数列 找规律

对折次 数 1 2 3 4
…… n
所得层数 （层）
单层面积（平方 单位）
折痕条数（条）
……
……
……
经验升华：建立联系
已知：一张矩形纸条的面积为 1个平方单位，现将纸
条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程，
填写下表：
说说你有什么感悟？
对折次 数 1 2 3 4
…… n
所得层数 （层）
2 4 8 16 …… 2n
? n2 ? 4n
解法分析
1．观察、分析，分离图形；
2．分类推断； 3．组合归纳； 4．验证。
体现了分解与组合 的数学思想
例2．下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小 房子：
观察图形的变化规律，则第n个小房子用
的石子块数为 3n ? n(n ? 1)
个．
? n2 ? 4n
探究规律型题有时可从数 量关系表示的规律入手，也可 从图形本身和规律入手 .
找规律
一、自觉体悟一：探究体验
1．观察下列各组数，尝试写出第n个数：
（1）有一列数：2，4，6，8，10，…，
则第n个数是 2n
；
序号：1，2，3，4，5，…， n
数列：2，4，6，8，10，…，2n
若无特殊说明，本节课中的字母n都表示正整 数，并且n从1开始。
数学，很有趣，很好玩！
（2）有一列数：2，4，8，16，32，…，
四、形成测试
如图，由若干根火柴棒拼成小金鱼的图形：
（4）有一列数：－ 1 ，2 ，－ 3 ，4 ，
25
10 17
－
5 26
，…，第n个数
(? 1)n
n n2 ?
1
；
操作感悟：说说你探究的步骤有哪些？
（1）分析；（ 2）尝试；（ 3）归纳；（ 4）验证。
核心知识二： 找规律步骤：析、试、归、验
1、观察分析：与序号联系； 2、推理尝试：纵横向类比； 3、猜想归纳：写出关系式； 4、验证规律：取多值验证。
（4）有一列数：－ 1 ，2 ，－ 3 ，4 ，
25
10 17
－
5 26
，…，第n个数
(? 1)n
n n2 ? 1
；
体现了分类思想
也可以表示成：
Hale Waihona Puke Baidu
n
（1）当n为奇数时，第n个数为 ? n2 ? 1 ；
n （2）当n为偶数时，第n个数为 n2 ? 1 ；
2．暴露差异： 观察下列各组数，请尝试写出第n个数： （1）有一列数：-3，-5，-7，-9，
2
4
8
2n
基于哲学的思考： 不能孤立、静止地看问题，加强 事物（事件）之间的联系，特别是与生活的联系。
数学，很有趣，很好玩！
（ 则第3）n有个一数列是数：12 n1(，n ?31，) 6；，10，15，…，
序号：1，2，3， 4， 5，…，n
数列：1，3，6，10，15，…，21 n(n ? 1)
解法分析
1．改变已知等式的 排列形式——利于观察分析；
2．抓住变与不变 ——利于推理尝试；
3．紧扣与 序号关联——利于猜想归纳；
4．归纳是否正确 ——一定要验证。
例2．下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小 房子：
观察图形的变化规律，则第n个小房子用 的石子块数为 (n ? 1)2 ? 2n ? 1 个．
-11…，则第n个数是 -（2n+1）；
（2）有一列数：1，－4， 9，－16，
25，…，则第n个数 (? 1) n?1 n 2或(? 1) n?1 n2 ；
当n为奇数时，第n个数为 当n为偶数时，第n个数为
? n2 ；
n2 。
二、自觉体悟二：做中感悟
问题：一张矩形纸条的面积为1个平方单 位，对这张矩形纸条进行平行方向连续 n次对 折后展开，在操作的过程中，你发现哪些量 是变化的？将提出什么问题？
1=1，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10 ，
1+2+3+4+5=15 ，……，
1+2+3+……+（n-1）+n=
1 n(n ? 1) 2
生活模型
1．线段的条数
1
3
6
1 n(n ? 1) 2
2．圆形物体堆放的层数与总个数的关系
136
1 n(n ? 1) 2
温故知新：什么是找规律？
1．观察下列各组数，尝试写出第n个数：
单层面积（平方 单位）
折痕条数（条）
1
2
1
1
4
3
1
8
7
1 16
15
……
……
1 2n
2n-1
三、变式引领
例1．观察：①9－1=2×4；②25－1=4×6；
③49－1=6×8；④81－1=8×10；……；按
此规律写出第n个等式是
。
你的解题策略是什么？
例1．观察： 数学，很有趣，很好玩！ ①9－1=2×4； 32－1=2×4； 1 ②25－1=4×6； 52－1=4×6； 2 ③49－1=6×8； 72－1=6×8； 3 ④81－1=8×10； 92－1=8×10； 4 ……；
序号：1，2，3， 4， 5，……，n
层数：2，4，8，16，32，……，2n 面折积痕：：12 1，，143，，817，，1161，5，3123，1，…………，，221nn-1
经验升华：建立联系 已知：一张矩形纸条的面积为 1个平方单位，现将纸 条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程， 填写下表：
则第n个数是 2n ；
序号：1，2，3， 4， 5，…，n 数列：2，4，8，16，32，…， 2n
（1）经历了一个 类比的过程，体验了 类比的数学思想。
（2）经历了一个 从特殊到一般 的过程，体验了 从特殊 到一般 的数学思想。
生活模型
数学，很有趣，很好玩！
1．折纸：层数
2
4
8
2n
2．拉面：根数
第n个等式是（2n+1）2-1=( 2n )×（ 2n+2 ）。
你的验证策略有哪些？ 左边=4n2+4n+1-1= 4n2+4n； 右边= 4n2+4n=左边；所以等式成立。
解完这道题你有什么感悟？
例1．观察： 体现了数学中的转化思想
①9－1=2×4； 32－1=2×4； 1 ②25－1=4×6； 52－1=4×6； 2 ③49－1=6×8； 72－1=6×8； 3 ④81－1=8×10； 92－1=8×10； 4 第n个等式是 （2n+1）2-1=2n×（2n+2）。
（1）有一列数：2，4，6，8，10，…，
则第n个数是
2n
；
（2）有一列数：2，4，8，16，32，…，
则第n个数是
2n ；
（则第3）n有个一数列是数：12 n1(n，? 13) ，6；，10，15，…，
要关注找规律的方法的多样性
初步感知： 我们试图用 一个代数式 表示出一个数列 的 演变准则 。
核心概念一： 找出一个代数式来表示某事物（或事件） 的演变准则 的过程叫做找规律。