完全平方公式优质课件
合集下载
完全平方公式ppt课件
4. 解法：
（1）先把二次方程化为完全 平方公式的形式： ax² + bx + c = 0
完全平方公式
（2）然后将方程按照完全平方公式的标准形式：
(x + p)² + q = 0
01
（5）求出方程的根：
x1 = -p + √(-q)
04
x2 = -p - √(-q)
（3）求出p、q的值：
02
p = -b/2a q = c - b²/4a
一、完全平方公式
演讲人 2023-01-14
目录
01
02
完全平方公式
实例
完全平方公式
1. 定义：
完全平方公式，又称为对称二 次方程，指的是可以表示为一
个完全平方式的二次方程。
2. 标准形式：
ax² + bx + c = 0
3. 用途：
完全平方公式可以用来解决二 次方程，求解方程的根，从而
解决一些数学问题。
04
0 5
（1）将二次方程化为完全平方公式的形式：
x² - 10x + 25 = 0
（3）求出p、q的值：
p = -10/2 q = 25 - 100/4
实例
x1 = 5 + √24 01
03 x1 = 9
（5）求出方程 的根：x2 = 5 - √2 0204 x2 = 1
谢谢
03
（4）由求出的p、q值代入完全平方公式中：
(x + p)² + q = 0
实例
例1：解x² - 10x + 25 = 0
在右侧编辑区输入内容
（2）按照完全平方公式的标准形式：
完全平方公式一等奖课件
完全平方公式一等奖课件对于二次多项式(ax^2 + bx + c)，如果其判别式(b^2 - 4ac)大于等于零，则可以使用完全平方公式来因式分解。
现在我们来推导一下完全平方公式的过程。
假设有一个二次方程ax^2 + bx + c = 0（其中a、b、c为常数），我们要通过完全平方的形式来解方程。
首先我们要将二次方程的左边进行配方。
我们将二次项(ax^2)和常数项(c)放到一起，同时将线性项(bx)的系数的一半提取出来，即(ax^2 + bx + c) = (ax^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c)。
接下来我们可以将括号中的部分进行简化，即(ax^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c) = [(ax^2 + bx + (b/2)^2) - ((b/2)^2 - c)]。
继续简化可得，[(ax^2 + bx + (b/2)^2) - ((b/2)^2 - c)] = [(ax^2 + bx + (b/2)^2) - (b^2/4 - c)]。
将二次项(ax^2)和线性项(bx)的系数的一半相加，并将其平方，我们得到(ax^2 + bx + (b/2)^2) = [(ax^2 + bx + b^2/4)] = [(√(ax +b/2))^2]。
将二次项(ax^2)和线性项(bx)的系数的一半相减，并将其平方，我们得到((b/2)^2 - c) = [(-b/2)^2 - c] = [(√((-b/2)^2 - c))^2]。
现在我们将这两个括号内的部分进行整合，即[(ax^2 + bx +(b/2)^2) - (b^2/4 - c)] = [(√(ax + b/2))^2 - (√((-b/2)^2 - c))^2]。
根据完全平方公式，我们可以得到[(√(ax + b/2))^2 - (√((-b/2)^2 - c))^2] = (x - √((-b/2)^2 - c))(x + √((-b/2)^2 - c))。
八年级15.3.2 完全平方公式(公开课)优质课件PPT
(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
2021/02/01
7
学一学
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a −b)2 = a2 −2ab+b2 .
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (4m+n)2 ； (2) (y-0.5x)2 ; (3) (-a−b)2 ; (4) (b-a)2
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+b2;
利用两数和的
(a−b)2= [a+(−b)]2
完全平方公式 推证公式
(2) (4a−1)2=(4a+1)2；
成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；
不成立．
(4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).
不成立．
2021/02/01
13
2号题：
填空题：
（1）(-3x+4y)2=_9_x_2_-_2_4_x_y_+__1_6_y．2
(4) (b-a)2= b2-2 •b •a+a2 =b2-2ab+a2
(-a−b)2=(a+b)2 (b−a)2=(a-b)2
2021/02/01
8
随随堂堂练练习习
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
2021/02/01
7
学一学
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a −b)2 = a2 −2ab+b2 .
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (4m+n)2 ； (2) (y-0.5x)2 ; (3) (-a−b)2 ; (4) (b-a)2
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+b2;
利用两数和的
(a−b)2= [a+(−b)]2
完全平方公式 推证公式
(2) (4a−1)2=(4a+1)2；
成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；
不成立．
(4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).
不成立．
2021/02/01
13
2号题：
填空题：
（1）(-3x+4y)2=_9_x_2_-_2_4_x_y_+__1_6_y．2
(4) (b-a)2= b2-2 •b •a+a2 =b2-2ab+a2
(-a−b)2=(a+b)2 (b−a)2=(a-b)2
2021/02/01
8
随随堂堂练练习习
完全平方公式ppt课件
解：∵a2＋b2＝13，ab＝6， ∴ (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ＝a2＋b2＋2ab ＝13＋2×6＝25 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ＝a2＋b2－2ab ＝13－2×6＝1.
拓展提高
1.计算：
(1) (a+b－5)2
(2) (a+b+c)2
解：原式= [(a+b)－5]2
解：原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2－10a－10b+25 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
三项式可以先加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式中
公式：
2.方法：先将式子加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式
典例精析
例1 利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2
ab
(2) (4x+5y)2
ab
(3) (mn－a)2
ab
例2 计算：
ab
ab
可以将式子先加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式中
的 a 和 b ，直接套公式
基础练习
注意区分平方差公式和完全平方公式
1. 口算下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
1.6完全平方公式
第一课时
温故知新
计算：
观察上列算式及其运算结果，你有什么发现？ 再举两例验证你的发现
探索新知
猜一猜：
拓展提高
1.计算：
(1) (a+b－5)2
(2) (a+b+c)2
解：原式= [(a+b)－5]2
解：原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2－10a－10b+25 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
三项式可以先加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式中
公式：
2.方法：先将式子加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式
典例精析
例1 利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2
ab
(2) (4x+5y)2
ab
(3) (mn－a)2
ab
例2 计算：
ab
ab
可以将式子先加括号变形为(a+b)2 或(a-b)2 ，再找到公式中
的 a 和 b ，直接套公式
基础练习
注意区分平方差公式和完全平方公式
1. 口算下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
1.6完全平方公式
第一课时
温故知新
计算：
观察上列算式及其运算结果，你有什么发现？ 再举两例验证你的发现
探索新知
猜一猜：
完全平方公式ppt课件
=2x2-8x+8+3x-2x2-1
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
完全平方公式PPT课件
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
例4 运用完全平方公式计算：
(1)(3m+n)2；
(2)
x
-
1 2
2
.
(1)(3m+n)2
解 (3m+n)2
= (3m)2+2 ·3m ·n + n2
= 9m2+6mn+n2.
（2）
2
x - 1
2
解
x
-
1
2
2
=
x2
-2·x·1Fra bibliotek+
12
2 2
= x2 - x+ 1 4
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改 正？
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？ (a-b)2与(b-a)2相等吗？ (a-b)2与a2-b2相等吗？ 为什么？
说一说
1. (a-b)2与(b-a)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2. 2. (a+b)2与(-a-b)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (-a-b)2 = [-(a+b)]2=(a+b)2.
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义 和的完全平方公式：
b ab
b²
(a+b)²
完全平方公式ppt课件
2.下列等式不成立的是( )
A.(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2
B.(m－n)2＝m2－n2
C.(x－y)2＝(y－x)2
D.(x＋y)2＝(－x－y)2
3.运用完全平方公式计算: (1)(3+5p)2 (2)(a－3b)2
(4)(－2m＋n)2
1600×799＋7992
(5)1032
(7)(x＋2y)2－y(x＋2y) b)2
观察运算结果中 的每一项，说说 它们的共同特点
右边第一项是左边第一项的平方，右边 最后一项是左边第二项的平方，中间一 项是它们两个乘积的2倍．
左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左 边如果为“-”号，它们两个乘积的2•倍就为 “-”号，其余都为“+”号．
请类比上面几个运算，计算下列式子：
.(a+b)2=2+2ab+b (a-b)2=a2+2ab+b2
(3)(a+ )2 (6)8002－
(8)(2a＋b)2－(2a－
4.已知A＝2x＋3y，B＝2x－3y，计算A2－B2.
5.已知x＋y＝7，xy＝2，求下列各式的值： (1)x2＋y2； (2)2(x－y)2.
例4.已知：x+y=8,xy=10,求(x+y)2的值.
练习5.已知a－b＝10，ab＝20，求下列式子的值． (1)a2＋b2 (2)(a＋b)2
课堂练习
1.下列计算正确的是( A.(x+y)2＝x2+y2 C.(x+1)(x－1)＝x2－1
) B.(x－y)2＝x2－2xy－y2
D.(x－1)2＝x2－1
14.2.2 完全平方公式
完全平方公式PPT课件
探究
a a
b
b
b
a
a
b
如图，有四张卡片： 1.你能用这四张卡片拼成一个大正方形吗？请你动手拼一拼。 2.你能用不同的方法求大正方形的面积吗？ 3.你从中发现了什么规律？ 4.你能用整式的乘法法则说明理由吗？ 5.这个结论对我们的运算起到什么样的作用呢？
得出结论：
(a b)2 a2 2ab b2
用一用2
例1、利用完全平方公式计算：
1. (2x 3)2
2. (m 1 )2 2
3. ( y 2)2 4. (4x 5 y)2
用一用3
例2、利用完全平方公式计算：
1. 1022 2. 992
用后反思
1.利用完全平方公式简便了我们的计算。 2.利用完全平方公式时，我们应该注意的一些事项有： （1）中间项是两数（式）的2倍。 （2）各项的符号。 （3）该添加括号的应该添加括号。
做一做
利用完全平方公式计算： 1. (1 x 2 y)2
2
2. (m n)2 n2
3. (a 1 )2 a
4. 9.52
小结
1.这节课你学到了什么知识？ 2.运用这一知识时应注意哪些事项？ 3.通过这节课的学习你有何感想与体方公式进行计算吗？
视察上面各式，讨论下面的问题： 1.公式的左边有什么特点？ 2.公式的右边有什么特点？ 3.公式的符号有什么特点？ 4.你能用自己的语言叙述这个公式吗？
各式特点
1.积为二次三项式。 2.积中两项为两数的平方和。 3.另一项是两数的两倍，且与乘式中间的符号相同。 4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式。
其实据有关资料表明，古代中国人在多年以前就利用类似的 图形认识了这个规律。
猜想
a a
b
b
b
a
a
b
如图，有四张卡片： 1.你能用这四张卡片拼成一个大正方形吗？请你动手拼一拼。 2.你能用不同的方法求大正方形的面积吗？ 3.你从中发现了什么规律？ 4.你能用整式的乘法法则说明理由吗？ 5.这个结论对我们的运算起到什么样的作用呢？
得出结论：
(a b)2 a2 2ab b2
用一用2
例1、利用完全平方公式计算：
1. (2x 3)2
2. (m 1 )2 2
3. ( y 2)2 4. (4x 5 y)2
用一用3
例2、利用完全平方公式计算：
1. 1022 2. 992
用后反思
1.利用完全平方公式简便了我们的计算。 2.利用完全平方公式时，我们应该注意的一些事项有： （1）中间项是两数（式）的2倍。 （2）各项的符号。 （3）该添加括号的应该添加括号。
做一做
利用完全平方公式计算： 1. (1 x 2 y)2
2
2. (m n)2 n2
3. (a 1 )2 a
4. 9.52
小结
1.这节课你学到了什么知识？ 2.运用这一知识时应注意哪些事项？ 3.通过这节课的学习你有何感想与体方公式进行计算吗？
视察上面各式，讨论下面的问题： 1.公式的左边有什么特点？ 2.公式的右边有什么特点？ 3.公式的符号有什么特点？ 4.你能用自己的语言叙述这个公式吗？
各式特点
1.积为二次三项式。 2.积中两项为两数的平方和。 3.另一项是两数的两倍，且与乘式中间的符号相同。 4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式。
其实据有关资料表明，古代中国人在多年以前就利用类似的 图形认识了这个规律。
猜想
《完全平方公式》优质课件
通过提问和练习，检查学生对已有知 识的掌握情况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解 完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
总结词：循序渐进
详细描述：通过对完全平方公式的逐步推导，引导学生理解公式背后的逻辑和意 义。
完全平方公式的形式与意义
总结词：对比分析
公式的证明方法
基于平方的定义进行证明
利用平方的定义，即一个数的平方等于这个数的两次幂，通 过逐步推导证明完全平方公式的正确性。
基于多项式展开进行证明
通过将完全平方式的左边按照完全平方公式的形式展开，证 明公式的正确性。
公式的扩展应用
与其他数学知识的结合
完全平方公式可以与其他数学知识结合 ，如因式分解、解方程和不等式等，以 扩展其应用范围。
实际应用
数据处理
完全平方公式可以用于数据处理，如 计算方差、标准差等统计指标。
实际生活应用
完全平方公式在日常生活中有广泛的 应用，如计算房屋面积、计算价格等 。
04
公式深化
公式的变化形式
完全平方公式的三种形式
两数和的平方、两数差的平方以及两数平方和与它们的积的两倍的和的平方。
公式的应用范围
适用于解决与完全平方公式相关的问题，如代数表达式、方程和不等式等。
进阶习题
总结词
提升解题技巧
详细描述
设计一些稍有难度的习题，如涉及完全平方公式的变 形、与其他数学知识的综合应用等，旨在训练学生掌 握进阶的解题技巧和方法，提高解题能力。
综合习题
总结词
综合运用能力
详细描述
设计一些包含多个知识点、有一定难度的习 题，如需要学生综合运用完全平方公式解决 实际问题、进行复杂计算等，重点考察学生
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解 完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
总结词：循序渐进
详细描述：通过对完全平方公式的逐步推导，引导学生理解公式背后的逻辑和意 义。
完全平方公式的形式与意义
总结词：对比分析
公式的证明方法
基于平方的定义进行证明
利用平方的定义，即一个数的平方等于这个数的两次幂，通 过逐步推导证明完全平方公式的正确性。
基于多项式展开进行证明
通过将完全平方式的左边按照完全平方公式的形式展开，证 明公式的正确性。
公式的扩展应用
与其他数学知识的结合
完全平方公式可以与其他数学知识结合 ，如因式分解、解方程和不等式等，以 扩展其应用范围。
实际应用
数据处理
完全平方公式可以用于数据处理，如 计算方差、标准差等统计指标。
实际生活应用
完全平方公式在日常生活中有广泛的 应用，如计算房屋面积、计算价格等 。
04
公式深化
公式的变化形式
完全平方公式的三种形式
两数和的平方、两数差的平方以及两数平方和与它们的积的两倍的和的平方。
公式的应用范围
适用于解决与完全平方公式相关的问题，如代数表达式、方程和不等式等。
进阶习题
总结词
提升解题技巧
详细描述
设计一些稍有难度的习题，如涉及完全平方公式的变 形、与其他数学知识的综合应用等，旨在训练学生掌 握进阶的解题技巧和方法，提高解题能力。
综合习题
总结词
综合运用能力
详细描述
设计一些包含多个知识点、有一定难度的习 题，如需要学生综合运用完全平方公式解决 实际问题、进行复杂计算等，重点考察学生
七年级数学沪科版下册第1课时完全平方公式课件
课堂小结
1. 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2
（a-b)2= a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减
去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.
课堂小结
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
方，末平方，首末两倍中间放”．
新知讲授
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
新知讲授
2. 完全平方式的计算
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2.
＝1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，
∴
＋
+ + −
= =
=
；
(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝
x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.
随堂练习
1.计算：运用乘法公式计算: (a+b－5)2.
解：原式= [(a+b)－5]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= a2+2ab+b2－10a－10b+25
随堂练习
2.思考：怎样计算1022更简便呢？
解：原式= (100+2)2
=10000+400+4
完全平方公式课件ppt
(1)(x+y)2=x2 +y2
错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
错
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
2.已知(a+b)2=11 , ab=1 , 求(a-b)2的值.
【规律总结】在计算时要弄清结果中 2ab 这一项的符号， 还要防止漏掉乘积项中的因数 2.
乘法公式的综合应用 例 2：运用乘法公式计算： (1)(x＋y－z＋1)(x－y＋z＋1)； (2)(a－b－c)2. 思路导引：(1)适当变形，把“x＋1”看作一个整体，把“y －z”看作另一个整体，即可运用平方差公式．(2)可将原式中的 任意两项看成一个整体．
(4) (2m-1)2 =4m2-4m+1
1．下列计算正确的是( C ) A．(a＋m)2＝a2＋m2 B．(s－t)2＝s2－t2
C.
2x
1 2
2
＝4x2－2x＋14
D．(m＋n)2＝m2＋mn＋n2 2．计算：(1)(2a－5b)2＝_4_a_2_－__2_0_a_b_＋__2_5_b_2； (2)(－2a＋3b)2＝__4_a_2_－__1_2_a_b_＋__9_b_2 _.
=x2 +4xy +4y2
1 (2) ( x – 2y2)2 2
解：( x1– 2y2)2 = 2
《完全平方公式》优质课件
平方公式的学习做准备。
02
通过提问和练习，检查学生对已有知识的掌握情 况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
01 运用乘法分配律
完全平方公式是由乘法分配律引申而来，通过对 乘法分配律的运用，可以推导出完全平方公式。
03 培养了观察、分析、推理和归纳的能力。
需要加强的部分
01 对于公式的具体应用还需要进一步加强。
02 在解决实际问题时，还需要提高对题目的理解和 分析能力。
03 需要进一步巩固和加深对完全平方公式的理解。
下节课的预习建议
提前预习完全平方公式的 证明过程和应用实例。
提前了解下节课要学习的 内容，以便更好地参与课 堂讨论和互动。《完全源自方公式》优 质课件汇报人：
日期:
目录
• 引入部分 • 新知探究 • 实例分析 • 课堂练习 • 总结与反思 • 课后作业
01
引入部分
情境引入
介绍完全平方公式的背景和意义，激发学生对新知识的 兴趣。
通过实际例子引导学生思考完全平方公式的结构特点。
知识回顾
01 回顾因式分解、平方差公式等基础知识，为完全
02 平方差公式
平方差公式是乘法分配律的逆运算，通过平方差 公式可以推导出完全平方公式。
03 完全平方公式的证明
通过具体的证明过程，可以让学生更加深入地理 解完全平方公式的推导过程。
完全平方公式的形式与意义
01 完全平方公式的形式
完全平方公式包括三项，分别是两个数的平方和 加上或减去这两个数的积的2倍。
多做练习题，加深对公式 的理解和应用。
06
02
通过提问和练习，检查学生对已有知识的掌握情 况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
01 运用乘法分配律
完全平方公式是由乘法分配律引申而来，通过对 乘法分配律的运用，可以推导出完全平方公式。
03 培养了观察、分析、推理和归纳的能力。
需要加强的部分
01 对于公式的具体应用还需要进一步加强。
02 在解决实际问题时，还需要提高对题目的理解和 分析能力。
03 需要进一步巩固和加深对完全平方公式的理解。
下节课的预习建议
提前预习完全平方公式的 证明过程和应用实例。
提前了解下节课要学习的 内容，以便更好地参与课 堂讨论和互动。《完全源自方公式》优 质课件汇报人：
日期:
目录
• 引入部分 • 新知探究 • 实例分析 • 课堂练习 • 总结与反思 • 课后作业
01
引入部分
情境引入
介绍完全平方公式的背景和意义，激发学生对新知识的 兴趣。
通过实际例子引导学生思考完全平方公式的结构特点。
知识回顾
01 回顾因式分解、平方差公式等基础知识，为完全
02 平方差公式
平方差公式是乘法分配律的逆运算，通过平方差 公式可以推导出完全平方公式。
03 完全平方公式的证明
通过具体的证明过程，可以让学生更加深入地理 解完全平方公式的推导过程。
完全平方公式的形式与意义
01 完全平方公式的形式
完全平方公式包括三项，分别是两个数的平方和 加上或减去这两个数的积的2倍。
多做练习题，加深对公式 的理解和应用。
06
完全平方公式ppt课件
(1) (2x+3y)2 (2) (2x-3y)2 (3) (-2x+3y)2 (4) (-2x-3y)2
小结:当所给的二项式 中两项符号相同时,一 般选用“和”的完全 平方公式;
当所给的二项式 中两项的符号相反时, 一般选用“差”的完 全平方差公式.
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
本节课你学到了什么?
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同． 完全平方公式的结果 是三项， 结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
运用公式计算: 1.(a-b)(a+b)(a2+b2) 2.(2-1)(2+1)(22+1) (24+1)…… (232+1)+1
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
1.(2x+y-z)(2x-y+z) 2.(a+2b-1)2
右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
做一做 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
《完全平方公式》课件
实际应用
完全平方公式在几何、物理、金融和工程等领域广泛应用。
完全平方公式的表达式
完全平方公式 推广表达式
：a² + 2ab + b² = (a + b)² ：a² - 2ab + b² = (a - b)²
如何使用完全平方公式求解平方根？
步骤简单
将方程式中的系数和常数项代入 完全平方公式，逐步计算以得到 平方根。
完全平方公式的推导过程
几何解释
推导过程中，通过几何图形和代 数方法相结合，推导出完全平方 公式。
代数表示
推导过程使用了代数运算和算术 规则，将平方和因式化简。
几何计算
推导过程中，通过量角器和直尺 等几何工具进行计算和测量。
怎样判断一个数字是否为完全平方数？
1 穷举法
通过逐一计算数字的平方 根，判断是否为整数来判 定。
2 数学规律
完全平方数的个位数字只 能是0、1、4、5、6、9。
3 数学函数
利用数论中的一些函数和 算法来简化判断过程。
完全平方公式课件
探索完全平方公式的奥秘，从定义和性质到应用实例，带您一起领略完全平 方数的魅力。
什么是完全平方数？
1 数学的奇迹
完全平方数是具有特殊形式的数，如4、9和16等。它们的平方根是整数。
2 示例应用
完全平方数在几何学、物理学和金融数学中扮演着重要角色。
3 数据特点
完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6或9。
完全平方公式的历史背景介绍
完全平方公式最早由古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出，为数学发展打下了重要的基础。
完全平方公式与勾股定理的关系
1
几何连接
完全平方公式中的平方项和勾股定理中的两条直角边有着紧密联系。
完全平方公式在几何、物理、金融和工程等领域广泛应用。
完全平方公式的表达式
完全平方公式 推广表达式
：a² + 2ab + b² = (a + b)² ：a² - 2ab + b² = (a - b)²
如何使用完全平方公式求解平方根？
步骤简单
将方程式中的系数和常数项代入 完全平方公式，逐步计算以得到 平方根。
完全平方公式的推导过程
几何解释
推导过程中，通过几何图形和代 数方法相结合，推导出完全平方 公式。
代数表示
推导过程使用了代数运算和算术 规则，将平方和因式化简。
几何计算
推导过程中，通过量角器和直尺 等几何工具进行计算和测量。
怎样判断一个数字是否为完全平方数？
1 穷举法
通过逐一计算数字的平方 根，判断是否为整数来判 定。
2 数学规律
完全平方数的个位数字只 能是0、1、4、5、6、9。
3 数学函数
利用数论中的一些函数和 算法来简化判断过程。
完全平方公式课件
探索完全平方公式的奥秘，从定义和性质到应用实例，带您一起领略完全平 方数的魅力。
什么是完全平方数？
1 数学的奇迹
完全平方数是具有特殊形式的数，如4、9和16等。它们的平方根是整数。
2 示例应用
完全平方数在几何学、物理学和金融数学中扮演着重要角色。
3 数据特点
完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6或9。
完全平方公式的历史背景介绍
完全平方公式最早由古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出，为数学发展打下了重要的基础。
完全平方公式与勾股定理的关系
1
几何连接
完全平方公式中的平方项和勾股定理中的两条直角边有着紧密联系。
《完全平方公式》课件
《完全平方公式》课件xx年xx月xx日contents •引言•完全平方公式基础知识•完全平方公式的应用•练习与巩固•总结与回顾目录01引言课程简介课程目标：帮助学生掌握完全平方公式及其应用适用对象：初中生和高中生课程时长：2小时完全平方公式是初中数学的基础内容之一，对于后续学习非常重要公式涉及到平方、乘法和加法等基本数学运算，对于提高学生的数学素养非常有帮助完全平方公式的重要性教学目标学生能够理解完全平方公式的定义和基本性质，并能够解决相关应用题计划先介绍完全平方公式的定义和性质，然后讲解应用题的解题方法和技巧，最后进行课堂练习和总结。
教学目标与计划02完全平方公式基础知识公式概述完全平方公式是指对于任意的实数a和b，$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$的公式。
公式结构公式由三项构成，第一项为a的平方，第二项为a和b的乘积的两倍，第三项为b的平方。
公式特点完全平方公式反映了两个数和它们的积的平方和，是数学中常用的公式之一。
什么是完全平方公式历史背景完全平方公式在数学发展史中具有重要意义。
早在古希腊和古埃及的时代，数学家们就已经开始研究平方和立方的问题。
推导过程通过将两个数的和或差的平方展开，可以得到完全平方公式。
例如，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
实际应用完全平方公式在解决实际问题时有着广泛的应用，如几何学中的面积和体积计算，代数学中的方程求解等等。
利用完全平方公式可以证明一些非负数的性质。
例如，如果a是非负实数，那么$(a - b)^2 \geq 0$，当且仅当a等于b时取等号。
变形完全平方公式也可以进行变形。
例如，如果$a^2 + b^2 = c^2$，那么$a$和$b$的乘积等于$c$的长度乘积的一半，即$ab = \frac{1}{2} \times c \times c$。
. 完全平方公式 优质课获奖课件
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法
则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让
学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的
项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照，
其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式． 在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释．
重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释 ，
灵活应用．
难点 理解完全平方公式的结构特征 ， 并能灵活应用公 式进行计算．
一、复习引入 你能列出下列代数式吗？ (1)两数和的平方；(2)两数差的平方． 你能计算出它们的结果吗？ 二、探究新知 你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括； 举例：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________； (2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________； (3)(m＋2)2＝________________； (4)(m－2)2＝________________．
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法
则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让
学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2
(2) (4x-3y)2
=36a2+60ab+25b2
=16x2-24xy+9y2
(3) (2m-1)2 =4m2-4m+1
(5) 1032
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
=(100+3)2
=1002+2×100×3+32
=10 000+600+9=10 609
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4 . （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1 . （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= m2-4m+4 . 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
变式训练
练习1 计算： （1）（a+5）2 ； （2）（y-7）2 ； （3）（3+x）2 ； （4）（2-y）2 ．
4x2 y2 4xy 1
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ （1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2 +2 xy+y 2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
例题解析
例3 运用完全平方公式计算： （1）1022 ； （2）992 ．
解：（1） 1022 =（100+2）2 =10 000+400+4=10 404；
（2） 992 =（100-1）2 =10 000-200+1=9 801．
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
例2、运用完全平方公式计算：
(1)(4m2－3n)2 ；
解：原式＝ (4m2 )22 • 4m2 • 3n(3n)2 16m4 24m2n 9n2
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
运用完全平方公式计算：首？尾？中间符号？
(2)(－2xy－1)2 ；
解：原式＝(2xy)2 2 • 2xy •1 (1)2
完全平方公式优质课件
(a +b)2 = a2 + 2 a b + b2
=16m2 +8mn +n2；
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
(2) (y- 1 )2.
2
解： (y-
1 2
)2=
y2
-2•y•
1 2
)2= a2 - 2 ab + b2
= y2 - y + 1 .
4
完全平方公式优质课件
2、第二天有b个女孩一起去老人家，老人一共给
b2
了这些孩子多少块糖？
3、第三天有(a+b)个孩子一起去老人家，老人一 共给了这些孩子多少块糖？
(a+b)2
4、第三天给的糖果数与前两天给的糖果总数一样多吗？
比较 ：(a+b)2 与 a2+b2
讲授新课
一 完全平方公式
合作探究
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 .
完全平方公式优质课件
完全平方和公式：
b ab b²
a a² ab
ab
++
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
完全平方差公式：
b ab b²
a
a²
ab
ab
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
学以致用
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2；
解： (4m+n)2= (4m)2 +2•(4m) •n +n2
完全平方公式优质课件
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
完全平方公式优质课件
14.2.2 完全平方公式
一、创设情境
有一位老人非常喜欢小孩，每当有孩子到家做客时，老人都拿出糖果招 待他们，来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就 给每个孩子两块糖，来3个孩子，老人就给每个孩子三块糖.......
1、第一天有a个男孩一起去老人家，老人一共给
a2
了这些孩子多少块糖？
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
归纳：
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? 相等 (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗? 相等 (3) (a+b)2与a2+b2相等吗?不相等 (4) (a-b)2与a2-b2相等吗? 不相等
完全平方公式优质课件
完全平方公式优质课件
通过本课时的学习，需要我们掌握：