2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学(word无答案)
2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学(文)试题(解析版)
2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|3xM y y ==，{|N x y ==，则MN =（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x ≤D ．{|0}x x >【答案】B【解析】根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合{}|3{|0}xM y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ===≤，所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．2．已知复数(1)()z i a i =+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,1)-【答案】D【解析】化简复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，根据复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意，复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得10a +>且10a -<，解得11a -<<. 即实数a 的取值范围是(1,1)-． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义，其中熟记复数的运算法则，结合复数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．“2m ≤-”是“函数2()43f x x mx =--在区间[2,)-+∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，函数2()43f x x mx =--的对称轴为2x m =，若2m ≤-，则24m ≤-，函数()f x 在[2,)-+∞上递增，充分性成立； 若()f x 在区间[2,)-+∞上递增，则22m ≤-，即1m ≤-，不能推出2m ≤-， 所以必要性不成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．20C ．43π+D ．83π+【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体上面是一个长方体，下面是一个圆柱，结合几何体体积公式，即可求解． 【详解】由三视图可知，该几何体上面是一个底面边长为221的长方体，下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，其体积为211383V ππ=+⨯⨯=+. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及几何体的体积的计算，其中解答中利用几何体的三视图求得原几何体的形状是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．5．已知等比数列{}n a 中，1232a a a =，4564a a a =，则数列{}n a 的前12项之积为（ ） A ．512 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】B【解析】根据等比数列的定义和性质，求得数列{}12n n n a a a ++是公比为2的等比数列，进而求得789101112,a a a a a a 的值，即可求解． 【详解】由题意，数列{}n a 是等比数列，可得数列{}12n n n a a a ++也是等比数列， 其中数列{}12n n n a a a ++的公比为456123422a a a a a a ==，所以78945628a a a a a a ⨯==，2101112456216a a a a a a ⨯==，因此数列{}n a 的前12项之积为12248161024T =⨯⨯⨯=. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的应用，其中解答中熟记等比数列的概念和性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．6．设22019a -=，2018log 2020b =，2019log 2020c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】现根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >，再结合对数函数的单调性，即可求解． 【详解】根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >， 又因为2001log 2018b =，20201log 2019c =，因为20200log 2018<<2020log 20191<，所以2020202011log 2018log 2019>，即a c b <<. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．7．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D【解析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．8．已知函数，1()tan ln (1)1axf x x a x+=+≠-为奇函数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0C ．2-D ．3-【答案】A【解析】由函数()f x 为奇函数，根据()f x -()f x =-，得到2221ln 01a xx-=-，即可求解． 【详解】由题意，函数1()tan ln(1)1axf x x a x +=+≠--为奇函数， 所以1()tan()ln 1ax f x x x --=-++1()tan ln 1axf x x x+=-=---， 整理得2221ln 01a x x -=-，所以1a =．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的概念与判定是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．9．已知向量,a b 满足||23a =，||4=b ，且()4a b b +⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】由()4a b b +⋅=，求得12a b ⋅=-，再结合向量的夹角公式，求得3cos ,a b 〈〉=-，即可求得向量a 与b 的夹角． 【详解】由题意，向量,a b 满足||23a =，||4=b ，因为()4a b b +⋅=，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=，解得12a b ⋅=-，所以cos ,2||||23a b a b a b ⋅〈〉===-⨯又因a 与b 的夹角[0,]π∈，所以a 与b 的夹角为56π. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．10．函数2ln x y x=图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()f x 为奇函数，排除A ，B ，再利用导数求得函数的单调性，排除D ，即可求解． 【详解】由题意，函数2ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且22ln()ln ()()x x f x f x x x--==-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，函数2ln xy x =，则22(1ln )x y x -'=， 当0e x <<时，0y '>，函数单调递增，当x e >时，0y '<，函数单调递减，排除D ． 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 11．已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设6x πμω=-，化简函数为1()sin 2f x μ=-，得到函数()f x 在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上前三个零点，列出不等式组，即可求解． 【详解】由题意，因为02x π<<，可得6626x ππωππω-<-<-，设6x πμω=-，则函数11()sin sin 622f x x πωμ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 则函数1()sin 2f x μ=-在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上，前三个零点分别是513,,666πππ， 所以526613266ωπππωπππ⎧->⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得1423ω<.故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．12．设函数lg(1),0,()lg(1),0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩则不等式|()|lg3f x <的解集为（ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|22}x x -<<C ．{|33}-<<x xD ．{|44}x x -<<【答案】B【解析】根据分段函数的解析式，分0x ≥和0x <讨论，结合对数的运算性质分别求得不等式的解集，即可求得不等式|()|lg3f x <的解集． 【详解】由题意，函数lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩,当0x ≥时，由|()|lg3f x <，可得lg3lg(1)lg3x -<+<，解得223x -<<， 又因为0x ≥，所以02x ≤<；当0x <时，由|()|lg3f x <，可得lg3lg(1)lg3x -<-<，解得223x -<<， 又因为0x <，所以20x -<<， 所以不等式的解集为{|22}x x -<<．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及对数的函数的运算性质，着重考查了分类讨论思想，以及运算能力．二、填空题13．设函数2,0,()1lg ,0,x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩则110f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【答案】98【解析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解． 【详解】依题意，函数2,0()1lg ,0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，可得得1110100f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以111lg 10021009810100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：98． 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．14．已知函数()ln 1f x x x =++的图象上有一点(,2)P m ，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为______. 【答案】2y x =【解析】利用导数求得()f x 为增函数，根据(1)2f =，求得1m =，进而求得(1)2f '=，得出即在点P 处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】由题意，点(,2)P m 在曲线()y f x =上，可得()ln 12f m m m =++=， 又由函数()ln 1,0f x x x x =++>，则1()10f x x'=+>， 所以函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)2f =，所以1m =，因为1()1f x x'=+，所以(1)2f '=，即在点P 处的切线的斜率为2， 所以曲线()y f x =在点(1,2)P 的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．设函数()f x =D ，在区间[0,8]上随机取一个实数x ，x D ∈的概率为______. 【答案】12【解析】根据函数的解析式满足的条件，求得D ，再结合题意，利用长度比的几何概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】由题意，函数()f x =2430x x +-≥，解得14x -≤≤，即函数()f x 的定义域为[1,4]D =-，又由在区间[0,8]上随机取一个实数x ，满足x D ∈，则[0,4]x ∈， 所以概率为401802P -==-. 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．16．若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______.【答案】16ln224--【解析】由函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，转化为228ln 14x x x m --=有唯一实数解，令2()28ln 14h x x x x =--，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，即方程228ln 14x x x m --=有唯一实数解， 令2()28ln 14h x x x x =--，则82(4)(21)()414,0x x h x x x x x-+'=--=>， 当4x >时，()0h x '>，当04x <<时，()0h x '<， 所以()h x 在(4,)+∞上单调递增，在(0,4)上单调递减，则函数()h x 在4x =处取得最小值，最小值为(4)16ln 224h =--， 要使得函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则16ln 224m =--. 故答案为：16ln224--． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．三、解答题17．设a 为实数，1212:2220a a a p ++--+，:(0,)q x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立.（1）若P 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若()p q -∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）由命题P 为真命题，得到关于实数a 不等式，结合指数的运算性质，即可求解； （2）由命题q 为真命题，结合基本不等式求最值，得到2a ≤，再由()p q ⌝∧为真命题，得出p 为假命题且q 为真命题，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）由命题P 为真命题，即()(12122222220a aa a a ++--+=-<，22a <<，可得112a <<，即实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若命题q 为真命题，由(0,)x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立， 即21x ax +在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1a x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，当(0,)x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以q 为真命题时，可得2a ≤，又因为()p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题且q 为真命题，所以1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤⎩或，解得12a 或12a . 所以实数a 的取值范围是1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18．已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()f x '是偶函数，且(3)0f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()2y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围.【答案】（1）31()433f x x x =-+；（2）725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由()f x '是偶函数，根据()()f x f x ''-=，求得所以0m =，再由(3)0f =，解得4n =-，即可得到函数的解析式；（2）由（1），求得2()4f x x =-'，进而求得函数的单调性与极值，再根据曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点，得出725233λ-<<，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x mx nx =+++，则2()2f x x mx n '=++， 因为()f x '是偶函数，则()()f x f x ''-=，可得2222x mx n x mx n -+=++，所以0m =，又因为(3)0f =，所以127093303n ⨯+⨯++=，解得4n =-，所以函数的解析式为31()433f x x x =-+. （2）由（1）可得函数31()433f x x x =-+，则2()4f x x =-'，令2()40f x x '=-=，解得2x =±.当2x <-或2x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)+∞上分别单调递增， 当22x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(2,2)-上单调递减， 所以()f x 的极大值为25(2)3f -=，()f x 的极小值为7(2)3f =- 又由曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点， 所以725233λ-<<，即72566λ-<<， 故实数λ的取值范围是725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用导数求解函数的零点问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )(0)P θθθπ<<，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形PRQ （原点O 与点R 分别在直线PQ 的两侧）.（1）当3πθ=时，求2||OR ；（2）求四边形OPRQ 面积的最大值. 【答案】（1）532+（2524【解析】（1）当3πθ=时，得到点P 的坐标为3)，在ORQ ∆中，由余弦定理，即可求得2||OR 的值．（2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为5244S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】（1）在直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )P θθ， 当3πθ=时，点P 的坐标为3)，所以2OQP π∠=，且||3PQ =所以34OQR π∠=，||||cos 42RQ PQ π==， 在ORQ ∆中，由余弦定理，可得2223||||||2||||cos4OR OQ RQ OQ RQ π=+-⋅35121222⎛⎫=+-⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以2||OR 52=（2）由题意可得，||2OP =，POQ θ∠=. 四边形OPRQ 的面积211||||sin ||24S OP OQ PQ θ=⋅+ ()221sin 12212cos 4θθ=++-⨯⨯55sin cos 444πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为(0,)θπ∈，当34πθ=时，四边形OPRQ 面积S 54. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．20．已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，等比数列{}n b 的各项均为正数，且22b =，3445b b a a +=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n T 为数列{}n n a b 的前n 项和，求满足2020n T <的最大正整数n . 【答案】（1）1n a n =-，12n nb -=；（2）8【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >，根据题设条件，列出方程组，求得1,,a d q ，即可得到{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）得到1(1)2n n n a b n -=-⨯，结合乘公比错位相减法，求得数列的前n 项和n T ，进而求得满足2020n T <的最大正整数n . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为5694218a a a =⎧⎨+=⎩，可得114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得10,1a d ==，所以1(1)1n a a n d n =+-=-. 设等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >，因为234452,b b b a a =+=，可得2342212b b q q +=+=，解得2q 或3q =-（舍去），所以2122n n n b b q--==. （2）由（1）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯，当1n =时，10T =.当2n ≥时，12211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，则23121222(2)2(1)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯.两式相减，得2312222(1)2n n n T n --=++++--⨯22(1)2(2)2212n n n n n -=--⨯=--⨯--. 所以(2)22nn T n =-⋅+，当1n =时也符合上式，所以(2)22nn T n =-⋅+，又因为8862215382020T =⨯+=<，9972235862020T =⨯+=>，所以满足2000n T <的最大正整数8n =. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力.21．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，12AF F △的面积为1，且椭圆C. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆上且位于第二象限，过点1F 作直线11l MF ⊥，过点2F 作直线22l MF ⊥，若直线12,l l 的交点N 恰好也在椭圆C 上，求点M 的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）33⎛- ⎝⎭【解析】（1）根据题设条件，列出,,a b c 的方程组，结合222a c b -=，求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设()00,M x y ，分01x =-和01x ≠-两种情况讨论，当01x ≠-时，联立12,l l 的方程组，取得20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解【详解】（1）由椭圆C 的上顶点为A ，12AF F ∆的面积为1，且椭圆C的离心率为2，可得2221212c a c b bc a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅==⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得1,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，椭圆的方程2212x y +=，可得1(1,0)F -，2(1,0)F ，设()00,M x y ，则00x <，00y >.当01x =-时，2l 与1l 相交于点2F 不符合题意； 当01x ≠-时，直线1MF 的斜率为001y x +，直线2MF 的斜率为001y x -，因为11l MF ⊥，22l MF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，所以直线1l 的方程为001(1)x y x y +=-+，直线2l 的方程为001(1)x y x y -=--，联立1l 和2l 的方程，解得0x x =-，2001x y y -=，所以20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为点,M N 在椭圆C 上，由椭圆的对称性，可知20001x y y -=±， 所以22001x y -=或22001x y +=，由方程组22002200112x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而方程组22002200112x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩无解（舍去）， 所以点M的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数23()ln ()2f x x ax x a =-+-∈R . （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，求a 的取值范围，并证明：()032f x <-. 【答案】（1）递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞；（2）()1,+∞，见解析【解析】（1）当1a =时，求出函数()f x 的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即可求得函数()f x 的单调区间；（2）求得()f x '，令2()21g x ax x =-++，根据函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，得出()g x 在(0,1)上有唯一的解，根据(1)0g <求得a 的范围，再由由()00g x =，得到20021ax x =+，结合函数()ln 22xx x ϕ=+-的单调性和最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数23()ln 2f x x ax x =-+-， 当1a =时，函数23()ln 2f x x x x =-+-. 则2121(21)(1)()21,0x x x x f x x x x x x-++-+-'=-+==>，令()0f x '>，即10x -<且0x >，可得01x <<，令()0f x '<，即10x ->，可得1x >.所以当1a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.（2）由函数23()ln 2f x x ax x =-+-，则2121()21,0ax x f x ax x x x-++'=-+=>，记2()21g x ax x =-++，因为()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，又(0)1g =，根据二次函数的图象分析可知，只需(1)0g <即可，即(1)2110g a =-++<，解得1a >， 所以实数a 的取值范围是(1,)+∞，又由()00g x =，可得20021ax x =+，所以()2000000000313ln ln ln 22222x x f x x ax x x x x +=-+-=-+-=+-， 又由函数()ln 22xx x ϕ=+-，可得11()02x x ϕ'=+>，可得函数()ln 22x x x ϕ=+-在(0,1)上单调递增，且3(1)2ϕ=-，所以()032f x <-.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学(带答案解析)
2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学1．已知集合(){}2||lg 4A x y x ==-，{|B x y ==，则A B =( )A ．{}|12x x <<B ．{}|12x x ≤<C ．{}|13x xD ．{}|23x x -<2．已知复数(1)()z i a i =+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,1)-3．“2m ≤-”是“函数2()43f x x mx =--在区间[2,)-+∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．中秋节，小张买了一盒月饼，里面一共有10个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅，水果馅和五仁馅各2个，小张从中任取2个月饼，这2个月饼的馅不同的概率为( ) A ．910B ．89C ．45D ．125．设22019a -=，2018log 2020b =，2019log 2020c =，则（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．已知函数1()tan ln (1)1axf x x a x+=+≠--为奇函数，则不等式()0f x >的解集为( ) A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．(0,1)D ．(0,1)(1,)⋃+∞ 7．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．28．已知平面向量,,a b c 满足||||2a b ==，a b ⊥，()()a c b c -⊥-，则(a b c ⋅+)的取值范围是( ) A ．[0,2]B．[0,C ．[0,4]D ．[0,8]9．函数2ln x y x=图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，42323S S S +=，设,m n 是正整数，若存在正整数(1)ij i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．812．设,a b 都是不为1的正数，函数11()2x x f x a b --=+-的图象关于1x =对称则()f x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．313．设函数2,0,()1lg ,0,x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩则110f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 14．已知函数()ln 1f x x x =++的图象上有一点(,2)P m ，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为______.15．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，底面ABC 是直角三角形，且斜边AB 的长为D ABC -的体积的最大值为_____.16．已知函数321()13f x x ax =-+的图象在区间(0,2)上与x 轴恰好有1个公共点，则实数a 的取值范围为_______.17．设a 为实数，1212:2220a a a p ++--+<，:(0,)q x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立.（1）若P 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若()p q -∧为真命题，求实数a 的取值范围. 18．已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()f x '是偶函数，且(3)0f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()2y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围. 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )(0)P θθθπ<<，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形PRQ （原点O 与点R 分别在直线PQ 的两侧）.（1）当3πθ=时，求2||OR ；（2）求四边形OPRQ 面积的最大值.20．已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S 满足21n n S b =-.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若*n N ∀∈，1122(2)2n n a b a b a b n t +++-+恒成立，求实数t 的取值范围.21．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，12AF F △的面积为1，且椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆上且位于第二象限，过点1F 作直线11l MF ⊥，过点2F 作直线22l MF ⊥，若直线12,l l 的交点N 恰好也在椭圆C 上，求点M 的坐标. 22．已知函数()2ln 1f x x ax =+-，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）已知(0,1)a ∈，[1,e]x ∈，设函数2()1()2f x ax g x x ++=的最大值为M ，求证：1M <.参考答案1．B 【解析】 【分析】根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y x B x y ==-=-===，所以{|12}AB x x =≤<.故选：B ． 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力． 2．D 【解析】 【分析】化简复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，根据复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意，复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得10a +>且10a -<，解得11a -<<. 即实数a 的取值范围是(1,1)-． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义，其中熟记复数的运算法则，结合复数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 3．A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，函数2()43f x x mx =--的对称轴为2x m =，若2m ≤-，则24m ≤-，函数()f x 在[2,)-+∞上递增，充分性成立； 若()f x 在区间[2,)-+∞上递增，则22m ≤-，即1m ≤-，不能推出2m ≤-， 所以必要性不成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 4．B 【解析】 【分析】根据题，求得基本事件的总数，再由馅相同的情况只有5种，得出不同的情况的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】由题意，从10个月饼中任取2个，共有21045C =种情况，其中馅相同的情况只有5种，可得不同的情况有40种， 所以所求概率为408459=. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算问题，其中解答中认真审题，熟练应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所有事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 5．A【解析】 【分析】现根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >，再结合对数函数的单调性，即可求解． 【详解】根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >， 又因为2001log 2018b =，20201log 2019c =，因为20200log 2018<<2020log 20191<，所以2020202011log 2018log 2019>，即a c b <<. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力． 6．C 【解析】 【分析】根据函数()f x 为奇函数，整理得2221ln 01a xx -=-，求得1a =，得到1()tan ln 1x f x x x +=+-，再结合函数的定义域和单调性，即可求解． 【详解】因为函数1()tan ln(1)1axf x x a x+=+≠--为奇函数， 可得()()f x f x -=-，即1tan ln1axx x --++1tan ln 1ax x x+=---， 整理得2221ln 01a x x-=-，可得1a =，所以1()tan ln 1x f x x x +=+-， 从而()f x 的定义域为(1,1)-，又因为()tan ln(1)ln(1)f x x x x =++--在(1,1)-上为增函数，且(0)0f =，所以不等式()0f x >的解集为(0,1). 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的概念及应用，求得函数的解析式，再结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 7．A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．8．D 【解析】 【分析】以点O 为原点，OA ，OB 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】设,,OA a OB b OC c ===，以点O 为原点，OA ，OB 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ， 依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动， 设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+，由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤[0,8]t ∈.故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力． 9．C 【解析】 【分析】由函数()f x 为奇函数，排除A ，B ，再利用导数求得函数的单调性，排除D ，即可求解． 【详解】由题意，函数2ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且22ln()ln ()()x x f x f x x x--==-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，函数2ln xy x =，则22(1ln )x y x -'=， 当0e x <<时，0y '>，函数单调递增，当x e >时，0y '<，函数单调递减，排除D ．故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 10．C 【解析】 【分析】 设6x πμω=-，化简函数为1()sin 2f x μ=-，得到函数()f x 在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上前三个零点，列出不等式组，即可求解． 【详解】由题意，因为02x π<<，可得6626x ππωππω-<-<-，设6x πμω=-，则函数11()sin sin 622f x x πωμ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 则函数1()sin 2f x μ=-在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上，前三个零点分别是513,,666πππ， 所以526613266ωπππωπππ⎧->⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得1423ω<. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 11．D 【解析】 【分析】由42323S S S +=，求得公比2q ，得到12n na ，再由,,i j ma mn na 成等差数列，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为42323S S S +=，可得()43322S S S S -=-，可得342a a =， 即432a a ，所以等比数列{}n a 的公比2q，所以12n na .又由,,i j ma mn na 成等差数列，得1122224i j i j mn ma na m n m n --=+=+≥+≥，令0)t t =>，则24t t ≥，所以4t ≥，4≥，得8mn ≥，当且仅当4,2m n ==时等号成立. 所以mn 的最小值为8. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列，以及基本不等式的综合应用，其中解答中熟记等差数列、等比数列的通项公式和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理运算能力． 12．B 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象关于1x =对称，得到()2x xg x a b =+-为偶函数，求得1ab =，又根据()0g x ≥，得到函数()g x 有且只有一个零点，从而得到函数()f x 只有一个零点． 【详解】依题意，函数11()2x x f x ab --=+-的图象关于1x =对称，可得()2xxg x a b =+-为偶函数，所以()()g x g x =-，即x x x x a b a b --+=+，所以11x x xxx x x x a b a b a b a b++=+=⋅，所以1x x a b ⋅=，即()1xa b ⋅=，因对任意x 恒成立，所以1ab =，所以1b a =，可得1()x x xb a a-==，所以()220x x g x a a -=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立， 所以()g x 有且只有一个零点，又因为函数()f x 的零点个数等价于函数()g x 的零点个数， 所以函数()f x 有且只有一个零点．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的对对称性的应用，以及函数的零点的个数的判定，其中解答中熟练应用函数的对称性，以及函数的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 13．98 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解． 【详解】依题意，函数2,0()1lg ,0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，可得得1110100f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以111lg 10021009810100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：98． 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力． 14．2y x = 【解析】 【分析】利用导数求得()f x 为增函数，根据(1)2f =，求得1m =，进而求得(1)2f '=，得出即在点P 处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】由题意，点(,2)P m 在曲线()y f x =上，可得()ln 12f m m m =++=， 又由函数()ln 1,0f x x x x =++>，则1()10f x x'=+>， 所以函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)2f =，所以1m =， 因为1()1f x x'=+，所以(1)2f '=，即在点P 处的切线的斜率为2，所以曲线()y f x =在点(1,2)P 的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 15．3 【解析】 【分析】设三棱锥D ABC -的外接球球心为O ，AB 的中点为M ，得出三棱锥D ABC -的体积最大时，ABC 是等腰直角三角形，顶点D 在MO 的延长线上，结合体积公式，即可求解． 【详解】设三棱锥D ABC -的外接球球心为O ，AB 的中点为M ，由ABC ∆是直角三角形，且斜边AB 的长为ABC ∆外接圆的半径为r =所以1OM ===，当三棱锥D ABC -的体积最大时，顶点D 在底面ABC 上的射影恰好为点M ，此时13DM R =+=，又22122AC BC AC BC +=≥⋅，∴6AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC =时，等号成立， 此时ABC ∆是等腰直角三角形，且1632ABC S ∆=⨯=， 所以三棱锥D ABC -的最大体积为13333D ABC V -=⨯⨯=. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了组合体的性质的应用，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中得到三棱锥D ABC -的体积最大时，几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力．16．11,212⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭【解析】【分析】求得2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a ≤时，根据函数的单调性和(0)10=>f ，不符合题意，得到0a >，进而得出()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增，结合题意，利用函数的性质，分类讨论，即可求解． 【详解】由题意，函数321()13f x x ax =-+，则2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a ≤时，()f x 在(0,2)上单调递增，因为(0)10=>f ，不符合题意，故0a >， 当(0,2)x a ∈时，()0f x '<；当(2,)x a ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增， 因为函数()f x 的图象在区间(0,2)上与x 轴恰好有1个公共点， ①当(2)0f <时，即1(2)84103f a =⨯-+<，解得1112a >；②当022a <<且(2)0f a =时，可得338(2)4103f a a a =-+=，解得a =，综上可得，实数a 的取值范围是a =或1112a >.故答案为：11,212⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中熟练利用导数求得函数的单调性，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力．17．（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）由命题P 为真命题，得到关于实数a 不等式，结合指数的运算性质，即可求解；（2）由命题q 为真命题，结合基本不等式求最值，得到2a ≤，再由()p q ⌝∧为真命题，得出p 为假命题且q 为真命题，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）由命题P为真命题，即()(12122222220a aa a a ++--+=-<，22a <<，可得112a <<，即实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若命题q 为真命题，由(0,)x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立， 即21x ax +在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1a x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立， 当(0,)x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以q 为真命题时，可得2a ≤，又因为()p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题且q 为真命题，所以1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤⎩或，解得12a 或12a . 所以实数a 的取值范围是1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 18．（1）31()433f x x x =-+；（2）725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由()f x '是偶函数，根据()()f x f x ''-=，求得所以0m =，再由(3)0f =，解得4n =-，即可得到函数的解析式；（2）由（1），求得2()4f x x =-'，进而求得函数的单调性与极值，再根据曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点，得出725233λ-<<，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x mx nx =+++，则2()2f x x mx n '=++， 因为()f x '是偶函数，则()()f x f x ''-=，可得2222x mx n x mx n -+=++，所以0m =，又因为(3)0f =，所以127093303n ⨯+⨯++=，解得4n =-，所以函数的解析式为31()433f x x x =-+. （2）由（1）可得函数31()433f x x x =-+，则2()4f x x =-'，令2()40f x x '=-=，解得2x =±.当2x <-或2x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)+∞上分别单调递增， 当22x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(2,2)-上单调递减， 所以()f x 的极大值为25(2)3f -=，()f x 的极小值为7(2)3f =- 又由曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点， 所以725233λ-<<，即72566λ-<<， 故实数λ的取值范围是725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用导数求解函数的零点问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力．19．（1）52；（254【解析】 【分析】（1）当3πθ=时，得到点P 的坐标为，在ORQ ∆中，由余弦定理，即可求得2||OR 的值．（2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为544S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】（1）在直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )P θθ，当3πθ=时，点P 的坐标为，所以2OQP π∠=，且||PQ =所以34OQR π∠=，||||cos 4RQ PQ π==， 在ORQ ∆中，由余弦定理，可得2223||||||2||||cos4OR OQ RQ OQ RQ π=+-⋅351212222⎛⎫=+-⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以2||OR 52=（2）由题意可得，||2OP =，POQ θ∠=. 四边形OPRQ 的面积211||||sin ||24S OP OQ PQ θ=⋅+ ()221sin 12212cos 4θθ=++-⨯⨯55sin cos 444πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为(0,)θπ∈，当34πθ=时，四边形OPRQ 面积S 54. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力． 20．（Ⅰ）1n a n =-，12n n b -=；（Ⅱ）[2,8].【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得1,a d 的值，即可得到得出数列{}n a 的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯，利用乘公比错位相减法，即可求解．【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为54a =，69218a a +=，可得114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩， 所以1(1)1n a a n d n =+-=-，对于数列{}n b ，当1n =时，11121b S b ==-，解得11b =. 当2n ≥时，1121n n S b --=-，21n n S b =-， 两式相减，得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=， 所以{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n nb -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯.令1122n n n T a b a b a b =+++，当1n =时，10T =.当2n ≥时，12211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，则23121222(2)2(1)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯.两式相减，得2312222(1)2n n n T n --=++++--⨯22(1)2(2)2212n n n n n -=--⨯=--⨯--， 得(2)22n n T n =-⋅+，而1n =时也符合该式，所以(2)22nn T n =-⋅+，故题中不等式可化为(2)2(2)nn n t -⨯≥-.（*）， 当1n =时，不等式（*）可化为2t -≥-，解得2t ≥； 当2n =时，不等式（*）可化为00≥，此时t ∈R ； 当3n ≥时，不等式（*）可化为2n t ≤，因为数列{}2n是递增数列，所以8t ≤，综上，实数t 的取值范围是[2,8]. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.21．（1）2212x y +=；（2）33⎛- ⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据题设条件，列出,,a b c 的方程组，结合222a c b -=，求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设()00,M x y ，分01x =-和01x ≠-两种情况讨论，当01x ≠-时，联立12,l l 的方程组，取得20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解【详解】（1）由椭圆C 的上顶点为A ，12AF F ∆的面积为1，且椭圆C的离心率为2，可得22221212c a c b bc a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅==⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得1,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，椭圆的方程2212x y +=，可得1(1,0)F -，2(1,0)F ，设()00,M x y ，则00x <，00y >.当01x =-时，2l 与1l 相交于点2F 不符合题意；当01x ≠-时，直线1MF 的斜率为001y x +，直线2MF 的斜率为001y x -， 因为11l MF ⊥，22l MF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --， 所以直线1l 的方程为001(1)x y x y +=-+，直线2l 的方程为001(1)x y x y -=--，联立1l 和2l 的方程，解得0x x =-，2001x y y -=，所以20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为点,M N 在椭圆C 上，由椭圆的对称性，可知20001x y y -=±， 所以22001x y -=或22001x y +=，由方程组22002200112x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0033x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而方程组22002200112x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩无解（舍去）， 所以点M的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数的导数2()f x a x'=+，分0a ≥和0a <两种情况讨论，即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()f x 在[1,]e 上单调递增，结合零点的存在定理，得到存在唯一0(1,)x e ∈，使得()00f x =，进而得出()g x 的单调性和最值0021ln ,(1,)x M x e x -=∈，再结合函数答案第17页，总17页 21ln (),(1,)x x x e x ϕ-=∈的单调性，即可求解． 【详解】 （Ⅰ）由题意，函数()2ln 1,0f x x ax x =+->，则2(),0f x a x x '=+>， ①当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，当20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当2x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，+时，()0f x '<， 所以函数()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得22()1ln ()2f x ax x ax g x x x +++==，则332ln 1()()x ax f x g x x x +-'=-=-， 因为当01a <<时，由（Ⅰ）可知()f x 在[1,]e 上单调递增，又因为(1)10,()10f a f e ae =-<=+>，所以存在唯一0(1,)x e ∈，使得()0002ln 10f x x ax =+-=.当01x x ≤≤时，()0f x <，()0g x '>，()g x 在[]01,x 上单调递增；当0x x e ≤≤时，()0f x >，()0g x '<，()g x 在[]0,x e 上单调递减；因此()g x 在0x x =处取得最大值，且最大值为()000002200ln 1ln ,(1,)x ax x M g x x e x x +-===∈， 设21ln ()((1,))x x x e x ϕ-=∈，则3332ln 32ln 31()0x e x x x x ϕ--'=<=-<， 所以()x ϕ在(1,)e 上递减，所以21ln1()(1)11x ϕϕ-<==，即1M <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
【数学】“皖豫连盟体”2020届高三上学期第一次大联考 文科数学
“皖豫联盟体”2020届高中毕业班第一次考试文科数学考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题本题共12小题,每小题5分，共60分，毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.1．已知集合{3},{1}x M y y N x y x ====- ，则M N =IA.{01}x x <<B. {01}x x <≤C. {1}x x ≤D. {0}x x >2. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是A.(1,)+∞B. (,1)-∞-C. (,1)-∞D. (1,1)-3. “2m ≤-”是“函数2()43f x x mx =--在区间[2,)-+∞上单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 16B.20C.43π+D.83π+5. 已知等比数列{}n a 中，1234562,4a a a a a a ==，则数列{}n a 的前12项之积为A.512B. 1024C.2046D.20486. 设2201820192019,log 2020,log 2020a b c -===，则A.a c b << B . a b c << C. a b c << D. c b a <<7. 若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为A.4B.0C. -2D. -48.已知函数，1()tan ln (1)1ax f x x a x +=+≠-为奇函数,则实数a 的值为 A. 1 B.0 C. -2 D. -3 9.已知向量,a b 满足23,4,a b ==且()4a b b +⋅=，则a 与b 的夹角为A.6πB. 3πC.23πD. 56π 10.函数2ln x y x=的图象大致为11． 已知函数1()sin()(0)62f x x πωω=-->，若函数()f x 在区间(0,)2π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为A.2[,2]3B. 2(,2]3 C 。
天一大联考“皖豫联盟体”2020届高中毕业班第一次考试
天一大联考“皖豫联盟体”2020届高中毕业班第一次考试天一大联考“皖豫联盟体”2020届高中毕业班第一次考试一、现代文阅读(36分）(一)论述类文本阅读(本题共3 小题9分）阅读下面的文字，完1-3题。
……我国正处于飞速变革的新时代，网络文艺创作不可能脱离时代文化语境去表达和传达数字空间的虚幻想象，而必须立足日新月异的时代潮流，描摹时代画卷。
阿耐的网络小说《欢乐颂》、齐橙的网络小说《大国重工》皆因关注时代现实生活及人物命运起伏而引起人们的情感共鸣，威为全烈讨论的话题。
描摹时代现实画卷成为网络文艺书写新时代伟大变革伟大实践的紧迫任务，但注意的是，现实题材数量的简单增加还不能真正改变现有的文艺创作格局，网络文艺要真玉痕一番作为，需要在数量积累的基础上呈现质的提升，需要触及现实生活的呕硬和痛感，传达出你常对社会历史和现实人生的深刻思考，而不是白日梦般的欲望叙述。
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那么，如何绘写呢？以网络文艺IP为例，自2015年IP成为网络文艺产业热词，像网络作家天蚕土豆的《斗破苍穹》连载至今，其全网点击量有近100亿，从网文IP到动画、影视、同名手游、有声书的全方位开发和全产业链运作引爆市场，成为阅文集团的超级IP。
如果大IP只是资本力量不遗余力追逐效仿的对象，注重流量和粉丝经济，那么这就背离了人们对多层次、高品质阅读的期待。
当前的网络文艺要练就爆款IP，首先就是要满足人民群众向往和追求美好精神生活的需求。
唯有如此，网络文艺才能展现新时代人民生动丰富的精神风貌，谱写无愧于时代的精神气象。
网络文艺要坚持与时代同步伐，就要以坚定的文化自信讲述中国故事，展现中国气派，构建出与当代中国的国家实力相匹配并具有持续发展活力和引领力的文艺生态，引领时代文化风向。
近年来，中国网络游戏、网剧、网络小说及其改编的影视剧等，通过翻译平台、数字出版和实体书出版等形式，纷纷走出国门，成为传播中国文化的重要力量。
2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学(文)试题(解析版)
2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|3xM y y ==，{|N x y ==，则M N =I （ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x ≤D ．{|0}x x >【答案】B【解析】根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合{}|3{|0}xM y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ===≤，所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．2．已知复数(1)()z i a i =+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,1)-【答案】D【解析】化简复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，根据复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意，复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得10a +>且10a -<，解得11a -<<.即实数a 的取值范围是(1,1)-．本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义，其中熟记复数的运算法则，结合复数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．“2m ≤-”是“函数2()43f x x mx =--在区间[2,)-+∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，函数2()43f x x mx =--的对称轴为2x m =，若2m ≤-，则24m ≤-，函数()f x 在[2,)-+∞上递增，充分性成立； 若()f x 在区间[2,)-+∞上递增，则22m ≤-，即1m ≤-，不能推出2m ≤-， 所以必要性不成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．20C ．43π+D ．83π+【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体上面是一个长方体，下面是一个圆柱，结合几何体由三视图可知，该几何体上面是一个底面边长为1的长方体，下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，其体积为211383V ππ=+⨯⨯=+. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及几何体的体积的计算，其中解答中利用几何体的三视图求得原几何体的形状是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．5．已知等比数列{}n a 中，1232a a a =，4564a a a =，则数列{}n a 的前12项之积为（ ）A ．512B ．1024C ．2046D ．2048【答案】B【解析】根据等比数列的定义和性质，求得数列{}12n n n a a a ++是公比为2的等比数列，进而求得789101112,a a a a a a 的值，即可求解． 【详解】由题意，数列{}n a 是等比数列，可得数列{}12n n n a a a ++也是等比数列，其中数列{}12n n n a a a ++的公比为456123422a a a a a a ==， 所以78945628a a a a a a ⨯==，2101112456216a a a a a a ⨯==，因此数列{}n a 的前12项之积为12248161024T =⨯⨯⨯=. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的应用，其中解答中熟记等比数列的概念和性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．6．设22019a -=，2018log 2020b =，2019log 2020c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】现根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >，再结合对数函数的单调性，即可求解．根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >， 又因为2001log 2018b=，20201log 2019c =，因为20200log 2018<<2020log 20191<，所以2020202011log 2018log 2019>，即a c b <<. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．7．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D【解析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力． 8．已知函数，1()tan ln (1)1axf x x a x+=+≠-为奇函数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0C ．2-D ．3-【答案】A【解析】由函数()f x 为奇函数，根据()f x -()f x =-，得到2221ln 01a xx-=-，即可求解． 【详解】由题意，函数1()tan ln(1)1axf x x a x +=+≠--为奇函数， 所以1()tan()ln 1ax f x x x --=-++1()tan ln 1axf x x x+=-=---， 整理得2221ln 01a x x -=-，所以1a =．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的概念与判定是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．9．已知向量,a b r r满足||a =r ||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r，再结合向量的夹角公式，求得cos ,a b 〈〉=r r ，即可求得向量a r 与b r 的夹角． 【详解】由题意，向量,a b r r满足||a =r||4=r b ，因为()4a b b +⋅=r r r ，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r，解得12a b ⋅=-r r ，所以cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉===r rr r r rr r r r故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．10．函数2ln x y x=图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()f x 为奇函数，排除A ，B ，再利用导数求得函数的单调性，排除D ，即可求解． 【详解】由题意，函数2ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，且22ln()ln ()()x x f x f x x x--==-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，函数2ln xy x =，则22(1ln )x y x -'=， 当0e x <<时，0y '>，函数单调递增，当x e >时，0y '<，函数单调递减，排除D ． 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 11．已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设6x πμω=-，化简函数为1()sin 2f x μ=-，得到函数()f x 在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上前三个零点，列出不等式组，即可求解．【详解】由题意，因为02x π<<，可得6626x ππωππω-<-<-，设6x πμω=-，则函数11()sin sin 622f x x πωμ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 则函数1()sin 2f x μ=-在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上，前三个零点分别是513,,666πππ，所以526613266ωπππωπππ⎧->⎪⎪⎨⎪-⎪⎩„，解得1423ω<„. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．12．设函数lg(1),0,()lg(1),0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩则不等式|()|lg3f x <的解集为（ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|22}x x -<<C ．{|33}-<<x xD ．{|44}x x -<<【答案】B【解析】根据分段函数的解析式，分0x ≥和0x <讨论，结合对数的运算性质分别求得不等式的解集，即可求得不等式|()|lg3f x <的解集． 【详解】由题意，函数lg(1),0()x x f x +≥⎧=,当0x ≥时，由|()|lg3f x <，可得lg3lg(1)lg3x -<+<，解得223x -<<， 又因为0x ≥，所以02x ≤<；当0x <时，由|()|lg3f x <，可得lg3lg(1)lg3x -<-<，解得223x -<<， 又因为0x <，所以20x -<<， 所以不等式的解集为{|22}x x -<<． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及对数的函数的运算性质，着重考查了分类讨论思想，以及运算能力．二、填空题13．设函数2,0,()1lg ,0,x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩则110f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【答案】98【解析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解． 【详解】依题意，函数2,0()1lg ,0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，可得得1110100f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以111lg 10021009810100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：98． 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．14．已知函数()ln 1f x x x =++的图象上有一点(,2)P m ，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为______. 【答案】2y x =【解析】利用导数求得()f x 为增函数，根据(1)2f =，求得1m =，进而求得(1)2f '=，【详解】由题意，点(,2)P m 在曲线()y f x =上，可得()ln 12f m m m =++=， 又由函数()ln 1,0f x x x x =++>，则1()10f x x'=+>， 所以函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)2f =，所以1m =， 因为1()1f x x'=+，所以(1)2f '=，即在点P 处的切线的斜率为2， 所以曲线()y f x =在点(1,2)P 的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．设函数()f x =D ，在区间[0,8]上随机取一个实数x ，x D ∈的概率为______.【答案】12【解析】根据函数的解析式满足的条件，求得D ，再结合题意，利用长度比的几何概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】由题意，函数()f x =2430x x +-≥，解得14x -≤≤，即函数()f x 的定义域为[1,4]D =-，又由在区间[0,8]上随机取一个实数x ，满足x D ∈，则[0,4]x ∈， 所以概率为401802P -==-. 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P =求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．16．若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______. 【答案】16ln224--【解析】由函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，转化为228ln 14x x x m --=有唯一实数解，令2()28ln 14h x x x x =--，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点， 即方程228ln 14x x x m --=有唯一实数解， 令2()28ln 14h x x x x =--，则82(4)(21)()414,0x x h x x x x x-+'=--=>， 当4x >时，()0h x '>，当04x <<时，()0h x '<， 所以()h x 在(4,)+∞上单调递增，在(0,4)上单调递减，则函数()h x 在4x =处取得最小值，最小值为(4)16ln 224h =--， 要使得函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则16ln 224m =--. 故答案为：16ln224--． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．三、解答题17．设a 为实数，1212:2220a a a p ++--+<，:(0,)q x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立.（1）若P 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若()p q -∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）由命题P 为真命题，得到关于实数a 不等式，结合指数的运算性质，即可求解；得出p 为假命题且q 为真命题，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）由命题P为真命题，即()(12122222220a aa a a ++--+=-<，22a <<，可得112a <<，即实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若命题q 为真命题，由(0,)x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立， 即21x ax +…在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1a x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立， 当(0,)x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以q 为真命题时，可得2a ≤，又因为()p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题且q 为真命题，所以1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤⎩或，解得12a „或12a 剟. 所以实数a 的取值范围是1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 18．已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()f x '是偶函数，且(3)0f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()2y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围.【答案】（1）31()433f x x x =-+；（2）725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由()f x '是偶函数，根据()()f x f x ''-=，求得所以0m =，再由(3)0f =，解得4n =-，即可得到函数的解析式；（2）由（1），求得2()4f x x =-'，进而求得函数的单调性与极值，再根据曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点，得出725233λ-<<，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x mx nx =+++，则2()2f x x mx n '=++， 因为()f x '是偶函数，则()()f x f x ''-=，可得2222x mx n x mx n -+=++，所以0m =，又因为(3)0f =，所以127093303n ⨯+⨯++=，解得4n =-，所以函数的解析式为31()433f x x x =-+. （2）由（1）可得函数31()433f x x x =-+，则2()4f x x =-'，令2()40f x x '=-=，解得2x =±.当2x <-或2x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)+∞上分别单调递增， 当22x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(2,2)-上单调递减， 所以()f x 的极大值为25(2)3f -=，()f x 的极小值为7(2)3f =- 又由曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点， 所以725233λ-<<，即72566λ-<<， 故实数λ的取值范围是725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用导数求解函数的零点问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )(0)P θθθπ<<，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形PRQ （原点O 与点R 分别在直线PQ 的两侧）.（1）当3πθ=时，求2||OR ；（2）求四边形OPRQ 面积的最大值.【答案】（1）52+（254【解析】（1）当3πθ=时，得到点P 的坐标为，在ORQ ∆中，由余弦定理，即可求得2||OR 的值．（2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为544S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】（1）在直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )P θθ，当3πθ=时，点P 的坐标为，所以2OQP π∠=，且||PQ =所以34OQR π∠=，||||cos 4RQ PQ π==， 在ORQ ∆中，由余弦定理，可得2223||||||2||||cos4OR OQ RQ OQ RQ π=+-⋅35121222⎛⎫=+-⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以2||OR 52=+ （2）由题意可得，||2OP =，POQ θ∠=. 四边形OPRQ 的面积211||||sin ||24S OP OQ PQ θ=⋅+ ()221sin 12212cos 4θθ=++-⨯⨯55sin cos 444πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为(0,)θπ∈，当34πθ=时，四边形OPRQ 面积S 54. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．20．已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，等比数列{}n b 的各项均为正数，且22b =，3445b b a a +=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n T 为数列{}n n a b 的前n 项和，求满足2020n T <的最大正整数n . 【答案】（1）1n a n =-，12n nb -=；（2）8【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >，根据题设条件，列出方程组，求得1,,a d q ，即可得到{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）得到1(1)2n n n a b n -=-⨯，结合乘公比错位相减法，求得数列的前n 项和n T ，进而求得满足2020n T <的最大正整数n .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为5694218a a a =⎧⎨+=⎩，可得114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得10,1a d ==，所以1(1)1n a a n d n =+-=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >，因为234452,b b b a a =+=，可得2342212b b q q +=+=，解得2q =或3q =-（舍去）， 所以2122n n n b b q--==. （2）由（1）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯，当1n =时，10T =.当2n ≥时，12211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯L ， 则23121222(2)2(1)2n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯L . 两式相减，得2312222(1)2n nn T n --=++++--⨯L22(1)2(2)2212n n n n n -=--⨯=--⨯--. 所以(2)22nn T n =-⋅+，当1n =时也符合上式，所以(2)22nn T n =-⋅+，又因为8862215382020T =⨯+=<，9972235862020T =⨯+=>，所以满足2000n T <的最大正整数8n =. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力.21．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，12AF F △的面积为1，且椭圆C. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆上且位于第二象限，过点1F 作直线11l MF ⊥，过点2F 作直线22l MF ⊥，若直线12,l l 的交点N 恰好也在椭圆C 上，求点M 的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝⎭ 【解析】（1）根据题设条件，列出,,a b c 的方程组，结合222a c b -=，求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设()00,M x y ，分01x =-和01x ≠-两种情况讨论，当01x ≠-时，联立12,l l 的方程组，取得20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解【详解】（1）由椭圆C 的上顶点为A ，12AF F ∆的面积为1，且椭圆C，可得22221212c a c b bc a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅==⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得1,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，椭圆的方程2212x y +=，可得1(1,0)F -，2(1,0)F ，设()00,M x y ，则00x <，00y >.当01x =-时，2l 与1l 相交于点2F 不符合题意；当01x ≠-时，直线1MF 的斜率为001y x +，直线2MF 的斜率为001y x -，因为11l MF ⊥，22l MF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，所以直线1l 的方程为001(1)x y x y +=-+，直线2l 的方程为001(1)x y x y -=--，联立1l 和2l 的方程，解得0x x =-，2001x y y -=，所以20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为点,M N 在椭圆C 上，由椭圆的对称性，可知20001x y y -=±， 所以22001x y -=或22001x y +=，由方程组22002200112x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0033x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而方程组22002200112x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩无解（舍去）， 所以点M的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数23()ln ()2f x x ax x a =-+-∈R . （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，求a 的取值范围，并证明：()032f x <-.【答案】（1）递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞；（2）()1,+∞，见解析【解析】（1）当1a =时，求出函数()f x 的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即可求得函数()f x 的单调区间；（2）求得()f x '，令2()21g x ax x =-++，根据函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，得出()g x 在(0,1)上有唯一的解，根据(1)0g <求得a 的范围，再由由()00g x =，得到2021ax x =+，结合函数()ln 22xx x ϕ=+-的单调性和最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数23()ln 2f x x ax x =-+-， 当1a =时，函数23()ln 2f x x x x =-+-. 则2121(21)(1)()21,0x x x x f x x x x x x-++-+-'=-+==>，令()0f x '>，即10x -<且0x >，可得01x <<， 令()0f x '<，即10x ->，可得1x >.所以当1a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.（2）由函数23()ln 2f x x ax x =-+-，则2121()21,0ax x f x ax x x x-++'=-+=>，记2()21g x ax x =-++，因为()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，又(0)1g =，根据二次函数的图象分析可知，只需(1)0g <即可，即(1)2110g a =-++<，解得1a >，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞，又由()00g x =，可得20021ax x =+，所以()2000000000313ln ln ln 22222x x f x x ax x x x x +=-+-=-+-=+-， 又由函数()ln 22xx x ϕ=+-，可得11()02x x ϕ'=+>，可得函数()ln 22x x x ϕ=+-在(0,1)上单调递增，且3(1)2ϕ=-，所以()032f x <-.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学试题(解析版)
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．
三、解答题
17．设 为实数， ， ，不等式 恒成立.
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 为真命题，求实数 的取值范围.
（2）若命题 为真命题，由 ，不等式 恒成立，
即 在 上恒成立，即 对 恒成立，
当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 为真命题时，可得 ，
又因为 为真命题，则 为假命题且 为真命题，
所以 ，解得 或 .
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
【详解】
由题意，函数 的对称轴为 ，
若 ，则 ，函数 在 上递增，充分性成立；
若 在区间 上递增，则 ，即 ，不能推出 ，
所以必要性不成立，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
8．已知函数， 为奇函数，则实数 的值为（）
A．1B．0C． D．
【答案】A
2020届天一大联考皖豫联盟体高三高中毕业班第一次考试数学(理)试题(解析版)
2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}2||lg 4A x y x ==-，{|B x y ==，则A B =I ( )A ．{}|12x x <<B ．{}|12x x ≤<C ．{}|13x x 剟D ．{}|23x x -<…【答案】B【解析】根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y x B x y ==-=-===，所以{|12}A B x x =≤<I . 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．2．已知复数(1)()z i a i =+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,1)-【答案】D【解析】化简复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，根据复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意，复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得10a +>且10a -<，解得11a -<<.即实数a 的取值范围是(1,1)-．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义，其中熟记复数的运算法则，结合复数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．“2m ≤-”是“函数2()43f x x mx =--在区间[2,)-+∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，函数2()43f x x mx =--的对称轴为2x m =，若2m ≤-，则24m ≤-，函数()f x 在[2,)-+∞上递增，充分性成立； 若()f x 在区间[2,)-+∞上递增，则22m ≤-，即1m ≤-，不能推出2m ≤-， 所以必要性不成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．中秋节，小张买了一盒月饼，里面一共有10个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅，水果馅和五仁馅各2个，小张从中任取2个月饼，这2个月饼的馅不同的概率为( ) A ．910B ．89C ．45D ．12【答案】B【解析】根据题，求得基本事件的总数，再由馅相同的情况只有5种，得出不同的情况的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】由题意，从10个月饼中任取2个，共有21045C =种情况，其中馅相同的情况只有5种，可得不同的情况有40种，所以所求概率为408459=. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算问题，其中解答中认真审题，熟练应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所有事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．5．设22019a -=，2018log 2020b =，2019log 2020c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】现根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >，再结合对数函数的单调性，即可求解． 【详解】根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >， 又因为2001log 2018b =，20201log 2019c =，因为20200log 2018<<2020log 20191<，所以2020202011log 2018log 2019>，即a c b <<. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力． 6．已知函数1()tan ln (1)1axf x x a x+=+≠--为奇函数，则不等式()0f x >的解集为( ) A ．(1,0)- B ．(1,1)- C ．(0,1) D ．(0,1)(1,)⋃+∞ 【答案】C【解析】根据函数()f x 为奇函数，整理得2221ln 01a xx-=-，求得1a =，得到1()tan ln1xf x x x+=+-，再结合函数的定义域和单调性，即可求解．【详解】因为函数1()tan ln(1)1axf x x a x+=+≠--为奇函数， 可得()()f x f x -=-，即1tan ln1axx x --++1tan ln 1ax x x+=---， 整理得2221ln 01a x x-=-，可得1a =，所以1()tan ln 1x f x x x +=+-， 从而()f x 的定义域为(1,1)-，又因为()tan ln(1)ln(1)f x x x x =++--在(1,1)-上为增函数，且(0)0f =， 所以不等式()0f x >的解集为(0,1). 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的概念及应用，求得函数的解析式，再结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A【解析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．8．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,2]C ．[0,4]D ．[0,8]【答案】D【解析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r，由圆心到直线22x y t +=的距离2222222t d +-=≤+[0,8]t ∈.故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．9．函数2ln x y x=图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()f x 为奇函数，排除A ，B ，再利用导数求得函数的单调性，排除D ，即可求解． 【详解】由题意，函数2ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，且22ln()ln ()()x x f x f x x x--==-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，函数2ln xy x =，则22(1ln )x y x-'=， 当0e x <<时，0y '>，函数单调递增，当x e >时，0y '<，函数单调递减，排除D ． 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 10．已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设6x πμω=-，化简函数为1()sin 2f x μ=-，得到函数()f x 在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上前三个零点，列出不等式组，即可求解．【详解】由题意，因为02x π<<，可得6626x ππωππω-<-<-，设6x πμω=-，则函数11()sin sin 622f x x πωμ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 则函数1()sin 2f x μ=-在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上，前三个零点分别是513,,666πππ， 所以526613266ωπππωπππ⎧->⎪⎪⎨⎪-⎪⎩„，解得1423ω<„. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．11．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，42323S S S +=，设,m n 是正整数，若存在正整数(1)ij i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】由42323S S S +=，求得公比2q =，得到12n n a -=，再由,,i j ma mn na 成等差数列，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为42323S S S +=，可得()43322S S S S -=-，可得342a a =， 即432a a =，所以等比数列{}n a 的公比2q =，所以12n n a -=. 又由,,i j ma mn na成等差数列，得1122224i j i j mn ma na m n m n --=+=+≥+≥令0)t t =>，则24t t ≥，所以4t ≥，4≥，得8mn ≥，当且仅当4,2m n ==时等号成立. 所以mn 的最小值为8. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列，以及基本不等式的综合应用，其中解答中熟记等差数列、等比数列的通项公式和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理运算能力．12．设,a b 都是不为1的正数，函数11()2x x f x a b --=+-的图象关于1x =对称则()f x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】由函数()f x 的图象关于1x =对称，得到()2x xg x a b =+-为偶函数，求得1ab =，又根据()0g x ≥，得到函数()g x 有且只有一个零点，从而得到函数()f x 只有一个零点． 【详解】依题意，函数11()2x x f x ab --=+-的图象关于1x =对称，可得()2xxg x a b =+-为偶函数，所以()()g x g x =-，即x x x x a b a b --+=+，所以11x x xxx x x x a b a b a b a b++=+=⋅，所以1x x a b ⋅=，即()1xa b ⋅=，因对任意x 恒成立，所以1ab =，所以1b a =，可得1()x x xb a a-==，所以()220x x g x a a -=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立， 所以()g x 有且只有一个零点，又因为函数()f x 的零点个数等价于函数()g x 的零点个数， 所以函数()f x 有且只有一个零点． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的对对称性的应用，以及函数的零点的个数的判定，其中解答中熟练应用函数的对称性，以及函数的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．二、填空题13．设函数2,0,()1lg ,0,x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩则110f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【答案】98【解析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解． 【详解】依题意，函数2,0()1lg ,0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，可得得1110100f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以111lg 10021009810100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：98． 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．14．已知函数()ln 1f x x x =++的图象上有一点(,2)P m ，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为______. 【答案】2y x =【解析】利用导数求得()f x 为增函数，根据(1)2f =，求得1m =，进而求得(1)2f '=，得出即在点P 处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】由题意，点(,2)P m 在曲线()y f x =上，可得()ln 12f m m m =++=， 又由函数()ln 1,0f x x x x =++>，则1()10f x x'=+>， 所以函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)2f =，所以1m =， 因为1()1f x x'=+，所以(1)2f '=，即在点P 处的切线的斜率为2， 所以曲线()y f x =在点(1,2)P 的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =．【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，底面ABC 是直角三角形，且斜边AB 的长为D ABC -的体积的最大值为_____. 【答案】3【解析】设三棱锥D ABC -的外接球球心为O ，AB 的中点为M ，得出三棱锥D ABC -的体积最大时，ABC V 是等腰直角三角形，顶点D 在MO 的延长线上，结合体积公式，即可求解． 【详解】设三棱锥D ABC -的外接球球心为O ，AB 的中点为M ，由ABC ∆是直角三角形，且斜边AB 的长为所以ABC ∆外接圆的半径为r =所以1OM ===，当三棱锥D ABC -的体积最大时，顶点D 在底面ABC 上的射影恰好为点M ，此时13DM R =+=，又22122AC BC AC BC +=≥⋅，∴6AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC =时，等号成立， 此时ABC ∆是等腰直角三角形，且1632ABC S ∆=⨯=， 所以三棱锥D ABC -的最大体积为13333D ABC V -=⨯⨯=. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了组合体的性质的应用，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中得到三棱锥D ABC -的体积最大时，几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力．16．已知函数321()13f x x ax =-+的图象在区间(0,2)上与x 轴恰好有1个公共点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】11,212⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭【解析】求得2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a ≤时，根据函数的单调性和(0)10=>f ，不符合题意，得到0a >，进而得出()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增，结合题意，利用函数的性质，分类讨论，即可求解． 【详解】由题意，函数321()13f x x ax =-+，则2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a ≤时，()f x 在(0,2)上单调递增，因为(0)10=>f ，不符合题意，故0a >， 当(0,2)x a ∈时，()0f x '<；当(2,)x a ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增， 因为函数()f x 的图象在区间(0,2)上与x 轴恰好有1个公共点， ①当(2)0f <时，即1(2)84103f a =⨯-+<，解得1112a >；②当022a <<且(2)0f a =时，可得338(2)4103f a a a =-+=，解得2a =，综上可得，实数a 的取值范围是2a =或1112a >.故答案为：11,12⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中熟练利用导数求得函数的单调性，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力．三、解答题17．设a 为实数，1212:2220a a a p ++--+<，:(0,)q x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立.（1）若P 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若()p q -∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】（1）由命题P 为真命题，得到关于实数a 不等式，结合指数的运算性质，即可求解；（2）由命题q 为真命题，结合基本不等式求最值，得到2a ≤，再由()p q ⌝∧为真命题，得出p 为假命题且q 为真命题，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）由命题P为真命题，即()(12122222220a aa a a ++--+=-<，22a <<，可得112a <<，即实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若命题q 为真命题，由(0,)x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立， 即21x ax +…在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1a x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立， 当(0,)x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以q 为真命题时，可得2a ≤，又因为()p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题且q 为真命题，所以1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤⎩或，解得12a „或12a 剟. 所以实数a 的取值范围是1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 18．已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()f x '是偶函数，且(3)0f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()2y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围.【答案】（1）31()433f x x x =-+；（2）725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由()f x '是偶函数，根据()()f x f x ''-=，求得所以0m =，再由(3)0f =，解得4n =-，即可得到函数的解析式；（2）由（1），求得2()4f x x =-'，进而求得函数的单调性与极值，再根据曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点，得出725233λ-<<，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x mx nx =+++，则2()2f x x mx n '=++， 因为()f x '是偶函数，则()()f x f x ''-=，可得2222x mx n x mx n -+=++，所以0m =，又因为(3)0f =，所以127093303n ⨯+⨯++=，解得4n =-，所以函数的解析式为31()433f x x x =-+. （2）由（1）可得函数31()433f x x x =-+，则2()4f x x =-'，令2()40f x x '=-=，解得2x =±.当2x <-或2x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)+∞上分别单调递增， 当22x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(2,2)-上单调递减， 所以()f x 的极大值为25(2)3f -=，()f x 的极小值为7(2)3f =- 又由曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点， 所以725233λ-<<，即72566λ-<<， 故实数λ的取值范围是725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用导数求解函数的零点问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )(0)P θθθπ<<，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形PRQ （原点O 与点R 分别在直线PQ 的两侧）.（1）当3πθ=时，求2||OR ；（2）求四边形OPRQ 面积的最大值. 【答案】（1）532+（2524【解析】（1）当3πθ=时，得到点P 的坐标为3)，在ORQ ∆中，由余弦定理，即可求得2||OR 的值．（2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为5244S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】（1）在直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )P θθ， 当3πθ=时，点P 的坐标为3)，所以2OQP π∠=，且||3PQ =所以34OQR π∠=，6||||cos 4RQ PQ π==， 在ORQ ∆中，由余弦定理，可得2223||||||2||||cos4OR OQ RQ OQ RQ π=+-⋅ 36251213222⎛⎫=+-⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以2||OR 532=+ （2）由题意可得，||2OP =，POQ θ∠=. 四边形OPRQ 的面积211||||sin ||24S OP OQ PQ θ=⋅+ ()221sin 12212cos 4θθ=++-⨯⨯55sin cos 2444πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为(0,)θπ∈，当34πθ=时，四边形OPRQ 面积S 524. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．20．已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S 满足21n n S b =-.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若*n N ∀∈，1122(2)2n n a b a b a b n t +++-+L …恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1n a n =-，12n nb -=；（Ⅱ）[2,8].【解析】（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得1,a d 的值，即可得到得出数列{}n a 的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯，利用乘公比错位相减法，即可求解．【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为54a =，69218a a +=，可得114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)1n a a n d n =+-=-，对于数列{}n b ，当1n =时，11121b S b ==-，解得11b =. 当2n ≥时，1121n n S b --=-，21n n S b =-， 两式相减，得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=， 所以{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n nb -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯.令1122n n n T a b a b a b =+++L ， 当1n =时，10T =.当2n ≥时，12211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯L ， 则23121222(2)2(1)2n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯L .两式相减，得2312222(1)2n nn T n --=++++--⨯L22(1)2(2)2212n n n n n -=--⨯=--⨯--， 得(2)22n n T n =-⋅+，而1n =时也符合该式，所以(2)22nn T n =-⋅+，故题中不等式可化为(2)2(2)nn n t -⨯≥-.（）， 当1n =时，不等式（）可化为2t -≥-，解得2t ≥； 当2n =时，不等式（）可化为00≥，此时t ∈R ； 当3n ≥时，不等式（）可化为2n t ≤，因为数列{}2n是递增数列，所以8t ≤，综上，实数t 的取值范围是[2,8]. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.21．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，12AF F △的面积为1，且椭圆C的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆上且位于第二象限，过点1F 作直线11l MF ⊥，过点2F 作直线22l MF ⊥，若直线12,l l 的交点N 恰好也在椭圆C 上，求点M 的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝⎭【解析】（1）根据题设条件，列出,,a b c 的方程组，结合222a c b -=，求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设()00,M x y ，分01x =-和01x ≠-两种情况讨论，当01x ≠-时，联立12,l l 的方程组，取得20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解【详解】（1）由椭圆C 的上顶点为A ，12AF F ∆的面积为1，且椭圆C的离心率为2，可得2221212c a c b bc a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅==⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得1,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，椭圆的方程2212x y +=，可得1(1,0)F -，2(1,0)F ，设()00,M x y ，则00x <，00y >.当01x =-时，2l 与1l 相交于点2F 不符合题意；当01x ≠-时，直线1MF 的斜率为001y x +，直线2MF 的斜率为001y x -，因为11l MF ⊥，22l MF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --， 所以直线1l 的方程为001(1)x y x y +=-+，直线2l 的方程为001(1)x y x y -=--，联立1l 和2l 的方程，解得0x x =-，2001x y y -=，所以20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为点,M N 在椭圆C 上，由椭圆的对称性，可知20001x y y -=±， 所以22001x y -=或22001x y +=，由方程组22002200112x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而方程组22002200112x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩无解（舍去）， 所以点M的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数()2ln 1f x x ax =+-，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）已知(0,1)a ∈，[1,e]x ∈，设函数2()1()2f x ax g x x ++=的最大值为M ，求证：1M <.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）求得函数的导数2()f x a x'=+，分0a ≥和0a <两种情况讨论，即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()f x 在[1,]e 上单调递增，结合零点的存在定理，得到存在唯一0(1,)x e ∈，使得()00f x =，进而得出()g x 的单调性和最值0021ln ,(1,)x M x e x -=∈，再结合函数21ln (),(1,)xx x e xϕ-=∈的单调性，即可求解． 【详解】（Ⅰ）由题意，函数()2ln 1,0f x x ax x =+->，则2(),0f x a x x'=+>， ①当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a <时，当20,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，当2x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，+时，()0f x '<， 所以函数()f x 在20,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得22()1ln ()2f x ax x axg x x x +++==，则332ln 1()()x ax f x g x x x +-'=-=-，因为当01a <<时，由（Ⅰ）可知()f x 在[1,]e 上单调递增， 又因为(1)10,()10f a f e ae =-<=+>，所以存在唯一0(1,)x e ∈，使得()0002ln 10f x x ax =+-=. 当01x x ≤≤时，()0f x <，()0g x '>，()g x 在[]01,x 上单调递增；当0x x e ≤≤时，()0f x >，()0g x '<，()g x 在[]0,x e 上单调递减； 因此()g x 在0x x =处取得最大值， 且最大值为()000002200ln 1ln ,(1,)x ax x M g x x e x x +-===∈， 设21ln ()((1,))x x x e x ϕ-=∈，则3332ln 32ln 31()0x e x x x xϕ--'=<=-<， 所以()x ϕ在(1,)e 上递减，所以21ln1()(1)11x ϕϕ-<==，即1M <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
2020届安徽省皖江名校联盟高三第一次联考理科数学附答案
2020届安徽省皖江名校联盟高三第一次联考理科数学附答案第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则AB =A.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为A.(5，0)B.(0，5) ，0) D.(04.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为A.y ＝7ex －5eB.y ＝7ex ＋9eC.y ＝3ex ＋5eD.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞ D.(,3)(1,)-∞-+∞10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为1 2 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率A.存在最大值4 B.存在最大值3 C.存在最小值4 D.存在最小值3第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
天一大联考“皖豫联盟体”2021届高三第一次考试 数学(理) Word版含答案
天一大联考“皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第一次考试理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z ＝(2＋i 3)(4－i)，则在复平面内，复数z 所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A ＝{x|x 2－2x －3<0}，B ＝{x|0<x<m}，若A ∪B ＝{x|－1<x<5}，则m ＝A.－1B.3C.5D.103.已知向量m ＝(2，λ)，n ＝(－1，3)，若(2m ＋n)//(m －n)，则实数λ的值为A.6B.3C.－3D.－64.函数f(x)＝ln2x －1x 的图象在点(12，f(12))处的切线方程为 A.y ＝6x －5 B.y ＝8x －6 C.y ＝4x －4 D.y ＝10x －7 5.已知△ABC 中cos(B ＋C)＝34，AB ＝4，AC ＝3，则BC ＝ A.43 B.6 C.13 D.26.函数f(x)＝||3sinx 2x ＋xcosx 在[－2π，2π]的图象大致为7.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝Wlog 2(1＋S N)，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比。
按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比S N 从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为(参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120) A.7596 B.9119 C.11584 D.144698.tan195°＋2cos285°＝2 B.1 2 D.129.已知定义在R 上的函数(x)满足f(x ＋32)＝f(12－x)，且当x<1时，f'(x)<0(f'(x)为f(x)的导函数)，若a ＝f(－13log 2)，b ＝f(3log2)，c ＝f(21.5)，则 A.a>c>b B.c>b>a C.a>b>c D.c>a>b10.在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，AC ＝31BM CB 02+=，DC DN λ=，若AM AN ⋅＝29，则λ＝A.18B.17C.16D.1511.已知函数f(x)＝2x 2x x 0lnx x 0⎧+≤⎪⎨>⎪⎩，，，则函数g(x)＝2f(f(x)－1)－1的零点个数为A.7B.8C.10D.1112.函数f(x)＝2sinx －3cos 2x －cosx －2sin2x ＋3在[0，2π]上的最小值为 A.－32 B.－32 C.－54D.－1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天一大联考“皖豫联盟体”2020届高中毕业班第一次考试
天一大联考“皖豫联盟体”2020届高中毕业班第一次考试天一大联考“皖豫联盟体”2020届高中毕业班第一次考试一、现代文阅读(36分）(一)论述类文本阅读(本题共3 小题9分）阅读下面的文字，完1-3题。
……我国正处于飞速变革的新时代，网络文艺创作不可能脱离时代文化语境去表达和传达数字空间的虚幻想象，而必须立足日新月异的时代潮流，描摹时代画卷。
阿耐的网络小说《欢乐颂》、齐橙的网络小说《大国重工》皆因关注时代现实生活及人物命运起伏而引起人们的情感共鸣，威为全烈讨论的话题。
描摹时代现实画卷成为网络文艺书写新时代伟大变革伟大实践的紧迫任务，但注意的是，现实题材数量的简单增加还不能真正改变现有的文艺创作格局，网络文艺要真玉痕一番作为，需要在数量积累的基础上呈现质的提升，需要触及现实生活的呕硬和痛感，传达出你常对社会历史和现实人生的深刻思考，而不是白日梦般的欲望叙述。
盛唐诗歌有磅礴浑厚之气，晚明戏曲小说追求思想解放之风，“五四”新文学吹响启蒙与救国的号角，当代文学与文艺讴歌改革开放伟大成就，网络文艺自然要绘写时代精神图谱。
那么，如何绘写呢？以网络文艺IP为例，自2015年IP成为网络文艺产业热词，像网络作家天蚕土豆的《斗破苍穹》连载至今，其全网点击量有近100亿，从网文IP到动画、影视、同名手游、有声书的全方位开发和全产业链运作引爆市场，成为阅文集团的超级IP。
如果大IP只是资本力量不遗余力追逐效仿的对象，注重流量和粉丝经济，那么这就背离了人们对多层次、高品质阅读的期待。
当前的网络文艺要练就爆款IP，首先就是要满足人民群众向往和追求美好精神生活的需求。
唯有如此，网络文艺才能展现新时代人民生动丰富的精神风貌，谱写无愧于时代的精神气象。
网络文艺要坚持与时代同步伐，就要以坚定的文化自信讲述中国故事，展现中国气派，构建出与当代中国的国家实力相匹配并具有持续发展活力和引领力的文艺生态，引领时代文化风向。
近年来，中国网络游戏、网剧、网络小说及其改编的影视剧等，通过翻译平台、数字出版和实体书出版等形式，纷纷走出国门，成为传播中国文化的重要力量。
2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学试题(解析版)
故选： D ．2020 届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学试题、单选题答案】求解． 详解】故选： B ． 点睛】求解集合 M,N 是解答的关键，着重考查了计算能力．2．已知复数 z (1i)(a i) 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 a 的取值范围是( )A ． (1,)B ．( , 1) C ． ( ,1)D ． ( 1,1)【答案】D【解析】 化简复数 z(1 i)(a i) a 1 (a 1)i ，根据复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意，复数 z (1 i)(a i) a 1 (a 1)i ， 因为复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得1 a 1.即实数 a 的取值范围是 ( 1,1) ．1．已知集合 M y| y 3x ，N {x|y 1 x} ，则 M I N ( )A ．{ x|0 x 1}B ． {x|0x 1}C ．{x|x 1}D ．{x|x 0}解析】 根据函数的定义域和值域， 求得集合M,N ，再结合集合的交集的运算，即可由题意， 集合 M y|y 3x {y|y 0},N {x|y 1 x} {x|x 1} ，所以 MN {x|0 x 1} .本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法， 正确a 1 0且a 1 0，解得本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义， 其中熟记复数的运算法则， 结合复 数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．“m 2 ”是“函数 f(x) x 24mx 3在区间 [ 2, )上单调递增 ”的( )C ．充要条件【答案】 A【解析】 根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定 方法，即可求解． 【详解】由题意，函数 f(x) x24mx 3 的对称轴为 x 2m ，若 m 2，则 2m 4，函数 f(x) 在[ 2, )上递增，充分性成立；若 f(x)在区间 [ 2, )上递增，则 2m 2，即 m 1，不能推出 m 2， 所以必要性不成立， 故选： A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件， 必要条件的判定， 其中解答中熟练应用 二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理 与运算能力．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )答案】 D解析】 根据三视图可知，该几何体上面是一个长方体，下面是一个圆柱，结合几何体 体积公式，即可求解．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件C ． 4 3D ． 8 3A ．B ． 20一个底面半径为 1，母线长为 3 的圆柱， 其体积为 V 2 2 2 2 1 12 3 8 3 .故选： D ． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用， 以及几何体的体积的计算， 其中解答中利 用几何体的三视图求得原几何体的形状是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．5．已知等比数列 a n 中，a 1a 2a 3 2，a 4a 5a 6 4 ，则数列 a n 的前 12项之积为（ ） A ． 512B ． 1024C ．2046D ．2048【答案】 B【解析】 根据等比数列的定义和性质，求得数列 a n a n 1a n 2 是公比为 2 的等比数列，进而求得 a 7a 8a 9,a 10a 11a 12 的值，即可求解． 【详解】 由题意，数列an 是等比数列，可得数列a n a n 1a n 2 也是等比数列，a 4a 5a 64其中数列 a n a n 1a n 2 的公比为2，a 1a 2a32所以 a 7a 8a 9 a 4a 5a 6 2 8 ，a10 a11a12a 4a 5a62216 ，因此数列 a n 的前 12 项之积为T 12 2 4 8 16 1024 .故选： B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质， 以及等比数列的应用， 其中解答中熟记等比数列的概 念和性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．6．设 a 2019 2，b log 2018 2020 ， c log 2019 2020 ，则（ ）A ．a c bB ． a b cC ．b c aD ．c b a【答案】 A【解析】 现根据指数函数和对数函数的的性质，可得 0 a 1， b 1， c 1，再结合 对数函数的单调性，即可求解． 详解】由三视图可知，该几何体上面是一个底面边长为2 2 ，侧棱长为 1 的长方体，下面是根据指数函数和对数函数的的性质，可得 0 a 1， b 1， c 1，即 a c b. 故选： A ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用， 其中解答中熟练应用指数函数与 对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．x 3y 6 0,7．若 x, y 满足约束条件xy6 0, 则 z x y的最小值为()y1,A ． 4BC ．2 D ．【答案】 D【解析】 画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可 求解． 【详解】x 3y 6 0由题意，画出约束条件 x y 6 0 所表示的可行域，如图所示， y1目标函数 z x y ，可化为直线 y x z 当直线 y x z 经过 A 时， z 取得最小值，x 3y 6 0又由 ，解得 A( 3,1) ，y1故选： D ．点睛】又因为 b1 log 200 20181 log 2020 2019因为 0 log 2020 2018log 2020 2019 1，所以1log 2020 2018 1log 2020 2019所以目标函数的最小值为 z min3 1 4.3 2本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题． 其中解答中正确画出不等式组表 示的可行域，利用 “一画、二移、三求 ”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力． 8．已知函数， f (x) tanx ln 1 1 ax (a x 1）为奇函数，则实数 a 的值为（）A ．1B ．0 答案】 解析】 由函数 f （x ） 为奇函数，根据f( x)1 a 2x2 f(x)，得到 ln 11a x2 0，即可求x2 解． 详解】 由题意， 函数 f(x) 所以 f ( x) tan ( 1 axtanx ln 1x1 ax x) ln 1x(a f(x) 1）为奇函数， tanx ln 1 ax ， 1x 1 整理得 ln 1 22ax 2x 0 ，所以 a 1 ． 点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的应用， 其中解答中熟记函数的奇偶性的概念与判定是解 答的关键，着重考查了推理与计算能力． 9．已知向量 a,b 满足 |a| 2 3，|b| 4 ，且 （a b ） b 4 ，则 a 与 b 的夹角为 （ ） A ．6 B ． 3 2 C ． 3 5 D ． 6 r由r r得求412，再结合向量的夹角公式，求得 cos a,b 3，2 即可求得向量 a 与 b 的夹角． 详解】 由题意，向量 a,b 满足 |a| 2 3，|b|4 ， 因为 (a b) rr r r 2b 4 ，可得 a r b r b r2ab164，解得 a b 12，ab 所以 cos a,b|a||b|12 2 3 4又因 a 与b 的夹角 [0,] ，所以 a 与 b 的夹角为故选：D ．点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．ln x210 ．函数y 图象大致为(x答案】C即可求解．详解】点睛】111．已知函数f (x) sin x ( 0) ，若函数f(x) 在区间0, 上有且只有两个零点，则的取值范围为(以及解析】由函数 f x 为奇函数，排除A，B，再利用导数求得函数的单调性，排除D，由题意，函数ln x的定义域为( x,0) U(0, )，且f(x) ln( x)2xln x2f(x) ，所以函数f x 为奇函数，排除A，B；当x 0 时，函数y2ln x，则x2(1 ln x)x2当0 x e 时，y 0 ，函数单调递增，当x e时，y 0 ，函数单调递减，排除D．故选：C.本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6 2 2lg(x 1),x 0由题意，函数 f(x)lg(1 x),x 01，得到函数 f (x) 在2, 上前三个零点，列出不等式组，即可求解． 65所以26 6，解得 2,1413 ,3266故选： C ．【点睛】象与性质， 结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键， 能力．lg(x 1),x 0,12．设函数 f(x)则不等式 | f (x)| lg3 的解集为( )lg(1 x),x 0,A ．{x| 1 x 1}B ． {x| 2 x 2}C ．{x| 3 x 3}D ．{x| 4 x 4}【答案】 B【解析】 根据分段函数的解析式，分 x 0和 x 0 讨论，结合对数的运算性质分别求 得不等式的解集，即可求得不等式 |f(x)| lg3 的解集． 【详解】A ．23,2B ．23,2C ．2,134D ．2,134答案】 C解析】 设x ，化简函数为 f (x) sin6【详解】由题意，因为 0 x ，可得设 x ，则函数 f (x)6x 2 6，6611sinxsin622则函数 f (x) sin 1 在2上，前三个零点分别是,5 ,13 6 , 6 , 6本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用， 其中解答中熟练应用三角函数的图着重考查了推理与运算当 x 0时，由 | f(x)| lg3 ，可得lg3 lg(x 1) lg3 ，解得 23x2又因为 x 0 ，所以 0 x 2 ；当x0时，由 | f(x)|lg3 ，可得lg3 lg(1 x)lg3 ，解得2 2 x3又因为 x 0 ，所以 2 x 0 ，所以不等式的解集为 {x| 2 x 2} ． 故选： B ． 【点睛】论思想，以及运算能力．故答案为： 98．点睛】 本题主要考查了分段函数的求值问题， 其中解答中准确把握分段函数的分段条件， 准确 计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．14．已知函数 f (x) ln x x 1的图象上有一点 P(m,2) ，则曲线 y f (x)在点 P 处 的切线方程为 __________________ . 【答案】 y 2x【解析】利用导数求得 f x 为增函数，根据 f(1) 2，求得 m 1，进而求得 f (1) 2， 得出即在点P 处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解．详解】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及对数的函数的运算性质， 着重考查了分类讨二、填空题13．设函数 f (x)2x ,x 0,1 则 f lg x ,x 0,x1 10答案】 98解析】 根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解． 详解】2x ,x 0依题意，函数 f(x) 1 ，可得得 lg x ,x 0x1 110 100所以 f f 1101 100lg 100 1002 100 98.由题意，点P ( m,2) 在曲线y f (x)上，可得f (m) lnm m 1 2，1又由函数f (x) ln x x 1,x 0 ，则f (x) 1 0，x所以函数f x 在(0, )上为增函数，且f(1) 2，所以m 1，1因为f (x) 1，所以f (1) 2，即在点P 处的切线的斜率为2，x所以曲线y f(x)在点P(1,2) 的切线方程为y 2 2(x 1)，即y 2x. 故答案为：y 2x ．【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．设函数f(x) 4 3x x2的定义域为D，在区间[0,8] 上随机取一个实数x，x D 的概率为_______________________ .1【答案】12【解析】根据函数的解析式满足的条件，求得D ，再结合题意，利用长度比的几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，函数f(x) 4 3x x2，则满足4 3x x2 0，解得1 x 4，即函数f x 的定义域为D [ 1,4] ，又由在区间[0,8] 上随机取一个实数x，满足x D，则x [0, 4]，所以概率为P401802.故答案为：1．．2【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量N (A) ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据P= N( A)求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．N16．若函数f (x) 2x2 8ln x 14x m 有唯一零点，则实数m的值___________________ .答案】16ln2 24【解析】由函数f (x) 2x2 8ln x 14x m 有唯一零点，转化为2x2 8ln x 14x m有唯一实数解，令h(x) 2x2 8ln x 14x ，利用导数求得函数h x 的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，函数f(x)22x2 8ln x 14x m 有唯一零点，即方程2x28ln x14x m 有唯一实数解，82(x4)(2x 1)2令h(x) 2x2 8ln x 14x ，则h (x) 4x14,x 0，x x当x 4 时，h (x)0 ，当0 x 4时，h (x)0，所以h(x) 在(4,) 上单调递增，在(0,4) 上单调递减，16ln 224，则函数h(x) 在x 4 处取得最小值，最小值为h(4)m16ln 2 24要使得函数f (x)22x2 8ln x 14x m 有唯一零点，则故答案为：16ln2 24 ．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．三、解答题117．设 a 为实数，p:22a2a 12 2 2 2 0，q : x (0, ) ，不等式x2ax 1 0 恒成立.( 1)若P 为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若( p) q为真命题，求实数a 的取值范围.11【答案】( 1) ,1 ；(2) , [1,2]22【解析】(1)由命题P 为真命题，得到关于实数a不等式，结合指数的运算性质，即可求解；( 2)由命题q为真命题，结合基本不等式求最值，得到a 2，再由( p) q为真命题，得出p 为假命题且q为真命题，列出不等式组，即可求解．详解】1a (1)由命题 P 为真命题，即 22a2a 12a22 22a22a2 0，11 解得 2 2a 2，可得 a 1，即实数 a 的取值范围是 12,1 .( 2)若命题 q 为真命题，由 x (0, ) ，不等式 x 2ax 1 0 恒成立，1即 x 2 1⋯ax 在 x (0, ) 上恒成立，即a x 对 x (0, ) 恒成立，x1 1 1当x (0, )时， x2 x 2 ，当且仅当 x ，即 x 1 时等号成立， x x x所以 q 为真命题时，可得 a 2 ，1所以实数 a 的取值范围是, [1,2] . 2【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围， 其中解答中熟记复合命题的 真假判定， 以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键， 着重考查 了推理与运算能力．1 32 18．已知函数 f(x) x 3mx 2nx 3 ，其导函数 f (x) 是偶函数，且 f(3) 0.3( 1)求函数 f (x) 的解析式；( 2)若函数 y f (x) 2 的图象与 x 轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围 .( 2)由(1)，求得 f (x) x24 ，进而求得函数的单调性与极值， 再根据曲线 y f (x) 7 25 与直线 y 2 有三个不同的交点，得出 2 ，即可求解．33【详解】又因为 ( p)q 为真命题，则 p 为假命题且 q 为真命题，所以1，解得 a, 1 或1剟a 2.213【答案】( 1) f(x)x 3 4x 3；(2) 3【解析】(1)由 f (x) 是偶函数，根据 f ( x)解得 n 4 ，即可得到函数的解析式；7,25 6, 6f x ，求得所以 m 0 ，再由 f(3) 0 ，a22因为 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f x ，可得 x 22mx n x 22mx n ， 所以 m 0 ，1又因为 f (3) 0 ，所以 127 0 9 3n 3 0，解得 n 4 ，313所以函数的解析式为 f (x) 1 x 34x 3.31 3 2(2)由( 1)可得函数 f (x) x 3 4x 3，则 f (x) x 2 4 ，3令 f (x) x 24 0，解得 x 2.熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能 力．19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 Q(1,0)及动点) ，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形 PRQ (原点 O 与点R 分别在直线 PQ 的两侧)1)当3时，求 |OR|2；1)由题意，函数 f (x)132mx nx 3 ，则 f (x)2x 2mx n ，当x) 上分别单调递增，当 2 x2 时， f (x)0 ，所以 f (x) 在 ( 2,2) 上单调递减， 所以 f (x) 的极大值为 f (2) 25 ，f (x)的极小值为 f (2) 733又由曲线y f (x) 与直线y 2 有三个不同的交点， 725725所以2 ，即3 366，故实数的取值范围是7,2566【点睛】以及利用导数求解函数的零点问题， 其中解答中P(2cos ,2sin )(02或 x 2 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 ( 2) ，(2,本题主要考查了函数性质的综合应用，所以 |OR |2 53有关三角形的题目时， 要抓住题设条件和利用某个定理的信息， 合理应用正弦定理和余 弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．a n 满足 a 5 4， 2a 6 a 9 18 ，等比数列b n 的各项均为正数，1）求 a n 和 b n 的通项公式；2）求四边形 OPRQ 面积的最大值【答案】（ 1） 3 ；（2） 2 5【解析】（ 1）当 时，得到点 P 的坐标为 （1, 3） ，在 ORQ 中，由余弦定理，即3可求得 |OR|2 的值．2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为 S 2sin5，4结合三角函数的性质，即可求解． 详解】1） 在直角坐标系 xOy 中，已知定点 Q （1,0）及动点 P （2cos ,2sin ） ，时，3 时，点 P 的坐标为 （1, 3） ，所以 OQP ，且 |PQ |23.所以OQR34 ，|RQ| | PQ |cos 46， 2，在 ORQ 中， 由余弦定理，可得|OR|2|OQ |2|RQ|22|OQ || RQ| 3cos 462 2252 3 ，2）由题意可得， |OP | 2，POQ四边形 OPRQ 的面积S 1 |OP | |OQ |sin 2|PQ |2sin12 212 224 2 1 2cos sincos52sin 45，4因为(0, ) ，当3 34 时，四边形OPRQ 面积 S 最大，最大值为 2点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用， 其中在解20．已知等差数列 且 b 2 2 ， b 3 b 4a 4a5 .详解】1）设等差数列 a n 的公差为 d ，所以 a n a 1 (n 1)d n 1.设等比数列 b n 的公比为 q ，且 q 0 ，所以 b n b 2qn 22n 1（ 2）由（ 1）可得 a n b n(n 1)2n 1 ，当 n 1 时， T 1 0.当 n 2 时， T n 1 21222L(n 2) 2n 2 (n 1) 2则 2T n 1 222 23L (n 2)2n1(n n1) 2n.两式相减，得 T n2 2223L2n1(n n1) 2n所以 T n (n 2) 2n 2 ， 当 n 1时也符合上式，所以 T n (n 2) 2n2 ，又因为 T 8 6 282 1538 2020 ，T 9 7 292 3586 2020所以满足 T n 2000 的最大正整数 n 8.2）设T n 为数列 a n b n 的前 n 项和，求满足 T n 2020 的最大正整数 n .答案】（ 1） a n n 1，b n 2n 1；（2）8解析】（ 1）设等差数列a n 的公差为 d ，等比数列b n 的公比为 q ，且 q 0 ，根据题设条件，列出方程组，求得a 1,d,q ，即可得到 a n 和b n 的通项公式；2）由（ 1）得到 a n b nn1（n 1） 2n 1 ，结合乘公比错位相减法，求得数列的前 n 项和Tn ，进而求得满足 Tn2020 的最大正整数 n .因为a 5 4 2a 6 a 918可得a 1 4d 4，解得a 1 3a 1 18d 18 10,d 1，因为 b 2 2,b 3 b 4 a 4a 5 ，可得 b 3 b 422q 2q 2 12，解得 q= 2或q3（舍去），2 2n12(n 1) 2n(n 2) 2n 2 .点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及 “错位相减法 ”求和的应用， 此类题目是数列问题中的常见题型， 解答中确定通项公式是基础， 准确计算求和是关键， 易错点是在 “错位 ”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能 力及基本计算能力 .2△ AF1F2的面积为 1，且椭圆 C 的离心率为 .21）求椭圆 C 的标准方程；2）点 M 在椭圆上且位于第二象限，过点F 1作直线 l 1 MF 1，过点 F 2 作直线l 2 MF 2 ，若直线 l 1,l 2的交点 N 恰好也在椭圆 C 上，求点 M 的坐标 .【答案】（1） x2 y 21；（2） 233, 33详解】 （ 1）由椭圆 C 的上顶点为 A ， AF 1F 2的面积为 1，且椭圆 C 的离心率为 ，2c2 a21可得 2c b bc 1，解得 a 2,b 1,c 1 ，2 222abc2 所以椭圆C 的标准方程为 x y 2 1.22（ 2）由（ 1）知，椭圆的方程 x y 21，可得 F 1（ 1,0） ， F 2 （1,0） ，2设 M x 0 ,y 0 ，则 x 0 0 ， y 0 0.2 x21 ．已知椭圆 C : 2ab 21(a 0,b 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2 ，上顶点为 A ，解析】（ 1）根据题设条件，列出a,b,c 的方程组，结合 a 2 b 2c 2，求得 a,b,c 的值，即可得到椭圆的标准方程；2）设 M x 0,y 0 ，分 x 0 1和 x 0 1两种情况讨论，当 x 0 1时，联立 l 1,l 2 的方程组，取得 Nx 0, x 02y 1y，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解当 x 0 1 时， l 2 与 l 1 相交于点 F 2 不符合题意； 当 x 0 1时，直线 MF 1 的斜率为 x 0 y0 01，直线 MF 2的斜率为 y0，x 0 1 ， 因为 l 1 MF 1， l 2 MF 2，所以直线 2，l 1的斜率为 x 0 1 y 0 ，直线 l 2 的斜率为 x 0 1 y 0 所以直线 l 1 的方程为 x0y 1(x y 0 1)，直线 l 2 的方程为 x0y 1(x y 01)， 联立 l 1和 l 2的方程，解得 x 0，yx 021，所以 Nyx 0,，y因为点 M,N 在椭圆 C 上， 由椭圆的对称性，可知 x 02 1yy 0，所以 x 02 y 02 1或 x 022y 01， 由方程组 2 x 0 所以点 M 点睛】 2y 02 y 02的坐标为 x 0 ，解得 y0 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、 题目，通常联立直线方程与椭圆方程， 2 3 x 02 3 ，而方程组 x 2 3 ，而方程组x 20 3 2y 02 y 021 无解 1舍去)，及直线与椭圆的位置关系的综合应用 ,解答此类 应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能 较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数 f (x) ln x ax 2 x 3(a R) . f (x) 的单调区间； 1)当 a 1 时，求函数 2)若函数 f (x) 在区间 (0,1)上有唯一的极值点 x 0，求 a 的取值范围，并证明： f x 0 答案】 1)递增区间是 (0,1) ，递减区间是 (1, ) ；(2) 1, ，见解析 解析】 1)当 a 1 时， 求出函数 f x 的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即 可求得函数 f x 的单调区间； 2)求得 f (x)，令 g(x) 2ax 2x1 ，根据函数 f x 在区间 (0,1) 上有唯一的极值点x0，得出g( x)在(0,1)上有唯一的解，根据g(1) 0求得a的范围，再由由g x020 ，得到2ax02x0 1，结合函数(x) ln x x2的单调性和最值，即可2求解．详解】x，当a 1 时，函数f (x)ln x x 2 3 x.2则f (x)12x 1 x 2x2 x 1(2x x令f (x)0 ，即x 10且x 0，可得0令f (x)0 ，即x 10 ，可得x1.所以当a 1 时，函数f (x) 的单调递增区间是( 2)由函数f (x) ln2x ax x3，则f2记g(x)22ax x1，由题意，函数f (x)1)x因为f (x)在区间(0,1) 上有唯一的极值点x0 ，x1 ，1)(x 1),xln x ax2(x) 1x 0，(0,1) ，单调递减区间是(1,2ax2 2ax根据二次函数的图象分析可知，只需g(1)所以实数a 的取值范围是(1,)，).x 1,x 0 ，又g(0)0 即可，1，g(1)2a 1 1 0 ，解得20 ，可得2ax02x01，所以f x0ln x02ax0又由函数(x)lnxx2可得函数(x)lnx x2所以f x03.2.【点睛】x 0又由g x0lnx0 2，可得(x)x0 1211x2xln xx20 2，2在(0,1) 上单调递增，且(1)32，本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试 文科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分，毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1．已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
3. “ ”是“函数 在区间 上单调递增”的
（பைடு நூலகம்）当 时，求 ；
（Ⅱ）求四边形 面积的最大值;
20.（12 分）已知等差数列 满足 ，等比数列 的各项均为正数，且
（I）求 和 的通项公式：
（ ）设 为数列 的前 项和，求满足 的最大正整数
21.（12分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 , 的面积为1，且椭圆 的离心率为
(I）求椭圆 的标准方程；
A.4B.0C. -2D. -4
8.已知函数， 为奇函数,则实数 的值为
A.1B.0C. -2D. -3
9.已知向量 满足 且 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
10.函数 的图象大致为
11．已知函数 ，若函数 在区间 上有且只有两个零点，则 的取值范围为
A. B. C。 D.
12.设函数 . 则不等式 的解集为
17.（10分)
设 为实数， ， ，不等式 恒成立.
(I)若 为真命题，求实数 的取值范围；
(Ⅱ)若 为真命题，求实数 的取值范围.
18．（12分）
已知函数 ，其导函数 是偶函数,且
(Ⅰ)求函数 的解析式；
(Ⅱ)若函数 的图象与 轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围 。
19.（12分）
如图，在平面直角坐标系 中，已知定点 及动点 ，以 为斜边作一等腰直角三角形 （原点 与点 分别在直线 的两侧)
2020届高三“皖豫联盟体”第一次考试理科数学试卷 更正后Word版无详细答案
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2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={)4lg(|2x y x -=}，B={34|2-+-=x x y x }，则=B AA. |2<x <1||xB. |2<x 1||≤xC. |3x 1||≤≤xD. |3x <2||≤-x2.已知复数))(1(i a i z -+=在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是A. (1，+∞)B. ( -∞,-1)C.(- ∞，1)D. (-1，1) 3.在“2-≤m ”是“函数34)(2--=mx x x f 在区间[-2，+∞]上单调递增”的A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.中秋节，小张买了一盒月饼，里面一共有10个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅、水果馅和五仁馅各2个，小张从中任取2个月饼，这2个月饼的馅不同的概率为A. 109B. 98C. 54D. 21 4.设2020,2020,2019log log 201920182===-c b a ,则A. b c a <<B. c b a <<C. a c b <<D.a b c <<6.已知函数)1(11tan )(-≠-++=a xax x x f 为奇函数，则不等式0>)(x f 的解集为A.(-1,0)B.(-1,1)C.(0,1)D.(0,l)∪(l,+∞)7. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-106063y y x y x ,则y x )21(2⋅的最小值为 A. 161 B. 81C.1D.28.已知平面向量c b a ,,满足)()(,,2||||c b c a b a b a -⊥-⊥==，则c b a ⋅+)(的取值范围是A. ]2,0[B. ]22,0[C. ]4,0[D. ]8,0[ 9. 函数xx y 2ln =的图象大致为10.已知函数)0>(21)6sin()(ωπω--=x x f ，若函数)(x f 在区间)2,0(π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为A. ]2,32[B. ]2,32(C. ]314,2(D. )314,2[ 11.记等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知324132,1S S S a =+=，设n m ,是正整数，若存在正整数j)<i <1(|,j i ，使得j i na mn ma ,,成等差数列，则mn 的极小值为A.2B.3.C.4D.812.设b a ,都是不为1的正数，函数2)(11-+=--n n b ax f 的图象关于1=x 对称，则)(x f 的零点个数为A.0 B .1 C.2 D.3 二、填空题:本题共4小题,毎小题5分，共20分.13.设函数⎪⎩⎪⎨⎧+≤=0>,1lg 0,)(2x x x x x x f ，则=-))101((f f . 14.已知函数1ln )(++=x x x f 的图象上有一点P(m,2)，则曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为 .15.已知三棱锥D-ABC 的外接球半径为2，底面ABC 是直角三角形,且斜边AB 的长为32，则三棱锥D-ABC 的体积的最大值为 .16.已知函数131)(23+-=ax x x f 的图象在区间(0.2)上与x 轴恰好1个公共点，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分）设a 为实数，)(0,x :q 0,<22222:2112+∞∈∀++-++n n n p ,不等式012≥+-ax x 恒成立.(I)若p 为真命题，求实数a 的取值范围；(II)若q p ∧⌝)(为真命题，求实数a 的取值范围.18. (12分）已知函数331)(23+++=nx mx x x f ，其导函数)('x f 是偶函数，且0)3(=f . (I)求函数)(x f 的解析式；(II)若函数λ2)(-=x f y 有三个不同的零点，求实数λ的取值范围.19.(12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知定点Q(1，0)及动点)<<0)(sin 2,cos 2(πθθθP ,以 PQ 为斜边作一等腰直角三角形PRQ （原点O 与点R 分别在直线PQ 的两侧）. (I)当3πθ=时，求2||OR . (II)求四边形OPRQ 面积的最大值.20.(12分)已知等差数列{n a }满足182,4965=+=a a a ，数列{n b }的前n 项和为n S ，满足12-=n n b S .(I)求{n a }与{n b }的通项公式；(II)若2)2(...,2211+-≥+++∈∀*t n b a b a b a N n n n 恒成立，求实数t 的取值范围.21.(12分) 已知椭圆)0>>(1:2222b a by a x C =+的左、右焦点分别为21,F F ，上顶点为A ，21F AF ∆的面积为1，且椭圆C 的离心率为22. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)点M 在椭圆上且位于第二象限，过点1F 作直线11MF l ⊥ ，过点2F 作直线22MF l ⊥，若直线21,l l 的交点N 恰好也在椭圆C 上，求点M 的坐标.21.(12分)已知函数1ln 2)(-+=ax x x f ，其中R a ∈. (I)讨论函数)(x f 的单调性;(II)已知],1[),1,0(e x a ∈∈,设函数221)()(xax x f x g ++=的最大值为M ，求证:M<1.。
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2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学
一、单选题
(★★) 1 . 已知集合，，则( )
A．B．
C．D．
(★) 2 . 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
(★) 3 . “ ”是“函数在区间上单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(★★) 4 . 中秋节，小张买了一盒月饼，里面一共有10个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅，水果馅和五仁馅各2个，小张从中任取2个月饼，这2个月饼的馅不同的概率为( )
A．B．C．D．
(★★) 5 . 设，，，则（）
A．B．C．D．
(★★) 6 . 已知函数为奇函数，则不等式的解集为( ) A．B．C．D．
(★★) 7 . 若满足约束条件，则的最小值为( )
A．B．C．1D．2
(★★) 8 . 已知平面向量满足，，，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
(★★) 9 . 函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
(★★) 10 . 已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
(★★) 11 . 记等比数列的前项和为，已知，，设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，则的最小值为( )
A．2B．3C．4D．8
(★★) 12 . 设都是不为1的正数，函数的图象关于对称则的零点个数为( )
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
(★) 13 . 设函数则_______.
(★★) 14 . 已知函数的图象上有一点，则曲线在点处的切
线方程为______.
(★★) 15 . 已知三棱锥的外接球半径为2，底面是直角三角形，且斜边的长为，则三棱锥的体积的最大值为_____.
(★★) 16 . 已知函数的图象在区间上与轴恰好有1个公共点，则实数
的取值范围为_______.
三、解答题
(★★) 17 . 设为实数，，，不等式恒成
立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，求实数的取值范围.
(★★) 18 . 已知函数，其导函数是偶函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围.
(★★) 19 . 如图，在平面直角坐标系中，已知定点及动点，以为斜边作一等腰直角三角形（原点与点分别在直线的两侧）.
（1）当时，求；
（2）求四边形面积的最大值.
(★★) 20 . 已知等差数列满足，，数列的前项和为满足
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.
(★★★★) 21 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，
的面积为1，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点在椭圆上且位于第二象限，过点作直线，过点作直线，若直线的交点恰好也在椭圆上，求点的坐标.
(★★★★) 22 . 已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）已知，，设函数的最大值为，求证：.。