大变形问题的有限元分析
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kl
1 uk ,l ul ,k um,k um,l 2
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。 大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
2018/11/11 3
大变形问题的应变描述(3/4)
应变增量： Green应变增量：
IJ 1 1 KJ uK , J uK , I KI uK , I uK , J uK , I uK , J 2 2 eIJ IJ
ij Aijkl kl
W ij ij
ij t Aijkl kl t
（大变形分析中） 线弹性材料 (elasticity) 超弹性材料 (hyperelasticity) 次弹性材料 (hypoelasticity)
Aijkl
为常数
1 W ij Aijkl kl 2
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力：
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 S 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， * S 用 表示。
1 xi x j Sij N Skl D X K X L
*
ij ij
1 D
* N 1
yi y j kl *Skl xk xl
D
N
x1 , x2 , x3 xi X 1 , X 2 , X 3 X J
xi
XI
yi
(a)
(b)
(c)
初始构型（0时刻）
现时构型（t 时刻）
当前构型（ t t 时刻）
连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。
2018/11/11
大变形问题的分析方法：增量法。
D
* N 1
y1 , y2 , y3 yi x1 , x2 , x3 x j
2018/11/11
7
大变形分析中的本构关系(1/5)
本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－应变共轭对描 述材料的本构关系。 弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
引言
几何线性问题： 位移与应变成线性 （微分）关系；
几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。 物理现象：将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大变形 问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移
（转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。 研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题， 大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理 论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考 虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。
线性部分
非线性部分
二者之间满足张 量变换关系！
xm xn * mn X I X J
现时（Updated）Green应变增量：
* ij 1 ui u j 1 uk uk 2 x x i j 2 xi x j
IJ
Aijkl 2G il jm ij lm 1 2
*eij *ij
2018/11/11
线性部分
非线性部分
4
大变形问题的应变描述(4/4)
应变增量：（续）－对于大变形小应变情形 Green应变增量退化成：
IJ 1 1 KJ uK , J uK , I KI uK , I uK , J uK , I uK , J 2 2 eIJ IJ
研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的 争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如 解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。
2018/11/11 1
大变形问题的应变描述(1/4)
问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。
2
大变形问题的应变描述(2/4)
描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。 Green应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学 表示为
KL
1 u K , L u L , K uM , K uM , L 2
现时（Updated）Green应变张量：以现时构型为参考构 型所定义的应变，数学表示为
2018/11/11 6
大变形问题的应力描述(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/2)
Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力（增量）间的关系：
*Sij ij * Sij
现时Kirchhoff应力增量
现时Kirchhoff应力 t t 时刻
Euler应力 t 时刻
特点：以现时构型为参考。
根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系
线性部分
非线性部分是高阶小量 对于小变形情形
IJ * ij 1 ui u j 2 X i X j ij
现时（Updated）Green应变增量退化成：
* ij 1 ui u j 1 uk uk 2 x x j i 2 xi x j
*eij *ij
2018/11/11
线性部分
非线性部分是高阶小量
5
大变形问题的应力描述(1/2)
应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。 与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力：
1 uk ,l ul ,k um,k um,l 2
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。 大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
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大变形问题的应变描述(3/4)
应变增量： Green应变增量：
IJ 1 1 KJ uK , J uK , I KI uK , I uK , J uK , I uK , J 2 2 eIJ IJ
ij Aijkl kl
W ij ij
ij t Aijkl kl t
（大变形分析中） 线弹性材料 (elasticity) 超弹性材料 (hyperelasticity) 次弹性材料 (hypoelasticity)
Aijkl
为常数
1 W ij Aijkl kl 2
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力：
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 S 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， * S 用 表示。
1 xi x j Sij N Skl D X K X L
*
ij ij
1 D
* N 1
yi y j kl *Skl xk xl
D
N
x1 , x2 , x3 xi X 1 , X 2 , X 3 X J
xi
XI
yi
(a)
(b)
(c)
初始构型（0时刻）
现时构型（t 时刻）
当前构型（ t t 时刻）
连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。
2018/11/11
大变形问题的分析方法：增量法。
D
* N 1
y1 , y2 , y3 yi x1 , x2 , x3 x j
2018/11/11
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大变形分析中的本构关系(1/5)
本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－应变共轭对描 述材料的本构关系。 弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
引言
几何线性问题： 位移与应变成线性 （微分）关系；
几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。 物理现象：将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大变形 问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移
（转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。 研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题， 大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理 论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考 虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。
线性部分
非线性部分
二者之间满足张 量变换关系！
xm xn * mn X I X J
现时（Updated）Green应变增量：
* ij 1 ui u j 1 uk uk 2 x x i j 2 xi x j
IJ
Aijkl 2G il jm ij lm 1 2
*eij *ij
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线性部分
非线性部分
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大变形问题的应变描述(4/4)
应变增量：（续）－对于大变形小应变情形 Green应变增量退化成：
IJ 1 1 KJ uK , J uK , I KI uK , I uK , J uK , I uK , J 2 2 eIJ IJ
研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的 争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如 解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。
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大变形问题的应变描述(1/4)
问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。
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大变形问题的应变描述(2/4)
描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。 Green应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学 表示为
KL
1 u K , L u L , K uM , K uM , L 2
现时（Updated）Green应变张量：以现时构型为参考构 型所定义的应变，数学表示为
2018/11/11 6
大变形问题的应力描述(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/2)
Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力（增量）间的关系：
*Sij ij * Sij
现时Kirchhoff应力增量
现时Kirchhoff应力 t t 时刻
Euler应力 t 时刻
特点：以现时构型为参考。
根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系
线性部分
非线性部分是高阶小量 对于小变形情形
IJ * ij 1 ui u j 2 X i X j ij
现时（Updated）Green应变增量退化成：
* ij 1 ui u j 1 uk uk 2 x x j i 2 xi x j
*eij *ij
2018/11/11
线性部分
非线性部分是高阶小量
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大变形问题的应力描述(1/2)
应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。 与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力：