用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式

用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式
斐波那契 (Fibonacci) 数列是着名的数列，有很高的实用价值。

多年来，学者们一直在探究它的通项公式的求解方法，已经涌现出了多种方法。

但据笔者们所知，这些方法大都需要比较高深的数学知识，例如组合数学的方法、概率的方等等，让人比较难理解，不容易接受。

基于此，研究给出了一种简易的初等数学方法，先探求它们的特征多项式，然后通过求解线性方程组的思想，得出它们的通项公式。

这种方法深入浅出，有一定的实用价值。

1.斐波那契数列的由来
13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道着名的兔子繁殖问题. 问题是这样的: 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少对兔子呢解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+1=3对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔子数列称为斐波那契数列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。

2.斐波那契数列的定义
定义:数列F1,F2,… ,Fn,…如果满足条件121==F F ,21--+=n n n F F F (对所有的正整数n ≥ 3),则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列。

3.斐波那契数列的通项公式 推导方法一：利用特征方程
由通项公式F(n+2)=F(n+1)+F(n)可以得到特征方程
X 2=X+1 解得
X1 = 251+， X2 = 251-
所以F(n)可以表示成
F(n) = a n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+251+b n
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-251 (1)
由F(0) = 0和F(1) = 1得如下两个方程： a + b = 0
a ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+251 + b
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-251 = 1 解得
a = 5
1, b = 5
1-
带入（1）式可得
()5
251251⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=
n n n F
推导方法二：待定系数法
设常数t s ,，使得()()()()[]211-⋅--=-⋅-n F s n F t n F s n F . 则1,1-==+st t s n ≥3时，有
()()()()[]()()()()[]()()()()[]()()()()[]122343323221211F s F t F s F n F s n F t n F s n F n F s n F t n F s n F n F s n F t n F s n F ⋅-=⋅--⋅--=-⋅---⋅--=-⋅---⋅--=-⋅-Λ
Λ
将以上n-2个式子相乘，得：
()()()()[]1212F s F t n F s n F n ⋅-=-⋅--
()()121,1==-=F F s t Θ
上式可化简为：
()()11
-⋅+=-n F s t n F n ()()()()
()s
t s t t
s t s t s t s t s st t F s t s t s st t n F s t s st t n F s st t n F s t n F n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n --=
-⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
+++++=⋅+++++==-⋅+++=-⋅++=-⋅+=∴-----------------1113211
1
23221123221332212211ΛΛΛΛΛ
Λ
1,1-==+st t s 的一解为2
5
1,251+=-=
t s
()⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴n
n n F 25125151
推导方法三：虑由数列{F1,F2,… ,Fn,…}中相邻两项组成的数组()n n n F F ,11--=α组
成的序列{
}...21，，αα.由21--+=n n n F F F 得到序列{an}的相邻两项),(122---=n n n F F α与),(1n n n F F --=α之间的关系
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡------12121
11110n n n n n n n F F F F F F F ， 即21--=n n A αα,其中⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=1110A 。

序列{
}...21，，αα的每一项αn- 1可以由前一项αn- 2( n ≥ 3)乘矩阵A 得到,就好像是以A 为公比的等比数列,与等比数列类似可以得到它的通项:
2
1232211....------======⎥⎦
⎤⎢⎣⎡n n n n n n n A A A A F F αααα ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--1121n n n A F F 。

要得到Fn,就要先算出2-n A 。

为了算出2-n A ,利用矩阵相似的理论和方法,先将A 相似于尽可能简单的形状。

A 的特征多项式为()12--=λλλA f ,解得特征值为
2511+=
λ和25-12=λ。

分别求得特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111λX 和⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=221λX 以X1, X2为两列组成可逆方阵()⎥⎦⎤⎢⎣⎡==212111,λλX X P 则1
2100-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=P P A λλ,
1
222
112
212
000------⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=P P P P A
n n n n λλλλ，
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----n n n n n n n n F F 121112212122221211--1
111-1-10011λλλλλ
λλλλλλλλλ. 从而5
2512511
212n
n F n
n n ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=--=
λλλλ 解法三可以推广到一般的情形:对任意给定的复数c1,c2,如果数列{Un}满足条件()32211≥∀+=--n u c u c u n n n ，并且已知这个数列的前两项21,u u ,求数列的通项n u 。

4.数学归纳法证明斐波那契数列
当n=0时，F （0）= 5
2510251⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ = 0，通项公式成立。

当n=1时，F （1）= 5
1
2511251⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ =
5
5 = 1，通项公式成立。

假设通项公式F （n ）= 5251251n
n ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ 当n=k 时F （k ）= 5
251251k
k ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+成立， 而且当n=k+1时F （k+1）= 5
1
2511
251+⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k 成立，
则：F （k+2）＝ F(k+1) + F(k)
＝
51
2511
251+⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k ＋
5
251251k
k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ＝
51
2511251+⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k － ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+251⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2515251251k
k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ＝
5
1
2511251+⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k －
5
1
2512511
251251+⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k
＝
51
2512511
251251+⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k
＝
5
2
2512
251+⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k
通项公式也成立。

由此可以证明，对任意0≥n 的整数，通项公式F （n ）=
5
251251n
n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+都成立。