68东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-不等式选讲(1)B
【全国百强校】东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：圆的方程B
圆的方程(学案)B一、学问梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422F E D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（A x 2+B y 2+Cxy+Dx +Ey +F =0） a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程（4-4选讲内容） ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做一般方程.2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF=0，仅当（A D ）2+（A E ）2－4·AF＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆.故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. 二、题型探究[题型探究一]圆的标准方程1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <22.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜1313.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交4.将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内确定点，过P 作两条相互垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.[题型探究二]圆的方程的应用：【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.三、方法提升：1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）依据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质挂念解题. 四、反思感悟1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.假如问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.假如给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.（θ为参数）. ① （θ为参数）. ②3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹. 4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简洁化.5.数形结合、分类争辩、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应娴熟把握. 五、课时作业：1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则 A.D +E =0B. B.D +F =0 C.E +F =0 D. D +E +F =02.在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条3.圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.4.设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.5.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0. （1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.培育力气7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值； （2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并推断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.（理）已知动圆M ：x 2+y 2－2mx －2ny +m 2－1=0与圆N ：x 2+y 2+2x +2y －2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周.（1）求动圆M 的圆心的轨迹方程；（2）求半径最小时圆M 的方程.探究创新9.（2021年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP =x e 1+y e 2（其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为（x ，y ）.（1）若P 点斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离|PO |； （2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程.拓展题例10、 圆x 2+y 2=1内有确定点A （21，0），圆上有两点P 、Q ，若∠P AQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.11、 如图，过原点的动直线交圆x 2+（y －1）2=1于点Q ，在直线OQ 上取点P ，使P 到直线y =2的距离等于|PQ |，求动直线绕原点转一周时P 点的轨迹方程.。
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案不等式的证明B
不等式的证明(教案)A一、知识梳理：常用的不等式的证明方法:1、比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差出的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或者几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。
2、综合法：利用某些已经证明过的不等式（均值不等式）和不等式的性质，推出所经证明的不等式，这个证明方法叫做综合法，利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质要注意它们各自成立的条件。
综合法证明不等式的逻辑关系：即从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所经证明的结论B。
3分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫分析法。
4、反证法：正难则反先假设要证明的问题不成立，以此为出发点，结合已知的条件、应用公理，定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法称为反证法。
5、放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫放缩法。
所谓的放缩技巧：即欲证A≤B，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使得A≤C≤B，由“A到C就是“放”，则B到C就上“缩”。
二、题型探究探究一：比较法：例1：若水杯中b克糖水中含有a克糖，假如再加入m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式表示出来，并加以证明。
探究二：分析法和综合法≥√a+√b例2：已知正数a，b，求证：+√a探究三：放缩法：例3：求证：1+11×2+11×2×3+…+11×2×3…×n <2例4：证明不等式：1+√2+√3+…+n <2√n （n ∈N ∗）探究五：反证法：例5：已知a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：（1-a ）b ，（1-b ）c ，（1-c ）a 中至少有一个不大于14 。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习 导数(1)教案 文
导数（1）一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页）1、 导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='， 要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x ' 4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、 题型探究：【探究一】． 导数的几何意义例1:已知曲线 .(1)、求曲线在点P （2，4）处的切线方程；(y=4x-4)(2)、求过点P（2，4）的曲线的切线方程；(y=x+2,y=4x-4)（3）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；(y=x)（4）、求斜率为1的曲线的切线方程。
高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第1讲绝对值不等式知能训练轻松闯关文北师大版选修4_5
【2019最新】精选高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第1讲绝对值不等式知能训练轻松闯关文北师大版选修4_51．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≤－3，－x －3＋x －2≥3或或⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x ＋3－x ＋2≥3， 解得1≤x<2或x≥2，故原不等式的解集为{x|x≥1}．2．(2016·忻州联考)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a|<m ，求证：|x|<|a|＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，解得1≤x≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a|<1，则|x|＝|x －a ＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.即|x|<|a|＋1.3．(2015·高考重庆卷改编)若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，求实数a 的值．解：由于f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|，当a ＞－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1，x ＜－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x≤a，3x －2a ＋1，x ＞a.作出f(x)的大致图像如图所示，由函数f(x)的图像可知f(a)＝5，即a ＋1＝5，所以a ＝4.同理，当a≤－1时，－a －1＝5，所以a ＝－6.所以实数a 的值为4或－6.4．(2016·九江第一次统考)已知函数f(x)＝|x －3|－|x －a|.(1)当a ＝2时，解不等式f(x)≤－；(2)若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a ＝2，所以f(x)＝|x －3|－|x －2|＝所以f(x)≤－等价于或或⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，－1≤－12，解得≤x<3或x≥3，所以不等式的解集为.(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x －3|－|x －a|≤|(x－3)－(x －a)|＝|a －3|，所以若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，则|a －3|≥a，解得a≤，所以实数a 的取值范围是.5．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x ＋1|－2|x －a|，a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解； 当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得＜x ＜1；当x≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x＜2.所以f(x)＞1的解集为.(2)由题设可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x≤a，－x ＋1＋2a ，x ＞a.所以函数f(x)的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B(2a ＋1，0)，C(a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2. 由题设得(a ＋1)2＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．6．(2016·河南省八校联考)已知函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －3|.(1)求函数y ＝f(x)的最小值；(2)若f(x)≥ax＋－恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4，x<－12，3x －2，－12≤x≤3，x ＋4，x>3，所以f(x)在上是减小的，在上是增加的，所以当x ＝－时，y ＝f(x)取得最小值，f(x)min ＝f ＝－.(2)由g(x)＝ax ＋－的图像恒过点及函数y ＝f(x)的图像可知－1≤a≤1.1．(2016·辽宁省五校协作体联考)已知函数f(x)＝|2x －a|＋a. (1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数t ，使f≤m－f(－t)成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由|2x －a|＋a≤6，得|2x －a|≤6－a ， 所以a －6≤2x－a≤6－a ，即a －3≤x≤3，所以a －3＝－2，所以a ＝1.(2)因为f≤m－f(－t)，所以|t －1|＋|2t ＋1|＋2≤m，令y ＝|t －1|＋|2t ＋1|＋2，则y ＝所以ymin ＝，所以m≥.2．已知函数f(x)＝|x －4|＋|x －a|(a<3)的最小值为2.(1)解关于x 的方程f(x)＝a ；(2)若存在x∈R，使f(x)－mx≤1成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f(x)＝|x －4|＋|x －a|≥|x－4－(x －a)|＝|a －4|(当(x －4)(x －a)≤0时取等号)，知|a －4|＝2，解得a ＝6(舍去)或a ＝2.方程f(x)＝a 即|x －4|＋|x －2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x≤4.(2)不等式f(x)－mx ≤1即f(x)≤mx ＋1，由题意知y ＝f (x)的图像至少有一部分不在直线y ＝mx ＋1的上方，作出对应的图像观察可知，m ∈(－∞，－2)∪. 3．(2016·云南省统考)已知a 、b 都是实数，a ≠0，f(x)＝|x －1|＋|x －2|.(1)若f(x)>2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围．解：(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x≤1，1，1<x≤2，2x －3，x>2.由f(x)>2得或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，2x －3>2，解得x<或x>.所以所求实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪.(2)由|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)且a≠0得|a ＋b|＋|a －b||a|≥f(x)．又因为≥＝2，所以f(x)≤2.因为f(x)>2的解集为， 所以f(x)≤2的解集为， 所以所求实数x 的取值范围为. 4．已知函数f(x)＝|x －2|. (1)解不等式f(x)＋f(x ＋1)≤2；(2)若a>0，求证：f(ax)－af (x)≤2f(a＋1)． 解：(1)由题意，得f(x)＋f(x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|，因此只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即≤x≤1； 当1<x≤2时，原不等式等价于1≤2，即1＜x≤2； 当x>2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x≤.综上，原不等式的解集为.(2)证明：由题意f(ax)－af(x)＝|ax －2|－a|x －2|.当a>0时，f(ax)－af(x)＝|ax－2|－a|x－2|＝|ax－2|－ |2a－ax|≤|ax－2＋2a－ax|＝2|(a＋1)－2|＝2f(a＋1)．。
东北师大附属中学高三一轮导学案：不等式选讲(3)【B】
不等式选讲（2）（学案）B一、 基本知识点：(1).含有参数不等式的解法例1:解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x例2、解关于x 的不等式 )20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x(2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法）例3;若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++例4、已知,,+∈R b a 求证.ab b a b a b a ≥(3)不等式的证明方法：分析法、综合法 例1、b a ,都是正数。
求证：.2≥+abb a例2、设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.bam b m a >++（4）.含参数不等式的恒成立“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.变式一：条件改为：若()()02933<--+⋅x xxf k f 对任意x ∈R 恒成立，2．已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。
若函数b a x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
东北师大附属中学高三第一轮复习教案不等式选讲
不尊武选讲(2) ｛教案)基本知识点：[阅读选讲4-5](1).含有参数不等式的解法例1：解关于x的不等式x2 4mx 4m2m3当m30即m3时x 2m m3或x2m(m 3)••• x3m3或xm 3当m30即m3时| x 6| 0• x 6当m30即m3时x R o例2、解关于x的不等式(cot ) x 2 3x 21,(0解：当cot1即(0,—)时4 2x3x 20• x>2 或x<1当cot1即=一时x40当cot(0,1)即(一，4-)时2 2x3x 20• 1<x<2⑵•不等式的证明方法：比较法(差0法，商1法)例3;若实数x1,求证：3(1 x2 4 \x )(1 x2\2x )・解：原不等式等价于|x 2m |证明：采用差值比较法:m 33( 1 x2x4) (12\2x )3x4x2x42x 2x22x3xx2(x 43x2(x 1)2(x 2 2(x 1)2[(x3 x 3x 21)1)1)2 3]刁；]2x 1,从而(x 1) 1 22(x 1)2[(x -)23(1 x 2 x 4)(1 xx 2)2.讨论：若题设中去掉x 1这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例 4、已知 a,b R ,求证 a a b b a b b a .本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1）差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b 对称，不妨设a b 0.a b b b （a ab b ab ）0，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设a b 0,a曲a1,a b 0, 畀1 （旦）a b 1故原不等式得证。
ba b b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的 步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
（3）不等式的证明方法：分析法、综合法a b例1、a,b 都是正数。
求证：2.b a证明：由重要不等式 A 2 B 2 2AB 可得本例的证明是综合法。
东北师大附属中学高三第一轮复习教案不等式选讲大练习
选修系列！不等式选讲大练习[教案] [本练习目标：以近几年的高考题为例，练习不等的解法，证明]、选择题：1. （2011年高考山东卷理科4）不等式|x 5| |x 3| 10的解集为（A）[-5.7] （B）[-4,6]（C）（, 5] [7, ）（D）（, 4] [6,）【答案】D【解析】由不等式的几何意义知，式子|x 5| |x 3|表示数轴的点（x）与点（5）的距离和与点（-3 ）的距离之和，其距离之和的最小值为8,结合数轴，选项D正确二、填空题1. （2011 年高考天津卷理科13）1已知集合AxR|x3x49,B x R |x 4t -,t （0,），则集合A B = .【答案】x R| 2 x 5【解析】••• A x R||x 3| |x 4| 9 x R | 4 x 5 ，1 / 1B x R| x 4t -6,t 0, x R|x 2」4t - 6,t 0,t V t x R | x 2，••• A B x R |4x5 x R|x 2 x R| 2 x 5 .对于实数x，y，若x 1 1，y 2 1，则x 2y 1的最大值为.【答案】5【解析］| JT-2J +1|=| (y-l)-2(>-2)-2| ^X-1|+2|7-2|+2^1+2+2=5I当且仅当x-1三T且J/-21时取等号.芳査纯对值不等式的性质.3. （2011年高考广东卷理科9）不等式X 1 X 3 0的解集是 _____________ .【解析】｛x|x 1｝。
由题得|x 1| | x 3| （x 1）2（x 3）2X 1所以不等式的解集为｛x | x 1｝。
4. （2011年高考陕西卷理科15）（不等式选做题）若关于x的不等式a x 1 x 2 存在实数解，则实数a的取值范围是 _【答案】（，3]U[3,）【解析】：因为x 1 |x 2 |x 1 x 2| 3所以|a x 1| |x 2存在实数解，有a 3 a 3或a 3三、解答题：1. （2011年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲已知函数 f （x）=|x-2|-|x-5|.（I ）证明：-3 w f （x）＜3;（II ）求不等式f （x）＞X2-8X+15的解集.3, x 2,解：（1）f(x) |x 2 | |x 5 | 2x 7, 2 x 53, x 5.当2 x 5时，3 2x 73 .所以 3 f (x) 3. (II )由（I ）可知，当x22时,f (x) x 8x 15的解集为:空集;当 2 x 5时，f(x) x 2 8x 15的解集为｛x|5 .3 x 5｝； 当 x 5时，f(x) x 2 8x 15的解集为｛x|5 x 6｝. 综上，不等式f (x) x 2 8x 15的解集为｛x|5 .3 x 6｝. 2. (2011年高考全国新课标卷理科24)(本小题满分10分) 选修4-5不等选讲设函数f(x) x a 3x,a 0( 1 )当a 1时，求不等式f (x) 3x 2的解集;⑵如果不等式f (x)0的解集为xx 1 ,求a 的值。
东北师大附属中学高三一轮导学案：不等式选讲(1)【B】
选修系列：不等式选讲(理) 68(1) 学案B一、选择题:1. (2019年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞二、填空题1. (2019年高考天津卷理科13)已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.2对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 .3. (2019年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______.4．(2019年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是三、解答题:1．(2019年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.2. (2019年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲 设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。
3.(2019年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：|21|3x x +-<解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。
原不等式等价于：43213,23x x x x -<-<-∴-<<，解集为4(2,)3-4．(2019年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式11-x 2＜的解集为M ．（I ）求集合M ；（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小．5.(2018长春高三模拟)解不等式1|43|2+>--x x x .6. (2018长春高三模拟)已知()f x =，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|．7. (2018长春高三模拟)已知函数()|1|||.f x x x a =-+-⑴若1a =-,解不等式()3f x ≥； ⑵如果(),2x f x ∀∈R ≥，求a 的取值范围．8. (2018长春摸拟考试)已知函数()|1||22|.f xx x =-++ ⑴解不等式()5f x >；⑵若不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，求a 的取值范围.9. (2018长春摸拟考试)设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，∈x R ．⑴解不等式)(x f ≤5； ⑵若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．10. (2018长春摸拟考试)已知函数()|1||22|.f x x x =-++ ⑴解不等式()5f x >；⑵若关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，求实数a 的取值范围.11. (2018长春摸拟考试)已知函数()2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）、在⑴的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，求实数m 的取值范围．12. 设函数()f x ⑴ 当5=a 时，求函数的定义域；⑵ 若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围.13. 设函数R x a x x x x f ∈-+-=|,||5|)(.(1)求证：当=a ⑵关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值.。
68东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-不等式选讲(2)A
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b a+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d a+c>b+d．
④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc．
⑤、如果a>b >0，那么 (n N，且n>1)
⑥、如果a>b >0，那么 (n N，且n>1)。
（二）、含有绝对值的不等式的两种基本类型
第一种类型:设a为正数。根据绝对值的意义，不等式 的解集是 ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型:设a为正数。根据绝对值的意义，不等式 的解集是{ 或 }
1．
2．
4． (-1<x<0)
5． 时解关于x的不等式
( ； ； )
6、解不等式：
(当a>1时 当0<a<1时 )
7、解不等式： (-1<x<3)
8、已知 求证： 。
证明 ，∴ ，
由例1及上式， 。
9、7、
10、
练习：
1、已知 求证： 。
2、已知 求证： 。
[题型探究四]：指对不等式解法：
例1、解不等式
解：原不等式可化为： ∵底数2>1
∴ 整理得：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修系列：不等式选讲(理) 68(1) 学案B
一、选择题:
1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为
（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]
（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞
二、填空题
1. (2011年高考天津卷理科13) 已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫
=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集
合A B ⋂=________.
2对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 .
3. (2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______.
4．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是
三、解答题:
1．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.
（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；
（II ）求不等式f （x ）≥x 2
-8x+15的解集.
2. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲 设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；
(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：|21|3x x +-<
解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。
原不等式等价于：43213,23x x x x -<-<-∴-<<，解集为4(2,3-
4．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式11-x 2＜的解集为M ．
（I ）求集合M ；
（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小．
5.(2011长春高三模拟)解不等式1|43|2+>--x x x .
6. (2011长春高三模拟)
已知()f x =，a≠b ，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|．
7. (2011长春高三模拟)已知函数()|1|||.f x x x a =-+-
⑴若1a =-,解不等式()3f x ≥； ⑵如果(),2x f x ∀∈R ≥，求a 的取值范围．
8. (2012长春摸拟考试)已知函数
⑴解不等式； ⑵若不等式的解集为空集，求的取值范围.
()|1||22|.
fx x x =-++()5f x >()()f x a a <∈R a
9. (2012长春摸拟考试)设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，∈x R ．
⑴解不等式)(x f ≤5； ⑵若m x f x g +=
)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
10. (2012长春摸拟考试)已知函数()|1||22|.f x x x =-++
⑴解不等式()5f x >；
⑵若关于x 的方程
1()4a f x =-的解集为空集，求实数a 的取值范围.
11. (2012长春摸拟考试)已知函数()2f x x a a =-+.
（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；
（2）、在⑴的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，求实数m 的取值范围．
12. 设函数()f x = ⑴ 当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；
⑵ 若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围.
13. 设函数x x f -=|)((1)求证：当-=a ⑵关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值.。