梅逊公式的应用

系统信号流图及梅逊公式
该系统有二个前向通路，其传递函数分别为： 有5个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G1G2H1； L2=−G2G3H2； L3=−G1G2G3H3； L4=−G1G4H3； L5=−G4H2 5个反馈回路都相互接触，即没有互不接触的反馈回路，则：
1 G1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G1G 2 G 3 H 3 G1G 4 H 3 G 4 H 2
三个互不接触回路（1个）： ①②③，则 所以：
1 5 RCs 6 R C s
2 2 2

1
3 3
Ld Le L f
1 R C s
3 3

R C s
3
则系统传递函数为：
P
P1 1

1 1 6 RCs 5 R C s R C s
2 2 2 3 3 3
2.6
系统信号流图及梅逊公式
2.6
系统信号流图及梅逊公式
例3：利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数(P48例2-21） 系统的信号流图为： Xi(s)
G1 G2 G6 G3 G4 G7 G5
X0(s)
-H1 -H2
G6
+
G7
+
+
Xi(s)
G1
+
G2
-
G3
+
G4
-
G5
X0(s)
H1
H2
2.6
系统信号流图及梅逊公式
解∶该系统有三个前向通路，其传递函数分别为：
2.6
系统信号流图及梅逊公式
二、梅逊公式的应用示例
例1：利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数
R(s)
1/R 1/Cs
④
1/R 1/Cs
⑤
1/R 1/Cs
Y(s)
①
②
③
系统的信号流图为：
-1 -1
R(s) 1
④
1/R 1/Cs 1 1/R 1 1/Cs
⑤
1 1/R 1/Cs
Y(s)
①
-1
②
-1
③
-1
0
H
2
Y0
解上述方程组，得
Y0
X i
X
0
X
0
G 1 G 2
X
0
X
0
H
2
1 G2H1
X i
G 1 G 2
H
2
1 G2H1
G4
X i
X
0
G 1 G 3
X
0
整理得：
1 G 2 H 1 G 4 H 2 G 1 G 2 G 4 G 1 G 3 H 2 G 1 G 2 G 4 G 1 G 3 G 1 G 2 G 3 H 1 X i ( s )
1 G 4 H 1 G 2 G 7 H 2 G 4 G 5 G 6 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
1 1 2 1 3 1 G4 H 1
则： Pk k G 1G 2 G 3 G 4 G 5 G 1G 4 G 5 G 6 G 1G 2 G 7 (1 G 4 H 1 )
-
④
2.6
第三步、消去并联回路③和反馈回路②
系统信号流图及梅逊公式
Xi(s)
+
G1
G2G4-(1+G2H1)/G2G4
G2G4 /(1+G2 H1 + G2G4)
X0(s)
④
第四步、利用串联和单位反馈回路法得出系统传递函数
G 1G 2 G 4 G 1G 3 G 1G 2 G 3 H 1 1 G 2 H 1 G 4 H 2 G 1G 2 G 4 G 1G 3 G 1G 2 G 3 H 1
5个反馈回路均与两条前向通道接触，故： 1 1 则：
2 1
P
k k
k
G 1G 2 G 3 G 1G 4
由梅逊公式求得系统的传递函数为：
G (s) Y (s) R (s) G 1G 2 G 3 G 1G 4 1 G 1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3 H 3 G 1G 4 H 3 G 4 H 2
系统信号流图及梅逊公式
②
-
1/G2(s) G2(s) H1(s)
①
H2(s) Y0 G4(s)
+
Xi(s)
+
G1(s)
+
X0(s)
-
-
-
G3(s)
③ ④
第二步、消去反馈回路①，另Leabharlann Baidu加点（比较点）③前移
1/G2 H2
Xi(s)
+
G1
②
+
③
G3(1+G2H1)/G2G4
X0(s)
G2G4 /(1+G2 H1 )
G (S ) X 0 (S ) X i (S ) G 1G 2 G 4 G 1G 3 G 1G 2 G 3 H 1 1 G 2 H 1 G 4 H 2 G 1G 2 G 4 G 1G 3 G 1G 2 G 3 H 1
2.6
法2：代数法
系统信号流图及梅逊公式
X i X 0 G 1 Y 0 H 1 G 2 X Y 0 G 4 X i X 0 G 1 G 3 X 0
2.6
系统信号流图及梅逊公式
二、梅逊公式的应用
梅逊公式
P 1

n
P k k
k 1
式中：P—系统传递函数； Pk—第k条前向通道的传递函数之积； —信号流图的特征式； 1 L a
a
L
bc
b
Lc Ld Le L f
def

La
每一个回路中所有传递函数乘积之和（含符号）

bc
def
a
Lb Lc
d
每两个互不接触回路中所有传递函数乘积之和（含符号）
每三个互不接触回路中所有传递函数乘积之和（含符号）
L
Le L f
k—去掉与第k条前向通路相接触的回路的传递函数之积所余下的 。
从上面的计算式中可以看出：、Pk计算简单，关键是k，若只有 一条前向通路，k＝1
2.6
2.6
解： 前向通道（1条）： 反馈回路（5个）：每个均为
P1

系统信号流图及梅逊公式
1
R C s 1
RCs
3
3
3
1 1
则

a
La
5 RCs
两个互不接触回路（6个）：①②、①③、③④、①⑤、②③、④⑤
每对传递函数之积为：
1 R C s
2 2 2
则

Lb Lc
6 R C s
3
2 2 2
2.6
例4：求如图所示系统的传递函数
系统信号流图及梅逊公式
H2(s)
-
Xi(s)
+
G1(s)
+
-
-
G2(s) H1(s)
Y0
+
G4(s)
+
X0(s)
-
G3(s) 法1：利用梅逊公式，求图所示系统的传递函数 系统的信号流图为： Xi(s)
1 G1 1 G2 1
-H2
G4
1
1
X0(s)
-H1
- G3
-1
例2：利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数
G4(s)
+
R(s)
+ +
G1(s)
-
+
G2(s)
-
G3(s) H2(s)
+
Y(s) ②
-
① H1(s) H3(s)
③
系统的信号流图为： R(s)
1 1 G1 1 G2
G4 G3 1 1
Y(s)
①
-H1 -H3 ③
-H2
②
2.6
P1=G1G2G3； P2=G1G4
k
由梅逊公式求得系统的传递函数为：
G (s) G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 1 G 4 G 5 G 6 G 1 G 2 G 7 (1 G 4 H 1 ) 1 G 4 H 1 G 2 G 7 H 2 G 4 G 5 G 6 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
G (s) X 0 (s) X i (s) 1 G2H1 G4H
G 1G 2 G 3 H 1 X 0 ( s )
G 1G 2 G 4 G 1G 3 G 1G 2 G 3 H 1
2
G 1G 2 G 4 G 1G 3 G 1G 2 G 3 H 1
2.6
法3：方框图化简法 第一步：相加点（比较点）②前移
1 1
1 G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 G 1G 2 G 3 G 4 G 7 G3
3个回路 具有的公共传递函数：
G (s)
G 1G 2 G 3 G 4 1 G 3 G 4 G 6 G 2 G 3 G 5 G 1G 2 G 3 G 4 G 7
1 G 2 H 1 G 4 H 2 G 1G 2 G 4 G 1G 3 G 1G 2 G 3 H 1
1 1
2 1 G2 H 1
则：

k
Pk k G 1G 2 G 4 G 1G 3 G 1G 2 G 3 H 1
由梅逊公式求得系统的传递函数为：
2.6
P1=G1G2G4； P2= − G1G3
系统信号流图及梅逊公式
该系统有二个前向通路，其传递函数分别为： 有4个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G2H1； L2= −G4H2 ； L3=−G1G2G4； L4=G1G3； 有一对互不接触的反馈回路，
L1, 4 G 1G 2 G 3 H 1
系统信号流图及梅逊公式
没有不接触回路时的梅逊公式（特殊用法）
系统总传递函数 =
P46例2-19
∑前向通道传递函数之积
1 - ∑回路传递函数之积
G5(s)
Xi(s)
+
-
G1(s) +
G2(s) +
G3(s)
-
G4(s)
X0(s)
-
G6(s) G7(s)
前向通道(一条)： 回路3个(互有接触)：
P1 G1G 2 G 3 G 4
P1=G1G2G3 G4G5； ； P2=G1G4G5G6； P3=G1G2G7
有4个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G4H1； L2=−G2G7H2； L3=−G4G5G6H2； L4=−G2G3G4G5H2； 有1个互不接触的反馈回路，即： L b L c G 4 H 1G 2 G 7 H 2
G (S )
X 0 (S ) X i (S )