3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵
《振型的正交性》课件
• 振型正交性的定义 • 振型正交性的性质 • 振型正交性的应用 • 振型正交性的证明方法 • 振型正交性的扩展知识
01
振型正交性的定义
什么是振型正交性
振型正交性是指两个或多个振动 模态在空间上相互垂直，即它们 的位移不发生耦合，各自独立振
动。
在物理上，振型正交性意味着不 同模态的振动不会互相干扰，每
特性的贡献程度。
03
振型正交性的应用
在振动分析中的应用
01
振型正交性在振动分析中用于描述不同振动模式之间的独立性 。
02
在线性系统中，各阶振型独立，互不干扰，通过正交性可以单
独分析每个振型。
振型正交性有助于确定系统的固有频率和模态，进而分析系统
03
的动态特性。
在波动分析中的应用
在波动分析中，振型 正交性用于描述波动 在不同方向上的独立 传播。
振型正交性与能量守恒定律的关系
振型正交性与能量守恒定律之间存在密切关系。在振动过 程中，各振型之间相互独立，互不干扰，即一个振型的能 量不会转化为另一个振型的能量。
这是因为各振型具有不同的频率和周期，它们之间的相互 作用受到约束。因此，在振动分析中，可以利用振型正交 性来保证能量守恒定律的成立，从而保证计算结果的准确 性和可靠性。
利用实例证明
实例
以一维弹簧振荡器为例，其模态为简谐振动。我们可以通过计算两个不同频率下的简谐振动的位移分布，来验证 它们是否满足正交性。
证明
假设一维弹簧振荡器的两个不同频率分别为f1和f2，那么它们的位移分布可以表示为u_1(x,t)和u_2(x,t)。否满足正交性。如果内积为零，那么这两个函数是正交的，从而证明 了振型的正交性。
多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
4-第4章 多自由度体系的振动分析
T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni
n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n
将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0
振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）
如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：
1005多自由度体系自由振动(力学)
其中
FIi mi i y
FSi kij y j
j 1
2
( i 1,2)
m1 1 k11 y1 k12 y2 FE1 (t ) y
m2 2 k 21 y1 k 22 y2 FE2 (t ) y
主振型的位移幅值等于 主振型惯性力幅值作用下产 生的静力位移。
（2）振型方程
( 11 m1 2 ) A1 12 m2 A2 0 1 21 m1 A1 ( 22 m2 2 ) A2 0 1
A1=A2= 0 ？
（3）频率方程
D
11m1
y 11 12 m1 0 1 y1 Δ1P (t ) 0 m y Δ (t ) 2 y2 21 22 2 2P
m1 0 0 1 k11 y k m2 y 2 21 k12 y1 FE1 (t ) y F ( t ) k 22 2 E 2
1
2
12m2 22m2
1
21m1
0
令
1
2
2
2 (11m1 22 m2 ) (11 22 m1m2 12 21m1m2 ) 0
1 1 ( 11m1 22 m2 ) ( 11m1 22 m2 ) 2 4( 11 22 12 21 )m1m2 2 2
y2 (t ) m1 1 (t ) 21 m2 2 (t ) 22 y y
设解为 y1 (t ) A1 sin(t )
第三章多自由度体系的振动2
10
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
如果两个主振型 {Y (1) }和 {Y ( 2) }彼此不正交，即
{Y (1) }T [M ]{Y ( 2) } 0
取一个由 {Y (1) } 和 {Y ( 2) } 组成的新的主振型，即
{Y
(1, 2)
} {Y } c{Y }
主振型正交的物理意义：
1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表 达式为 ：
s2 {Y (t ) }T [M ]{Y ( s ) } 0
2）当一体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的 振动。 3）各个主振型都能够单独出现，彼此间线性无关。
9
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
(t ) T (t ) T (t ) T 2 (s)
{Y } [ M ]s {Y }sin(s t )
2 (s)
s {Y } [ M ]{Y }sin(s t ) 0
2 (t ) T (s)
s2 {Y (t ) }T [M ]{Y ( s ) } 0
8
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
(1) T ( 2)
T
同理：
{Y (1) }T [ K ]{Y (3) } 0.001 k 0 {Y ( 2) }T [ K ]{Y (3) } 0.00001 k 0
6
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
对任意一个位移向量{y} ，将其写成主振型的线性组合：
{ y} 1{Y (1) } 2 {Y ( 2) } n {Y ( n ) } i {Y (i ) }
Y
1
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。
试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。
又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。
属于工程反问题的一种。
在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。
系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。
又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。
如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。
2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。
求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。
复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。
4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。
固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。
圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。
即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。
它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。
一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。
系统的状态按照阻尼比ζ来划分。
把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。
第七节 一般多自由度体系的自由振动
δ 12 m2
(δ 22 m2 − λ ) M δ n 2m2
δ 21 m1
M δ n1 − λ )
=0
由此得到关于λ的n次代数方程，可解出 个根。因此，可求出 个频率，它们 次代数方程， 个根。 个频率， 由此得到关于λ 次代数方程 可解出n个根 因此，可求出n个频率 按数值由小到大依次排列，分别称为第一、第二、 、 频率， 按数值由小到大依次排列，分别称为第一、第二、…、第n频率，总称为频率 频率 谱。 为了求得主振型，将所求得的λ 代入振型方程(11-59)，即得 为了求得主振型，将所求得的λk(k=1,2,…,n)代入振型方程 代入振型方程 ，
写成矩阵形式为
m1 m2 y &&1 (t ) k11 && (t ) k y 2 + 21 M M O mn &&n (t ) k n1 y k12 k 22 M k n2 L L L k1n y1 (t ) 0 k 2 n y 2 (t ) 0 = M M M k nn y n (t ) 0
多自由度体系的固有频率与主振型-7
11 16 11
7 1 11 9
2
1
1
2
1
1
1
ΦΦ12 Φ3
0 0 0
令 1 m 2
9
11
7
22
32
22
7 11
ΦΦ12
0 0
9
Φ3
0
由特征矩阵行列式为零，得特征方程
3 50 2 124 56 0
1 47.4094 2 2 3 0.5906
(i)
i 2n n
k m Φ k m Φ k m Φ n11
2
(i
i n1n1 n-1
n11n
2
(i)
i n1n n
解方程
Φ(i 1
)
(Φn(i
)
)、Φ ( i 2
)
(Φn(i
)
)、Φn(i )1
(Φn(i
)
)
对应固有频率ω i
1
1
举例 三自由度梁弯曲的固有频率与主振型
1
1
1
1.43
1
0.7
1
1
Φ(1) Φ(2) Φ(3)
系统的质量矩阵与柔度矩阵
m
M
2m
m
振动方程
δMx x 0
9 11 7
δ 11
16
11
7 11 9
令主振动为
x Φsin(t )
l3
768EJ
9 mδ 11
x3
m 2k
1
1
1
2
1
Φ(1)
1
Φ(2)
1
Φ(3)
1
系统的质量矩阵和刚度矩阵
高等结构动力学 多自由度系统的振动
(i n
)
]T
An
[] [{}(1) {}(2)
{}(n1) ]——模态矩阵
系统按第i阶固有频率所作的振动称作系统的第 i 阶主振动.
{x}(i) i{}(i) sin(it i )
其中 i 为i 任意常数，取决于初始运动条件。
例
K
x1
K
x2 K
x3
m
m
m
m
0
0 m
0 0
2.当 0 时
X1 1P X 2 2P
m121X1 (m222 1/ 2 ) X 2 2P / 2
解方程,得
X1
1
X2
2
其中
(m1112 1) X1 m212 X 22 1P
2m121X1 (2m222 1) X 2 2P
3.当 时 X1 0 X 2 0
§3.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析
1
1
m2
k2
和弹簧 为辅助系统，称
m2
x2
k2
m1
x1
F sint
k1
m1
0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2
x1 x2
F
0
sin
t
设其稳态响应为
x1 x2
X1 X2
sin
t
(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22
X 2 21(P I1) 22I2
X1 I1 / m1 2 X 2 I2 / m22
P sin t
m1
m2
l / 3 x1 lE/I3x2 l / 3
P
X1 I1
X2 I2
建筑结构抗震(4-2-2)--2-多自由度体系的自由振动
4.2 MDOF体系自由振动
建筑结构抗震
X2(t)
-m2X2
m2
h2
k2
X1(t)
K2(X2-X1)
K2(X2-X1)
m1
-m1X1
h1
k1
k1X1
(a)
(b)
(c)
两个自由度的层间剪切模型计算简图
1. 质点的运动
建筑结构抗震
地面运动加速度: xg (t)
质点相对加速度: x1(t)
C 0M 1K
无阻尼自由振动方程
M x(t) Kx(t) 0
建筑结构抗震
M
X X
1 2
2
s
in(t
)
K
X X
1 2
s
in(t
)
0
(K
2
M
)
X X
1 2
0
频率方程
(K 2M ) 0
建筑结构抗震
或
k1 k 2 m1 2
－k 2
展开
－k2 ＝0
k 2 m2 2
( 2 )2
k1
k2 m1
k2 m2
2
k1k2 m1m2
0
( 2 )
1
k1
k2
k2
2
m1
m2
k1 m1
k2 m2
2
k2 m1
2k1 m1
k
2
2k2 m2
• 频率特征
1——第一自振圆频率
建筑结构抗震 2 ——第二自振圆频率
T1 2 /1——较大的为第一自振周期
T2 2 /2——较小的为第二自振周期
f1 1 / 2 ——较小的为第一自振频率 f2 2 / 2 ——较大的为第二自振频率
多自由度体系
-6.054
K
32M
=
k 15
5
0
5 -5.027
3
0
3
-10.027
代入式（4-3-4），后两个方程为
-5Y13 5.027Y23 +3Y33 0 3Y23 +10.027Y33 0
令Y33 1，故式（f）的解为
Y (3) = Y13，Y23，Y33 T 2.760, 3.342,1T
M
M
kn1
kn2
L
k1n
k2n
0
M
knn -2mn
（4-3-3b）
n个根12，22， n2
Y (i)表示与频率i相应的主振型：
Y (i)T =（Y1i Y2i Yni )
将i和Y (i)代入式（4-3-2）得
（K i2M）Y (i) 0
（4-3-4）
令，i 1, 2,, n，可得n个向量方程，由此可求的n个主振型向量 Y (1)，Y (2)，，Y (n)
（1）验算正交关系式（4-3-8）
2 0 0 0.924
Y (1)T MY (2) =(0.163, 0.569,1) 0 1 0 1.227 m
0 0 1 1
m0.163 2 (0.924) 0.5691 (1.227) 111
0.0006m 0
同理，
Y (1)T MY (3) 0.002m 0，Y (2)T MY (3) 0.002m 0
3
0
3
1.707
代入式（4-3-4）中并展开，保留后两个方程，得
-5Y11 6.707Y21 3Y31 3Y21 1.707Y31 0
【最新精选】3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵
10-6 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1. 主振型的正交性正交的概念：两个向量，其中，，称为正交；矢量的概念。
正交关系有许多用途，详见线性代数的有关部分。
这里我们讨论主振型的正交性：以两个自由度体系为例:功的互等定理（Betti’s law）即:故有上式可推广到一般情况第一个正交关系为：或证明：由特征方程有将上式两边分别乘以得对其中任一式转置并相减得如果同理也可推得（也可直接利用关于质量矩阵得正交性得到。
）对k=L 时，我们定义M k , K k分别叫做第k个主振型相应得广义质量和广义刚度。
由特征方程有:即:由此得:这就是根据广义刚度Kk和广义质量Mk来求频率Wk的公式。
这个公式是单自由度体系频率公式的推广。
正交关系的利用：判断主振型的形状是否正确；在振型分解法中的应用。
例17-8讲解重点正交性的验算2*. 主振型矩阵如果将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵，即这个方阵称为主振型矩阵，它的转置矩阵为根据主振型向量的两个正交关系，可以导出主振型矩阵[Y]的两个性质，即[Y]T[M][Y] 和[Y]T[K][Y] 都应是对角矩阵。
下面证明：[Y]T[M][Y]=上式中的对角线元素就是广义质量M1,M2,……M n, 由正交关系知其余元素均为零，故[Y]T[M][Y]为对角矩阵。
即[Y]T[M][Y]=对角矩阵[M*]称为广义质量矩阵。
同样可得其中Ki为广义刚度，对角矩阵[K*]叫做广义刚度矩阵。
在后续章节中，我们将利用这一性质将多自由度体系的振动方程变为简单的形式。
【附加总结类文档一篇，不需要的朋友下载后编辑删除，谢谢】2015年工程部施工员年终工作总结光阴荏苒，转瞬又是一年，2015年在紧张忙碌中飞快地过去了，工程部在各级领导的带领下，认真贯彻“安全第一、预防为主”的八字生产方针，始终把如何有效控制项目的成本、进度、质量目标作为部门日常管理的核心工作，与其他部门携手顺利完成年度施工任务。
11主振型的正交性11-24
由此可解得动位移幅值
D1 Y1 D
D2 Y2 D
Fp1 (t ) Fp1 sin t
1 k11 y1 k12 y2 Fp1 (t ) m1 y 2 k 21 y1 k 22 y2 Fp 2 (t ) m2 y
Y 1 M 2 Y M ({Y }1 {Y }2 {Y }n ) n Y M
{Y }1[ M ]{Y }1 {Y }1[ M ]{Y }2 {Y }1[ M ]{Y }n 2 1 2 2 2 n {Y } [ M ]{Y } {Y } [ M ]{Y } {Y } [ M ]{Y } n 1 n 2 n n {Y } [ M ]{Y } {Y } [ M ]{Y } {Y } [ M ]{Y }
m 0 0.897 Y M Y 2.23 1 m 0.00031 0 2m 1 12 / 7 18 / 7 0.897 1T 2 3 Y k Y 2.23 1 0 . 000154 ( EI / l ) 18 / 7 48 / 7 1
m2
Y1i Y 2i mN YNi
M Y
i
对n于个主振型之间的正交关系也可给出相应的证明
j振型
Y
j
Y1 j Y 2j Y Nj
2 m 2 j Y2 j m1 Y
例2:已知图示体系的第一振型, 试求第二振型.
m
EI
l
m
y1 y2
2.23 1 Y ; 1
解:
EI
l
Y
主振型的正交性
Y
i
(a)
K Y j
2 j
M
Y
j
(b)
对式(a)两边左乘以 Y j T，对式(b)两边左乘以Y i T ，则有
Y j T K Y i i2 Y j T M Y i
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2.第二正交性的物理意义
由式（12-84），可推导出
nn
} 第j主振型幅值
ksrYri Ysj 0
(c)
s1 r 1
由式(c)可知，第二正交性的物理意义是：相应于某一主振 型的弹性力不会在其他主振型上做功。
3.小结
主振型的正交性可理解为：相应于某一主振型作简谐振动的 能量不会转移到其他振型上去，也就不会引起其他振型的振 动。因此，各主振型可单独存在而不互相干扰。
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12.7.2 主振型的第二正交性
将式(12-83a)代入式(c)，可得
Y j T K Y i 0
(12-84)
式（12-84）称为主振型的第二正交性，它表明，对于刚度矩 阵[K]，不同频率的两个主振型也是彼此正交的。
Y 1 T M Y 2 1
2
3 m3
0
1.5
0
1
0 0 1 1.5
11.5 1 2 1.5 1 3 11.5m3 0
同时，有
Y 1 T M Y 3 0
Y 2 T M Y 3 0
第五章(第3节)多自由度系统的振动讲解
0
0 m
x
y
3 i 1
ki
sincosi 2cosi i
sin i
sin
cos
2 i
i
x y
Qx Qy
5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定
理
1.固有振型的正交性——例题：正交性验证（例：5.3-1）
将以上各i值和k1=k2=k3=k代入刚度矩阵，得
3
i1
ki
cos2 i sini cosi
sini cosi
sin 2 i
k
1 0
0 0
k
1
4 3
4
3 34
4
k
34 34
3 4 1 4
k
2 0
0 1
或
Cr u(r)T Mw
单位矩阵，模态刚度矩阵为固有频率平方的对角
矩阵，即
1
Mr
uT Mu
I
1
(5.3-17)
1
5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定 理
2.模态矩阵
12
Kr
uT Ku
Λ
22
(5.3-18)
n2
●由于振型向量只表示系统作固有振动时各 坐标间幅值的相对大小，所以模态质量和模态刚 度的值依赖于正则化方法，只有进行正则化后， 才能确定振型向量各元素的具体数值，也才能使 Mr和Kr具有确定的值。
3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵
10-6 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1. 主振型的正交性正交的概念：两个向量，其中，，称为正交；矢量的概念。
正交关系有许多用途，详见线性代数的有关部分。
这里我们讨论主振型的正交性：以两个自由度体系为例:功的互等定理（Betti’slaw）即:故有上式可推广到一般情况第一个正交关系为：或证明：由特征方程有将上式两边分别乘以得对其中任一式转置并相减得如果同理也可推得（也可直接利用关于质量矩阵得正交性得到。
）对k=L 时，我们定义M k , Kk分别叫做第k个主振型相应得广义质量和广义刚度。
由特征方程有:即:由此得:这就是根据广义刚度Kk和广义质量Mk来求频率Wk的公式。
这个公式是单自由度体系频率公式的推广。
正交关系的利用：判断主振型的形状是否正确；在振型分解法中的应用。
例17-8讲解重点正交性的验算2*. 主振型矩阵如果将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵，即这个方阵称为主振型矩阵，它的转置矩阵为根据主振型向量的两个正交关系，可以导出主振型矩阵[Y]的两个性质，即[Y]T[M][Y] 和[Y]T[K][Y] 都应是对角矩阵。
下面证明：[Y]T[M][Y]=上式中的对角线元素就是广义质量M1,M2,……M n, 由正交关系知其余元素均为零，故[Y]T[M][Y]为对角矩阵。
即[Y]T[M][Y]=对角矩阵[M*]称为广义质量矩阵。
同样可得其中Ki为广义刚度，对角矩阵[K*]叫做广义刚度矩阵。
在后续章节中，我们将利用这一性质将多自由度体系的振动方程变为简单的形式。
机械系统动力学-第10讲
A
(2)
qr A( r )
r 1
n
q1 q 2 (n) A qn
结论：原广义坐标x1，x2，…xn是n个主振型的线性组合，也 即系统的任何振动状态都是由各个主振型按照一定的比例叠加 起来的。
第r阶模态刚度
M q K q Q
自由振动方程
(1)
M1 0 0
0 M2 0
0 q1 K1 q 0 0 2 Mn 0 qn
0 K2 0
0 q1 q 0 2 0 Kn qn
m q k q P
T T
T
m q k q P
T
(5)
M q K q Q
T T
(1)
模态方程
T
M m , K k , Q P
1 0 0 3 1 0 x k 1 2 1 x 0 m 0 1 0 0 0 1 0 1 3
试写出其正则模态方程。
1）特征方程：
2 3k mn
k
2 2k mn
0 k
2 3k mn
特点：各广义坐标及其对时间的二次导数之间是相互耦合的，给方程的求解造成 了困难，能不能有一种方法使方程（1）解耦，即在第i个方程中只有第i个广义坐 标及其对时间的二次导数，如下式：
M i xi Ki xi Qi
这样，多自由度方程的求解就可以采用单自由度强迫振动的求解方法。实际 上模态矩阵就有这样的功能。
主振型矩阵
Y (2)
Y12 0.924 Y22 1.227 Y 1 32
§14-1 多自由度体系自由振动
将
3、3 代入振型方程，得
5 0 6.054 Y13 k 2 K M Y 5 5.027 3 15 3 Y23 0 0 Y 3 10.027 33
+ Ky = 0 My
m1 M m2
k11 k ， K 21 mn kn1
k12 k22 kn 2
k1n k2 n knn
§14-1 多自由度体系自由振动
设振动方程解的形式为
K F (t ) M
( i 1， 2， ，n )
§14-3 多自由度体系的强迫振动
由于M*、K*都是对角阵，方程已经解偶，即
同理，令 则
Ki Mi
2 i
振型分解法
由杜哈梅积分，得
1 i (t ) M ii 初始条件为
F ( )sin (t )d
§14-1 多自由度体系自由振动
将
2、2 代入振型方程，得
5 0 Y12 6.640 k 2 K M Y 5 1.320 3 15 2 Y22 0 0 Y 3 3.680 32
Fp1 2m
2 2
(1 cos 2t )
§14-3 多自由度体系的强迫振动
（6）求质点位移
y1 (t ) 1 (t ) 2 (t ) FP1 2 2m 1
2 1 (1 cos 1t ) ( 2 )(1 cos 2t ) 2
主振型的正交性
Y 1 1
k 11 Y 21 k 21
Y 11
k 11 Y 21 k 21
k 12 k 22
Y12 0 Y 22
★不同频率相应的振型对刚度矩阵正交 ★利用正交性判断各振型的形状特点和所求振型是否正确
多自由度体系振型的正交性 若体系按第一振型振动，则
同理
Y Y
(1 ) T
MY MY
(3)
0 .0 0 2 m 0 0 .0 0 0 2 m 0
(2)T
(3)
（2）验证对刚度矩阵的正交性
(1 ) T (2)
Y
KY
0.1 6 3
0.5 6 9
20 k 1 -5 15 0
-5 8 -3
0 0 .9 2 4 -3 1 .2 2 7 3 1
Y13
3 m2Y23
2
Y33
第一振型 功的互等定理
第三振型
1 m 1 Y 1 1 Y 1 3 1 m 2 Y 2 1 Y 2 3 1 m 3Y 3 1 Y 3 3
2 2 2
3 m 1Y 1 3 Y 1 1 3 m 2 Y 2 3 Y 2 1 3 m 3 Y 3 3 Y 3 1
k 12 Y12 m1 2 2 k 22 Y 22 0
左乘 Y 1 1
Y 21
，得
k 12 k 22 Y12 2 2 Y 1 1 Y 22 m1 Y 21 0 0 m2 Y12 0 Y 22
2 2 2 2
m 1Y 1 1 Y 1 2
m 2Y 2 1 Y 2 2 1 2
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10-6 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1. 主振型的正交性
正交的概念：两个向量，其中，
，称为正交；矢量的概念。
正交关系有许多用途，详见线性代数的有关部分。
这里我们讨论主振型的正交性：
以两个自由度体系为例:
功的互等定理（Betti’s law）
即:
故有
上式可推广到一般情况
第一个正交关系为：
或
证明：
由特征方程有
将上式两边分别乘以得
对其中任一式转置并相减得
如果
同理也可推得
（也可直接利用关于质量矩阵得正交性得到。
）
对k=L 时，我们定义
M k , K k分别叫做第k个主振型相应得广义质量和广义刚度。
由特征方程有:
即:
由此得:
这就是根据广义刚度Kk和广义质量Mk来求频率Wk的公式。
这个公式是单自由度体系频率公式的推广。
正交关系的利用：
判断主振型的形状是否正确；
在振型分解法中的应用。
例17-8讲解重点正交性的验算
2*. 主振型矩阵
如果将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵，即
这个方阵称为主振型矩阵，它的转置矩阵为
根据主振型向量的两个正交关系，可以导出主振型矩阵[Y]的两个性质，即[Y]T[M][Y] 和[Y]T[K][Y] 都应是对角矩阵。
下面证明：
[Y]T[M][Y]=
上式中的对角线元素就是广义质量M1,M2,……M n, 由正交关系知其余元素均为零，故[Y]T[M][Y]为对角矩阵。
即
[Y]T[M][Y]=
对角矩阵[M*]称为广义质量矩阵。
同样可得
其中Ki为广义刚度，对角矩阵[K*]叫做广义刚度矩阵。
在后续章节中，我们将利用这一性质将多自由度体系的振动方程变为简单的形式。