流体力学5-漩涡理论
第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
漩涡流现象的研究及其应用
漩涡流现象的研究及其应用漩涡流现象是一种流体运动形式，其特点是在液体或气体中形成一个旋转的涡流，这种涡流可以在自由表面中形成漩涡，而在底部则形成涡旋。
漩涡流现象发生在自然界中的很多场合，比如洋流、瀑布、旋涡、龙卷风等等，而这一现象的研究不仅可以深化我们对自然现象的认识，也具有很多实际应用价值。
1. 漩涡流的形成原理漩涡流的形成原理与流态流动有关，一个液体或气体在流动时，它的动能和势能会随着流体的速度和位置而转化。
当液体或气体在流动过程中遇到阻力或转向障碍时，其流动速度和方向会发生改变，从而产生一个不稳定的运动状态，形成涡旋或涡流。
2. 漩涡流的研究漩涡流的研究一直是流体力学研究的重点之一，其涉及的领域包括流体力学、物理、数学、天文学等多个学科。
在数学上，漩涡流的运动可以用欧拉方程或纳维-斯托克斯方程来描述，而在物理实验中，漩涡流的现象可以通过流量计、雷诺数、射流管等实验装置来模拟和研究。
漩涡流的研究有很多应用场合，比如在火箭发动机的燃烧室中，液体燃料和氧化剂的混合过程中会形成漩涡流，而漩涡流的存在可以促进燃料的混合和燃烧，使得火箭发动机的推力更加强大；在深海勘探中，漩涡流也被用于探测海底地貌和探测海底油气等资源。
3. 基于漩涡流的技术基于漩涡流的技术在现代工业中有着广泛的应用，其中最为典型的就是涡街流量计和涡旋泵。
涡街流量计是一种利用漩涡流漩涡频率计算流量的仪器，其原理是通过漩涡流在特定条件下的产生和运动，计算出流体的流速和流量。
而涡旋泵则是一种利用漩涡流旋转叶轮产生动力的泵，其具有高效、节能、结构简单等优点，被广泛应用于污水处理、供水及冷却水系统等领域。
漩涡流现象是流体力学中一个极为重要的现象，其研究和应用对于推动工业、科技的发展具有重要的作用。
未来，随着人类认识的不断深入和对自然规律的探索，漩涡流这一现象将会有更多的应用和拓展。
漩涡的原理及应用
漩涡的原理及应用1. 漩涡的定义漩涡是指在流体中形成的旋转的涡流结构。
它是流体力学中的一种重要现象，广泛存在于自然界和工程实践中。
漩涡由于其独特的运动规律和形态，具有广泛的应用价值。
2. 漩涡的形成原理漩涡的形成和维持是由流体动力学原理决定的。
当流体运动中存在不均匀性时，比如流体速度、密度、温度等的分布不均匀，就会形成涡旋结构，即漩涡。
漩涡的形成可以归因于两种主要机制：黏性与非黏性。
在完全黏性流体中，漩涡的形成归结于黏性效应。
黏性流体中粘滞系数较高的流体层被较低粘滞系数的流体层所替代，形成类似于旋转的涡流结构。
而在非黏性流体中，流体的非线性机制起着决定性作用。
流体运动中的非线性性质使得流体颗粒在运动过程中相互作用，产生局部的涡旋。
这些涡旋之间的相互影响和扩散最终形成了漩涡。
3. 漩涡的应用领域漩涡作为流体力学中重要的现象，在许多领域都有着广泛的应用。
以下是几个常见的领域：3.1 流体力学研究漩涡是流体力学研究中的基础概念之一，深入研究漩涡的形成、演化和行为规律，可以为流体力学领域的发展做出重要的贡献。
3.2 湍流模拟与预测湍流是一种高度复杂的流动状态，在自然界和工程实践中广泛存在。
漩涡作为湍流的基本单元，对湍流的模拟和预测具有重要意义。
通过研究漩涡的形成和演化规律，可以更好地理解和预测流体中的湍流现象。
3.3 漩涡发电技术漩涡在涡动能的转换和利用方面具有巨大的潜力。
漩涡发电技术是一种利用漩涡运动产生能量的新兴技术。
通过合适的装置和系统设计，可以将流体中的涡动能有效转换为电能，实现可持续能源的利用。
3.4 漩涡在水利工程中的应用在水利工程中，漩涡现象往往会对工程设施产生负面影响。
合理利用漩涡现象，可以在水利工程中进行能量调控、流量控制、河道疏浚等工作，提高水域的可持续利用和环境保护。
3.5 漩涡在气象学中的应用漩涡现象在大气环流中也具有重要作用。
气旋和飓风等大尺度的气象现象都源于漩涡形态。
对漩涡的深入研究可以为气象学提供重要的理论基础，并为天气预测和气候变化研究提供有力支持。
流体力学第五章(涡旋动力学基础)
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
运动的趋势，是标量，但具有
5
Γ ≡ ∫V • dl
l
l
如取定曲线方向： Γ>0，流体有顺 对应气旋环流）； 运动的趋势，（逆时针为正方向，
l
应反气旋环流）。
Γ<0，流体有逆 l
运动的趋势，（顺时针为负方向，对
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式
流体涡度
(∇ × V ) • n = lim Γ / σ
环流的加速度 = 加速度的环流
9
凯尔文(Kelvin)环流定理
理想正压流体，在有势力的作用下， 理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理 凯尔文定理。 时间变化，这就是凯尔文定理
10
凯尔文(Kelvin)环流定理
dΓ 下面来考虑特定条件下的 dt
（1）理想流体
dV 1 = F − ∇p 运动方程（欧拉方程）： dt ρ
（仅受质量力和压力梯度力）； （2）质量力仅为有势力
F = −∇Φ
11
1 dV = F − ∇p dt ρ
环流变化方程： d Γ
F = −∇Φ
dV = ∫l ( ⋅ dl ) dt dt 1
= − ∫l ∇Φ ⋅ dl − ∫l ∇p ⋅ dl ρ 1 = − ∫∫ ∇ × (∇Φ )d σ − ∫l ∇p ⋅ dl σ ρ
dΓ = dt
等压面、等密度面平行
理想正压流体，在有势力的作用下，则速度环流不随 时间变化，这就是凯尔文定理。
15
说 明： 由此可知，理想正压流体，在有势力的作用下，流 体运动涡度强度不随时间变化，无旋流动中的流点 不可能获得涡度；反之，涡旋流动中的流点也不可 能失去涡度。
流体力学--漩涡理论 ppt课件
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
旋涡理论
(r
a2 r
)
2
vr
r
V0
cos (1
a2 r2
)
v
1 r
V0 sin (1
a2 r2
)
2
r
柱面上(r = a):
v
vr 0
2V0 sin
2 a
v 0
sin 4 aV0
6.1.4 点涡 (vortex)
流场中坐标原点处有一根无穷长的直涡线，方向垂直
于图平面，则该涡线与图平面的交点即为一个点涡。
位于（0，0）点涡：
vr
0，
v
2 r
vr dr
v rd
2
v dr
vr rd
2
ln
r
v
Γ顺时针方向，若逆时针，上式加负号。
第5章 旋涡理论
内容：介绍描述旋涡运动的基本方法和旋涡运动的
基本定理。
包括：（1）旋涡运动的基本概念。
（2）旋涡运动的基本定理。 汤姆逊（Thomson）定理 拉格朗日（Lagrange）定理 亥姆霍兹（Helmholtz）定理 毕奥沙伐（Biot——Savart）定理
4
1、涡线：流场中的一条曲线。 其上所有流体
d
J：表征流场中旋涡的强弱和分布面积大小的物理量。
4 、旋速度环量：
C C vsds C v cosds C v ds
漩涡的形成原理
漩涡的形成原理
漩涡的形成原理是由于流体中的旋转速度或涡旋引起的。
当流体快速流动时，周围的流体会形成旋转的运动，从而形成一个封闭的回旋流动区域，即漩涡。
漩涡形成的原理有以下几个方面：
1. 流体动量守恒：根据流体力学的基本原理，流体中的动量是守恒的。
当流体中的一部分区域发生旋转运动时，为了满足动量守恒定律，周围的流体就会被卷入旋转中，从而形成漩涡。
2. 惯性力的作用：流体中的惯性力是流体粒子由于惯性而产生的力。
在流体流动过程中，由于速度的突然变化或流线的弯曲，流体粒子会受到惯性力的作用，使其偏离原来的流动轨道，从而形成旋转运动。
3. 湍流的发生：当流体流经一些不规则的障碍物或流动介质的边界时，可能会发生湍流现象。
湍流是指流体的流动变得混乱、无规律，并形成旋转、渦旋的流动状态。
湍流过程中的涡旋运动会导致漩涡的形成。
4. 自旋效应：当流体受到外力的作用或流动过程中发生一些扰动时，流体分子之间会发生相互碰撞，从而导致动量和角动量的转移。
这种转移可能导致流体形成旋转的运动，形成漩涡现象。
综上所述，漩涡的形成是由于流体中的旋转速度、惯性力、湍
流和自旋效应的共同作用引起的。
这种旋转运动形成了封闭的回旋流动区域，即漩涡。
流体力学5-漩涡理论说课材料
(vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
(vy x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
av x
0
dx
vy
vy x
dx
b x
d 2zd S 2n d S 2 d J
漩涡理论
2 有限平面
C 2nd2J （单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ内全部是流
ds
A BV d sV xd x V yd y V zd z
A B
A B
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds2nd
————斯托克斯定理
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2 J (斯 托 克 斯 定 理 ）
不 随 时 间 变 化 （ 汤 姆 逊 定 理 ）
J不 随 时 间 变 化
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
V
Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
流体力学5-漩涡理论
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB
r V
dsr
AB
V
r cos(V
,
dsr
x
y
dp 2d ( x2 y2 )
2
p
2 (
x2
2
y2
)
c
1 2
V2
c
p
p0
1 2
V2
VR2
r R, V VR,
p
pR
p0
1 2
VR2
43
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V 2
旋涡内部压力分布：
p
p0
1 2
V2
或 c ÑcVsds 2nd
n
r
漩涡理论
d
C 16
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
பைடு நூலகம்
d
vx
2010-第五章旋涡理论 流体力学
∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
n n
1 2
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
例5.1 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
方法（详见p146）：
例5.2 已知漩涡强度, 求速度环量。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p146）： 由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。
旋涡运动基本定理
流体力学漩涡理论(课堂PPT)
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
即 d 0
dt .
漩涡理论
22
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 2) 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远
无旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强
度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
.
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
ABABVxdxVydyVzdzABxdxydryzdzA BdBAVFra bibliotekVsB
对于有旋场:
A B V rd s rV x d x V y d y V zd z
A B
A B
A
d sr
.
漩涡理论
14
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Ñ c cVxdx Vydy Vzdz
流管
涡丝vortex filament 元流
截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束
称为涡索（涡丝）。
称为元流
.
9
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ωndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
r
流量
QdQud
d
流体力学漩涡理论ppt课件
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
Γ AB＝－Γ BA
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds)ds
C L 2 nd
n 0 Γ ｃ＋Γ Ｌ＝０
Γ ｃ=-Γ Ｌ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
21
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡a面bdb上aea n0 0
ab ba 0
ab ba
流线微分方程：
取流线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk
该处的速度
旋涡理论(vortextheory)
成熟阶段
旋涡达到稳定状态，其形状和 大小不再发生显著变化。
消散阶段
随着时间的推移，旋涡逐渐消 失或与其他旋涡合并。
影响因子
流体性质
流体的密度、粘度、压缩性等物理性质 对旋涡的形成和演化有重要影响。
边界条件
流体的边界形状、粗糙度、弹性等边 界条件对旋涡的形成和演化具有重要
作用
旋涡在湍流中扮演着重要的角色，通过产生速度 梯度和压力梯度，影响流体的流动特性和能量传 递。
研究意义
深入理解旋涡与湍流的关系，有助于揭示湍流的 本质，并为湍流控制和减阻等应用提供理论支持。
漩涡的分离与再附着
定义
漩涡的分离是指流体的旋涡结构在流动过程中发生断裂和分离的现 象；再附着则是指分离后的旋涡重新连接和合并的过程。
对实际应用的推动作用
提高能源利用效率
通过深入理解旋涡现象，优化流体机械设计，提高能源转换效率， 如风力发电机、水力发电等。
环境保护与治理
研究污染物在流体中的扩散和输运机制，利用旋涡理论优化污染控 制和治理方案。
生物医学应用
探索旋涡理论与生物医学的结合点，如血流动力学中的旋涡现象对 心血管疾病的影响等，为疾病诊断和治疗提供新思路。
生态学
在生态学中，旋涡理论用于研究生态系统中的能量流动和物质循环。生态系统中的生物 群落通过食物链和物质循环相互关联，形成复杂的旋涡结构。
流体动力学与生物运动
在研究鱼类、鸟类等生物的运动机制时，旋涡理论用于解释生物如何通过产生旋涡进行 高效的运动和机动。
地球科学
地质学
地质学中，旋涡理论用于研究地 壳板块的运动和相互作用。板块 之间的相互作用形成旋涡结构， 影响地震、火山活动和构造地貌 的形成。
漩涡理论知识点总结
漩涡理论知识点总结一、数学模型在漩涡理论中，最基本的数学模型是涡量方程和涡旋形状方程。
涡量是一个描述流体旋转状态的矢量，它由流速场的旋度给出。
涡量方程描述了在流体中涡量的演变过程，它是流体动力学中的基本方程之一。
涡旋形状方程则描述了在漩涡中流体的轨迹和旋转的形状。
除了涡量方程和涡旋形状方程，漩涡理论还涉及到流体的运动方程和流体的力学性质，如黏性、密度和压力分布等。
这些方程和性质共同构成了漩涡理论的数学模型，通过这些模型可以对流体中的漩涡运动进行准确描述和分析。
二、实验观测漩涡现象在自然界中广泛存在，例如水中的漩涡、大气中的龙卷风、宇宙中的星系旋涡等。
科学家们对这些漩涡现象进行了大量的实验观测，通过这些实验观测积累了丰富的数据和经验，为漩涡理论的研究提供了重要的实验基础。
在实验观测中，科学家们采用了各种现代化的流体力学实验设备和技术手段，如风洞实验、水池实验、激光测速仪等。
通过这些实验手段，可以对漩涡的形成、演变和消散过程进行详细观测和记录，从而揭示了漩涡运动的一些重要规律和特性。
三、应用漩涡理论除了在基础理论研究中有重要意义外，还在工程技术、环境科学、气象预报等领域有着广泛的应用。
例如，在航空航天领域，漩涡理论被用于设计和优化飞行器的气动外形，以降低飞行器的阻力和提高飞行性能。
在水利工程中，漩涡理论可以用来预测水流的流速和方向，为水利工程的设计和施工提供重要的参考依据。
在海洋工程中，漩涡理论可以帮助科学家们理解海流的形成和演变规律，为海洋资源开发和环境保护提供支持。
总之，漩涡理论是流体动力学中的重要理论之一，它是对流体中漩涡运动规律的系统总结和理论探讨。
通过数学模型、实验观测和应用研究，科学家们不断深化了对漩涡理论的理解和认识，为人类对自然界中漩涡现象的研究和利用提供了重要的理论和技术支持。
希望在未来的研究中，漩涡理论能够继续发展和完善，为人类对自然界的探索和认识作出更大的贡献。
亥姆霍兹漩涡定理
亥姆霍兹漩涡定理
亥姆霍兹漩涡定理是流体力学中的一个重要定理，用于描述流体运动中的速度分布和涡量的关系。
该定理由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹在19世纪提出。
亥姆霍兹漩涡定理表明，在不可压缩、稳定的流体中，速度场可以分解为无旋和有旋两个分量。
其中无旋分量代表了流体的局部膨胀与收缩情况，而有旋分量则代表了流体的旋转和涡旋结构。
亥姆霍兹漩涡定理的数学表示为：任意矢量场V(x,y,z)可以分
解为两个分量：无旋场和有旋场。
V(x,y,z) = φ(x,y,z) + ∇ × A(x,y,z)
其中，φ(x,y,z)是无旋场，表示速度场中的膨胀和收缩情况，
符合拉普拉斯方程∇²φ = 0；
∇ × A(x,y,z)是有旋场，表示速度场中的旋转和涡旋结构，符
合泊松方程∇² A = - ∇ · (∇ × V)。
亥姆霍兹漩涡定理的物理意义是将流体速度场分解为一个无旋分量和一个有旋分量，使得对流体运动的分析更加简洁和方便。
无旋分量主要描述了流体的局部运动特性，例如膨胀、收缩和压缩；而有旋分量主要描述了流体的旋转和涡旋结构，例如涡流、旋涡和旋转流。
亥姆霍兹漩涡定理在流体力学和电磁学等领域具有广泛的应用，
对于分析和预测流体运动和涡旋结构等问题起到了重要的作用，也为相关工程实践和科学研究提供了基础和理论支持。
高二物理竞赛课件：流体力学的旋涡运动(15张PPT)
a2
A2 b2
K
a1
b1
A1
图7－10 同一涡管上的两截面 图7－11 涡管上的封闭轴线
如图7－10所示，在同一涡管上任取两截面A1、A2，在A1、 A2之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段a1a2和b1b2。由于
封闭周线a1a2b1b2a1所围成的涡管表面无涡线通过，旋 涡强度为零。根据斯托克斯定理，沿封闭周线的速度环 量等于零，即：
二项积分式可表示为:
(dvx dx dvy dt dt
dy dvz dt
dz)
[( fx
1
p )dx ( x
fy
1
p )dy ( y
fz
1
p )dz] z
[( fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)]
d dPF
将上面的结果代入式（7-30a），并考虑到 v. .P都F 是单值
x
v2 2
PF
dx
y
v2 2
PF
dy
z
v2 2
PF
dz
0
d
v2 2
PF
0
积分
v2 2
PF
C
（7-21）
上式为欧拉积分的结果，表明理想正压性流体在有势的质 量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的总机械能在 流场中保持不变。
伯努利积分
当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流 动时，式（7-19）右端第一项等于零。由流线的特性知，此时
速度环量、斯托克斯定理
1．速度环量:在流场的某封闭周线上，如图7-9（b），流体速 度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示， 即:
流体力学 第五章 涡旋动力学基础
2.开尔文定理
理想（无粘）正压流体在有势的质量力作用下， 速度环流不随时间变化，其证明如下：
d dt
d dt
udx
vdy
得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。
3、拉格朗日（Lagrange）定理
拉格朗日定理是开尔文定理的直接推论，又称 为涡旋不生不灭定理。
拉格朗日定理可陈述如下：在质量力有势的条 件下，理想、正压流体的流动中，若在某一时 刻某一部分流体内没有涡旋，则在该时刻以前 及以后的时间内，该部分流体内也不会有涡旋 。反之，若某一时刻该部分流体内有涡旋，则 在此时刻以前及以后的时间内这部分流体皆为 有旋。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：
d dt
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
dp
上式中引入比容：
1
p=常数的面称为等压面，α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p p() ，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。
本节先从速度环流变化的角度来刻画涡旋运动 的变化。先引入速度环流变化的基本关系式， 从而推出有关速度环流变化的两个守恒定律— —开尔文定理和皮耶克尼斯定理。
第五章：旋涡理论
5．兰金组合涡
兰金组合涡：半径为 R 的无限长圆柱形涡，在 R 内，流体象刚一样能轴线旋转，角速度为 ωG 。
速度分布： vθ = ωr
vr = 0
vθ
=
Γ 2π r
vr = 0
压力分布：
p
−
p0
=
1 2
ρ vθ 2
−
ρ vR 2
p − p0 = −ρvR2
（ r < R ） 有旋 （r > R ） 无旋
涡线：同流线定义相似，即同一瞬时涡线上每一流体质点的旋转角速度矢量与涡线相切。 涡线微分方程：
dx = dy = dz ωx ωy ωz
可组成一常微分方程组
用右手法则确定旋转角速度的方向，由涡线定义，说明流体质点在该瞬时绕其旋转
速度轴旋转。
涡管：与流管类似，流管的管壁为流线，涡管的管壁为涡线，这些涡线处处与涡管的
1 (∂vz 2 ∂y
−
∂vy ) ∂z
=0
JK 所以：ω =
c
KK (z j − yk)
y2 + z2
2）由涡线微分方程 dx = dy = dz ， ωx ωy ωz
有 积分得
dy = − dz zy y2 + z2 = c1
R3
R2
Γ
Γ
R1
Γ
x = c2
5．试求图 5-2 所示的马蹄涡对流场中任意一点 处的诱导速度。 解：设流场中任意一点 A，分别距三条涡线的垂
A）定常不可压缩无旋流场
B）静止，不可压缩理想流场
C）不可压缩有旋流场
D）不可压缩非定常流场
JK
v∫ ∫∫ 2．斯托克斯定理 Γ = c vsds = 2 wndσ ，若 Γ =0，而ω 不一定为零，这是因为（ ）。 σ
流体力学教案第5章流体漩涡运动基础
第五章 流体旋涡运动基础§5-1 旋涡运动的几个基本概念一、涡量场对有旋流动，0≠ω ，而),,,(t z y x f ＝ω，所以对有旋流动的流场中同时存在一个旋涡场，或称涡量场或角速度场。
k Ωj Ωi ΩΩz y x++= (1)zy w Ωx ∂∂-∂∂=υ xwz u Ωy ∂∂-∂∂=(2) yu x Ωz ∂∂-∂∂=υ 满足涡量连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x (3) 二、涡线同速度场中引进流线、流管和流量的定义一样。
下面我们定义涡线、涡管、涡束以及旋涡强度(涡通量)。
涡线――涡线是旋涡场中的一条曲线，在某一瞬时，曲线上各点的切线方向与该点流体微团的角速度ω方向重合。
(Ω 方向的判别，根据右手螺旋法则)对非定常流动涡线的形状随时间而变，对定常流动，涡线形状不随时间而变。
与流线一样，涡线本身也不会相交。
取k z j y i x sd d d d ++=为涡线上一微元线段。
类似于流线微分方程，或由0d d d d ==⨯zyx ΩΩΩk j is Ωz y x可得到涡线微分方程为：),,,(d ),,,(d ),,,(d t z y x Ωzt z y x Ωy t z y x Ωx z y x == (4)三、涡管和涡束涡管－在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每点的涡线，这些涡线形成一管状表面，称为涡管。
涡束－涡管中充满作旋转运动的流体，称为涡束。
四、涡通量涡通量－通过任一开口曲面的涡量的总和。
通过开口曲面A 涡通量为：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=n为d A 的外法线单位向量 对于封闭曲面：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=由于：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x 所以：0d =⋅=⎰⎰A n ΩJ A五、速度环量定义如下：在流场中任取一通曲线AB 。
AB 曲线上任一点的速度为V，在该点B 附近的曲线上任取一微元线段s d ，V 与sd 的夹角为α。
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无限长的直涡丝 点涡的诱导速度
v 2 R vr 0
点涡
（R为场点至点涡的距离）
这种速度场是无旋的（例3.4） ！！点涡不对自身 产生诱导速度
R
例5.1 如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。 解: (a)： 由B—S定律 dx A v 0 Ａ点：xA dt
拉格朗日积分式(略去质量力)
1 1 2 p V p0 V2 p0 C 2 2
( r , V 0) 2 r
1 p p0 V2 2
r=R，V＝VR＝ω Ｒ
1 pR p0 2 R 2 2
（2）旋涡内部: 定常有旋流动 伯努利方程
诱导速度场与电磁场的类比
磁 场
带电导线 电流强度ｉ 诱导磁场强度
ds sin dH i r2
诱导速度场
涡丝(线) 旋涡强度 诱导速度场
ds sin dv 4 r2
场点
流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式 微元涡丝ds在P点的诱导速度
ds sin dv 4 r2
2
直涡丝ＭＮ
方向垂直于纸面向外
1.对于无限长直涡丝： θ１=０ θ２=180°
v (cos 1 cos 2 ) [1 (1)] 4 R 4 R 2 R
2.对于半无限长直涡丝：θ１=90° θ２=180°
v (cos 1 cos 2 ) [0 (1)] 4 R 4 R 4 R
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
旋涡理论
园盘绕流尾流场中的旋涡
园球绕流尾流场中的旋涡
园柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在 同瞬时的旋转角速度矢量 同瞬时的流速矢量 v 与此线 v3 与此线相切。 相切。 3 v2 2
漩涡理论
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流
动无旋，则沿包含固体在内的任意两
个封闭周线的环量彼此相等。
C L 2 n d
n 0
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
Ｌ
Ｅ
Γ
ｃ＋Γ
Ｌ＝０
Γ
ｃ=-Γ Ｌ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
§5-2 汤姆逊定理 假设：
一、速度分布
（1）旋涡内部：（r < R）
Vr 0, V r
速度呈线性分布
（2）旋涡外部
R 2 r 0, V 2 r r
（r>R）
2 R
2
2
2 R const.
外部流速与ｒ成反比。
二、压力分布
（1）旋涡外部： 流动定常且无旋 （r>R）
vx ( )dxdy x y vy
vx vx dy y y d
vy
c
v y
而
vx ( ) 2z x y
0
v y
微矩形面积ds上的环量：
d 2z dS 2n dS 2dJ
vy dy dx vy x dx b a vx x
漩涡理论
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任意曲面
n
d
推广到有限大平面
C
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体
周线的速度环量不随时间而变. 即
d 0 dt
漩涡理论
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无 旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变 2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。 2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压 流场，非有势力。 漩涡理论
对于无旋流场:
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V Vs
B
对于有旋场: AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
1 p V 2 C L 2
流线为同心圆族 不同流线上压力不同
1 2 2 p p0 V VR 2
求解过程 欧拉方程（略去质量力）
Vx Vx 1 p Vx Vy x x x
Vx Vy x Vy Vy x 1 p y
Vx y Vy x
方向: 垂直于ds和ｒ所在的平面，按右手法则确定。
流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式
单一有限长涡丝在P点的诱导速度
v 4
sin ds r2 s
典型实例：无限长直涡丝
dx段对Ｐ点的诱导速度 dv sin dx 2 4r
ＭＮ段对Ｐ点的诱导速度：
v sin d 4 R 1 (cos 1 cos 2 ) 4 R
元流 截面积为无限小的流束 称为元流
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小 dＪ＝ω ndσ
J n d
如果 是涡管的截面 则J为涡管强度
流量
Q dQ ud
n
d
二、速度环量（velocity circulation）
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 n d
涡面上 n 0 abdbaea 0
ab ba 0
ab ba
（逆 顺） n d n d
v yA dy A 1 dt 2 2a 4 a
B点：
v yB
dxB vxB 0 dt
dyB 1 dt 2 2a 4 a
积分得:
x A c1 ,
xB c3 ,
yA时 xA a, yA 0, xB a , yB 0 代入方程得: Ｃ1=ａ Ｃ2=０ Ｃ3=-ａ Ｃ4=０ 故Ａ，Ｂ两点的运动方程为:
1
0
2
或
d const.
n
漩涡理论
d const.
n
d 0, n
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固
体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。 即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管 涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2J (斯托克斯定理）
v yA dy A dt 4 a
dyB v yB dt 4 a
Ａ点和Ｂ点的运动方程为：
rA a,
rB a,
B t 2 4 a
v a 4 a 2
转动的角速度为:
§５-６ 兰金组合涡 设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形 流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为ω。
ds dxi dyj dzk
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t) vz ( x, y, z, t)
ds
ds
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
1 p x x 1 p 2 y y
2
p p dx dy dp r R, V VR , x y 1 2 x2 y 2 2 p pR p0 VR dp d ( ) 2 2 x2 y 2 1 2 p ( ) c V2 c 2 2
路径的线积分。
定义 AB AB Vs ds
速度环量是标量，速度方向与 积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
V Vs
B
ds
A
漩涡理论
Γ
AB＝－Γ BA
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB AB
V Vs
B
V cos(V , ds )ds
1
v1
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
流线微分方程：
取流线上一段微弧长 该处的速度
v vx i vy j vz k