复变函数习题解答

习题三解答

1.沿下列路线计算积分∫

+i dz z 30

2。

（1）自原点到i 3+的直线段

（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至i 3+； （3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向右至i 3+。

解（1）⎩

⎨⎧==,,

3t y t x 10≤≤t ，故t t z i 3+=，10≤≤t 。()dt dz i 3+=

于是 ()()dt t t dz z i 3i 321301

02++=∫∫+ ()

∫+=10

23i 3dt t

()

6i 33101|i)3(313

33=+=+=t （2）∫

∫

∫

∫

+++

+

=

i

30

i

30

2

2

2221dz z dz z dz z dz z C C 。1C 之参数方程为⎩

⎨

⎧==,,

3t y t x ()10≤≤t ；2C 之参数方程为 ⎩⎨

⎧==,

,

3t y x ()10≤≤t 故

()∫

∫

∫++=⋅++

⋅=

i

30

1

1

2

22i 3

266i i 339dt t dt t dz z 。 （3）∫

∫

∫

∫

∫

+++

=

+

=

i

30

i 0

i

3i

222224

3

dz z dz z dz z dt z dz z C C 。

()10i :3≤≤=t t z C ；()10i 3:4≤≤+=t t z C ，

故

()∫

∫

∫++=⋅++

⋅−=

i

30

1

1

2

22i 3

2663i 3i dt t dt t dz z 2．分别沿x y =与2

x y =算出、积分()

∫

++i dz y x

10

2

i 的值。

解（1）沿x y =。此时()10i ≤≤+=t t t z 。()dt dz i 1+=，于是

()

()

()∫∫+++=

+i 10

102

2

i 1i i dt t t

dz y x

()()

()∫+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+

+=++=10

2i 6

5612i 3

1i 1i i 1dt t t 。 （2）沿2

x y =，此时()10i 2≤≤+=t t t z 。()dt t dz 2i 1+=，故

()

()

()∫∫+++=

+i 10

10

22

2

2i 1i i dt t t t

dz y x

()()()(

)

∫

∫++=++=1

1

3222i i 12i 1i 1dt t t dt t t

()i 65612i 31i 1+−=⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛++=。

3．设()z f 在单连域D 内解析，C 为D 内任何一条正向简单闭曲线，问

()[]()[]∫

∫

==

0Im Re dz z f dz z f C

C

是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。

解 未必成立。令()z z f =，1:=z C ，则()z f 在全平面上解析，但是

()[][]

∫∫=π

θθ20Re Re i i C de e dz z f ()∫

≠=+−=π

πθθθθ20

0i cos i sin cos d

()[][]

∫

∫

=

π

θθ20

i i Im Im de e dz z f C ()∫

≠−=+−=π

πθθθθ20

0cos i sin sin d

4．利用单位圆上1

z z =

的性质，及柯西积分公式说明2i C

zdz π=∫v ，其中C 为正向单位圆周||1z =。 解

1

2i C C

zdz dz z π==∫∫v v ，（利用柯西积分公式） 5．计算积分dz z

z

C

∫的值，其中C 为正向圆周：（1）2=z ；（2）4=z 解 （1）因在2||=z 上有2||=z ，4||2==⋅z z z ，从而有z

z 4

=

，故有 i 422||2||2||4

π===∫∫∫==dz z dz dz z z z C z Z

（2）因在C 上有4||=z ，16||2==⋅z z z ，从而有z

z 16

=

，故有 i 84

4

|

|4||4

||16π==

=∫

∫

∫

==dz z

dz dz z z

z C z Z

6．利用观察法得出下列积分的值。

解 利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。 7．沿指定曲线的正向计算下列各积分。 （1）∫−C

z

dz z e 2

，1|2:|=−z C （2）

22

C

dz

z a −∫

v ，:||C z a a −=

（3）

i 21

z C

e dz

z +∫

v ，:|2i |3/2C z −= （4）

3

C

zdz

z −∫

v ，:||2C z = （5）

23(1)(1)C dz

z z −−∫v :||1C z r =<

（6）

3cos C

z zdz ∫

v ，0C z 为包围＝的闭曲线

（7）22(1)(4)C

dz

z z ++∫v ，:||3/2C z = （8）

sin C zdz

z ∫v ，1|:|=z C

（9）∫

⎟

⎠⎞

⎜⎝

⎛−C

dz z z 2

2sin π，2|:|=z C

（10）5z C e dz z ∫v ，1|:|=z C

解 （1）由Cauchy 积分公式，∫

==−=C

z z

z

e e dz z e i 2i 22

22

ππ

（2）

解1：∫∫=

+=−+=

−=C

C

a

z a

a

z dz a z a z a z dz

i 1i 21

22

ππ，

解2：∫

∫∫⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−−=−C

C C dz a z dz a z a a z dz 112122

[]i 0i 221a a

ππ=−= （3）由Cauchy 积分公式，

i i i 2i

/(i)2i /1-i i z z z

C

C

z e dz e dz z e e z z z ππ=+===++∫

∫v v