一阶常微分方程解法总结

章

一阶微分方程的解法的小结

⑴、可分离变量的方程： ①、形如

d

^ = f (x)g(y) dx

当g(y) =o 时，得到 型

f(x)dx ，两边积分即可得到结果;

g(y)

当g( °) = °时，则y(x)二o 也是方程的解。 例 1.1、巴=xy

dx

dy

解：当y = 0时，有

xdx ，两边积分得到 y

y =0显然是原方程的解；

综上所述，原方程的解为

y 二Ge^ (G 为常数)

②、形如 M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy =0

当 P(x)N(y)= 0 dy ，两边积分可得结果；

P(x) N(y)

当N(y °) = 0时，y 二y °为原方程的解，当 P(x °) = 0时，x = x °为原方程的解。

2 2

例「2

、x(y -1)dx y(x -1)dy=0

解：当 (x 2 -1)(y 2

-1) =0时，有

Jdy =¥ dx 两边积分得到 1 - y x -1

o

2

2

2

Inx —1+1 ny —1=1 nC (C^O)，所以有(x -1)(y -1) =C (C^0)；

当

(

x - 1)(

y -0 =0时，也是原方程的解；

综上所述，原方程的解为

(x 2

-1)( y 2

-1) =C (C 为常数)。

⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如dy = g (―)

dx x

(C 为常数)

所以y ^C j e 2

(C i 为非零常数且G = _e C

)

解法：令u=‘ ，则dy=xduudx，代入得到为变量可分离方程，得到

x dx

解：令u = x - y -2，贝U dy = dx -du ，代入得到

1一 史二口，有 udu=-7dx dx u

所以齐—7x ・C (C 为常数)，把 u

代入得到

2

"x 一 y -2

) Tx=C (C 为常

例 2.2、

dy

dx 2x - y 1 x _2y 1

解：由丿 2x

—y+"0

得到

、x_2y +1 =0

1 x =

3 1 y =- -3

，令 u = x +1 3，有」

1

v = y 一一

dy = dv y ，代入得到 dx =du dv 2u-v

du u-2v 1 _2 v u dt dv 二t d u u d t ，代入得到 t u

一 du

口，化简得到，

1 -2t

du

u 2 - 2t 2t

2

d(1 -t t )

2

2(1 -t t )

2

有 lnu= — I +t)+c (C 为常数)，所 以有

f(u,x,C) =0 (C 为常数)再把u 代入得到fd,x,C)=0 (C 为常数)。

x

②、形如 dy

^G(ax by),(ab =0)

dx

解法：令u 二ax • by ,则dy =

adx du

,代入得到

1du

- a

=G(u)为变量可分离方程，得到 b b dx b

f(u,x,C) =0 (C 为常数)再把u 代入得到f (ax ・by,x,C) =0 (C 为常数)。

yf (xy)dx xg(xy)dy = 0, u 二 xy

以上都可以化为变量可分离方程。 例 2.i 、一

dx x — y — 2

③、形如 一y .f(

a 1x

by C 1

dx

)

a 2X

b 2y C 2

解法:

得到,

a i = G(ax by)，下同①;

a 1

b 1 h 0， *

'QX +by =0

,

的解为(X 0, y °)，令*

a 2

b 2

+b z y +Q =0

dv du =f 严 bv

a 2u

b 2v )=f( u)= gC)，下同②; u

a ?

b ?-

还有几类: a 2

u =x v 二 y

b i

b 2

20

、

10

、

二0，转化为鱼 dx

a 1 + bj _

(3)、一阶线性微分方程: 一般形式：a/x)砂a o(x)y = h(x)

dx

解法：1、直接带公式:

2、积分因子法:

3、IVP：少P(x) y = Q(x), y(x°) = y° dx

例3、(x 1)包一ny=e x(x 1)n1

dx

…P(x) dx

代入公式得到4(x) =e『

所以，y(x) =(x 1)n[ (x 1)』e x(x 1)n dx C]=(x 1)n(e x C) (C为常数)

⑷、恰当方程: 形如M (x, y)dx N (x, y)dy = 0, T G(x, y), s.t. dG = M (x, y)dx N (x, y)dy

解法：先判断是否是恰当方程:

如果有

M (x, y) = 'N(x, y)恒成立，那么原方程是个恰当方程，找岀一个

有G(x, y) =C,(C为常数)；

例4、(3x26xy2)dx (6x2y 4y3)dy = 0

2 2 2 3

M (x, y) = 3x 6xy , N (x, y) = 6x y 4y

由卫Wxy二

■y —得到，原方程是一个恰当方程; x

C1

. ----- ,(G二eC)，故代入得到.1 -t t2C1

1

\

口

1

x中一

2 ,(G=0)

标准形式：矽P(x)y =Q(x)

dx

小”(x)Q(x)dx C]，P(x)dx

=e

解：化简方程为：史一」

dx x 1

y = e x(x 1)n，则P(x)二n,Q(x) =e x(x 1)n;

=(x 1)-n

G(x,y),s.t^^=M(X,y)^^

二N(x,y),

:x

解：由题意得到,