Poisson过程_复合Poisson过程的叠加及其应用
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关键词： Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程； 复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程； Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加； 复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加 中图分类号： Ｏ２１１．６２ 文献标识码： Ａ 文章编号： １６７３－ １９７２（ ２００８） ０３－ ００４７－ ０３
０引言
Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程和复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程是概率论中特别重要的随机变量过程， 在经济学、工程技术等方面有着 广泛的应用．
１ 主要结果
定义 ３ 设计数过程｛Ｎ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝和｛Ｎ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程且相互独 立． 令 Ｎ（ ｔ） ＝Ｎ１（ ｔ） ＋Ｎ２（ ｔ） ， 称｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为｛Ｎ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝与｛Ｎ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝的和或叠加．
Ｎ１（ ｔ）
Ｎ２（ ｔ）
" " 中 Ｘ１（ ｔ） ＝ Ｙ１ｉ， Ｘ２（ ｔ） ＝ Ｙ２ｉ， ｛Ｙ１ｉ， ｉ≥１｝为｛Ｙ２ｉ， ｉ≥１｝独立同分布的随机变量序列． 令 Ｘ（ ｔ） ＝Ｘ１（ ｔ） ＋Ｘ２（ ｔ） ， 称
ｉ＝１
ｉ＝１
｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为｛Ｘ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝与｛Ｘ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝的和或叠加．
ｒ
ｒ
" " …， ｒ． ｛Ｎｉ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为服从参数λｉｔ的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 则叠加 Ｎ（ ｔ） ＝ Ｎｉ（ ｔ） 服从参数为 λｉｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程．
ｉ＝１
ｉ＝１
定义 ４ 设｛Ｘ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝和｛Ｘ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 且相互独立， 其
收稿日期： ２００７－ ０８－ ２７ 作者简介： 王彩彦（ １９７８－ ） ， 女， 河北晋州人， 讲师， 主要从事随机分析及其应用研究．
４８
石家庄学院学报
２００８ 年 ５ 月
Ｐｏｉｓｓｏｎ过程．
证明 （ ｉ） 由已知， 得 Ｎ（ ０） ＝Ｎ１（ ０） ＋Ｎ２（ ０） ＝０＋０＝０． （ ｉｉ） 显然， Ｎ（ ｔ） 具有独立增量．
定义 １［１］ 一计数过程｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝称为时齐 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程（ 简称 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程） ， 若满足： （ １） Ｎ（ ０） ＝０； （ ２） 具有独立增量； （ ３） 对任意 ｓ， ｔ≥０， Ｐ ［Ｎ（ ｓ＋ｔ） － Ｎ（ ｓ） ＝ｋ］＝ （ λｔ） ｋｅ－λ ， ｋ＝０， １， ２， …．
ｒ
ｒ
" " Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝ λｉｔＥ［Ｙ］， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝ λｉｔＥ［Ｙ２］．
ｉ＝１
ｉ＝１
２ 应用实例
假设某保险公司开设有 ｒ≥２ 个险种， 与之对应的有 ｒ 类索赔． 若第 ｉ 个险种的索赔者的人数 Ｎｉ（ ｔ） 服从 参数为 λｉｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， ｉ＝１， ２， …， ｒ． 假设各类索赔的个体索赔额依次为 Ｙ１ｉ， Ｙ２ｉ， …， ｉ＝１， ２， …， ｒ． Ｙ１ｉ， Ｙ２ｉ， …．为一族独立同 Ｙ 分布的随机变量序列． 以 Ｘｉ（ ｔ） 记到达时刻 ｔ， 第 ｉ 类索赔的总索赔额． 由定义 ２， 知 Ｘｉ（ ｔ） 为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． Ｘ（ ｔ） 记到达时刻 ｔ 各类索赔的总索赔额， 由推论 ２ 可知：
Ｂｉｊ 在索赔发生的条件下个体索赔量． 设 Ｉｉｊ， Ｂｉｊ， ｊ＝１， ２， …， ｍ 相互独立． 对于每一个保单， Ｂｉｊ 是一定的． 设索
赔发生次数 Ｉｉｊ 服从参数为 λｉｊ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 分布， 则 Ｅ［Ｉｉｊ］＝λｉｊ， Ｖａｒ［Ｉｉｊ］＝λｉｊ， 所以 Ｅ［Ｙｉｊ］＝λｉｊＢｉｊ．
定理 ２ 设｛Ｘ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝和｛Ｘ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 且相互独立， 其
Ｎ１（ ｔ）
Ｎ２（ ｔ）
" " 中 Ｘ１（ ｔ） ＝ Ｙ１ｉ， Ｘ２（ ｔ） ＝ Ｙ２ｉ， ｛Ｙ１ｉ， ｉ≥１｝与｛Ｙ２ｉ， ｉ≥１｝为独立与 Ｙ 同分布的随机变量序列． 则叠加 Ｘ（ ｔ） ＝Ｘ１（ ｔ）
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｍｓ ｆｏｒ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ． Ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｉｒ ｓｕｍｓ ａｒｅ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．
因此， Ｘ（ ｔ） 仍为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 且有 Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝（ λ１＋λ２） ｔＥ［Ｙ］， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝（ λ１＋λ２） ｔＥ［Ｙ２］． 推论 ２ 设 ｒ≥２， 随机过程｛Ｘｉ（ ｔ） ， ｔ≥０｝， ｉ＝１， ２， …， ｒ．均为定义在同一概率空间上的复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 且
ｋ！ 若｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝服从参数为 λｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 则 Ｎ（ ｔ） 的数学期望 Ｅ［Ｎ（ ｔ） ］＝λｔ； 方差 Ｖａｒ［Ｎ（ ｔ） ］＝λｔ； Ｎ（ ｔ） 的矩母函数为Φ（ ｕ） ＝Ｅ［ｅｘｐ（ ｕＮ） ］＝ｅｘｐ［λｔ（ ｅｕ－ １） ］． 例如， 在［０， ｔ］内电话交换台的呼唤数； 在［０， ｔ］内到达的粒子流； 在［０， ｔ］内到达服务台的顾客人数； 在［０， ｔ］ 内到达保险公司的索赔者的人数等都是 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 定义 ２［２］ 设｛Ｙｉ， ｉ≥１｝是独立与 Ｙ 同分布的随机变量序列， ｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 且｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝
（ 责任编辑 李健飞）
Ｔｈｅ Ｓｕｍｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｐｏｉｓｓｏｎ Ｐｒ ｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ Ｐｒ ｏｃｅｓｓｅｓ
ＷＡＮＧ Ｃａｉ－ ｙａｎ
（ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ， Ｂｉｊｉｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｂｉｊｉｅ， Ｇｕｉｚｈｏｕ ５５１７００， Ｃｈｉｎａ）
ｋ
" （ λ１ｔ） － １ ｅ－ λ１ｔ （ λ２ｔ） ｋ－ １ ｅ－ λ２ｔ＝
ｌ ＝０ ｌ！
（ ｋ－ ｌ） ！
（ λ１＋λ２） ｋｔｋ ｅ ． － （ λ１＋λ２） ｔ ｋ！
因此， Ｎ（ ｔ） ＝Ｎ１（ ｔ） ＋Ｎ２（ ｔ） 服从参数为（ λ１＋λ２） ｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程．
推论 １ 设 ｒ≥２， 计数过程｛Ｎｉ（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程且相互独立， ｉ＝１， ２，
（ ｉｉｉ） 对任意 ｓ， ｔ≥０， ｋ＝０， １， ２， …． 有
Ｐ［Ｎ（ ｓ＋ｔ） － Ｎ（ ｓ） ＝ｋ］＝Ｐ｛［Ｎ１（ ｓ＋ｔ） － Ｎ１（ ｓ） ］＋［Ｎ２（ ｓ＋ｔ） － Ｎ２（ ｓ） ］＝ｋ｝＝
ｋ
"Ｐ｛Ｎ１（ ｓ＋ｔ） － Ｎ１（ ｓ） ＝ｌ， Ｎ２（ ｓ＋ｔ） － Ｎ２（ ｓ） ＝ｋ－ ｌ｝＝ ｌ＝０
第 １０ 卷 第 ３ 期 ２００８ 年 ５ 月
石家庄学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ．１０， Ｎｏ．３ Ｍａｙ ２００８
Ｐｏｉｓｓｏｎ过程、复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加及其应用
王彩彦
（ 毕节学院 数学系， 贵州 毕节 ５５１７００）
摘 要： 给出了 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加和复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加的定义， 证明了其叠加后仍为 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程和复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 并考虑了一个应用实例．
例如， 若｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝表示粒子流， Ｎ（ ｔ） 表示［０， ｔ］到达的粒子数， Ｙｉ 表示第 ｉ 个到达粒子的总能量， 则 Ｘ（ ｔ） 表示［０， ｔ］内到达粒子的总能量． 若｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝表示顾客流， Ｙｉ 表示第 ｉ 个顾客的行李重量， 则 Ｘ（ ｔ） 表示［０， ｔ］ 内到达顾客的行李总重量． 假定保险公司买了医疗保险人数按参数为的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程到保险公司索赔， 各被保 险人的索赔额假设形成一组独立同分布的随机变量， 记到时刻为止到此保险公司索赔者的索赔总额为 Ｘ（ ｔ） ， 则｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程．
ｒ
" Ｘ（ ｔ） ＝ Ｘｉ（ ｔ） 为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． ｉ＝１
第３期
王彩彦： Ｐｏｉｓｓｏｎ过程、复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加及其应用
４９
ｒ
ｒ
! ! 平均索赔额和总索赔额的方差分别为 Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝ λｉｔＥ［Ｙ］， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝ λｉｔＥ［Ｙ２］．
ｉ＝１
ｉ＝１
Ｎ（ ｔ）
" 与｛Ｙｉ， ｉ≥１｝独立． 记 Ｘ（ ｔ） ＝ Ｙｉ， 称｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 若｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， ｉ＝１
｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝服从参数为 λｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 则 Ｘ（ ｔ） 的数学期望 Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝λｔＥ［Ｙ］； 方差 Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝λｔＥ［Ｙ２］． Ｘ（ ｔ） 的矩母函数Φ（ ｕ） ＝Ｅ［ｅｘｐ（ ｕＸ） ］＝ｅｘｐ［λｔ（ ΦＹ（ ｕ） － １） ］． 其中ΦＹ（ ｕ） 为｛Ｙｉ， ｉ≥１｝共同的矩母函数．
总索赔额的方差 Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］可以作为保险公司的度量， 反映了保险公司管理的难易程度． Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］越
小， 风险越好管理， 则破产概率越小． 在收取的保费一定的条件下， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］越大， 平均索赔额越高， 破产概
率越大．
当 ｔ 一定时， 各类型的索赔额 Ｘｉ（ ｔ） 是由其个体的索赔额决定． 所以， 可以通过研究各类型的个体的索赔
ｉ＝１
ｉ＝１
＋Ｘ２（ ｔ） 仍为复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 证明 设Ｎ１（ ｔ） 、Ｎ２（ ｔ） 分别服从参数为 λ１ｔ， λ２ｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 由已知， 得 ΦＹ（ ｕ） ＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＹ１ｉ｝］＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＹ２ｉ｝］． 则 Ｘ（ ｔ） 的矩母函数为 Φ（ ｕ） ＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＸ（ ｔ） ｝］＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＸ１（ ｔ） ＋ｕＸ２（ ｔ） ｝］＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＸ１（ ｔ） ｝］Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＸ２（ ｔ） ｝］＝ｅｘｐ｛（ λ１＋λ２） ｔ（ ΦＹ（ ｕ） － １） ｝
额， 来研究各类型的索赔额， 从而研究保险公司的总索赔额以及与之相关的问题， 使得保险公司在风险管理
方面具有一定的前瞻性．
以 Ｙｉｊ 表示第 ｉ 类第 ｊ 个保单的个体索赔额， 则有 Ｙｉｊ＝ＩｉｊＢｉｊ． 其中， 当第 ｉ 个险种的第 ｊ 个保单发生索赔
时， Ｉｉｊ＝１； 当第 ｉ 个险种的第 ｊ 个保单发生索赔时， Ｉｉｊ＝０． 则 Ｙｉｊ 表示第 ｉ 类的第 ｊ 个保单发生的索赔次数， 表示
Ｎｋ（ ｔ）
" 相互独立． Ｘｋ（ ｔ） ＝ Ｙｋｉ， ｋ＝１， ２， …， ｒ． 其中｛Ｎｉ（ ｔ） ， ｔ≥０｝服从参数为 λｉｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程且相互独立． ｛Ｙｋｉ， ｉ≥１｝ ｋ＝１ ｒ
" 与｛Ｙｊｉ， ｉ≥１｝独立同 Ｙ 分布的随机变量序列 ｊ＝１， ２， …， ｒ． 则 Ｘ（ ｔ） ＝ Ｘｉ（ ｔ） 仍为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 且有 ｉ＝１
ｒ
ｍFra Baidu bibliotek
ｒ
ｍ
! ! ! ! 因此， 有 Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝ （ λｉｔ λｉｊＢｉｊ） ， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝ ［λｉｔ λｉｊ（ １＋λｉｊＢｉｊ２） ］．
ｉ＝１
ｊ＝１
ｉ＝１
ｊ＝１
据此保险公司可以更精确地估计赔付额， 有效地进行风险管理， 使保险公司的效益和利润最大化．
参考文献： ［１］ 刘嘉焜． 应用随机过程［Ｍ］． 北京： 科学出版社， ２００２． ［２］ 林元烈． 应用随机过程［Ｍ］． 北京： 清华大学出版社， ２００２．
定理 １ 设计数过程｛Ｎ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝和｛Ｎ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程且相互独 立． Ｎ１（ ｔ） 、Ｎ２（ ｔ） 分 别 服 从 参 数 为 λ１ｔ， λ２ｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过 程 ， 则 叠 加 Ｎ（ ｔ） ＝Ｎ１（ ｔ） ＋Ｎ２（ ｔ） 服 从 参 数 为 （ λ１＋λ２） ｔ 的
０引言
Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程和复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程是概率论中特别重要的随机变量过程， 在经济学、工程技术等方面有着 广泛的应用．
１ 主要结果
定义 ３ 设计数过程｛Ｎ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝和｛Ｎ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程且相互独 立． 令 Ｎ（ ｔ） ＝Ｎ１（ ｔ） ＋Ｎ２（ ｔ） ， 称｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为｛Ｎ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝与｛Ｎ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝的和或叠加．
Ｎ１（ ｔ）
Ｎ２（ ｔ）
" " 中 Ｘ１（ ｔ） ＝ Ｙ１ｉ， Ｘ２（ ｔ） ＝ Ｙ２ｉ， ｛Ｙ１ｉ， ｉ≥１｝为｛Ｙ２ｉ， ｉ≥１｝独立同分布的随机变量序列． 令 Ｘ（ ｔ） ＝Ｘ１（ ｔ） ＋Ｘ２（ ｔ） ， 称
ｉ＝１
ｉ＝１
｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为｛Ｘ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝与｛Ｘ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝的和或叠加．
ｒ
ｒ
" " …， ｒ． ｛Ｎｉ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为服从参数λｉｔ的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 则叠加 Ｎ（ ｔ） ＝ Ｎｉ（ ｔ） 服从参数为 λｉｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程．
ｉ＝１
ｉ＝１
定义 ４ 设｛Ｘ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝和｛Ｘ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 且相互独立， 其
收稿日期： ２００７－ ０８－ ２７ 作者简介： 王彩彦（ １９７８－ ） ， 女， 河北晋州人， 讲师， 主要从事随机分析及其应用研究．
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石家庄学院学报
２００８ 年 ５ 月
Ｐｏｉｓｓｏｎ过程．
证明 （ ｉ） 由已知， 得 Ｎ（ ０） ＝Ｎ１（ ０） ＋Ｎ２（ ０） ＝０＋０＝０． （ ｉｉ） 显然， Ｎ（ ｔ） 具有独立增量．
定义 １［１］ 一计数过程｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝称为时齐 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程（ 简称 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程） ， 若满足： （ １） Ｎ（ ０） ＝０； （ ２） 具有独立增量； （ ３） 对任意 ｓ， ｔ≥０， Ｐ ［Ｎ（ ｓ＋ｔ） － Ｎ（ ｓ） ＝ｋ］＝ （ λｔ） ｋｅ－λ ， ｋ＝０， １， ２， …．
ｒ
ｒ
" " Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝ λｉｔＥ［Ｙ］， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝ λｉｔＥ［Ｙ２］．
ｉ＝１
ｉ＝１
２ 应用实例
假设某保险公司开设有 ｒ≥２ 个险种， 与之对应的有 ｒ 类索赔． 若第 ｉ 个险种的索赔者的人数 Ｎｉ（ ｔ） 服从 参数为 λｉｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， ｉ＝１， ２， …， ｒ． 假设各类索赔的个体索赔额依次为 Ｙ１ｉ， Ｙ２ｉ， …， ｉ＝１， ２， …， ｒ． Ｙ１ｉ， Ｙ２ｉ， …．为一族独立同 Ｙ 分布的随机变量序列． 以 Ｘｉ（ ｔ） 记到达时刻 ｔ， 第 ｉ 类索赔的总索赔额． 由定义 ２， 知 Ｘｉ（ ｔ） 为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． Ｘ（ ｔ） 记到达时刻 ｔ 各类索赔的总索赔额， 由推论 ２ 可知：
Ｂｉｊ 在索赔发生的条件下个体索赔量． 设 Ｉｉｊ， Ｂｉｊ， ｊ＝１， ２， …， ｍ 相互独立． 对于每一个保单， Ｂｉｊ 是一定的． 设索
赔发生次数 Ｉｉｊ 服从参数为 λｉｊ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 分布， 则 Ｅ［Ｉｉｊ］＝λｉｊ， Ｖａｒ［Ｉｉｊ］＝λｉｊ， 所以 Ｅ［Ｙｉｊ］＝λｉｊＢｉｊ．
定理 ２ 设｛Ｘ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝和｛Ｘ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 且相互独立， 其
Ｎ１（ ｔ）
Ｎ２（ ｔ）
" " 中 Ｘ１（ ｔ） ＝ Ｙ１ｉ， Ｘ２（ ｔ） ＝ Ｙ２ｉ， ｛Ｙ１ｉ， ｉ≥１｝与｛Ｙ２ｉ， ｉ≥１｝为独立与 Ｙ 同分布的随机变量序列． 则叠加 Ｘ（ ｔ） ＝Ｘ１（ ｔ）
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｍｓ ｆｏｒ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ． Ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｉｒ ｓｕｍｓ ａｒｅ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．
因此， Ｘ（ ｔ） 仍为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 且有 Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝（ λ１＋λ２） ｔＥ［Ｙ］， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝（ λ１＋λ２） ｔＥ［Ｙ２］． 推论 ２ 设 ｒ≥２， 随机过程｛Ｘｉ（ ｔ） ， ｔ≥０｝， ｉ＝１， ２， …， ｒ．均为定义在同一概率空间上的复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 且
ｋ！ 若｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝服从参数为 λｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 则 Ｎ（ ｔ） 的数学期望 Ｅ［Ｎ（ ｔ） ］＝λｔ； 方差 Ｖａｒ［Ｎ（ ｔ） ］＝λｔ； Ｎ（ ｔ） 的矩母函数为Φ（ ｕ） ＝Ｅ［ｅｘｐ（ ｕＮ） ］＝ｅｘｐ［λｔ（ ｅｕ－ １） ］． 例如， 在［０， ｔ］内电话交换台的呼唤数； 在［０， ｔ］内到达的粒子流； 在［０， ｔ］内到达服务台的顾客人数； 在［０， ｔ］ 内到达保险公司的索赔者的人数等都是 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 定义 ２［２］ 设｛Ｙｉ， ｉ≥１｝是独立与 Ｙ 同分布的随机变量序列， ｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 且｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝
（ 责任编辑 李健飞）
Ｔｈｅ Ｓｕｍｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｐｏｉｓｓｏｎ Ｐｒ ｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ Ｐｒ ｏｃｅｓｓｅｓ
ＷＡＮＧ Ｃａｉ－ ｙａｎ
（ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ， Ｂｉｊｉｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｂｉｊｉｅ， Ｇｕｉｚｈｏｕ ５５１７００， Ｃｈｉｎａ）
ｋ
" （ λ１ｔ） － １ ｅ－ λ１ｔ （ λ２ｔ） ｋ－ １ ｅ－ λ２ｔ＝
ｌ ＝０ ｌ！
（ ｋ－ ｌ） ！
（ λ１＋λ２） ｋｔｋ ｅ ． － （ λ１＋λ２） ｔ ｋ！
因此， Ｎ（ ｔ） ＝Ｎ１（ ｔ） ＋Ｎ２（ ｔ） 服从参数为（ λ１＋λ２） ｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程．
推论 １ 设 ｒ≥２， 计数过程｛Ｎｉ（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程且相互独立， ｉ＝１， ２，
（ ｉｉｉ） 对任意 ｓ， ｔ≥０， ｋ＝０， １， ２， …． 有
Ｐ［Ｎ（ ｓ＋ｔ） － Ｎ（ ｓ） ＝ｋ］＝Ｐ｛［Ｎ１（ ｓ＋ｔ） － Ｎ１（ ｓ） ］＋［Ｎ２（ ｓ＋ｔ） － Ｎ２（ ｓ） ］＝ｋ｝＝
ｋ
"Ｐ｛Ｎ１（ ｓ＋ｔ） － Ｎ１（ ｓ） ＝ｌ， Ｎ２（ ｓ＋ｔ） － Ｎ２（ ｓ） ＝ｋ－ ｌ｝＝ ｌ＝０
第 １０ 卷 第 ３ 期 ２００８ 年 ５ 月
石家庄学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ．１０， Ｎｏ．３ Ｍａｙ ２００８
Ｐｏｉｓｓｏｎ过程、复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加及其应用
王彩彦
（ 毕节学院 数学系， 贵州 毕节 ５５１７００）
摘 要： 给出了 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加和复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加的定义， 证明了其叠加后仍为 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程和复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 并考虑了一个应用实例．
例如， 若｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝表示粒子流， Ｎ（ ｔ） 表示［０， ｔ］到达的粒子数， Ｙｉ 表示第 ｉ 个到达粒子的总能量， 则 Ｘ（ ｔ） 表示［０， ｔ］内到达粒子的总能量． 若｛Ｎ（ ｔ） ， ｔ≥０｝表示顾客流， Ｙｉ 表示第 ｉ 个顾客的行李重量， 则 Ｘ（ ｔ） 表示［０， ｔ］ 内到达顾客的行李总重量． 假定保险公司买了医疗保险人数按参数为的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程到保险公司索赔， 各被保 险人的索赔额假设形成一组独立同分布的随机变量， 记到时刻为止到此保险公司索赔者的索赔总额为 Ｘ（ ｔ） ， 则｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程．
ｒ
" Ｘ（ ｔ） ＝ Ｘｉ（ ｔ） 为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． ｉ＝１
第３期
王彩彦： Ｐｏｉｓｓｏｎ过程、复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程的叠加及其应用
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ｒ
ｒ
! ! 平均索赔额和总索赔额的方差分别为 Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝ λｉｔＥ［Ｙ］， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝ λｉｔＥ［Ｙ２］．
ｉ＝１
ｉ＝１
Ｎ（ ｔ）
" 与｛Ｙｉ， ｉ≥１｝独立． 记 Ｘ（ ｔ） ＝ Ｙｉ， 称｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 若｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝为复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， ｉ＝１
｛Ｘ（ ｔ） ， ｔ≥０｝服从参数为 λｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程， 则 Ｘ（ ｔ） 的数学期望 Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝λｔＥ［Ｙ］； 方差 Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝λｔＥ［Ｙ２］． Ｘ（ ｔ） 的矩母函数Φ（ ｕ） ＝Ｅ［ｅｘｐ（ ｕＸ） ］＝ｅｘｐ［λｔ（ ΦＹ（ ｕ） － １） ］． 其中ΦＹ（ ｕ） 为｛Ｙｉ， ｉ≥１｝共同的矩母函数．
总索赔额的方差 Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］可以作为保险公司的度量， 反映了保险公司管理的难易程度． Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］越
小， 风险越好管理， 则破产概率越小． 在收取的保费一定的条件下， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］越大， 平均索赔额越高， 破产概
率越大．
当 ｔ 一定时， 各类型的索赔额 Ｘｉ（ ｔ） 是由其个体的索赔额决定． 所以， 可以通过研究各类型的个体的索赔
ｉ＝１
ｉ＝１
＋Ｘ２（ ｔ） 仍为复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 证明 设Ｎ１（ ｔ） 、Ｎ２（ ｔ） 分别服从参数为 λ１ｔ， λ２ｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 由已知， 得 ΦＹ（ ｕ） ＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＹ１ｉ｝］＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＹ２ｉ｝］． 则 Ｘ（ ｔ） 的矩母函数为 Φ（ ｕ） ＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＸ（ ｔ） ｝］＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＸ１（ ｔ） ＋ｕＸ２（ ｔ） ｝］＝Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＸ１（ ｔ） ｝］Ｅ［ｅｘｐ｛ｕＸ２（ ｔ） ｝］＝ｅｘｐ｛（ λ１＋λ２） ｔ（ ΦＹ（ ｕ） － １） ｝
额， 来研究各类型的索赔额， 从而研究保险公司的总索赔额以及与之相关的问题， 使得保险公司在风险管理
方面具有一定的前瞻性．
以 Ｙｉｊ 表示第 ｉ 类第 ｊ 个保单的个体索赔额， 则有 Ｙｉｊ＝ＩｉｊＢｉｊ． 其中， 当第 ｉ 个险种的第 ｊ 个保单发生索赔
时， Ｉｉｊ＝１； 当第 ｉ 个险种的第 ｊ 个保单发生索赔时， Ｉｉｊ＝０． 则 Ｙｉｊ 表示第 ｉ 类的第 ｊ 个保单发生的索赔次数， 表示
Ｎｋ（ ｔ）
" 相互独立． Ｘｋ（ ｔ） ＝ Ｙｋｉ， ｋ＝１， ２， …， ｒ． 其中｛Ｎｉ（ ｔ） ， ｔ≥０｝服从参数为 λｉｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程且相互独立． ｛Ｙｋｉ， ｉ≥１｝ ｋ＝１ ｒ
" 与｛Ｙｊｉ， ｉ≥１｝独立同 Ｙ 分布的随机变量序列 ｊ＝１， ２， …， ｒ． 则 Ｘ（ ｔ） ＝ Ｘｉ（ ｔ） 仍为一复合 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程． 且有 ｉ＝１
ｒ
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ｒ
ｍ
! ! ! ! 因此， 有 Ｅ［Ｘ（ ｔ） ］＝ （ λｉｔ λｉｊＢｉｊ） ， Ｖａｒ［Ｘ（ ｔ） ］＝ ［λｉｔ λｉｊ（ １＋λｉｊＢｉｊ２） ］．
ｉ＝１
ｊ＝１
ｉ＝１
ｊ＝１
据此保险公司可以更精确地估计赔付额， 有效地进行风险管理， 使保险公司的效益和利润最大化．
参考文献： ［１］ 刘嘉焜． 应用随机过程［Ｍ］． 北京： 科学出版社， ２００２． ［２］ 林元烈． 应用随机过程［Ｍ］． 北京： 清华大学出版社， ２００２．
定理 １ 设计数过程｛Ｎ１（ ｔ） ， ｔ≥０｝和｛Ｎ２（ ｔ） ， ｔ≥０｝均为定义在同一概率空间上的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过程且相互独 立． Ｎ１（ ｔ） 、Ｎ２（ ｔ） 分 别 服 从 参 数 为 λ１ｔ， λ２ｔ 的 Ｐｏｉｓｓｏｎ 过 程 ， 则 叠 加 Ｎ（ ｔ） ＝Ｎ１（ ｔ） ＋Ｎ２（ ｔ） 服 从 参 数 为 （ λ１＋λ２） ｔ 的