材料力学-弯曲应力

横截面上的正应力
3、静力学关系
FN = ∫ σ dA = 0,
A
代入
M y = ∫ zσ dA = 0,
A
σ = Eε = E
y
ρ
目前未解决问题: 目前未解决问题
M z = ∫ yσ dA = M
A
得到 中性轴where? ①z轴-中性轴 轴 中性轴
∫ ydA = 0,
A
∫ yz dA = 0,
A
E
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Mechanics of Materials
横截面上的正应力
1、几何方面 、
取长度为dx的一段微梁， 取长度为 的一段微梁， 的一段微梁 变形后的形状如图。 变形后的形状如图。记长度不变 中性层） 轴线o 中性层 轴线 ´o´(中性层）的曲率半径 两横截面的夹角为dθ 为ρ，两横截面的夹角为 θ，则 变形后， 变形后，距o´o´为y处纤维的长 处纤维的长 度为 ( ρ + y)dθ 注意到o 于是， 注意到 ´o´= dx =ρ dθ，于是， 距o´o´为y处的纤维的线应变为 处的纤维的线应变为
已知：矩形截面 × 已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz
y
dA
dy
轴和y轴的微元面积 解：取平行于x轴和 轴的微元面积 取平行于 轴和
dA = bdy
z
dA
y
h C z dz
I z = ∫ y dA = ∫
2 A
h 2 h − 2
bh y bdy = 12
2
3
b
dA = hdz
I y = ∫ z 2dA = ∫
dx
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到 中 性 层 的 距 离 成 正 比 它 与 变 应 线 的 维 纤 向 纵
即
b b − bb ( ρ + y)dθ − dx ( ρ + y)dθ − ρdθ y ε= = = = dx ρdθ ρ bb
' '
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2
常见横截面的惯性矩 和抗弯截面系数
b h C y D d z y z
bh3 Iz = 12 bh2 Wz = 6
d z y
I =
z
πd
4
64
C
W =
z
πd
3
32
C
Iz =
πD 4
64
(1 − α 4 ),
Wz =
πD 3
32
(1 − α 4 ),
α=
d . D
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A b 2 b − 2
hb3 z 2 hdz = 12
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惯性矩、极惯性矩 惯性矩、
y
z
I y = ∫ z dA
2 A
dA
I z = ∫ y dA
2 A
A
OrΒιβλιοθήκη yzI P = ∫ r dA
2 A
IP = I y + Iz
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–
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横截面上的正应力
变形假设(里 变形假设 里)
1、弯曲变形的平面假设 、弯曲变形的平面假设 变形后， 变形后，横截面仍保 持为平面， 持为平面，并且仍与 弯曲后的纵向线正交， 弯曲后的纵向线正交， 纵向线正交 各截面间作相对转动。 各截面间作相对转动。
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横截面上的正应力
M σ= y Iz
–
最大正应力发生在离中 性轴最远的点上， 性轴最远的点上，即
σ max
Mymax = Iz
I z ——抗弯截面系数，则 ——抗弯截面系数， 令 Wz = ymax M 抗弯截面系数综合反映了横 σ max = 截面形状和尺寸对弯曲正应 Wz
–
对于具有对称截面的一般细长梁（梁的跨 对于具有对称截面的一般细长梁（ 对称截面的一般细长梁 与高度h之比 ），剪力 度l与高度 之比 ≥5），剪力对正应力的 与高度 之比l/h≥ ），剪力对正应力的 分布规律影响很小， 分布规律影响很小，上述计算正应力的公 式仍然可用， 式仍然可用，并且具有足够的精度
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横截面上的正应力
研究梁横截面上应力的分布， 研究梁横截面上应力的分布，必须 几何（变形）、物理（本构） ）、物理 从几何（变形）、物理（本构）和静力 平衡） 学（平衡）三方面进行综合分析 下面依次分析梁纯弯曲时， 下面依次分析梁纯弯曲时，这三个 方面的特征
1 M = ρ EIz
M σ= y Iz
梁横截面上的正应力分布公式
1
ρ
→ 梁变形剧烈程度 EI z → 抗弯刚度
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附录： 附录：截面图形的几何性质
z y A dA z y
静矩： 静矩：
S y = ∫ zdA, Sz = ∫ ydA
形心公式
A A
惯性矩、 惯性矩、惯性半径
y
z
iy =
dA
y
Iy A
——图形对 轴的惯性半径 ——图形对 y 轴的惯性半径 z
O
iz =
Iz A
——图形对 轴的惯性半径 ——图形对 z 轴的惯性半径
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已知：圆截面直径 已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
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组合图形的惯性矩
o z1
(2)组合图形的惯性矩 组合图形的惯性矩
Iyc=ΣIyci= Iy Σ
Izc=? 平行轴公式
Izc=Σ( zci+di2Ai) Σ(I Σ(
2
o’ zc
惯性矩平行轴定理: 惯性矩平行轴定理
I z = ∫ y dA = ∫ ( y0 + a) dA
ρ
ρ=?与弯矩有何关系 与弯矩有何关系？ y 2 dA = M ②ρ=?与弯矩有何关系？ ∫
A
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∫ ydA = 0,
A
∫ yz dA = 0,
A
E
ρ
y 2 dA = M ∫
A
ρ的确定
E 2 ∫ y dA = M ρA
I z = ∫ y dA
2 A
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第六章 弯曲应力
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回顾
σ
Fs M
τ
上一章任务：合力 横截面上整体情况
本章任务：分力 横截面上每一点情况
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几个基本概念
横力弯曲——横截面上 横截面上 横力弯曲 既存在弯矩， 既存在弯矩，又存在横 向剪力的梁的弯曲,称为 向剪力的梁的弯曲 称为 横力弯曲 纯弯曲——横截面上仅 纯弯曲 横截面上仅 存在弯矩的梁的弯曲 图示简直梁中 BC 段为纯弯曲 AB，CD段为横力弯曲 段为横力弯曲
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正应力强度条件
对于一般的弯曲梁， 对于一般的弯曲梁，其弯矩是截面 位置的函数。因此计算等截面直梁 等截面直梁的最 位置的函数。因此计算等截面直梁的最 大正应力的公式为
σ max
M max ymax = Iz
即横截面上的最大正应力发生在全梁最大弯 横截面上的最大正应力发生在全梁最大弯 最大正应力 所在横截面的最外边缘各点 最外边缘各点处 矩Mmax所在横截面的最外边缘各点处
y
解：取圆环微元面积 dA
dr
r C
dA = 2 rdr π
z
IP 1 2 I y = Iz = = ∫ r dA 2 2 A
1 πd 4 = ∫ r 2 (2πr )dr = 2 64
d 2 0
d
I p = 2I y =
πd
4
32
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组合图形的惯性矩
力的影响。 力的影响。
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附录： 附录：截面图形的几何性质
惯性矩
z
I y = ∫ z dA,
2 A
I z = ∫ y dA,
2 A
y
A dA z y
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Iz I z = ∫ y dA, Wz = ymax A
2 A 2 A 2
y z0 z y a b y0 A dA z0 z y0 y
= ∫ y0 dA + 2a∫ y0dA + Aa
A A
I z = I z 0 + Aa
2
I y = I y 0 + Ab2
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横截面上的正应力
横力弯曲
是在纯弯曲 纯弯曲条件下 尽管公式 σ = Mzy/Iz 是在纯弯曲条件下 建立的。 弹性理论和实验表明 表明： 建立的。但弹性理论和实验表明：
横截面上的正应力
即对给定的横截面，其上 任一点的正应力与该点到 中性轴的距离成正比
2、物理关系 由于纵向纤维 仅受拉伸或压缩， 仅受拉伸或压缩， 于是在正应力不超 比例极限时 过比例极限时，根 据胡克定理， 据胡克定理，有
σ = Eε = E
y
ρ
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I yz = ∫ yzdA = 0
A
横截面关于y、 横截面关于 、z 轴的惯性 积为零。 、 积为零。 y、z 轴为主轴
y，z形心主轴 ， 形心主轴
中性轴通过横截面形心，并垂 直于纵向对称轴y
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横截面上的正应力
Mz σ= y Iz
①横截面上正应力是线性分布 ②正比于Μz ，反比于 Ιz ③中性层两侧一拉一压存在 说明： 说明： ①适用于任意截面（推导中没有用矩形性质） 适用于任意截面（推导中没有用矩形性质） ②成立条件(a) y，z轴须为形心主轴 成立条件 ， 轴须为形心主轴 (b)比例极限内 σ<σp 比例极限内
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横截面上的正应力
2、弯曲变形的单向受力假定 、弯曲变形的单向受力假定 所有与轴线平行的纵向纤 维处于轴向拉伸或轴向压 缩，纤维之间不受力 梁中纵向纤维长度不变 的过渡层称为中性层 中性层。 的过渡层称为中性层。 中性层和横截面的交线 称为中性轴 称为中性轴
纯弯曲
F
F
A B
横力弯曲
D C
剪力图
弯矩图
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几个基本概念
σ
内力的起因 τ 弯矩——横截面上正应力的合力偶，此时， 横截面上正应力的合力偶， 弯矩 横截面上正应力的合力偶 此时， 正应力称为弯曲正应力 正应力称为弯曲正应力 剪力——横截面上切应力的合力 此时， 横截面上切应力的合力， 剪力——横截面上切应力的合力，此时，切 应力称为弯曲切应力 应力称为弯曲切应力 梁弯曲的应力特征 ■ 纯弯曲 纯弯曲——横截面上仅存在正应力 横截面上仅存在正应力 横截面上仅存在 ■ 横力弯曲 横力弯曲——横截面上不仅有正应力，而 横截面上不仅有正应力 横截面上不仅有正应力， 且还存在切应力 且还存在切应力
Sz yc = , zc = A A ⇒ S z = yc A, S y = zc A
坐标原点过形心C 坐标原点过形心
Sy
Sz = 0, S y = 0
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附录： 附录：截面图形的几何性质
惯性积
z y A dA z y
I yz = ∫ yzdA,
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变形几何关系
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横截面上的正应力
变形几何关系 纯弯曲试验及变形观察(表 纯弯曲试验及变形观察 表)
纵向线aa， 纵向线 ，oo ，bb变为弧线 变为弧线 a´ a´ ， o´ o´ ， b´ b´ – a´a´ < aa ， oo = o´o´， bb<b´b´ – 横向线 横向线mm, nn 仍然为直线，并 仍然为直线， 且垂直于a 且垂直于 ´a´ ， o´o´，b´b´ – 矩形截面上部变宽，下部变窄 矩形截面上部变宽，
A
若图形有对称轴， 若图形有对称轴，则坐标轴含对称轴时
I yz= 0
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∫ ydA = 0,
A
∫ yz dA = 0,
A
E
ρ
y 2 dA = M ∫
A
中性轴z的确定 中性轴 的确定
Sz = ∫ ydA = 0
A
横截面关于z轴的静矩为零， 横截面关于 轴的静矩为零， 轴的静矩为零 即z 轴为截面的形心轴
o z
(1)选参考坐标系 选参考坐标系oyz,确定形心 选参考坐标系 确定形心 y轴肯定是形心主轴 轴肯定是形心主轴 y是对称轴 是对称轴 从而确定形心坐标为 yc=Sz/A, zc= Sy/A=0 组合图形的静矩 Sz=ΣΑiyi , Sy=ΣAi zi ΣΑ Σ o’
zc
y =yc
(yi , zi)每个图形形心在参考坐标系下 坐标 每个图形形心在参考坐标系下oyz坐标 每个图形形心在参考坐标系下