα--==---.………………………………10分18.解:(Ⅰ)频率分布表如下:50(515128)10m=-+++=，…………………………………………3分150.350n==，………………………………………6分频率分布直方图如图所示：…………………………………………9分（Ⅱ）x =550.1650.2750.3850.24950.16⨯+⨯+⨯+⨯+⨯76.6=. …………………………………………12分19.解：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2.……4分 （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种. ………………………8分（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == …………………………………………12分 20．解：（Ⅰ） 11+2+3+4+5=35x =（）， 17+6.5+5.5 3.8 2.2)55y =++=（，………………2分5162.7i ii x y==∑，52155i i x ==∑.所以51522162.7535ˆ 1.235559i ii ii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆˆ=5( 1.23)38.69ay bx =---⨯=，………………4分 所以所求的回归直线方程为ˆ 1.238.69yx =-+.…………………………………………6分 （Ⅱ）年利润……………………9分所以 2.72x ≈时，年利润z 最大. …………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）因为1sin cos 5x x +=，所以112sin cos 25x x +=， 242sin cos 25x x =-，…………………………………………3分 因为02x π-<<，所以sin 0, cos 0x x <>，所以sin cos 0x x -<，249(sin cos )12sin cos 25x x x x -=-=， 所以7sin cos 5x x -=-.…………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 5x =-，4cos 5x =， 3tan 4x =-. …………………………………………9分24sin cos cos x x x -2224sin cos cos sin cos x x xx x-=+ 24tan 1tan 1x x -=+6425=-.…………………………………………12分22.解：(Ⅰ)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－D2－E ＋1＝0，4－2E ＋F ＝0，10＋3D ＋E ＋F ＝0，解得D ＝－6，E ＝4，F ＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. ……………………………………4分 （Ⅱ）圆C 的方程为22(3)(2)9x y -++=, 当斜率存在时，设切线方程为3(6)y k x -=-，则3=，解得815k =， 所以切线方程为83(6)15y x -=-，即81530x y --=. ………………7分 当斜率不存在时，6x =.所以所求的切线方程为81530x y --=或6x =. ……………………8分 （Ⅲ）直线l 的方程为y ＝x ＋m .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0，y ＝x ＋m ，消去y 得2x 2＋2(m －1)x ＋m 2＋4m ＋4＝0，(*)………………………………………9分∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 2＋4m ＋42，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2.∵AB 为直径，∴∠AOB ＝90°，∴|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0，……………………………11分 即m 2＋4m ＋4＋m (1－m )＋m 2＝0，解得m ＝－1或m ＝－4. 容易验证m ＝－1或m ＝－4时方程(*)有实根．所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝x －4.………………12分。
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=+
n a
(3
A． B
9．已知，则的大小关系是（
A.
10．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）
A． B
11．数列的通项公式，其前项和为，则等于
S
2013
A．20xx B
12．设是定义在上的恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，则数列的前项和的取值范围是（
n na +=）若，求，；）若，求证：；
）若，求数列的通项公式．
（本小题满分且恰好是等比数列的前三项．
）求数列、的通项公式；）记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围选择题
1 2 A
D
1
2
1,22a =2b
(23(1)(1)2n n n
na n n n ++=++
++==+ 7分1312(1)2121n n b n n +=
⋅+++）由已知得 ①122(n a a na n n ++
+=②2n ≥12112(1)(1)n n a a n a n nb --+++-=-
[]
1(1)(1)n n n na n n b n b -=+--
11)()n n n b b --++
（）．
2
n b n =n a 2431n n -+2n ≥ ，符合上式．
12分 ．2431n n -+n ），，（2）
2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩227k ≥
），当时，，
2+1=4+43n n a S n -∴(2
1=4+4n n a S n --)14=44
n n S a --++，，(22+144n n n n a a a a ∴=++=0n a >恒成立，， +12,2n n a a n ∴=+≥
当时，是公差的等差数列.
2514,,a a a 构成等比数列，，，
解得， 5分
∴当时，，()32221n n +-=-
由条件可知，， 221=4+43a a -12a ∴=
∴数列的通项公式为.
2,1
21,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩ 123,b b ∴=，数列的通项公式为 ∴
（2），对恒成立， 即对恒成立，。