锐角三角函数的知识点总复习附答案

锐角三角函数的知识点总复习附答案

一、选择题

1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（）

A．43B．12﹣43C．12﹣63D．63

【答案】B

【解析】

【分析】

过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案．

【详解】

解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，

∴BC＝AC＝122．

∵AB∥CF，

∴BM＝BC×sin45°＝

2 12212

⨯=

CM＝BM＝12，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴MD＝BM÷tan60°＝43，

∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43．

故选B．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．

2．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B

之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()

A．(543+10) cm B．(542+10) cm C．64 cm D．54cm

【答案】C

【解析】

【分析】

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．

【详解】

如图所示，

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则

Rt△ACE中，AE=1

2

AC=

1

2

×54=27（cm），

同理可得，BF=27cm，

又∵点A与B之间的距离为10cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），

故选C．

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

3．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）

A ．5

B ．35

C ．22

D ．23

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，

∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，

∴∠BED ＝∠CDF ，

设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，

∴DF ＝FA ＝2﹣x ，

∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，

CF 2+CD 2＝DF 2，

即x 2+1＝（2﹣x ）2，

解得：34

x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠=

=． 故选：B ．

【点睛】

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

4．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）

A ．1

B ．12

C ．32

D ．33

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-=33

，即可求出答案 【详解】

过点C 作CF ⊥BD 与点F ．

∵∠BAE ＝30°，

∴∠DBC ＝30°，

∵BC ＝2，

∴CF ＝1，BF ＝3 ，

易证△AEB ≌△CFD （AAS ）

∴AE ＝CF ＝1，

∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，

∴BE ＝3 AE ＝3， ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣

3＝233 ， 在Rt △CFE 中，

tan ∠DEC ＝323CF

EF ==， 故选C ．

【点睛】

此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等

5．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )

A ．8(31)+m

B ．8(31)-m

C ．16(31)+m

D ．16(31)-m 【答案】A

【解析】

设MN=xm ，

在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，

∴BN=MN=x ，

在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=

MN AN ， ∴tan30∘=16x x

+ =3√3， 解得：x=8(3 +1)，

则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；

故选A.

点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.

6．如图，在矩形ABCD 中E 是CD 的中点，EA 平分,BED PE AE ∠⊥交BC 于点P ，连接PA ，以下四个结论：①EB 平分AEC ∠；②PA BE ⊥；③32

AD AB =

；④2PB PC =．其中结论正确的个数是（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

【答案】A

【解析】