奇偶性PPT课件
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二、奇函数定义：
一般地，设函数()的定义域为 ,如果∀ ∈ ,
都有− ∈ ,且(−) = −(),那么函数()就叫做
奇函数。
定义理解： 1.定义域关于原点对称。
2.图象关于原点对称。
例析
例.判断下列函数的奇偶性.
(1)() = 4 ;
(3)() = +
(2)() = 5 ;
(2)再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立；
(3)根据定义下结论．
三、达标检测
1．下列函数是偶函数的是(
A．f(x)＝x
)
B．f(x)＝2x2－3
C．f(x)＝ x
C
D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]
3. 若函数y = f x , x ∈ −1, a a > −1 是奇函数，则 = （
答：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值()也是一对相反数.
推理证明
例如，对于函数f(x) = x，有
(−3) = −(3)
(−2) = −(2)
(−1) = −(1)
实际上，∀x ∈ R, 都有 f −x = −x = −f(x)
这时称函数() = x为奇函数.
新课讲解——奇函数
3.2函数的基本性质
➢3.2.2 奇偶性
一、观察探究：
画出并观察函数f x = x 2 和g x = 2 − x 的图象，你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
两个函数图象都关于y轴对称
一、观察探究
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
相反数
发现：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
. > −3 > (−2)
函数的奇偶性ppt课件
(3) f (x) x x2 非奇非偶函数
关于原点对称
f (x) 1x2
1 x2
既是奇函数又是偶函数
f (x)
f (x)为偶函数
七、回顾总结——提纲挈领
知识
函数
奇偶性
方法
数学思想
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 函数
表格中数字的特 点猜想出一般的 结论
特殊到 一般
奇偶函数
奇偶函数
的定义 数形结合 图象性质
四、判断偶函数的方法
方法一：定义法
是 否
方法二：图象法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 f (x) x f (x) x2 表格中数字的特点猜
想出一般的结论
特殊到 一般
偶函数 数形结 偶函数 定义 合 图象性质
判断偶函 数的方法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
判断奇偶函数的 方法
• 奇函数定义：
设函数 y f ( x) 的定义域为D，
如果对定义域D内的任意一个 x，都有 x D
且 f (x) f (x) ，则这个函数叫做奇函数.
• 奇函数
图象 关于原点对称
• 判断奇函数的方法: 定义法 图象法
六、学以致用——概念强化
1、已知f (x)是偶函数，且x 3, a,求a的值。
f (x) x … 3 2 1 0 1 2 3 … f (x) x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
特 f (1) ＝f (1)
例 f (2) ＝ f (2)
f (3) ＝f (3)
f (a)＝ f (a)
一般 规律： f(-x)＝ f(x)
结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，
关于原点对称
f (x) 1x2
1 x2
既是奇函数又是偶函数
f (x)
f (x)为偶函数
七、回顾总结——提纲挈领
知识
函数
奇偶性
方法
数学思想
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 函数
表格中数字的特 点猜想出一般的 结论
特殊到 一般
奇偶函数
奇偶函数
的定义 数形结合 图象性质
四、判断偶函数的方法
方法一：定义法
是 否
方法二：图象法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
偶函数 类比的方法 奇函数
分析 f (x) x f (x) x2 表格中数字的特点猜
想出一般的结论
特殊到 一般
偶函数 数形结 偶函数 定义 合 图象性质
判断偶函 数的方法
五、自主探究——概念形成（奇函数）
判断奇偶函数的 方法
• 奇函数定义：
设函数 y f ( x) 的定义域为D，
如果对定义域D内的任意一个 x，都有 x D
且 f (x) f (x) ，则这个函数叫做奇函数.
• 奇函数
图象 关于原点对称
• 判断奇函数的方法: 定义法 图象法
六、学以致用——概念强化
1、已知f (x)是偶函数，且x 3, a,求a的值。
f (x) x … 3 2 1 0 1 2 3 … f (x) x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
特 f (1) ＝f (1)
例 f (2) ＝ f (2)
f (3) ＝f (3)
f (a)＝ f (a)
一般 规律： f(-x)＝ f(x)
结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，
函数的奇偶性PPT精品课件
∴f(x)为非奇非偶函数
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
点此播放讲课视频
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
点此播放讲课视频
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
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在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
点此播放讲课视频
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
《奇偶性的应用》课件
奇偶性在数据可视化和信息呈现 中的应用
利用奇偶性可以设计更加直观和易于理解的数据可视化 图表和界面，提高数据分析和信息传递的效率。
奇偶性与量子计算的结合
奇偶性在量子算法设计中 的应用
利用奇偶性可以设计更加高效和稳定的量子 算法，为量子计算的发展和应用提供新的思 路和方法。
奇偶性与量子纠错码的结 合
$f(-x)=-f(x)$
偶函数
$f(-x)=f(x)$
非奇非偶函数
既不满足奇函数也不满足偶函数的函数。
02
奇偶性在数学中的应用
代数方程的奇偶性
奇次方程
一个代数方程中，未知数的最高次数 为奇数的方程称为奇次方程。奇次方 程关于原点对称，可以通过代入法求 解。
偶次方程
一个代数方程中，未知数的最高次数 为偶数的方程称为偶次方程。偶次方 程关于y轴对称，可以通过因式分解法 求解。
总结词
化学反应中的奇偶性表现在分子结构和 化学键的对称性上。
VS
详细描述
在化学反应中，分子结构和化学键的对称 性可以通过奇偶性来描述。例如，在有机 化学中，分子可能具有对称轴或对称面， 这种对称性可以通过奇偶性来分析。此外 ，化学键的形成和断裂也可以通过奇偶性 来解释。
生物现象中的奇偶性
总结词
生物现象中的奇偶性表现在细胞分裂、遗传规律等方面。
函数奇偶性的应用
奇函数
如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。奇函数图像关于原点对 称，具有反函数的性质。
偶函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数。偶函数图像关于y轴对称， 具有对称性。
几何图形中的奇偶性
几何图形中的奇偶性是指图形中点、 线、面的数量关系。
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
奇偶性 课件(38张)
[解析] ∵y＝f(x＋2)是偶函数， ∴y＝f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，∴f(1)＝f(3)． 又 f(x)在(0,2)上为增函数，∴f(x)在(2,4)上为减函数， ∴f72＜f(1)＜f52.
1．已知 f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若 f(－3)＝10，则 f(3)＝( )
A．26
B．18
C．10
D．－26
解析：法一：由 f(x)＝x5＋ax3＋bx－8， 得 f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx. 令 G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8， ∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)， ∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)， 即 f(－3)＋8＝－f(3)－8.又 f(－3)＝10， ∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
∴g(x)＝12[F(x)＋F(－x)]． ①－②得， 2f(x)＝F(x)－F(－x)， ∴f(x)＝12[F(x)－F(－x)]． 故 F(x)可写为 f(x)＋g(x)的形式． f(x)＝12[F(x)－F(－x)]， g(x)＝12[F(x)＋F(－x)]．
利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．
②用－x 代 x，验证是否有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)， 若 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)为奇函数； 若 f(－x)＝f(x)，则 f(x)为偶函数； 若 f(－x)＝－f(x)，且 f(－x)＝f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数； 若 f(－x)≠f(x)，且 f(－x)≠－f(x)，则 f(x)为非奇非偶函数． (2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(y 轴)对称．
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
奇偶性课件ppt百度文库
代数证明方法还包括利用奇偶函数的定义和性质进行证明，如奇函数和偶函数的 定义、奇偶函数的性质等。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和图形 的对称性来证明奇偶性的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果函数图像关 于原点对称，则函数$f(x)$是奇函数 。
几何证明方法还包括利用图形的对称 轴、对称中心等性质进行证明，如正 弦函数、余弦函数的图像和性质等。
归纳法证明方法
归纳法证明方法是利用数学归纳法来进行证明的方法。例如 ，对于函数$f(x)$，如果对于所有自然数$n$，都有$f(-n) = -f(n)$，则函数$f(x)$是奇函数。
归纳法证明方法还包括利用数学归纳法的原理和步骤进行证 明，如利用数学归纳法证明奇偶性的等式或不等式等。
04
奇偶性的实际应用
无理数的奇偶性
定义
无理数无法表示为两个整数的比 值，因此无理数没有奇偶性。
举例
例如，π是一个无理数，无法表示 为两个整数的比值，因此没有奇 偶性。
分数的奇偶性
定义
对于分数f(x)=p(x)/q(x)，如果存在 整数m和n，使得mp(x)=nq(x)，则 称该分数为奇函数；如果存在整数m 和n，使得mp(x)=-nq(x)，则称该分 数为偶函数。
05
奇偶性的扩展知识
多项式的奇偶性
定义
如果一个多项式在定义域内对于所有 自变量都满足f(-x)=f(x)，则称该多项 式为偶函数；如果对于所有自变量都 满足f(-x)=-f(x)，则称该多项式为奇 函数。
举例
例如，多项式f(x)=x^3是奇函数，因 为f(-x)=-x^3=-f(x)；而多项式 g(x)=x^2是偶函数，因为g(-x)=(x)^2=x^2=g(x)。
函数的奇偶性ppt课件
2.4.1函数的奇偶性
北师大版（2019）必修第一册
学习目录
PARENT CONFERENCE DIRECTORY
壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
探索新知
肆
当堂检测
Explore new knowledge
Classroom test
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
02
掌握函数奇偶性的判断和证明方法
03
会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
（2）对称轴分别在哪里？
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.
2.若奇函数在x＝0处有定义，则其图象一定过原点.
3.对于偶函数f(x)，我们有f(x)＝f(|x|)
02
探索新知
例2 根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ －2x5 ；
1
（3）h（x）＝ 2 ；
（2）g（x）＝x4＋2；
证明：根据函数关于点A(a，b)中心对称的定义，p(x，y)的对称点p′(x′，y′)有如
下等式
+′
2
= ，
+′
2
= .我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y
北师大版（2019）必修第一册
学习目录
PARENT CONFERENCE DIRECTORY
壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
探索新知
肆
当堂检测
Explore new knowledge
Classroom test
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
02
掌握函数奇偶性的判断和证明方法
03
会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
（2）对称轴分别在哪里？
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.
2.若奇函数在x＝0处有定义，则其图象一定过原点.
3.对于偶函数f(x)，我们有f(x)＝f(|x|)
02
探索新知
例2 根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ －2x5 ；
1
（3）h（x）＝ 2 ；
（2）g（x）＝x4＋2；
证明：根据函数关于点A(a，b)中心对称的定义，p(x，y)的对称点p′(x′，y′)有如
下等式
+′
2
= ，
+′
2
= .我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y
函数奇偶性 课件
[规律总结] 1.研究函数图象时，要注意对函数性质的研 究，这样可避免作图的盲目性和复杂性．
2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原 点对称，偶函数图象关于y轴对称．
利用函数的奇偶性求解析式
已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x ＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的 图象，根据图象写出它的单调区间.
∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3
x2－2x＋3 于是有：f(x)＝0
－x2－2x－3
x＞0 x＝0 x＜0
先画出函数在 y 轴右边的图象，再根据对称性画出 y 轴左
边的图象．如下图．
由图象可知函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]、[1， ＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]．
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋1； (2)f(x)＝ x－1＋ 1－x (3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
1x2＋1，x＞0 2 (4)f(x)＝ －1x2－1，x＜0 .
2
[思路分析] (1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么 特点？
(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？
[思路分析] (1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0， ＋∞)上的已知解析式？
(2)奇函数 f(x)在 x＝0 处的函数值是多少？ 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函数．利用奇函 数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称．
∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3，
[思路分析] 先利用函 数的解析式得到函数f(x)的性 质 ： f( － x) ＝ f(x) ， 根 据 函 数 图 象 关 于 y 轴 对 称 作 出 f(x) 的 图象．
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
1 第1课时 函数奇偶性的概念(共45张PPT)
【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R， 又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的 函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称 点为(－x0，－y0)，关于 y 轴的对称点为(－x0，y0).
C.坐标原点对称
D.直线 y＝x 对称
解析：选 C.函数 f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数 f(x)＝x＋x22＋a＋8 3为奇函数，则实数 a＝
(
)
A.－1
B.1
C.－32
D.32
解析：选 C.由题得 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0，所以 a＝
探究点 2 奇、偶函数的图象 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
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注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，
函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性
的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x， 则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域 关于原点对称）．
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(二)具有奇偶性的函数的图象的特征: ①偶函数的图象关于y轴对称； ②奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否
关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系； ③作出相应结论： 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶
函数； 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是
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(三)典型例题 例1．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x) x4; (2)f (x)x5; (3) f (x) x 1;
x 1 (4) f (x) x2 ;
Page 10
解：
(1)对于函数 f (x) x4 ，其定义域为( -∞,+∞ ).
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f(x)(x)4x4f(x). ∴ 函数 f (x) x4为偶函数。
f( x ) ( x ) 3 ( x ) ( x 3 x ) f( x ) .
∴ 函数 f (x)x3 x为奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，因此可以画
出函数 f (x)x3 x 的图象：
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Page 19
规律： 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个 整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象， 若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象 上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
Page 4
引入课题
答案： ①可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的
图象关于原点对称； ②若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
学生活动：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
Page 7
2．奇函数（odd function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个
x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
奇函数．
Page 15
巩固练习：（教材P36 练习1）
Page 16
2．利用函数的奇偶性补全函数的图象
例2．如图是函数 (x)x3 x图像的一部分，你 能根据 f ( x ) 的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？
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解：
对于函数 f (x)x3 x，其定义域为(-∞,+∞).
∵ 对定义域内的每一个x，都有
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引入课题
答案： ①可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的
图象关于y轴对称； ②若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点
（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐 标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
Page 3
引入课题
(2)以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将 纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限 内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图 形：
（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横 坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相 反数．
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引入课题
2．观察思考（教材P33、P34观察思考）
函数图象1
函数图象2
Page 6
新课教学 (一)函数的奇偶性定义
象上面实践操作(1)中的图象关于y轴对称的函数 即是偶函数，操作(2)中的图象关于原点对称的函数 即是奇函数． 1．偶函数（even function）
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演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
Page 22
Page 1
引入课题
1．实践操作： 取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在
第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如 下操作并回答相应问题：
(1)以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第 二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展 开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个 整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象， 若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象 上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
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解：
(2)对于函数 f (x) x5 ，其定义域为( -∞,+∞ ).
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f( x)( x)5 x5 f(x). ∴ 函数 f (x) x5为奇函数。
Page 12
解：
(3)对于函数 f ( x) x 1 ，其定义域为{ x|x≠0 }. x
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f(x)x1 (x1)f(x).
x
x
∴ 函数 f ( x) x 1 为奇函数。 x
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解：
(4)对于函数
f (x)
1 x2
，其定义域为{ x|x≠0 }.
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f(x)(1x)2 x12 f(x). ∴ 函数 f ( x) x 1 为奇函数。
x
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巩固练习：教材P42练习2.
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课堂小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的 奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用 定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断 函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶 性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合 函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性 质．
函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性
的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x， 则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域 关于原点对称）．
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(二)具有奇偶性的函数的图象的特征: ①偶函数的图象关于y轴对称； ②奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否
关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系； ③作出相应结论： 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶
函数； 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是
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(三)典型例题 例1．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x) x4; (2)f (x)x5; (3) f (x) x 1;
x 1 (4) f (x) x2 ;
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解：
(1)对于函数 f (x) x4 ，其定义域为( -∞,+∞ ).
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f(x)(x)4x4f(x). ∴ 函数 f (x) x4为偶函数。
f( x ) ( x ) 3 ( x ) ( x 3 x ) f( x ) .
∴ 函数 f (x)x3 x为奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，因此可以画
出函数 f (x)x3 x 的图象：
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规律： 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个 整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象， 若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象 上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
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引入课题
答案： ①可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的
图象关于原点对称； ②若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
学生活动：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
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2．奇函数（odd function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个
x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
奇函数．
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巩固练习：（教材P36 练习1）
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2．利用函数的奇偶性补全函数的图象
例2．如图是函数 (x)x3 x图像的一部分，你 能根据 f ( x ) 的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？
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解：
对于函数 f (x)x3 x，其定义域为(-∞,+∞).
∵ 对定义域内的每一个x，都有
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引入课题
答案： ①可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的
图象关于y轴对称； ②若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点
（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐 标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
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引入课题
(2)以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将 纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限 内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图 形：
（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横 坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相 反数．
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引入课题
2．观察思考（教材P33、P34观察思考）
函数图象1
函数图象2
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新课教学 (一)函数的奇偶性定义
象上面实践操作(1)中的图象关于y轴对称的函数 即是偶函数，操作(2)中的图象关于原点对称的函数 即是奇函数． 1．偶函数（even function）
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汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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引入课题
1．实践操作： 取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在
第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如 下操作并回答相应问题：
(1)以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第 二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展 开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个 整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象， 若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象 上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
Page 11
解：
(2)对于函数 f (x) x5 ，其定义域为( -∞,+∞ ).
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f( x)( x)5 x5 f(x). ∴ 函数 f (x) x5为奇函数。
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解：
(3)对于函数 f ( x) x 1 ，其定义域为{ x|x≠0 }. x
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f(x)x1 (x1)f(x).
x
x
∴ 函数 f ( x) x 1 为奇函数。 x
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解：
(4)对于函数
f (x)
1 x2
，其定义域为{ x|x≠0 }.
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f(x)(1x)2 x12 f(x). ∴ 函数 f ( x) x 1 为奇函数。
x
Page 14
巩固练习：教材P42练习2.
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课堂小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的 奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用 定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断 函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶 性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合 函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性 质．