2016年安徽省大学生力学竞赛(理论力学部分)解答及评分标准

(+2 分)
由于轮盘与物块发生对心完全弹性碰撞，恢复系数 e = 1，且两者的质量相等，故物
块在 B 处的初速度为： v=B v= C 2g R
(+2 分)
物 块 在 滑 动 过 程 中 的 受 力 情 况 如 图 2-a 所 示 ， 其 中 的 动 滑 动 摩 擦 力 为 ：
Fτ' = f ⋅ FN =0.3mg 。
ND D
q
C M
45 图 1-a
(2) 以 AB 为研究对象，受力图如图 1-b 所示。
X=B'
X=B
1 2
qa,
Y=B'
Y=B
1 qa 2
∑ FX = 0
XA
−
X
' B
= 0
∑ FY = 0 YA − F − YB' = 0
(1-4) (1-5)
A X A YA MA
∑ MA = 0
MA
−
1 2
Fa
= 0 (1-1)
∑ FX = 0 X B − ND cos 45 = 0 (1-2)
∑ FY = 0 YB + ND sin 45 − qa = 0 (1-3)
XB B YB
求得= ： ND
22= qa, X B
= 12 qa, YB
1 qa 2
+10 分，受力图 2 分，三个方程各 2 分，结果 2 分。
mg R − r sin θ
(+2 分) (2-2)
得轮心 C 的法向加速度= ：aCn
= vC2 R−r
v02 + 4 g sin θ R−r 3
(+1 分) (2-3)
再根据质心运动定理： ma= Cn FN − mg sin θ ，
maCτ =m ⋅ rα =mg cos θ − Fτ
得： Fτ
故：
X= D
Y= D
= X C'
= X C
1 qa 2
Y= C'
Y= C
1 qa 2
+4 分，受力图 2 分，结果 2 分。
XD D YD
C
X
' C
YC' M
图 1-d
R vD
D R
θ
vB
R
vC
B
CA
题2图
S
解：（1）(本小题 15 分) 假设轮盘滚动至图 2-a 所示的位置时与圆弧轨道仍未发生相对滑动，由于轮盘作纯滚 动，其与轨道的接触点 O 为瞬心。轮盘的受力图如图所示。（+2 分）
R vD mg vB
θ
αω
vC vCwk.baidu.com
CA Fτ
O FN
mg
D Fτ'
B
R
FN
S
(+2 分)
在水平方向列出运动微分方程： mx = −λ x
(+2 分)
一次积分得出速度的表达式： x = vDe−λ t m
二次积分得出物块运动的水平位移：
(+3 分)
( ) ( ) S = vDm 1 − e−λ T m
m =
1.4gR 1 − e−λ 2R g m
λ
λ
(+3 分)
专科组
第 1 题（30 分）
（2）如果自由落体的初速度 v0 = 0 ，试证明：
只要弹射器瞄准落体且子弹射出的初速度足够
H
快，无论射击角度θ 怎么变化都能射中该落体；
（3）自由落体的初速度 v0 ≠ 0 ，假设弹射器 瞄准落体的初始仰角为θ0 = π 4 ，子弹的射速 u 是落体初速度的 40 倍，射手应大约调整多大
u θ
题1图
u0
≥
1 sin θ
gH 2
(+2 分)
(1-1) (1-2)
（2）(本小题 6 分) 证：设子弹抵达落体正下方所用的时间为 t 。如 图 1-a 所示，落体下落的距离为：
v0 y1
y1 = gt 2 2
(+1 分)
对任意的射角θ ，子弹上升的垂直距离为：
u
y2
θ = y2 u t sin θ − gt2 2 (+1 分)
=
1 3
mg
cos
θ
= ， FN
mv02 + 7 mg sin θ R−r 3
(+4 分) (2-4)
为保证轮盘只滚不滑，应满足库伦定理： Fτ ≤ Fτ max =fS ⋅ FN
当θ = 0 时，根据式(1-5)和(1-6)得： v0 ≥ g ( R − r ) ,
(+2 分)
(2-5)
因此有：
( ) v0 mi=n g R − r= 6g r ，= ω0 min v= 0 min r 6g r (+2 分)
y1 + y2 = u t sin θ (+2 分) (1-3) 由式(1-2)知： t = H ，代入式(1-3)得：
u sin θ y1 + y2 = H (+2 分)
图 1-a
故子弹抵达落体的正下方时正好射中落体。 证毕。
（3）(本小题 13 分) θ0 = π 4 ，发射前子弹距落体的水平直线距离= 为： L H= cot θ0 H
− YB'a
= 0 (1-6)
求得= ： M A
q= a2, X A
12= qa, YA
3 qa 2
+10 分，受力图 2 分，三个方程各 2 分，结果 2 分。
F
B
X
' B
YB'
图 1-b
(3) BD 杆为二力杆，假设其受拉，以 BC 杆为研究 对象，受力图如图 1-c 所示。
∑ FX = 0 X B − XC = 0 (1-7)
本科组
第 1 题（25 分）
射手用弹射器进行射击比赛，目标是空中的自由落体，假设子弹发射和物体下
落同时动作。落体的质量为 M，子弹的质量为 m，落体与子弹的垂直距离为 H，不
考虑空气的阻力。
（1）设自由落体的初速度 v0 = 0 ，瞄准落体
的射击仰角为θ ，试确定子弹能射中落体的最
v0
小初速度 u0 ；
由式(2-4)可以看出：随着θ 的增大， Fτ 在不断减小， FN 在不断增大，故在轮盘的后 续滚动过程中都能满足纯滚动的条件(2-5)。
（2）(本小题 10 分) 根据式(2-2)，= v0 v= 0 min
6g r ，当θ = 90 时，求出与物块碰撞前轮盘质心的速
度为= ： vC = 1 g4 r 2g R
将式(1-4)代入(1-5)得： cos θ − sin θ = v0 u
(+2 分)
(1-5) (1-6)
设θ= θ0 + ( ∆θ ，代入式(1-6)得： cos θ0 + ∆θ ) − sin (θ0 + ∆θ ) =v0 u
考虑到θ0 = π 4 ，上式展开有： − 2 sin ∆θ =v0 u 由于 v0 u 是一个微量， ∆θ 也是一个小量，sin ∆θ ≈ ∆θ ，
图 2-a
设在图示位置轮盘的角速度和角加速度分别为ω 和α ，轮心 C 的速度为 vC 。
对瞬心 O 列动量矩方程= ：dLO = 3 mr2α mg cos θ ⋅ r ， α = 2g cos θ (+2 分) (2-1)
dt 2
3r
( ) ( ) 根据动能定理得：1 ⋅ 3 m 22
vC2
− v02 =
图示结构，各杆的自重不计，已知 = AB B= C B= D a ， F = qa ， M = qa2 ，求
固定端 A 的支座反力和销钉 D 对 DC 杆的作用力。
F
A
B
a2 a2
q
C
M
D
题1图
45
解：(1) 以 BCD 为研究对象，受力图如图 1-a 所示。
∑ MB = 0
M
−
1 2
qa2
−
ND
cos 45 a
∑ MB = 0
求= 得： XC
YCa −
1 qa2
2
= 0 (1-8)
= 12 qa, YD
1 qa 2
+6 分，受力图 2 分，2 个方程各 1 分，结果 2 分。
XB B YB SBD
q
C
YC
XC
图 1-c
(4) 以 DC 杆为研究对象，受力图如图 1-d 所示。 由于 DC 杆所受的外力只有集中力偶 M ，故销钉 D 对 DC 杆的作用力与 C 点的约束力构成力偶。
(+2 分)
故 ∆θ ≈ −0.707 v0 u = −0.017675 （弧度）
或： ∆θ ≈ − 0.017675 × 180 π ≈ −1
因此，应减小射击角度大约1 。 (+2 分)
第 2 题（35 分） 一质量为 m 半径为 r 的匀质轮盘沿图示轨道的 A 位置自由向下滚动，轮心为 C，
初始的角速度为ω0 ，AB 段为 1/4 圆弧轨道，半径 R = 7 r ，BD 段为水平轨道，水 平轨道的起点放置质量为 m 的静止物块。轮盘和物块与轨道的摩擦系数相同，其中 静滑动摩擦系数 fS = 1 3 ，动滑动滑动摩擦系数 f = 0.3。
(+2 分)
( ) 根据动能定理得： 1 m 2
vD2
− vB2
=−Fτ' ⋅ R
(+2 分)
求得： vD = 1.4g R
(+2 分)
（3）(本小题 10 分)
物块离开端口 D 开始做平抛运动，垂直方向的分速度等于零，水平方向的分速度为：
vD = 1.4g R 。 物块落到地面所用的时间为：T = 2R g
（1） 为保证轮盘沿整个圆弧轨道作纯滚动，求轮盘的最小初始角速度ω0 min = ? 。 （2） 设轮盘以该最小初始角速度ω0 min 沿轨道向下作纯滚动，假设轮盘抵达 B 处时 与静止的物块发生对心完全弹性碰撞(恢复系数 e = 1，忽略物块与水平轨道的摩擦 等因素的瞬时影响)，推动物块沿轨道滑行水平距离 R 至端口 D，求 D 处物块的速度。 （3） 物块离开端口 D 后向下作水平抛体运动，最后落到距 D 点垂直距离为 R 的水 平地面。在运动过程中受到水平来风的阻力（不考虑垂直方向的空气阻力），阻力的 大小与物块的水平速度成正比，比例系数为 λ 。求物块落到地面时所行进的水平距 离 S（忽略端口 D 处的局部尺寸效应，不考虑物块的转动，将物块视为一个质点）。
的射击角度才能射中落体？
解：（1）(本小题 6 分)
要想子弹能射中落体，子弹必须在落体落到地面之前抵达落体的正下方。
物体无初速自由下落 H 距离所用的时间： t1 = 2H g
(+2 分)
子弹抵达落体的正下方所用的时= 间： t2
= H cot θ u0 cos θ
H u0 sin θ
(+2 分)
由 t2 ≤ t1 得：
(+1 分)
改变射击角度后，抵达落体的正下方所用的时间： t = H
(+2 分)
u cos θ
(1-4)
由于落体的初速度 v0 ≠ 0 ，落体下落的距离为：= y1 v0t + gt2 2
(+1 分)
子弹上升的垂直距离= 为： y2 u t sin θ − gt2 2
(+1 分)
为保证子弹能射中落体，应满足： y1 + y2 = v0t + u t sin θ = H (+2 分)