第7章 大气波动

用小扰动方法使方程线性化的基本步骤为： （1）适当选择基本量 q ，将变量表为基本量与扰动量之和 。通常取： 2 1 q 0 qd 2 （2）用支配方程减去基本量满足的方程，求得扰动方程(扰 动量满足的方程)。 （3）略去扰动方程和边界条件中含扰动量及其导数的乘积 项（非线性项），求得线性化的扰动方程和边界条件。
UT L
或： C 其中： L / T 为波动传播的特征速度。因此，对小振 C 幅波，空气质点的运动速度远小于波动的传播速度。 上式还可以改写为T/(L/U)<<1，若将L解释为运动的水 平特征尺度，则L/U即相当于平流时间尺度。即小振幅波 的特征周期远小于运动的平流时间尺度。
1
U
1
在运动方程中，若非线性平流项与其它线性项相比是小 量，则它在最低阶近似下可以略去，即方程可以线性化。 运动方程的线性化条件可表为：
将单波解代入线性化扰动方程，约去公因子，得：
( c u )U 1

P 0
U 1 (c u ) 0
C L (c u ) (c u ) P 0
2
这是一个关于U ， P 和 的 线性、齐次代数方程组，它 存在唯一非零解的必要条件 是其系数行列式为零。
ds dt
s


t s
而
s K s
ds dt

K s

那么位相沿全波数矢量方向 的移动速度C称为全相速：
s (K K )
ds C K dt
称为全波数矢或简称为波矢 。 波数矢的模为：
K K k
2
l
2
表征沿位相梯度方向、单位距离上 的位相变化率，称为全波数。
二维平面波的等相面、 波矢和波长
x 和y 方向单位距离上的位相变化率分别为：
k x
l y
分别称为x和y 方向上的波数。
）方向、位相相差 2 的两相邻 波长的定义 等相线（面）之间的距离称为“全波长”，记 为 L。 按全波长的定义，经过一个全波长的距离，位相的改变量应 2 等于2，于是有： K L 2
（ t u x )u ' 1 p '
x
u ' x
u x
（ 1
（ t
t
u
u
x
x
) '
2
0
) '
1 ， 1 0 ，
表示大气是可压缩的。
表示大气是不可压缩的
。
) p' C L (
t
2、微扰动方法与线性化扰动方程组 1）微扰动方法 气象上,通常采用“微扰方法”（或小扰动方法）使运 动方程组和边界条件线性化。 该方法的基本假定可概括如下：
（1）描述大气运动的场变量（q）可表示为：
q q q
已知基本量
'
扰动量
（2）基本量 q 满足基本方程组和相应的定解条件。 ' q 足够小（如小振幅波），以致于方程和 （3）扰动量 边界条件中包含扰动量及其导数的乘积所构成的非线性项 可作为相对小项而舍去。
ly t )
其中
为了书写方便，常省略表示取实部运算的符号“Re” 。
3、波群与群速度
实际大气运动或扰动总是在空间和时间上都有限、由 不同（波长、频率和振幅等不同）单波分量迭加而成的 合成波，又称之为群波（group waves）或波群(wave group)或波列（wave train）。 考虑最简单的波群(合成波),它由两个一维单波分量迭 加而成,这两个单波分量具有相同的振幅,但它们的波数和 频率有微小差异。合成波可表为：
设单波解为：
u' U p ' P exp[ ik ( x ct )] '
对于上述单波解的形式，有下列微分关系：
( ) t ikc ( )
( ) x
ik ( )
(
t
u
x
)( ) ik ( c u )( )
q ( x , t ) Q e x p [i ( k 1 x 1t ) ] Q e x p [i ( k 2 x 2 t ) ]
令：
k1 k k , k 2 k k
1 ,
2
即：
k (k1 k 2 ) / 2
全相速矢
C
K K 则可以表示为： C C K K K
类似地，沿x轴和y轴方向的相速分量分别为：
C
x
dx dt ,
dy dt ,
P127-128， 以X方向运动方程为例
p' p

'

T' T
§7.3 大气声波
（P128-129）
1）采取什么假设简化求解波动的方程组？ 2）如何设单波解？ 3）如何求频率方程？求相速？ 4）水平声波的基本性质？ 5）声波产生的物理机制和滤波条件
1、水平声波 1）波速公式及声波的基本性质 考虑沿x方向传播的一维水平声波（纵波）, 假定 ： (i) v ' w ' 0 (ii) 不计科氏力的作用 ； (iii) 基本气流是常值纬向流( u =常数)。 则线性化扰动方程组可表为：
)w'
1 p '
z

2
g
'
w ' z
2
（

u
x
) '
u ' x
2
v' y
0
（
t
u
) p ' f u v '
CLN g
w ' C L ( u ) ' v ' t x y

y
k K i
K j


C
y

x


l
注意，上述沿坐标轴向的相速并不等于全相速矢的坐标分量 ，即：
C i C x jC
y
独立波参数
振幅 波长/波数 圆频率/频率/周期 初相
2、单波的指数函数表示
根据指数函数与三角函数的关系：
e
i
exp( i ) cos i sin

t

2 T
1/T可视为单位时间内完成周期 为T的振动的次数，称为频率 ； 则代表2单位时间内完成振 动的次数，习惯称为圆频率。
（4） 相速（波速） 沿任一指定的方向s,等位相面的移动速度称为该方向上的 相速或波速。若将位相函数θ表为以s为参数的函数，则等 位相面方程可表为： （ s , t ) 常数 则沿s方向的相速为：
i
1
有
cos Re exp( i )
于是单波可用指数函数表为：
q ( x , y , t ) Re
A exp i ( kx
ly t 0 )
或：
q ( x , y , t ) Re Q exp
Q A exp( i 0 )
i ( kx
g
群速度：
C gx
k
C
gy

l
C
gz

n
§7.2 小振幅波及其支配方程组的线性化
1、小振幅波 小振幅波：波的振幅与波长相比为小量的波。 若用U,L和T分别代表波动中空气质点的特征速度、波动 的波长和周期，则UT表示空气质点在波动周期里的特征 位移，它应与空气质点振动的特征振幅相当。因此，按 小振幅波的定义，小振幅条件可表示为：
v
y
w
z
)
p RT
C
p
/Cv
线性化扰动方程组可表为：
（
（
t
t
u
u
x
x
) u ' fv '
) v ' fu '
1 p '
x
1 p '
y
fu
'
（
t
t
u
x
x
y
（
t
t
u
x
x
v
y
y
w
z
z
)w
1 p
z
u x
g
v y w z
（
u
v
w
) (

) 0
（
t
u
x
v
y
w
z
)p
p

(
t
u
x
即：
(c u )
0 1 (c u ) C L (c u )
2
1/ 0 (c u )
2

0
0
算得： ( c u )[ 1 ( c u )
CL] 0
2
这是一个关于相速c的三次代数方程，应有三个特征根。其 中一个特征根为： U P 0 ，而 可以任意。 c u
0
（1）振幅 A:波函数q的最大可能的值。q ( x , y , t )
A
（2）波数（矢）与波长： 等位相面（线）：位相相同的点构成的面（线）为等相面（ 线）。 等位相面为平面，这样的波称为“平面波”。若等位相面是 球面（或柱面），波动则称为球面波（或柱面波）。 定义矢量：
K k i lj
2 (V )V U L UT O 1 U T L V t
这正是小振幅波的条件，因此，对于小振幅扰动，支配 方程可线性化。
T
L
U

1
上式表明，对于小振幅扰动，平流作用的时间尺度相对 于波动周期足够长，以致于在一个特征周期上，运动不易 “感受”到非线性作用的影响。
第七章 大气波动
波动现象也普遍存在于大气运动中。
在一定的物理因子（如作用力）的影响下，空气微团可能会 发生围绕某个平衡位置的振动，这种振动在大气中的传播 就形成了大气波动。 大气的基本波动：大气声波、重力波（包括重力内波、重力 外波）、惯性波和大气长波等；它们的影响因子、形成机 制和波动本身的性质都各不相同。 本章将讨论大气波动的基本类型、性质、影响因子、形成机 制及滤波条件等。
dc dk
*非频散波（波速与波数无关）： d C d k 0 C C ）； 于是，群速度与相速度相同（ *频散波（波速与波数有关）： d C d k 0 群速度与相速度不仅大小不同，而且符号（传播方向）也可 以不一样。 群速度是合成波振幅的传播速度，由于波动的能量与其振幅 的平方成正比，所以，群速度也代表波动能量的传播速度 。 对于三维波动： ( k , l , n )
§7.1 波动的基本概念
1、单波的三角函数表示和波参数 设场变量或波函数为 q ( x , y , t ) ，习惯上，其谐波分量可用三 角函数表示为： 其中：
q ( x , y , t ) A cos
初位相
( x , y , t ) kx ly t
位相函数 波参数
L
沿全波矢（ K
可见，波数K就是2单位距离内包含波长为L的波的个数（数 目）。
类似地，坐标轴向（方向）的波长和与对应波数的关系可表 为： 2 2
Lx k Ly l
(3) 频率与周期 定义给定点处位相改变 2 所历经的时间为波动（或振动） 的周期，并记为T，则应有
（ t )T 2
图
一维波列瞬时图象
图像包含两种波动现象： （1）载波（被调幅波）： e x p i ( k x t ) （2）调制波： 2 Q c o s ( k x t ) 波长为： 2 k
C 调制波位相传播速度（群速度）： g

lim
k 0
k

d dk
ck
k (k 2 k1 ) / 2
2 1） 2 （ /
1 2） 2 （ /
ˆ q ( x, t) Q ( x, t)e
i ( kx t )
振幅函数为：Qˆ ( x , t ) 2 Q c o s ( k x t )
以状态方程为例， 进行方程的线性化
2）线性化扰动方程组 略去一些小项后，局地直角坐标系中的绝热、无摩擦大 气运动方程组可表为：
（ t
t
u
x
x
v
y
y
w
Hale Waihona Puke Baidu
z
z
) u fv
1 p
x
1 p
（
u
v
w
) v fu