专升本高数2PPT课件
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专升本 高数第二章
g ( x)
第二章 一元函数微分学
（二）微分中值定理 1.罗尔定理
a, b上连续 a, b 内可导
f (a) f (b) f ( ) 0, (a, b)
特例 f (a) f (b)
2.拉格朗日中值定理 a, b上连续 f ( )
Q p Q EQ lim / p p 0 Q Ep Q p
在 p0 点处的弹性: EQ
EQ Q 改 变 % 时， Ep
Ep
表示当
p p0
p 在 p0 点产生 1 %
的改变
.
第二章 一元函数微分学
需求弹性与总收益: EQ p R pQ Q pQ Q1 Q Q1 Q Ep EQ (1)当 Ep 1 时，需求变动幅度小于价格变动幅度称为需求 对价格缺乏弹性. (2)当 时，需求变动幅度等于价格变动幅度称该商 品具有单位弹性.这时 R 0，总收益最大. (3)当 时，需求变动幅度大于价格变动幅度称为需求 对价格富有弹性.
存在，则称 y f ( x) 在 x0 点可导，并称该极限值为 y 的导数，记作 f ( x ), y , dy , df ( x)
0 x x0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x lim
f ( x)
在
x0
点
dx x x0
第二章 一元函数微分学
（重点）
第二章 一元函数微分学
一元 函数 微分 学
• 知识结构
导数
微分
应用
导数 概念
导数 计算
高阶 导数
微分 概念
微分 计算
专升本高数二第讲讲义
四、第一换元法（凑微分法）(积分上下限可保持不变）
定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。
(1)直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）
(２)间接凑（先凑微分,再凑公式)(被积函数中含有导数关系）
五、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号)（注意积分上下限的变化）
法则：被积函数右减左,积分区间看上下。
步骤(1)画图;
(2）有时通过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.
（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。
定积分
一、定积分的概念——（本质是和式的极限)
二、积分上限函数的导数
变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是：直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导；含有变限积分的极限问题。
特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式
【注】积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是ｘ，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的,所以做题时要凑成一致的。
（2)间接凑
间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分,变形,可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分,再凑公式。
专升本高数二第讲讲义
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
不定积分
一、不定积分
1、原函数
二、换元积分法
1、第一换元法(凑微分法)
（１)直接凑
要求不定积分,首先考虑能否用公式,即能否直接用公式,基本公式中没有相同的,就找相近的公式如果有相近的,就用直接凑。
定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。
(1)直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）
(２)间接凑（先凑微分,再凑公式)(被积函数中含有导数关系）
五、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号)（注意积分上下限的变化）
法则：被积函数右减左,积分区间看上下。
步骤(1)画图;
(2）有时通过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.
（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。
定积分
一、定积分的概念——（本质是和式的极限)
二、积分上限函数的导数
变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是：直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导；含有变限积分的极限问题。
特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式
【注】积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是ｘ，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的,所以做题时要凑成一致的。
（2)间接凑
间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分,变形,可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分,再凑公式。
专升本高数二第讲讲义
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
不定积分
一、不定积分
1、原函数
二、换元积分法
1、第一换元法(凑微分法)
（１)直接凑
要求不定积分,首先考虑能否用公式,即能否直接用公式,基本公式中没有相同的,就找相近的公式如果有相近的,就用直接凑。
(建议下载)专升本高等数学(二)
成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
5.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。
2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
安徽专升本 高数讲义 第二章导数与微分第四讲
4
(2) y x e x x e x
e x xe x 1 x e x
y 1 x e x 1 x e x
e x (1 x )e x 2 x e x
(3) y arctan x
x
y e x sin( x y ) x
x x y e y e cos( x y ) x y 1
y e x y e x cos( x y) x y 1
y e x y e x cos( x y ) y cos( x y ) 1
1 1 x2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2
2. 设
y a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an , 求y ( n ) .
解 y' na0 x n 1 (n 1)a1 x n 2 (n 2)a2 x n 3 an 1 ,
y 0 2e0 cos0 2
作
业
一、计算下列各函数的二阶导数：
1. 2 x3 x 4 y x
2. y x arctan x
1 1 1 3. y x 3 3 3 1 3 x 3 3 x 3 9 x 二、计算下列各函数的n 阶导数：
可导，并且：
y f ( u( x )) f ( u) u( x )
隐含数求导法则:
（ 1） 方程两边关于 x 求导，求导过程中把 y 看作
中间变量，得到一个关于 y的方程。
(2) 从上述方程中解出 y
专升本数学连续ppt课件
专升本数学
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
专升本 高数 PPT课件
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
Hale Waihona Puke 第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
5. 初等函数 六种基本初等函数：
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
高等数学上2_课件2.ppt
达标后的函数值：
f (x) A
2.2.2 x趋于有限值x0时函数的极限
●至此，我们用 N ”、“ X ”、“ ” 的语言定 义了七种极限, 下面将列表类比对照.
极限形式： 接近程度指标：
lim f (x) A
x
实现时刻：
X
实现时刻后的自变量： x X
达标后的函数值：
f (x) A
定义 2.2
＊在定义 2.2 中， 将“ f (x) 在 b, 上有定义”换作 “ f (x) 在 , a上有定义；将“ x X ”换作“ x X ”
lim
x
f
(x)
A或
f
(x)
A(x
)
.
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
定义 2.3 设 f (x) 在 , a b, (a ≤b) 上有定义，A
推 论 若 在 x0 的 某 去 心 邻 域 内 f (x) ≥ 0 （ 或
f
(
x)
≤
0
）且
lim
xx0
f
(x)
A ，则 A≥0 （ A≤0 ）.
2.2.3 函数极限的性质
● 在 2.2.1，2.2.2 中我们共列举了六种类型的极限：
（1）
lim
x
f
(x) ；
（2）
lim
x
f
(x) ；
（3）
lim
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
自变量 x 趋向于无穷大有下面三种方式： x ，表示 x 沿 x 轴无限向右推进，趋于正无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向左推进，趋于负无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向任何一方推进，即 x 趋于 .
专升本高等数学课件
链式法则
链式法则用于计算复合函数的导数， 是导数计算中数法则是用于计算分式函数的 导数，即(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点的变化量的近似值，它是 函数值的线性主部。
微分的几何意义
微分在几何上表示函数曲线在某一点附近的小 “斜坡”。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、 指数函数、三角函数等，它们的导数已
经给出。
乘积法则
乘积法则用于计算两个函数的导数， 即(uv)'=u'v+uv'。
一阶微分方程是包含一个 导数项的方程。
定义
求解方法 形式
二阶微分方程
定义
二阶微分方程是包含两个导 数项的方程。
形式
d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)， 其中f(x, y, z)是关于x、y和z 的函数。
求解方法
通过变量代换、积分等方法 求解。
高阶微分方程
01
定义
高阶微分方程是包含三个或更多 导数项的方程。
专升本高等数学 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习高 等数学的基础。
详细描述
函数是数学中描述两个变量之间关系 的一种方法，它具有对应性、有界性 、单调性、周期性和奇偶性等性质。 理解这些性质有助于更好地理解函数 的图像和变化规律。
专升本高数第二章导数-PPT课件
f( x )f( x ) 0 导数的一个等价定义： f ( x )lim 0 x x 0 x x 0
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
广东专插本高等数学课件(二)
广东专插本高等数学课件(二)广东专插本高等数学课件教学内容•微分与积分的概念和性质•导数与微分的关系•基本微分公式和求导法则•高阶导数与高阶导数的求导法则•不定积分及其性质•定积分的概念和性质•牛顿－莱布尼兹公式•定积分的计算•微分方程基本概念和一阶微分方程的解法教学准备•教材：《高等数学》教材•电子设备：计算机、投影仪、音响•PowerPoint软件或其他课件制作工具•教学笔记和教学大纲教学目标•了解微分与积分的基本概念和性质•掌握基本微分公式和求导法则•熟悉高阶导数的概念和求导法则•理解不定积分和定积分的概念和性质•掌握定积分的计算方法•掌握一阶微分方程的解法设计说明•采用PPT进行课件设计，配合示例和练习题进行讲解•结合生活实例和应用场景，增加学生对数学的兴趣和理解•设计互动环节，鼓励学生思考和参与课堂讨论教学过程1.引入课题–介绍微分与积分在现实生活中的应用，激发学生的兴趣。
–提出教学目标，让学生了解本节课的重点和学习内容。
2.分步讲解微分与积分的概念和性质–通过图示和示例，引导学生理解微分和积分的基本概念。
–阐述微分与导数的关系，积分与定积分的关系。
3.阐述基本微分公式和求导法则–逐个介绍公式和法则，并通过例题进行演示。
–强调常用公式的应用场景，提醒学生掌握记忆。
4.讲解高阶导数的概念和求导法则–引导学生理解高阶导数的定义，并介绍求导法则。
–指导学生计算高阶导数的具体步骤，并进行练习。
5.介绍不定积分及其性质–解释不定积分的概念和特点，引导学生理解。
–讲解常用的不定积分公式，并进行例题讲解。
6.阐述定积分的概念和性质–通过实例引导学生理解定积分的概念和意义。
–提供定积分的性质，帮助学生掌握定积分的特点。
7.讲解牛顿－莱布尼兹公式和定积分的计算方法–介绍牛顿－莱布尼兹公式的原理和应用。
–讲解定积分的计算方法，包括基本积分公式和换元积分法。
8.简要讲解微分方程基本概念和一阶微分方程的解法–引导学生理解微分方程的定义和基本概念。
《高等数学第二章》课件
讲解复合函数的微分法则，以及计算方法和 应用。
高阶导数及其应用
高阶导数的 定义
解释高阶导数的概 念和计算方法，以 及与一阶导数的关 系。
阶乘
讨论阶乘的定义和 性质，以及在高阶 导数中的应用。
幂指函数的 导数
给出幂指函数的导 数计算公式和性质。
洛必达法则 及其应用
介绍洛必达法则的 原理和应用方法， 解决极限的问题。
极限的定义
清晰地定义函数的极限，包括左极限和右极限。
极限的性质
介绍极限的性质，如极限的唯一性和四则运算法则。
连续性
连续函数的概念
解释连续函数的定义和性质，以及在实际问 题中的应用。
连续函数的性质
讨论连续函数的重要性质，如介值定理和最 值定理。
导数
导数的定义
给出导数的几何和 代数定义，以及导 数的计算法则。
导数的性质
介绍导数的性质， 如导数的唯一性和 四则运算法则。
导数的计算
探讨不同类型函数 的导数计算方法， 如幂函数、三角函 数和复合函数的求 导法则。
几何意义和 物理意义
解释导数在几何和 物理中的意义和应 用。
微分学基本公式
函数的四则运算及其微分
给出函数的加减乘除法则，并给出微分的法 则。
复合函数的微分
《高等数学第二章》PPT 课件
欢迎大家来到《高等数学第二章》课件。本课将介绍函数的基本概念、常用 函数、极限、连续性、导数、微分学基本公式、高阶导数及其应用，以及函 数的图形与曲率。让我们一起探索数学的魅力吧！
导言
概述
介绍《高等数学第二章》的重要性和内容 概览。
常用符号说明
解释常见的数学符号的意义和用法。
常用函数
幂函数、指数函 数、对数函数
高阶导数及其应用
高阶导数的 定义
解释高阶导数的概 念和计算方法，以 及与一阶导数的关 系。
阶乘
讨论阶乘的定义和 性质，以及在高阶 导数中的应用。
幂指函数的 导数
给出幂指函数的导 数计算公式和性质。
洛必达法则 及其应用
介绍洛必达法则的 原理和应用方法， 解决极限的问题。
极限的定义
清晰地定义函数的极限，包括左极限和右极限。
极限的性质
介绍极限的性质，如极限的唯一性和四则运算法则。
连续性
连续函数的概念
解释连续函数的定义和性质，以及在实际问 题中的应用。
连续函数的性质
讨论连续函数的重要性质，如介值定理和最 值定理。
导数
导数的定义
给出导数的几何和 代数定义，以及导 数的计算法则。
导数的性质
介绍导数的性质， 如导数的唯一性和 四则运算法则。
导数的计算
探讨不同类型函数 的导数计算方法， 如幂函数、三角函 数和复合函数的求 导法则。
几何意义和 物理意义
解释导数在几何和 物理中的意义和应 用。
微分学基本公式
函数的四则运算及其微分
给出函数的加减乘除法则，并给出微分的法 则。
复合函数的微分
《高等数学第二章》PPT 课件
欢迎大家来到《高等数学第二章》课件。本课将介绍函数的基本概念、常用 函数、极限、连续性、导数、微分学基本公式、高阶导数及其应用，以及函 数的图形与曲率。让我们一起探索数学的魅力吧！
导言
概述
介绍《高等数学第二章》的重要性和内容 概览。
常用符号说明
解释常见的数学符号的意义和用法。
常用函数
幂函数、指数函 数、对数函数
专升本高等数学课件 第二章
4. 可导一定连续，但连续不一定可导（两者关系）
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 已学求导公式
(C) 0;
( x ) x1 ;
(sin x) cos x; (cos x) sin x;
(a x ) a x ln a ;
(ex ) ex ;
(log
x a
)
1 x ln a
；
(ln x) 1
第一节 导数与微分
一元函数 微分学：导数与微分 微积分学 积分学：不定积分、定积分
一、问题的提出 二、导数的定义 三、导数的几何意义与物理意义 四、可导与连续的关系 五、小结 思考题
一、问题的提出
1.【自由落体运动的瞬时速度问题】
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
s
f
(t)
1 2
gt
2
取一邻近于 t0的时刻 t, 运动时间t,
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
loga
e
1. x ln a
即
(loga
x)
1 x ln a
.
(ln x) 1 . x
【例6 】证明函数
在 x = 0 不可导.
【证】 y f (0 h) f (0) h
x
h
h
|h|
h
lim lim 1,
h h h0
h0
|h|
h
lim lim 1
【解】 由导数的几何意义,得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
专升本高数数学第二章导数与微分
3
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的 关系。
微分在近似计算中的应用
线性近似
微分可以用来进行线性近似计算，例如在求函数在某点的切线时， 可以用微分来近似计算切线的斜率。
中值定理
微分可以用来证明中值定理，例如拉格朗日中值定理和柯西中值 定理等。
误差估计
微分可以用来估计误差的大小，例如在泰勒展开式中，可以用微 分来估计高阶无穷小的误差大小。
专升本高数数学第二 章导数与微分
目录
• 导数概念 • 导数的计算 • 微分概念 • 导数与微分的应用
01
导数概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的 斜率，即函数在该点的变化率。通过 极限的概念，我们可以计算出函数在 某一点的导数值，从而了解函数在该 点的变化趋势。
VS
详细描述
微分在物理学中有重要的应用，它可以表 示物理量随时间变化的速率。例如，物体 的速度是位置对时间的变化率，加速度是 速度对时间的变化率。通过微分，我们可 以分析物理量随时间的变化规律，从而更 好地理解物理现象。
04
导数与微分的应用
导数在几何中的应用
切线斜率
导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解 曲线在该点的变化趋势。
单调性判断
通过导数的符号变化，可以判断函数在某区间上的单 调性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数的最大 值和最小值点。
导数在物理中的应用
1 2
速度与加速度
导数可以用来描述物理中的速度和加速度，例如 物体运动的速度和加速度可以通过对位置函数求 导得到。
大专高等数学第二章PPT
05
积分
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上的积分和的极限。
定积分的几何意义
定积分的值可以理解为曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的面 积。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、不等式性质等。
定积分的运算
不定积分与原函数
01
不定积分是求一个函数的原函数的过程，原函数可以用来计算
04
导数的应用
函数的单调性
判断单调性
通过求导数并分析导数的正负，可以 判断函数的单调性。如果导数大于0， 函数单调递增；如果导数小于0，函 数单调递减。
单调性的应用
单调性在经济学、物理学等领域有广 泛应用，如分析商品价格与需求量之 间的关系、研究物体运动规律等。
函数的极值
极值的定义
函数在其定义域内某点的函数值大于或小于 其邻近点的函数值，则称该点为函数的极值 点，该点的函数值为极值。
微分的概念与运算
微分的概念与运算
微分是导数的几何意义，表示函数在某一点附近的小 变化量。微分的运算包括微分的四则运算法则和复合 函数的微分法则。微分的四则运算法则包括加法法则 、减法法则、乘法法则和除法法则，这些法则可以用 来计算函数的微分。复合函数的微分法则则是通过将 复合函数分解为基本函数，然后对每个基本函数求微 分，再根据复合函数的定义进行微分。
极值的求法
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极 值点。然后通过判断该点左右两侧导数的符 号变化，确定是否为极值点。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性的定义
在曲线上任取两点，如果连接这两点的线段始终位于 这两点之间的曲线上方或下方，则称该曲线为凹曲线 或凸曲线。
拐点的求法
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f (4) (x) ________．
34.
设
参
数
方
程
x
y
2t 1 3t2 1
所
确
定
的
函
数
为
y
y(x) ，则
d2 y dx2
________．
42 ． 设 由 方 程 e y xy2 e2 确 定 的 函 数 为
y y(x) ，求 dy ． dx x0
2011年河南专升本
2.1 导数的概念
本章重点考核的知识点
• 1．导数的定义； • 2．导数的几何意义； • 3．导数的四则运算法则； • 4．反函数求导法则； • 5．复合求导法则； • 6．简单函数的高阶导数； • 7．隐函数求导； • 8．对数求导法； • 9．幂指函数求导； • 10．参数方程求导； • 11．一元函数一阶微分形式的不变性。
2010年河南专升本
6.
函数
f (x) 在点 x
x0 处可导，且
f
(x0 )
1，则 lim h0
f (x0 ) f (x0 3h) 2h
A． 2 3
B． 2 3
C． 3 2
D． 3 2
8. 设函数 y 1 x2 2sin π ，则 y 5
A． x 2 cos π
1 x2
5
B． x 1 x2
0
00 0
为
y f (x ) f (x )(x x )；
0
0
0
曲线 y f (x)在点M (x , y )处的法线方程为 00 0
y f (x ) 1 (x x ) ，( f (x ) 0).
0
f (x0 )
0
0
当 f (x )=0 时，切线方程为平行于 x 轴的直线 y f (x )，
0
dt tt0
(2)曲线 y f (x)在点M x , y 处的切线斜率，就是函数 y f (x) 00 0
在点 x 处对自变量 x 的导数，即 0
k y | 。 x x0
例 1 设 f (x) x2，求 f 1， f x . 0
导函数 如果函数 y f (x) 在区间a,b内的每一点处都
定义 设函数 y f (x)在点 x 的某个邻域内有定义，当 x 0
从 x 增 加 到 x x 时 ， 相 应 地 ， 函 数 有 改 变 量
0
0
y f (x x) f (x )，如果极限
0
0
lim y lim f x0 x f x0
x x0
x0
x
存在，则称函数 y f (x)在点 x 处可导，并称此极限为 0
0
0
f
x
lim
f
x
f
x 0
，
0
x x0
xx
0
f
( x
)
lim
f
(x 0
h)
f
(
x 0
)
，
0
h0
h
后一式中的 h 就是定义式中的自变量的增量 x .
根据导数的定义，两个实际问题可叙述为：
(1)变速直线运动的物体在时刻 t0 的瞬时速度，就是位置函数
s f t在t 0 处对时间 t 的导数，即
vt ds .
y 1 2(x 1)，
即
y 2x 1
法线方程为
y 1 1 (x 1)， 2
即
y 1 x 3.
22
2.1.3 求导举例
由导数的定义可知，求 y f (x)的导数 y的一般步骤如下：
（1） 求函数的改变量y f x x f x；
电话：
第2讲 导数与微分
考试点津： • 本讲出题在15分—19分，知识点不多，题
型比较固定。
• 本讲重点（1）利用导数定义求导数或极限。 （2）参数方程确定函数求导。（3）隐函 数求导或微分。（4）复合函数求导或微分。 （5）简单函数的高阶导数。
• 本讲难点：参数方程确定函数求高阶函数； 特殊复合函数求导或微分。
0
0
法线方程为垂直于 x 轴的直线 x x ； 0
当 f (x ) 时，切线为垂直于 x 轴的直线 x x ，法线为
0
0
平行于 x 轴的直线 y f (x ). 0
例 2 求抛物线 y x2在点（1,1）处的切线方 程和法线方程.
解 由导数及导数的几何意义可知， k y x1 2 ， 因此，所求的切线方程为
可导，则称函数 y f (x)在区间a,b内可导.这时，对于a,b
内的每一个确定的值 x，都对应着惟一确定的函数值 f x，
于是就确定了一个新的函数，这个函数叫做函数的导函数，
记作 f x，或 y， dy ， df x等.导函数通常简称为导数.
dx dx
显然，函数 y f (x) 在点 x 处的导数 f x 就是导函数
函数 y f (x) 在点 x 处的导数，记作 f x ，或 y ，
0
0
x x0
dy ， df ，即
dx xx0
dx xx0
f
x
lim y
lim
f
x 0
x
f
x 0 .
0
x x0
x0
x
如果极限不存在，则称函数 y f (x)在点 x 处不可导. 0
函数 y f (x)在点 x 处的导数 f (x )也可表示为
0
0
f x在点 x x 处的函数值，即 0
f (x ) f (x) .
0
x x0
2. 左、右导数 左可导 如果极限lim y 存在，则这个极限称为函数 y f (x)在
x x0
点 x 处的左导数，并且说 f (x)在点 x 处左可导，记作 f (x ).
0
0
0
右可导 如果极限lim y 存在，则这个极限称为函数 y f (x)在 x x0
x 处的导数 f (x ) 在几何上表示曲线 y f (x) 在点 M (x , y )
0
0
00 0
处的切线的斜率.
过切点M (x , y )且垂直于切线的直线叫做曲线 y f (x) 00 0
在点M (x , y )处的法线. 00 0
如果 f (x )存在，则曲线 y f (x)在M (x , y )处的切线方程
C． 2x 1 x2
D． 2x 2 cos π 1 x2 5 5
9. 若函数 f (x) 满足 df (x) 2x sin x2dx ，则 f (x)
A． cos x2
B． cos x2 C C． sin x2 C D． cos x2 C
33. 设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) ，则
点 x 处的右导数，并且说 f (x)在点 x 处右可导，记作 f (x ).
0
0
0
根据极限存在的充要条件，我们有下面的定理：
定理 函数 f (x)在点 x 处的左、右导数存在且相等是 f (x)在 0
点 x 处可导的充要条件. 0
3. 导数的几何意义
由切线问题的讨论和导数的定义知，函数 y f (x)在点