直线与平面所成角ppt1

直线和平面所成的角
X
平面的一条斜线和 它在平面内的射影所成 的锐角，叫做这条直线
和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所
成的角是0 的角。
直线和平面所成角的范围是[0，90]。
D1
C1
A1 D
B1
练
习
1
C
1
A
B
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，分别指 出对角线A1C与六个面所成的角.
N
M O M'
移出图 N'
M6
4
1
β
O
N'
M
M'
β
O M'
N' 移出图
M
1O
M' 6
N'
4
N
N
例4. 如图，已知Rt△ ABC的斜边BC在平面
内，两直角边AB.AC和平面所成的角分别为 45和 30，求斜边BC上的高AD和平面所成的 角.
A
O
B
D D
C
练习
1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ？
上，过A作AC⊥OD于C,连结BC,易得BC⊥OC.
cos =
OB OA
cos =
OC OB
cos =
OC OA
OB OC cos cos = OA • OB
OC
•
OA
= cos
例3 .线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，
N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的
余弦值。
N ∠MOM'就是MN与β所成的角
5.在正方体ABCD—A1B1C1D 1 中，E.F分别是 A1A.AB的中点，求EF与面A 1C 1CA所成的角.
（ 30 ）
小结
求直线与平面所成的角，关键要找到 所要求的角
作业
课本P73第9题
思考题
将矩形ABCD中的△ ABD沿对角线BD折
起，使A在平面BCD上的射影O在CD上，若
O恰为CD中点，求折后直线AB与平面BCD
在Rt△AOB中，
O C
B D
在Rt
斜线s和in平面所AB成
的角，是这条斜线AO和 △A平O面C中内，任s意in 的A直O线D所
AC
最小∵角A原B＜理AC，∴si成角nθ的。＜一sin切∠角AO中D最小的 AO
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
所成的角.
D
C
A
D
C
A
B
O
E
B
（不一定）
2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗（？相等）
3. AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面成角，
B是A在上的射影,OD是内的直线，∠BOD=30，
∠AOD=60，则sin =
。
6
3
A
4.已知斜线段的长是它
在平面β上射影的2倍，
求斜线和平面β所成的
角。 （ 60 ）
βB
O
如图，斜线段AB是其射影OB的 两倍，求AB与平面β所成的角。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知 ∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
P
A
百度文库
B
C
解：PA ⊥平面ABC
PA 平面ABC
BC ⊥平面PAC
又AC ⊥BC PA AC=A
BC ⊥平面PAC
PB与平面PAC所角为∠BPC
AC=1, PA= 2
P
PC= 3
又BC=1，tan ∠BPC=
3 3
2
∠BPC=30
A
即BP与平面PAC所成的角为30 .
1
B 1 C
例2 .如图，AO是平面π的
斜线，AB ⊥平面π于B，
OD是π内不与OB重合的直
线，∠AOB= ，∠BOD=
，∠AOD= ，求证：cos
=cops cos
A
O
B CD
证明：设A在平面π内的射影为B，则B必在OB
练习2：
1 ∵ 在正方体中，
练习3：
解：
E
连结 A1C1 ，交B1D1于E
则 A1C1⊥B1D1，即 A1E⊥B1D1
连结 BE，则
Al
O
B
CD
l是平面 的斜线，A是l
上任意一点，AB是平面
的垂线，B是垂足，
OB是斜线l的射影，θ是
斜线l与平面 所成的角.
θ与∠AOD的大小关系如何？
A
l
θ与∠AOD的大小关系如何？