流体力学5-漩涡理论

方向: 垂直于ds和ｒ所在的平面，按右手法则确定。
流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式
单一有限长涡丝在P点的诱导速度
v 4
sin ds r2 s
典型实例：无限长直涡丝
dx段对Ｐ点的诱导速度 dv sin dx 2 4r
ＭＮ段对Ｐ点的诱导速度：
v sin d 4 R 1 (cos 1 cos 2 ) 4 R
旋涡理论
园盘绕流尾流场中的旋涡
园球绕流尾流场中的旋涡
园柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在 同瞬时的旋转角速度矢量 同瞬时的流速矢量 v 与此线 v3 与此线相切。 相切。 3 v2 2
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 n d
涡面上 n 0 abdbaea 0
ab ba 0

ab ba
（逆 顺） n d n d
1
0
2
或
d const.
n
漩涡理论
d const.
n
d 0, n
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固
体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
对于无旋流场:
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V Vs
B
对于有旋场: AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
vx ( )dxdy x y vy
vx vx dy y y d
vy
c
v y
而
vx ( ) 2z x y
0
v y
微矩形面积ds上的环量：
d 2z dS 2n dS 2dJ
vy dy dx vy x dx b a vx x
漩涡理论
2 有限平面
一、速度分布
（1）旋涡内部：（r < R）
Vr 0, V r
速度呈线性分布
（2）旋涡外部
R 2 r 0, V 2 r r
（r>R）
2 R
2
2
2 R const.
外部流速与ｒ成反比。
二、压力分布
（1）旋涡外部： 流动定常且无旋 （r>R）
元流 截面积为无限小的流束 称为元流
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小 dＪ＝ω ndσ
J n d
如果 是涡管的截面 则J为涡管强度

流量
Q dQ ud

n

d
二、速度环量（velocity circulation）
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。 即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管 涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2J (斯托克斯定理）
1
v1
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
流线微分方程：
取流线上一段微弧长 该处的速度
v vx i vy j vz k
v
ds dxi dyj dzk
该处的旋转角速度 x i y j z k 涡矢量与涡线相切 dx dy dz x ( x, y, z, t ) y ( x, y, z, t ) z ( x, y, z, t ) 积分时将ｔ看成参数
c

————斯托克斯定理
漩涡理论
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍,即 Γｃ＝２J 或
c Vs ds 2 n d
c

n
d C

漩涡理论
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda vx vx dx (vy dx)dy (vx dy)dx v y dy x y
AB AB
ds
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c Vx dx Vy dy Vz dz c c x dx y dy z dz d 0
c
V
ds C
α
Vs
对于有旋场:
c Vs ds 2 n d
C 2 n d 2 J

（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任意曲面
n

d
推广到有限大平面
C
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体
周线的速度环量不随时间而变. 即
d 0 dt
漩涡理论
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无 旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变 2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。 2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压 流场，非有势力。 漩涡理论
2
直涡丝ＭＮ
方向垂直于纸面向外
1.对于无限长直涡丝： θ１=０ θ２=180°
v (cos 1 cos 2 ) [1 (1)] 4 R 4 R 2 R
2.对于半无限长直涡丝：θ１=90° θ２=180°
v (cos 1 cos 2 ) [0 (1)] 4 R 4 R 4 R
x A a, yA 4 a t xB a ,
yB 4 a t
4 a
t c4
两点涡相对位置保持不变， 它们同时沿ｙ方向等速向下移动。
情况 ( b )
dx A Ａ点： xA v 0 dt dxB 0 B点： vxB dt
A t 2 4 a
路径的线积分。
定义 AB AB Vs ds
速度环量是标量，速度方向与 积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
V Vs
B
ds
A
漩涡理论
Γ
AB＝－Γ BA
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB AB
V Vs
B
V cos(V , ds )ds
拉格朗日积分式(略去质量力)
1 1 2 p V p0 V2 p0 C 2 2
( r , V 0) 2 r
1 p p0 V2 2
r=R，V＝VR＝ω Ｒ
1 pR p0 2 R 2 2
（2）旋涡内部: 定常有旋流动 伯努利方程
ds dxi dyj dzk
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t) vz ( x, y, z, t)
ds
ds
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
v yA dy A 1 dt 2 2a 4 a
B点：
v yB
dxB vxB 0 dt
dyB 1 dt 2 2a 4 a
积分得:
x A c1 ,
xB c3 ,
yA
yB
4 a

t c2
ｔ＝０时 xA a, yA 0, xB a , yB 0 代入方程得: Ｃ1=ａ Ｃ2=０ Ｃ3=-ａ Ｃ4=０ 故Ａ，Ｂ两点的运动方程为:
第五章：旋涡理论(vortex theory)
1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理
5.毕奥－沙伐尔定理
6.兰金组合涡
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d

C
区域在走向的左侧
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c 2 n d 2 0d 0

沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
诱导速度场与电磁场的类比
磁 场
带电导线 电流强度ｉ 诱导磁场强度
ds sin dH i r2
诱导速度场
涡丝(线) 旋涡强度 诱导速度场
ds sin dv 4 r2
场点
流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式 微元涡丝ds在P点的诱导速度
ds sin dv 4 r2
1 p V 2 C L 2
流线为同心圆族 不同流线上压力不同
1 2 2 p p0 V VR 2
求解过程 欧拉方程（略去质量力）
Vx Vx 1 p Vx Vy x x x
Vx Vy x Vy Vy x 1 p y
Vx y Vy x
无限长的直涡丝 点涡的诱导速度
v 2 R vr 0
点涡
（R为场点至点涡的距离）
这种速度场是无旋的（例3.4） ！！点涡不对自身 产生诱导速度

R
例5.1 如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。 解: (a)： 由B—S定律 dx A v 0 Ａ点：xA dt
Vx dx Vy dy Vz dz AB
m /s
2
ds
A
速度环量单位为
漩涡理论
沿封闭周线C的速度环量
c Vs ds
c
V
V ds
c
ds C
α
Vx dx Vy dy Vz dz
c
Vs
漩涡理论
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
1 p x x 1 p 2 y y
2
p p dx dy dp r R, V VR , x y 1 2 x2 y 2 2 p pR p0 VR dp d ( ) 2 2 x2 y 2 1 2 p ( ) c V2 c 2 2


漩涡理论
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流
动无旋，则沿包含固体在内的任意两
个封闭周线的环量彼此相等。
C L 2 n d

n 0
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
Ｌ
Ｅ
Γ
ｃ＋Γ
Ｌ＝０
Γ
ｃ=-Γ Ｌ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
§5-2 汤姆逊定理 假设：
v yA dy A dt 4 a
dyB v yB dt 4 a
Ａ点和Ｂ点的运动方程为：
rA a,
rB a,
B t 2 4 a
v a 4 a 2
转动的角速度为:
§５-６ 兰金组合涡 设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形 流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为ω。
不随时间变化（汤姆逊定理）
J不随时间变化
漩涡理论
海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于
粘性流体。
海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。
因为流体的粘性将导致剪切、速度等 参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时
间衰减。
漩涡理论
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§５-４ 毕奥一沙伐尔定理 问题: 已知旋涡场，能否确定速度场？ 由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场。